函数的连续性()PPT课件
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高等数学-函数的连续性课件.ppt
(1)在x=1处有定义；
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、 函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、 函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初
值的差 就叫做变量u的增量 记作
即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的
当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、 函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、 函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初
值的差 就叫做变量u的增量 记作
即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的
当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。
函数的连续性及极限的应用PPT教学课件
一、矛盾是事物发展的源泉和动力
(一)、矛盾的同一性和斗争性 （1）什么是矛盾
①含义：
反映事物内部对立和统一的哲学范畴，
简言之，矛盾就是对立统一。
剪之— 你死我亡——一绳系两命 — 统一— 两者的命运统一于一条绳 — 对立— 两者之间随时都可能相斗 —
不剪— 冤家路窄——利益有冲突 —
矛盾：事物自身包含的既对 立又统一的关系
（４）矛盾同一性与斗争性的关系：
区别：
矛盾的同一性是相对的，斗争性是绝对的
联系：
①同一性离不开斗争性，同一以差别和对立为前提。
②斗争性寓于同一性之中，并为同一性所制约。 ③矛盾双方既对立又统一，由此推动事物的运动、变 化和发展。
试一试：
材料一：酿酒窖泥奇臭，酿出的名酒特香，香鲸的 粪便恶臭，燃烧后却香味浓郁。
第四节 函数的连续性 及极限的应用
高三备课组
知识点
1.函数在一点连续的定义:
如果函数f(x)在点x=x0处有定义，xlimx0 f(x)存在，且
lim
x x0
f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续.
2．.函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三 个条件.
((21))函数xlimfx(0xf)(在x)存点在x=；x0处有定义；
7.特别注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x) 在x=x0处有极限的联系与区别。 “连续必有极限，有极限未必连续。”
点击双基
1.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有 定义的_________条件.
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分又不必要
２.下列图象表示的函数在x=x0处连
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第4章 函数的连续性
§1 连续函数的概念
一、函数在一点的连续性 二、间断点的分类 三、区间上的连续函数
前页 后页 返回
一、函数在一点的连续性
定义1 设函数 f ( x)在点 x0 的某邻域内有定义 , 且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
(1)
则称 f ( x)在点 x0 连续.
由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续
对任意的e 0, 存在 0,当 x x0 , 时 f ( x) f ( x0 ) e ,
则称 f ( x) 在点 x0 连续. 为了更好地刻划函数在点x0的连续性, 下面引出 连续性的另外一种表达形式. 设 x x x0,
y y y0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ).
又如：函数
x,
f
(
x
)
a,
x0 (a 0)
x0
在 x 0 处不连续, 这是因为 lim f ( x) 0 f (0). x0 y
a
O
x
前页 后页 返回
函数 f ( x) sgn x 在点 x 0 处不连续, 这是因为
极限 limsgn x 不存在. x0
由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数e ,
x0
1
所以 x 0 是 f ( x) 的
一个可去间断点 .
O
x
前页 后页 返回
注 1. 对于任意函数 g( x) ,若它在 x x0 处连续 ， 那么函数
g( x),
F(x)
一个可去间断点.
前页 后页 返回
2. 跳跃间断点：若
lim f ( x) A,
x x0
lim f ( x) B
一、函数在一点的连续性 二、间断点的分类 三、区间上的连续函数
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一、函数在一点的连续性
定义1 设函数 f ( x)在点 x0 的某邻域内有定义 , 且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
(1)
则称 f ( x)在点 x0 连续.
由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续
对任意的e 0, 存在 0,当 x x0 , 时 f ( x) f ( x0 ) e ,
则称 f ( x) 在点 x0 连续. 为了更好地刻划函数在点x0的连续性, 下面引出 连续性的另外一种表达形式. 设 x x x0,
y y y0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ).
又如：函数
x,
f
(
x
)
a,
x0 (a 0)
x0
在 x 0 处不连续, 这是因为 lim f ( x) 0 f (0). x0 y
a
O
x
前页 后页 返回
函数 f ( x) sgn x 在点 x 0 处不连续, 这是因为
极限 limsgn x 不存在. x0
由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数e ,
x0
1
所以 x 0 是 f ( x) 的
一个可去间断点 .
