直线与圆的方程题型归类

直线与圆的方程题型归类

一、求直线方程

例1.直线l 过点（－1，2）且与直线2x －3y ＋4=0垂线，则l 的方程是（ ）

（A ）3x ＋2y －1=0 （B ）3x ＋2y ＋7=0 （C ）2x －3y ＋5=0 （D ） 2x －3y ＋8=0 分析：要求过已知点的直线方程只需求斜率，因而可以由与已知直线的垂直关系得到斜率。

解：因为直线2x －3y ＋4=0的斜率为3

232=--

=k ，且直线l 与它垂直，所以，3

2l k =-，

∴l 的方程为3

2(1)2

y x -=-

+，即3210x y +-=选A 点评：本题考查直线的斜率、直线方程、两直线的位置关系，在学习中一定要弄清楚有关概 念、直线方程的不同形式的特点、两直线平行与垂直所满足的条件，熟练掌握、灵活运用。

二、求圆方程

1．直接求圆方程

例2.（1）以点（2，－1）为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是_____________________。 分析：因为圆心知道，只需要求出圆的半径

解：先将直线6x y +=化为一般式60x y +-=,再由圆心到直线的距离公式得：

圆的半径

r =

=,

所以圆的方程为2

2

25

(2)(1)2

x y -++=

点评：此题考查圆的方程，首先要明确圆的标准方程、一般式方程、其中中包含哪些待定系数？其次，要掌握求这些系数的办法。 2．利用对称关系求圆方程

（2）已知圆1C ：2

(1)x ++2

(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（B ）

（A ）2

(2)x ++2

(2)y -=1 （B ）2

(2)x -+2

(2)y +=1 （C ）2

(2)x ++2

(2)y +=1 （D ）2

(2)x -+2

(2)y -=1

分析：要求圆的方程，关键是求圆心坐标和半径。可以用对称关系代换、也可以列方程求解。 解法1。将圆1C 方程中的x 用1+y 代换，y 用1-x 代换就会得选项（B ）。 解法2。设圆心),(2b a C ， 则由已知得 半径12=r , )1,1(1-C

由于两圆关于直线10x y --=对称得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-+--1)

1(10121

2

1a b b a 解得：)2,2(2-C 故选（B ）

点评：对称是直线与圆一章中很重要的问题之一，在学习中要正确理解对称的概念，准确把

握点点对称、点线对称、图形对称的本质，灵活运用。

三、直线与圆

1．直线与圆相切

例3.（1）已知圆C 与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为(B)

（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22

(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D)

22(1)(1)2x y +++= 解析：（1）由圆C 夹在直线x-y=0 及x-y-4=0之间，且圆心在直线x+y=0上可知，圆心在第四象限，参看选项。故选(B) （2）因为，直线x-y=0 和x-y-4=0都是圆的相切线且圆心在直线x+y=0上，所以，直线x-y=0 和x-y-4=0平行且都与直线x+y=0相交，它们的交点是直径的两个端点，求交点坐标可得(B) 点评：本题考察的是圆及其切线，要弄清楚切线的概念、切线与半径的垂直关系、圆心到切线的距离等于半径等。 2．直线与圆相交 例

4.在平面直角坐标系

xoy

中，已知圆

2

2

1:(3)(1)4

C x y ++-=和圆2

2

2:(4)(5)4C x y -+-=

（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为，求直线

l 的方程；

（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线12l l 和，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C

截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.

分析：(1)由弦长公式求斜率或由直角三角形列方程求斜率；（2）P 在以C 1C 2的中垂线上，且与C 1、C 2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P 坐标。 解：(1) 圆1C 被直线所截，弦长为

∴ 设直线l 的方程为),4(-=x k y 即04=--k y kx

4))1(41)3(322

22

=-+---+k k k （

）（ 解得k=0 或 24

7

-

所以，所求直线l 的方程为0y =或7

(4)24

y x =--， (2)依题意点P 在C 1C 2的中垂线上，且与C 1、C 2等腰直角三角形，设点),(y x P 则

)1,3(1-C ，)5,4(2C ，取C 1C 2 中点为D （32

1，）

,21C C PD ⊥ 21PC PC ⊥ 由12

1-=•∴C C PD K K 且 121-=•PC PC K K 得：

点P 坐标为313(,)22-

或51(,)22

-。 点评：本题综合考察直线与圆的相关问题，其中牵扯到直线的斜率、直线方程、两直线的位置关系、点到直线的距离、圆的方程、直线与圆的位置关系以及相关几何关系。学习时要对这些问题理解清楚、把握准确、熟练运用。

四、圆与圆相交

例 5.若圆422=+y x 与圆

)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则a=________.

分析：因为，两圆相交连心线垂直公共弦，垂直于弦且平分弦，所以，由勾股定理可解。

解：由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为

a y 1

=

，利用圆心（0，0）

到直线的距离d

1|1|

a =为13222

=-，解得a=1 点评：本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了同学们的

运算能力和推理能力。