数学建模之回归分析法
数学建模——线性回归分析实用精品教案
数学建模——线性回归分析实用精品教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学建模》第四章“数据的拟合与回归”第二节“线性回归分析”。
详细内容包括：线性回归模型的建立，最小二乘法求解线性回归方程，线性回归方程的显著性检验，以及利用线性回归方程进行预测。
二、教学目标1. 理解线性回归分析的基本概念，掌握线性回归方程的建立方法。
2. 学会运用最小二乘法求解线性回归方程，并能解释线性回归方程的参数意义。
3. 能够对线性回归方程进行显著性检验，利用线性回归方程进行预测。
三、教学难点与重点教学难点：最小二乘法的推导和应用，线性回归方程的显著性检验。
教学重点：线性回归模型的建立，线性回归方程的求解及其应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件，黑板，粉笔。
学具：计算器，草稿纸，直尺，铅笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示一组关于身高和体重的数据，引导学生思考身高和体重之间的关系。
2. 例题讲解：（1）建立线性回归模型，引导学生根据散点图判断变量间的线性关系。
（2）利用最小二乘法求解线性回归方程，解释方程参数的意义。
（3）对线性回归方程进行显著性检验，判断方程的有效性。
3. 随堂练习：（1）给出另一组数据，让学生尝试建立线性回归模型并求解。
（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程进行预测。
六、板书设计1. 线性回归模型2. 最小二乘法3. 线性回归方程的显著性检验4. 线性回归方程的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）根据给定的数据，建立线性回归模型，求解线性回归方程。
（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程预测某学生的体重。
2. 答案：（1）线性回归方程为：y = 0.8x + 50（2）显著性检验：F = 40.23，P < 0.01，说明线性回归方程具有显著性。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对线性回归分析的理解和应用能力得到了提升，但仍有个别学生对最小二乘法的推导和应用感到困难，需要在课后加强辅导。
数学建模方法分类
数学建模方法分类数据分析法：通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型1、回归分析法：用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
2、时序分析法：处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
3、回归分析法：用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
4、时序分析法：处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
2数学建模方法一层次分析法比较合适于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。
其用法是构造推断矩阵，求出其最大特征值。
及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标关于上一层次某相关指标的相对重要性权值。
层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解推断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。
3数学建模方法二回归分析：对具有相关关系的现象，依据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法(一元线性回归、多元线性回归、非线性回归)，回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型(经验公式);对回归模型的可信度进行检验;推断每个自变量对因变量的影响是否显著;推断回归模型是否合适这组数据;利用回归模型对进行预报或控制。
相对应的有线性回归、多元二项式回归、非线性回归。
逐步回归分析：从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉;引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步;关于每一步都要进行值检验，以保证每次引入新的显著性变量前回归方程中只包涵对作用显著的变量;这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。
数学建模——线性回归分析82页PPT
2019/11/15
zhaoswallow
2
表1 各机组出力方案 （单位：兆瓦，记作MW）
方案\机组 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1
2
3
4
5
6
7
8
120
73
180
80
125
125
81.1
90
133.02 73
180
80
125
125
81.1
90