O
x
前页 后页 返回
注 1. 对于任意函数 g( x) ,若它在 x x0 处连续 ， 那么函数
g( x),
F(x)
一个可去间断点.
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2. 跳跃间断点：若
lim f ( x) A,
x x0
lim f ( x) B
无穷小量函数的连续性优质课件
1
lim
x0
ex
ln(
1
2 3
sin
x2
x)
1
lim
x0
x
ln(1
2 3
x2
sin
x)
lim
2 3
sin
x
2
2024/7/26 x0
x
3
ln(1 x) ~ x(x 0)
21
1 2 cos x
[例7]
lim
?
x
3
sin(
x
3
)
[解] 作变换
x u,
则
x u
3
3
并且,当x 时, u 0
又
2024/7/26
32
定义3： （ 函数在区间上的连续性）
(1) 若 函 数 f ( x) 在 开 区 间(a, b)的 每 一 点 处 都 连 续,则 称 f ( x) 在 开 区 间 (a, b)内 连 续. 记 作 f C(a, b)
(2) 若 函 数 f ( x) 在 开 区 间(a, b)内 连 续,
lim x lna lna x0 x
a x 1 ~ x lna (x 0)
2024/7/26
20
[例6]
(3 2sin x)x 3x
lim
x0
tan 2 x
?
[解]
(3 2sin x)x 3x
lim
x0
tan 2 x
ex 1 ~ x(x 0)
lim 3x
x0
(1
2 3
sin x)x x2
称 x0 是 函 数 f 的 一 个 连 续 点;
否 则 称 函 数f 在 点x0 处 间 断,
高中数学(人教版)函数的连续性与间断点课件
（一）概念 （二）分类 （三）举例
可去间断点 f ( x 0 ) f ( x0 )
第一类间断点 f ( x0 )和 f ( x0 )
间断点
都存在
跳跃间断点 f ( x 0 ) f ( x0 )
无穷间断点 第二类间断点 f ( x0 )和 f ( x0 ) 至少一个不存在
1．定义1
2．定义2
3．定义3
4．左连续与右连续 5．性质
（一）函数在一点处连续的概念
1．定义1
2．定义2
3．定义3
4．左连续与右连续 5．性质
y
o
x
y
o
x
y
o
y
x
o
x
y
o
y
x
o
x
y
o
y
x
o
x
增量
u u2 u1
u 0 u2 u1 u 0 u2 u1 u 0 u2 u1
显然
y
1 2
1
lim f ( x ) 1 f (1)
x 1
x 1为其可去间断点
.
o
y
1
1
x
x 1 , x 0 (5) y f ( x ) 0 , x 0 x 1 , x 0
o
f (0 ) 1 ,
f (0 ) 1
.
1
x
x 0 为其跳跃间断点
[a , b ]上连续.
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
微积分第二版课件第七节函数的连续性
断点.
例 函数 y x2 x 2 在 x=1 处无定义，因此 x 1
x=1是该函数的间断点.
间断点分类
第 一 类 间 断 点
x x0 为间断点 但 lim f (x)存在
x x0
可去
lim
x x0
f
( x)存在, 但
f (x0)无定义.
间断
或 lim
x x0
f (x)
lim
x x0
第四节 函数的连续性
问题导言—— 连续与间断 自然界中有许多现象，如气温的变化、河水的流 动、植物的生长等都是随时间连续地变化的. 这种现象 在反映在函数关系上就是函数的连续性.
连续性描述了自然界的渐变现象. 除了渐变现象， 自然界还存在突变现象，突变现象则反映的是函数的 间断特征.
一、连续与间断举例与描述
连
y f (x)
续
点
特
征
x0
y f (x)
y f (x)
x0
lim f (x) f (x0)
x x0
x0
lim f (x) lim f (x)
x x0
x x0
(1) f (x)在x x0处有定义
(2) lim f (x) lim f (x)
x x0
x x0
(3) lim
x x0
f (x)
f (x)
f (x0)
跳跃 间断
lim f (x) lim f (x)
x x0
x x0
第 二 类 间 断 点
x x0 为间断点 但 lim f (x) 至
x x0
少有一个不存在
无穷 间断
lim f (x) 或 lim f (x)
例 函数 y x2 x 2 在 x=1 处无定义，因此 x 1
x=1是该函数的间断点.
间断点分类
第 一 类 间 断 点
x x0 为间断点 但 lim f (x)存在
x x0
可去
lim
x x0
f
( x)存在, 但
f (x0)无定义.
间断
或 lim
x x0
f (x)
lim
x x0
第四节 函数的连续性
问题导言—— 连续与间断 自然界中有许多现象，如气温的变化、河水的流 动、植物的生长等都是随时间连续地变化的. 这种现象 在反映在函数关系上就是函数的连续性.
连续性描述了自然界的渐变现象. 除了渐变现象， 自然界还存在突变现象，突变现象则反映的是函数的 间断特征.
一、连续与间断举例与描述
连
y f (x)
续
点
特
征
x0
y f (x)
y f (x)
x0
lim f (x) f (x0)
x x0
x0
lim f (x) lim f (x)
x x0
x x0
(1) f (x)在x x0处有定义
(2) lim f (x) lim f (x)
x x0
x x0
(3) lim
x x0
f (x)
f (x)
f (x0)
跳跃 间断
lim f (x) lim f (x)
x x0
x x0
第 二 类 间 断 点
x x0 为间断点 但 lim f (x) 至
x x0
少有一个不存在
无穷 间断
lim f (x) 或 lim f (x)
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.5 函数的连续性
而2 ∈ [− 5, 5]，所以 5 − 2 = 5 − 22 = 1。
→2
(2)因为函数 =
+(4−)
是初等函数，其定义域为[0,9)
−3
而4 ∈ [0,9) ∪ (9, +∞)，所以
+(4−)
−3
→4
=
4 + 0
2−3
∪ (9, +∞)，
(0 , (0 ))处没有断开；在区间(, )内连续的几何意义是：在区间(, )
内曲线 = ()的图像是一条连绵不断的曲线.
3、初等函数的连续性
定理2 如果函数()与()在点0 处连续，那么这两个函数的和
() + ()、差() − ()、积()()、商
=1 − 0 = 1 − 0 = 0 + − 0 .
2、函数连续的定义
定义2
设函数 = ()在点0 的某个邻域内有定义，如果当
自变量 在点0 处的增量 → 0时，函数 = ()相应的增量
= (0 + ) − (0 ) → 0，即
由此可得：初等函数在其定义区间内某点的极限，恰好等于该点处的函
数值. 即如果初等函数()在点0 处连续，那么 = 0 .
→0
例2
计算下列极限。
(1) 5
→2
− 2
(2)
+(4−)
−3
→4
解 (1)因为函数 = 5 − 2 是初等函数，其定义域为[− 5, 5]，
= (0 + ) − (0 ) = 0，
→0
→0
那么称函数 = ()在点0 处连续.
该定义表明，函数 = ()在点0 处连续的直观意义为
→2
(2)因为函数 =
+(4−)
是初等函数，其定义域为[0,9)
−3
而4 ∈ [0,9) ∪ (9, +∞)，所以
+(4−)
−3
→4
=
4 + 0
2−3
∪ (9, +∞)，
(0 , (0 ))处没有断开；在区间(, )内连续的几何意义是：在区间(, )
内曲线 = ()的图像是一条连绵不断的曲线.
3、初等函数的连续性
定理2 如果函数()与()在点0 处连续，那么这两个函数的和
() + ()、差() − ()、积()()、商
=1 − 0 = 1 − 0 = 0 + − 0 .
2、函数连续的定义
定义2
设函数 = ()在点0 的某个邻域内有定义，如果当
自变量 在点0 处的增量 → 0时，函数 = ()相应的增量
= (0 + ) − (0 ) → 0，即
由此可得：初等函数在其定义区间内某点的极限，恰好等于该点处的函
数值. 即如果初等函数()在点0 处连续，那么 = 0 .
→0
例2
计算下列极限。
(1) 5
→2
− 2
(2)
+(4−)
−3
→4
解 (1)因为函数 = 5 − 2 是初等函数，其定义域为[− 5, 5]，
= (0 + ) − (0 ) = 0，
→0
→0
那么称函数 = ()在点0 处连续.