3 -144.25 -145.14 -144.92 -146.91 -145.92 -143.84 -144.07 -143.16 -143.49 -152.26 -147.08 -149.33 -145.82 -144.18 -144.03 -144.32
4 119.09 118.63 118.7 117.72 118.13 118.43 118.82 117.24 117.96 129.58 122.85 125.75 121.16 119.12 119.31 118.84
5 135.44 135.37 135.33 135.41 135.41 136.72 136.02 139.66 137.98 132.04 134.21 133.28 134.75 135.57 135.97 135.06
6 157.69 160.76 159.98 166.81 163.64 157.22 157.5 156.59 156.96 153.6 156.23 155.09 156.77 157.2 156.31 158.26
ˆ0
ˆ1 xi )2
min
0 ,1
数学建模之回归分析法
什么就是回归分析回归分析(regression analysis)就是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
运用十分广泛,回归分析按照涉及的自变量的多少,可分为一元回归分析与多元回归分析;按照自变量与因变量之间的关系类型,可分为线性回归分析与非线性回归分析。
如果在回归分析中,只包括一个自变量与一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量与自变量之间就是线性关系,则称为多元线性回归分析。
回归分析之一多元线性回归模型案例解析多元线性回归,主要就是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系,跟一元回归原理差不多,区别在于影响因素(自变量)更多些而已,例如:一元线性回归方程为:毫无疑问,多元线性回归方程应该为:上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止,代表有P个自变量,如果有“N组样本,那么这个多元线性回归,将会组成一个矩阵,如下图所示:那么,多元线性回归方程矩阵形式为:其中:代表随机误差, 其中随机误差分为:可解释的误差与不可解释的误差,随机误差必须满足以下四个条件,多元线性方程才有意义(一元线性方程也一样)1:服成正太分布,即指:随机误差必须就是服成正太分别的随机变量。
2:无偏性假设,即指:期望值为03:同共方差性假设,即指,所有的随机误差变量方差都相等4:独立性假设,即指:所有的随机误差变量都相互独立,可以用协方差解释。
今天跟大家一起讨论一下,SPSS---多元线性回归的具体操作过程,下面以教程教程数据为例,分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。
通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系,建立拟合多元线性回归模型。
数据如下图所示:(数据可以先用excel建立再通过spss打开)点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面:将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内, 将“车长,车宽,耗油率,车净重等10个自变量拖入自变量框内,如上图所示,在“方法”旁边,选择“逐步”,当然,您也可以选择其它的方式,如果您选择“进入”默认的方式,在分析结果中,将会得到如下图所示的结果:(所有的自变量,都会强行进入)如果您选择“逐步”这个方法,将会得到如下图所示的结果:(将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选,最先进入回归方程的“自变量”应该就是跟“因变量”关系最为密切,贡献最大的,如下图可以瞧出,车的价格与车轴跟因变量关系最为密切,符合判断条件的概率值必须小于0、05,当概率值大于等于0、1时将会被剔除)“选择变量(E)" 框内,我并没有输入数据,如果您需要对某个“自变量”进行条件筛选,可以将那个自变量,移入“选择变量框”内,有一个前提就就是:该变量从未在另一个目标列表中出现！,再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可,如下图所示:点击“统计量”弹出如下所示的框,如下所示:在“回归系数”下面勾选“估计,在右侧勾选”模型拟合度“与”共线性诊断“两个选项,再勾选“个案诊断”再点击“离群值”一般默认值为“3”,(设定异常值的依据,只有当残差超过3倍标准差的观测才会被当做异常值) 点击继续。
数学建模-回归分析
一、变量之间的两种关系 1、函数关系：y = f (x) 。
2、相关关系：X ，Y 之间有联系，但由 其中一个不能唯一的确定另一个的值。 如： 年龄 X ，血压 Y ； 单位成本 X ，产量 Y ； 高考成绩 X ，大学成绩 Y ； 身高 X ，体重 Y 等等。
二、研究相关关系的内容有
1、相关分析——相关方向及程度（第九章）。 增大而增大——正相关； 增大而减小——负相关。 2、回归分析——模拟相关变量之间的内在 联系，建立相关变量间的近似表达式 （经验 公式）（第八章）。 相关程度强，经验公式的有效性就强， 反之就弱。
三、一般曲线性模型 1、一般一元曲线模型
y = f ( x) + ε
对于此类模型的转换，可用泰勒展开 公式，把 在零点展开，再做简单的变 f ( x) 换可以得到多元线性回归模型。 2、一般多元曲线模型
y = f ( x1 , x2源自,⋯ , xm ) + ε
对于此类模型也要尽量转化为线性模 型，具体可参考其他统计软件书，这里不 做介绍。
ˆ ˆ ˆ ˆ y = b0 + b1 x1 + ⋯ + bm x m
2、利用平方和分解得到 ST , S回 , S剩。 3、计算模型拟合度 S ，R ，R 。 （1）标准误差（或标准残差）
S =
S剩 ( n − m − 1)
当 S 越大，拟合越差，反之，S 越小， 拟合越好。 （2）复相关函数
R =
2
仍是 R 越大拟合越好。 注： a、修正的原因：R 的大小与变量的个数以及样本 个数有关； 比 R 要常用。 R b、S 和 R 是对拟合程度进行评价，但S与 R 的分 布没有给出，故不能用于检验。 用处：在多种回归模型（线性，非线性）时， 用来比较那种最好；如：通过回归方程显著性检验 得到：
数学建模：用线性回归模型进行预测分析
数学建模：用线性回归模型进行预测分析1. 概述数学建模是一种利用数学方法和技巧来解决实际问题的过程。
其中，线性回归模型是最常用的预测分析方法之一，旨在建立一个线性关系来解释自变量（特征）与因变量（目标）之间的关系。
2. 线性回归模型基本原理线性回归模型是基于线性假设，即自变量与因变量之间存在线性关系。
它通过最小化残差平方和来估计自变量对因变量的影响，并确定最佳拟合直线。
2.1 数据集准备在构建线性回归模型之前，需要准备好相关数据集。
数据集应包含自变量和因变量，其中自变量可以是多维的。
2.2 模型训练使用训练集上的数据来训练线性回归模型。
训练过程通过求解最小二乘法方程得到一组最佳参数值。
2.3 模型评价为了评估线性回归模型的准确性，需要使用测试集上的数据进行预测，并计算预测值与真实值之间的误差。
常用指标包括均方误差（MSE）和决定系数（R-squared）等。
3. 线性回归模型的应用场景线性回归模型可以应用于各种预测分析场景。
以下是一些常见的应用场景：3.1 经济学线性回归模型在经济学中常用于预测经济指标，例如GDP、通货膨胀率等。
通过建立一个线性关系，可以帮助经济学家进行政策制定和市场分析。
3.2 市场营销线性回归模型可以用于市场营销领域的广告效果预测、顾客购买意愿预测等。
通过分析不同因素对销售额的影响，可以制定更有效的市场推广策略。
3.3 医疗研究线性回归模型在医疗研究领域广泛应用。
它可以用来预测患者治疗效果、药物剂量与效果之间的关系等，为医生提供决策支持。
4. 线性回归模型的优缺点线性回归模型具有以下几个优点： - 易于理解和解释，模型结果可以直接转化为解释性语言。
- 计算速度快，适用于大规模数据集。
- 可以通过添加交互项和多项式特征来扩展模型的适应能力。
然而，线性回归模型也存在一些缺点： - 对于非线性关系的建模效果较差。
- 对异常值和离群点敏感。
- 对特征之间的相关性较为敏感，可能导致多重共线性问题。
数学建模方法详解三种最常用算法
数学建模方法详解三种最常用算法在数学建模中，常使用的三种最常用算法是回归分析法、最优化算法和机器学习算法。
这三种算法在预测、优化和模式识别等问题上有着广泛的应用。
下面将对这三种算法进行详细介绍。
1.回归分析法回归分析是一种用来建立因果关系的统计方法，它通过分析自变量和因变量之间的关系来预测未知的因变量。
回归分析可以通过构建一个数学模型来描述变量之间的关系，并利用已知的自变量值来预测未知的因变量值。
常用的回归分析方法有线性回归、非线性回归和多元回归等。
在回归分析中，我们需要首先收集自变量和因变量的样本数据，并通过数学统计方法来拟合一个最优的回归函数。
然后利用这个回归函数来预测未知的因变量值或者对已知数据进行拟合分析。
回归分析在实际问题中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用回归分析来预测商品销售量、股票价格等。
此外，回归分析还可以用于风险评估、财务分析和市场调研等。
2.最优化算法最优化算法是一种用来寻找函数极值或最优解的方法。
最优化算法可以用来解决各种优化问题，例如线性规划、非线性规划和整数规划等。
最优化算法通常分为无约束优化和有约束优化两种。
无约束优化是指在目标函数没有约束条件的情况下寻找函数的最优解。
常用的无约束优化算法有梯度下降法、共轭梯度法和牛顿法等。
这些算法通过迭代计算来逐步优化目标函数，直到找到最优解。
有约束优化是指在目标函数存在约束条件的情况下寻找满足约束条件的最优解。
常用的有约束优化算法有线性规划、非线性规划和混合整数规划等。
这些算法通过引入拉格朗日乘子、KKT条件等来处理约束条件，从而求解最优解。
最优化算法在现实问题中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，可以使用最优化算法来确定最优的生产数量和生产计划。
此外，最优化算法还可以应用于金融风险管理、制造工程和运输物流等领域。
3.机器学习算法机器学习算法是一种通过对数据进行学习和模式识别来进行决策和预测的方法。
机器学习算法可以根据已有的数据集合自动构建一个模型，并利用这个模型来预测未知的数据。
数学建模之回归分析法
28 400
32
225
W8 1
70 3
192 9
14 114
18 225
0
32
225
1069
70 6
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S甌
29 725
0
42 000
35
210
1146
7U
196 6
20.397
22 25?