该定义表明，函数 = ()在点0 处连续的直观意义为
高中数学(人教版)第4章函数的连续性连续函数的性质课件
数学分析 第四章 函数的连续性
§1 连续函数的性质
一、连续函数的局部性质
二、闭区间上连续函数的 性质 三、反函数的连续性 四、一致连续性
*点击以上标题可直接前往对应内容
在本节中 , 我们将 介绍连续函数的局部 性质与整体性质 .熟练 地掌握和运用这些性 质是具有分析修养的 重要标志.
§1 连续函数的性质
证 因为 f 在 x0 连续, 所以对正数 0 f (x0 ) r , 存在 0, 当 x ( x0 , x0 ) 时, 有 | f ( x ) f ( x0 ) | 0 f ( x0 ) r , 于是证得 f ( x ) r 0.
连续函数的局部性质
所谓连续函数局部性质就是指: 若函数 f 在点x0 连续(左连续或右连续), 则可推知 f 在点 x0 的某 个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保 号性、四则运算的保连续性等性质.
连续函数的局部 性质
后退 前进 目录 退出
连续函数的局部 性质
定理4.2（局部有界性）
若函数 f 在点 x0 连续， 则f 在某邻域U ( x0 ) 上有界.
连续函数的局部 性质
(2) 若 g( u) 在 u0 连续 , lim f ( x ) u0 , 则有
x x0
x x0
lim g ( f ( x )) g ( u0 ) g ( lim f ( x )).
x x0
(* )
事实上,只要补充定义(或者重新定义) f ( x0 ) u0
定理4.6（最大、最小值定理）
若函数 f ( x ) 在闭区间[a, b]上连续， 则 f ( x ) 在[a, b]上有最大、最小值.
这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的
§1 连续函数的性质
一、连续函数的局部性质
二、闭区间上连续函数的 性质 三、反函数的连续性 四、一致连续性
*点击以上标题可直接前往对应内容
在本节中 , 我们将 介绍连续函数的局部 性质与整体性质 .熟练 地掌握和运用这些性 质是具有分析修养的 重要标志.
§1 连续函数的性质
证 因为 f 在 x0 连续, 所以对正数 0 f (x0 ) r , 存在 0, 当 x ( x0 , x0 ) 时, 有 | f ( x ) f ( x0 ) | 0 f ( x0 ) r , 于是证得 f ( x ) r 0.
连续函数的局部性质
所谓连续函数局部性质就是指: 若函数 f 在点x0 连续(左连续或右连续), 则可推知 f 在点 x0 的某 个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保 号性、四则运算的保连续性等性质.
连续函数的局部 性质
后退 前进 目录 退出
连续函数的局部 性质
定理4.2（局部有界性）
若函数 f 在点 x0 连续， 则f 在某邻域U ( x0 ) 上有界.
连续函数的局部 性质
(2) 若 g( u) 在 u0 连续 , lim f ( x ) u0 , 则有
x x0
x x0
lim g ( f ( x )) g ( u0 ) g ( lim f ( x )).
x x0
(* )
事实上,只要补充定义(或者重新定义) f ( x0 ) u0
定理4.6（最大、最小值定理）
若函数 f ( x ) 在闭区间[a, b]上连续， 则 f ( x ) 在[a, b]上有最大、最小值.
这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的
关于函数的连续性的课件
值．
y
O
a
x1
x2 b
x
2.6 函数的连续性
课堂小结
（1）函数在一点处连续的定义． （2）判定函数在一点处是否连续：
方法1：由定义说明；方法2：由图象直观说明． （3）闭区间上连续函数的性质．
想一想 函数在某一点的极限与连续有何关系？
作业：
P98 习题2.6 1，3
（2）lim f ( x) 存在 x x0
（3）
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
如果函数 y f ( x) 在点 x x0 处及其附近有定义，而且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) ，
就说函数 f ( x) 在点 x0 处连续．
2.6 函数的连续性
例题讲解
例 讨论下列函数在给定点处的连续性：
2.6 函数的连续性
新余市第一中学 艾青梅
2.6 函数的连续性
新授课 （1）水银柱高度随温度的改变而连续变化.