0
23 990
1.8
150
1026
632
17S.0
18780
23.555
0
33 950
2.8
200
108.7
0
19.390
3.4
1BD
110.6
72.7
197.9
点击“分析”一一回归一一线性一一进入如下图所示的界面:
将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个
自变量 拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以 选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的
毫无疑问， 多元线性回归方程应该为
—/?
上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样 本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示：
代表随机误差， 其中随机误差分为： 可解释的误差 和 不可解释的误差, 随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样）
“选择变量（E）"框内，我并没有输入数据，如果你需要对某个“自变量”进行条件筛选， 可以将那个自变量，移入“选择变量框”内， 有一个前提就是：该变量从未在另一个目标列 表中出现！，再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可，如下图所示：
数学建模——线性回归分析实用教案
数学建模——线性回归分析实用教案一、教学内容本节课选自《数学建模与数学实验》教材第十章“回归分析”中的第一节“线性回归分析”。
具体内容包括线性回归模型的建立、参数估计、模型的检验及运用，重点探讨变量间线性关系的量化表达和预测分析。
二、教学目标1. 理解线性回归模型的基本概念，掌握线性回归方程的建立和求解方法。
2. 学会运用最小二乘法进行线性回归参数的估计，并能解释其实际意义。
3. 能够对线性回归模型进行显著性检验，评估模型的可靠性。
三、教学难点与重点难点：线性回归方程的求解方法，最小二乘法的原理及运用，模型的显著性检验。
重点：线性回归模型的建立，参数估计，模型的运用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，投影仪，黑板。
2. 学具：计算器，教材，《数学建模与数学实验》。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）展示一组数据，如某商品的需求量与价格之间的关系，引导学生思考如何量化这种关系。
2. 理论讲解（15分钟）介绍线性回归模型的基本概念，引导学生了解线性关系的量化表达。
讲解线性回归方程的建立，参数估计方法，强调最小二乘法的作用。
3. 例题讲解（15分钟）选取一个实际例子，演示如何建立线性回归模型，求解参数，并进行模型检验。
4. 随堂练习（10分钟）学生分组讨论，根据给出的数据，建立线性回归模型，求解参数，进行模型检验。
六、板书设计1. 黑板左侧：线性回归模型的基本概念，参数估计方法。
2. 黑板右侧：例题解答过程，模型检验步骤。
七、作业设计1. 作业题目：给出一组数据，要求学生建立线性回归模型，求解参数，进行模型检验。
讨论线性回归分析在实际问题中的应用。
2. 答案：线性回归模型参数的求解过程及结果。
模型检验的统计量及结论。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生掌握线性回归分析的基本方法，但部分学生对最小二乘法的理解仍需加强。
2. 拓展延伸：探讨非线性回归模型的建立和应用。
引导学生了解其他数学建模方法，如时间序列分析、主成分分析等。
回归分析(数学建模)
16 17 18 19 20 21
166.88 164.07 164.27 164.57 163.89 166.35
141.4 143.03 142.29 141.44 143.61 139.29
-144.34 -140.97 -142.15 -143.3 -140.25 -144.2
正规方程组
一元线性回归
整理得
n n n 0 xi 1 yi i 1 i 1 n n 2 xi 0 xi 1 i 1 i 1
（ 2）
x
i 1
n
i
yi
一元线性回归
ˆ ˆ 0 y x 1 n x i y i n xy ˆ 1 i 1 n 2 2 xi n x i 1
(x
i 1 n
n
i
x )( y i y )
2
（ 3）
( xi x )
i 1
1一元线性回归一元线性回归模型为其中x是自变量y是因变量为未知的待定常数称为回归系数是随机误差且假设其中相互独立且使其随机误差的平方和达到最小即一元线性回归正规方程组一元线性回归整理得一元线性回归其中参数的最小二乘估计一元线性回归xxxx的无偏估计量
线性回归分析
华北电力大学数理系 雍雪林
一、引言
2004年全国数模竞赛的B题 “电力市场的 输电阻塞管理” 第一个问题： 某电网有8台发电机组，6条主要线路，表 1和表2中的方案0给出了各机组的当前出力和 各线路上对应的有功潮流值，方案1~32给出了 围绕方案0的一些实验数据，试用这些数据确 定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近 似表达式。
数学建模——回归分析
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
由于解释变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的效应为 128.361，所以解析变量的效应为
354-128.361=225.639 这个值称为回归平方和。
解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和） =解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是
R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的 线性相关性越强）。
如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值 来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。
总的来说：
相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。
在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。
虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从它 所描述的关于X为自变量，Y为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们现在的 回归含义是相同的。
不过，现代回归分析虽然沿用了“回归”一词，但内容已有很大变化，它是一种应用 于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论研究和实证研究中也发挥着重要作用。
回归分析：研究一个随机变量Y对另一个(X)或一组(X1， X2，…，Xk)变量的相依关系的统计分析方法
回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数 间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛， 回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和 多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分 为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中，只 包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线 近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归 分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之 间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
数学建模回归分析
数学建模回归分析回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法，广泛应用于数学建模领域。
它通过建立数学模型来描述和预测变量之间的关系，并根据实际数据进行参数估计和模型检验。
本文将介绍回归分析的基本概念、主要方法以及在数学建模中的应用。
一、回归分析的基本概念回归分析是一种统计分析方法，通过对自变量和因变量之间的关系建立数学模型，利用统计学方法进行参数估计和推断，从而揭示变量之间的关系。
常见的回归分析方法有简单线性回归、多元线性回归、非线性回归等。
简单线性回归是回归分析中最基础的方法之一，它用于研究一个自变量和一个因变量之间的关系。
简单线性回归模型可以用以下公式表示：Y=β0+β1X+ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1是回归系数，ε表示随机误差。
回归系数β0和β1的估计值可以通过最小二乘法进行求解。
多元线性回归是回归分析中常用的方法，它用于研究多个自变量和一个因变量之间的关系。
多元线性回归模型可以用以下公式表示：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε其中，Y表示因变量，X1、X2、..、Xk表示自变量，β0、β1、β2、..、βk表示回归系数，ε表示随机误差。
回归系数的估计值可以通过最小二乘法进行求解。
非线性回归是回归分析中考虑自变量和因变量之间非线性关系的方法。
非线性回归模型的形式多种多样，常见的有指数函数、对数函数、幂函数等。
通过选择合适的数学模型，可以更准确地描述和预测变量之间的关系。
二、回归分析的主要方法1.最小二乘法最小二乘法是回归分析中常用的估计回归系数的方法。
它的基本思想是通过最小化观测值与模型预测值之间的差异，从而得到最优的回归系数估计值。
最小二乘法可以保证估计值具有最小方差的良好性质。
2.模型的选择和检验在回归分析中，合适的模型选择对结果的准确性至关重要。
常用的模型选择方法有前向选择法、后向选择法、逐步回归法等。
此外，还需要对建立的回归模型进行检验，常用的检验方法有参数估计的显著性检验、回归模型的整体拟合优度检验等。
数学建模-回归分析例题
目录
引言 线性回归模型 非线性回归模型 多元回归模型 回归分析在实践中的应用
01
CHAPTER
引言
01
02
主题背景
在许多领域，如经济学、生物学、医学和社会学等，都需要用到回归分析来探索变量之间的因果关系或预测未来的发展趋势。
回归分析是数学建模中常用的统计方法，用于研究变量之间的关系。
残差分析
R方值
AIC和BIC值
预测能力
多元回归模型的评估
01
02
03
04
分析残差与拟合值之间的关系，检验模型的假设条件。
计算模型的决定系数，评估模型对数据的拟合程度。
使用信息准则评估模型的复杂度和拟合优度。
使用模型进行预测，评估预测结果的准确性和可靠性。
05
CHAPTER
回归分析在实践中的应用
线性回归模型
它基于最小二乘法原理，通过最小化预测值与实际值之间的平方误差来拟合数据。
线性回归模型适用于因变量与自变量之间存在线性关系的情况，且自变量对因变量的影响是线性的。
线性回归模型是一种预测模型，通过找到最佳拟合直线来描述因变量和自变量之间的关系。
线性回归模型介绍
首先需要明确研究的问题和目标，并确定因变量和自变量。
结果解释
数据分析
THANKS
感谢您的观看。
非线性回归模型
非线性回归模型适用于因变量和自变量之间存在幂函数、对数函数、多项式函数等非线性关系的场景。
适用场景
非线性回归模非线性函数。
数学表达式
非线性回归模型介绍
非线性回归模型的建立
数据准备
收集包含自变量 (x) 和因变量 (y) 的数据集，确保数据具有足够的数量和代表性。
数学建模——回归分析模型 ppt课件
有最小值：
n n i 1 i 1
i
2 2 ( y a bx ) i i i
ppt课件
ˆx ˆi a ˆ b y i
6
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型—— a, b, 2估计
n ( xi x )( yi y ) ˆ i 1 b n ( xi x )2 i 1 ˆ ˆ y bx a
数学建模——回归分析模型
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数学建模——回归分析模型
• • • • • 回归分析概述 几类回归分析模型比较 一元线性回归模型 多元线性回归模型 注意点
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数学建模——回归分析模型
回归分析 名词解释：回归分析是确定两种或两种以上变数 间相互赖的定量关系的一种统计分析方法。 解决问题：用于趋势预测、因果分析、优化问题 等。 几类常用的回归模型：
可决系数（判定系数） R 2 为:
可决系数越靠近1，模型对数据的拟合程度越好。 ppt课件 通常可决 系数大于0.80即判定通过检验。 模型检验还有很多方法，以后会逐步接触
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2 e ESS RSS i R2 1 1 TSS TSS (Yi Y )2
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2 i i 1
残差平 方和
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数学建模——回归分析模型
多元线性回归模型—— 估计 j 令上式 Q 对 j 的偏导数为零，得到正规方程组，
用线性代数的方法求解，求得值为：
ˆ ( X T X )1 X TY
ˆ 为矩阵形式，具体如下： 其中 X , Y ,
回归分析
准差
r剩
S剩 （n r 1）
r 为进入回归模型的变量个数。上述公式表示对于任一给定 的自变量(x1, x2, xm)，所对应因变量的实际值 y 以95%的概率落 在区间 ( yˆ 2r剩，yˆ 2r剩)，即预测值 yˆ 与实际值 y之差有95%的概
率，使得 y yˆ 2r剩， 所以r剩 越小其预测精度越高。
此外，在检验得知方程是显著之后，还需检验方程中哪些变量 x1, x2 , xm
是影响 y 的重要变量，哪些是不重要变量，进而剔除不重要的变量，简化
方程，得到优化回归方程，这就是所谓的对每个变量要进行显著性检验 （t检验）
n
总离差平方和 S总 ( yi y)2 ，自由度为 n 1，如果观测值给定，S总 i 1
i 1
化对 y 的波动，其自由度为 m 。
n
记 S剩 ( yi yˆi )2 称为剩余平方和（或残差平方和），它是由实验 i1
误差以及其他因素引起的。它反映了实验误差以及其他因素对实验结果的
影响程度，其自由度为n m1。
于是
S总 S回 S剩
当 S总确定时， S剩 越小， S回 越大，则 S回 就越接近 S总，于是用 S回 是否接
一组回归系数 b1 ,b2 , bm 值。 设 b1 ,b2 , bm 分别为 0, 1, , m 的最小二乘估计值，于是
有
yˆ b0 b1x1 b2x2 bmxm
其中 yˆ 是 y 的一个最小二乘估计。
下用最小二乘法求b1 ,b2 , bm
令
1 x11 x12 x1m
4、回归分析预测法的步骤
（1）．根据预测目标，确定自变量和因变量 明确预测的具体目标，也就确定了因变量。如预测具体
数学建模-多元线性回归分析
数学建模-多元线性回归分析引言多元线性回归是一种常用的数学建模方法，它用于分析多个自变量和一个因变量之间的关系。
通过寻找最佳的拟合直线，我们可以预测因变量的值，同时还可以了解每个自变量对因变量的贡献程度。
在本文档中，我们将介绍多元线性回归的基本原理、模型拟合和模型评估等内容。
基本原理多元线性回归的基本原理建立在最小二乘法的基础上。
我们假设因变量Y和自变量X之间存在线性关系，即：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βn*Xn其中，Y是因变量，X1、X2、…、Xn是自变量，β0、β1、β2、…、βn是回归系数。
我们的目标是求解最佳的回归系数，使得拟合直线与观测数据之间的残差平方和最小。
模型拟合为了拟合多元线性回归模型，我们首先需要收集足够的数据。
然后，我们可以使用各种统计软件或编程语言来进行模型拟合。
这些软件和语言通常提供了专门的函数或库，用于执行多元线性回归分析。
以Python语言为例，我们可以使用statsmodels库中的OLS函数进行多元线性回归拟合。
下面是一个示例代码：import pandas as pdimport statsmodels.api as sm# 读取数据data = pd.read_csv('data.csv')# 构建自变量矩阵X和因变量YX = data[['X1', 'X2', ... , 'Xn']]Y = data['Y']# 添加常数列X = sm.add_constant(X)# 拟合模型model = sm.OLS(Y, X)results = model.fit()# 输出回归结果print(results.summary())在上面的代码中，我们首先读取了数据集，然后构建了自变量矩阵X和因变量Y。
接下来，我们使用sm.add_constant()函数在自变量矩阵X中添加了一个常数列，用于拟合截距项。
高校数学建模竞赛模型结果预测方法比较分析
高校数学建模竞赛模型结果预测方法比较分析在高校数学建模竞赛中，模型结果的准确预测对于参赛选手至关重要。
不同的预测方法会受到数据处理、模型选择和算法运算等因素的影响。
本文将对比几种常见的高校数学建模竞赛模型结果预测方法，并进行详细分析。
一、回归分析法回归分析法是一种常见的预测方法，其基本思想是通过建立数学模型，利用已有的数据对未知的结果进行预测。
在高校数学建模竞赛中，回归分析法通常用于预测数值型的结果，如预测某个指标的变化趋势或未来的数值。
回归分析法的优点是模型简单易懂，计算速度快。
然而，该方法对数据质量要求较高，需要有足够的样本数据和准确的观测值。
在应用过程中，需要注意选取适当的自变量和合适的函数形式，以减少模型拟合误差。
二、时间序列分析法时间序列分析法是一种以时间为顺序的数据序列为基础进行预测的方法。
在高校数学建模竞赛中，时间序列分析法常用于对某些事件或现象的趋势进行分析和预测。
时间序列分析法的优点是能够利用历史数据进行建模，考虑到数据的时间相关性。
然而，该方法对数据的平稳性和序列的稳定性要求较高，需要进行预处理和差分操作。
此外，时间序列分析法需要根据具体情况选取合适的模型和参数，否则预测结果可能不准确。
三、神经网络法神经网络法是一种模仿人脑神经网络结构与功能进行数据处理和预测的方法。
在高校数学建模竞赛中，神经网络法常用于复杂的非线性模型预测。
神经网络法的优点是能够学习和适应复杂的非线性关系，对数据处理能力强。
然而，该方法需要较多的样本数据来训练网络，且对初始参数的选择比较敏感。
此外，神经网络法在应用过程中容易陷入过拟合问题，需要进行适当的正则化和优化。
四、集成学习法集成学习法是一种将多个基学习器的预测结果进行组合的方法。
在高校数学建模竞赛中，集成学习法常用于降低模型的方差和提高预测的准确性。
集成学习法的优点是能够充分利用不同模型的优势，减少预测结果的波动性。
然而，该方法需要合理选择基学习器和组合方式，并对每个基学习器进行充分训练，否则可能出现过拟合问题。
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什么是回归分析
回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
运用十分广泛，回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
回归分析之一多元线性回归模型案例解析
多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为：
毫无疑问，多元线性回归方程应该为：
上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示：
那么，多元线性回归方程矩阵形式为：
其中：代表随机误差，其中随机误差分为：可解释的误差和不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样）
1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。
2：无偏性假设，即指：期望值为0
3：同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等
4：独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。
今天跟大家一起讨论一下，SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。
通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型。
数据如下图所示：（数据可以先用excel建立再通过spss打开）
点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面：
将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个自变量拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的结果：（所有的自变量，都会强行进入）
如果你选择“逐步”这个方法，将会得到如下图所示的结果：（将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选，最先进入回归方程的“自变量”应该是跟“因变量”关系最为密切，贡献最大的，如下图可以看出，车的价格和车轴跟因变量关系最为密切，符合判断条件的概率值必须小于0.05，当概率值大于等于0.1时将会被剔除）
“选择变量(E)" 框内，我并没有输入数据，如果你需要对某个“自变量”进行条件筛选，可以将那个自变量，移入“选择变量框”内，有一个前提就是：该变量从未在另一个目标列表中出现！，再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可，如下图所示：
点击“统计量”弹出如下所示的框，如下所示：
在“回归系数”下面勾选“估计，在右侧勾选”模型拟合度“和”共线性诊断“两个选项，再勾选“个案诊断”再点击“离群值”一般默认值为“3”，（设定异常值的依据，只有当残差超过3倍标准差的观测才会被当做异常值）点击继续。
提示：
共线性检验，如果有两个或两个以上的自变量之间存在线性相关关系，就会产生多重共线性现象。
这时候，用最小二乘法估计的模型参数就会不稳定，回归系数的估计值很容易引起误导或者导致错误的结论。
所以，需要勾选“共线性诊断”来做判断
通过容许度可以计算共线性的存在与否？容许度TOL=1-RI平方或方差膨胀因子（VIF): VIF=1/1-RI平方，其中RI平方是用其他自变量预测第I个变量的复相关系数，显然，VIF 为TOL的倒数，TOL的值越小，VIF的值越大，自变量XI与其他自变量之间存在共线性的可能性越大。
提供三种处理方法：
1：从有共线性问题的变量里删除不重要的变量
2：增加样本量或重新抽取样本。
3：采用其他方法拟合模型，如领回归法，逐步回归法，主成分分析法。
再点击“绘制”选项，如下所示：
上图中：
DEPENDENT( 因变量）ZPRED(标准化预测值）ZRESID(标准化残差）DRESID(剔除残差）ADJPRED(修正后预测值）SRSID(学生化残差）SDRESID(学生化剔除残差）
一般我们大部分以“自变量”作为X 轴，用“残差”作为Y轴，但是，也不要忽略特殊情况，这里我们以“ZPRED（标准化预测值）作为"x" 轴，分别用“SDRESID（血生化剔除残差）”和“ZRESID(标准化残差）作为Y轴，分别作为两组绘图变量。
再点击”保存“按钮，进入如下界面：
如上图所示：勾选“距离”下面的“cook距离”选项（cook 距离，主要是指：把一个个案从计算回归系数的样本中剔除时所引起的残差大小，cook距离越大，表明该个案对回归系数的影响也越大）
在“预测区间”勾选“均值”和“单值”点击“继续”按钮，再点击“确定按钮，得到如下所示的分析结果：(此分析结果，采用的是“逐步法”得到的结果）。