2.6 函数的连续性
（2）“神州四号”飞船，发射后的位移与时间的函数是连续变化的
2.6 函数的连续性
（3）邮费随邮件重量的增加而作阶梯式的增加；
业务种类 信函
国际邮件资费（单位：元）
亚太地区信函减低资费7.10元
计费单位 20克及20克以下 20克以上至50克 50克以上至100克 100克以上至250克 250克以上至500克 500克以上至1000克 1000克以上至2000克
资费标准 4.40 8.20 10.40 20.80 39.80 75.70 123.00
2.6 函数的连续性
新授课 观察下列图形回答： （1）函数 f ( x)在点 x x0 是否有定义？
y
O
a
x1
x2 b
x
2.6 函数的连续性
课堂小结
（1）函数在一点处连续的定义． （2）判定函数在一点处是否连续：
方法1：由定义说明；方法2：由图象直观说明． （3）闭区间上连续函数的性质．
想一想 函数在某一点的极限与连续有何关系？
作业：
P98 习题2.6 1，3
（2）lim f ( x) 存在 x x0
（3）
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
如果函数 y f ( x) 在点 x x0 处及其附近有定义，而且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) ，
就说函数 f ( x) 在点 x0 处连续．
2.6 函数的连续性
例题讲解
例 讨论下列函数在给定点处的连续性：
2.6 函数的连续性
新余市第一中学 艾青梅
2.6 函数的连续性
新授课 （1）水银柱高度随温度的改变而连续变化.
2.6 函数的连续性
（2）“神州四号”飞船，发射后的位移与时间的函数是连续变化的
2.6 函数的连续性
（3）邮费随邮件重量的增加而作阶梯式的增加；
业务种类 信函
国际邮件资费（单位：元）
亚太地区信函减低资费7.10元
计费单位 20克及20克以下 20克以上至50克 50克以上至100克 100克以上至250克 250克以上至500克 500克以上至1000克 1000克以上至2000克
资费标准 4.40 8.20 10.40 20.80 39.80 75.70 123.00
2.6 函数的连续性
新授课 观察下列图形回答： （1）函数 f ( x)在点 x x0 是否有定义？
函数的极限函数的连续性PPT教学课件
一暴（ pu） 十寒：
比喻做事不坚持，无 恒心
拒人千里:
形容对人态度傲慢
鲁国打算让乐正子治理国政。 孟子说：“听到这消息，我喜欢得睡不着觉。” 孟子的学生公孙丑问：“乐正子很有能力吗？有智慧 有远见吗？见闻广博吗？” 孟子说：“不是。” 公孙丑问：“那您为什么喜欢得睡不着呢？” 孟子回答说：“因为他能听取别人的意见。能听取别 人的意见就足以治理天下，四面八方的人会不远千里 赶来提意见；听不進别人的意见，说：‘喔喔，你说 的我早就知道了！’‘喔喔’的声音和脸色就会把别 人拒绝在千里之外。有志之士在千里之外停滞不前， 而那些阿谀奉承的人就会到来，想治理好国家，能办 得到吗？”
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
C.自己不喜欢做的事更 不应强加于人 D.准备充分才能做事完美 E.对人要守诚信 F.为人要光明磊落
G.要管好别人首先要 管好自己
H.兴趣是学习最好 的推动力
孟子名言
1.恻隐之心， 人皆有之 2.生于忧患，死于安乐 3.尽 信 书 不 如 无 书 4.不以规矩，不成方圆 5.仁者无敌 6.君子不怨天，不尤人 7.爱人者，人恒爱之； 敬人者，人恒敬之
室.他为何要在我家弹瑟啊? "
登堂入室:
表示学业已达一定程度 或是已得到老师专授指点
有人指责孟子不尽力帮助齐王。孟子便解 释说：“比如说，天下有些易活的植物， 假如把它放在太阳下晒一天，然后再把它 放在阴冷的地方冻十天，即使是生命力再 强的植物也会死。我见到齐王的机会少之 又少，即使给了他些良好的影响与帮助， 我一离开，一些和我主张不同的人，又带 给他许多不好影响。我怎么能使齐王的思 想、品质好起来呢？”
比喻做事不坚持，无 恒心
拒人千里:
形容对人态度傲慢
鲁国打算让乐正子治理国政。 孟子说：“听到这消息，我喜欢得睡不着觉。” 孟子的学生公孙丑问：“乐正子很有能力吗？有智慧 有远见吗？见闻广博吗？” 孟子说：“不是。” 公孙丑问：“那您为什么喜欢得睡不着呢？” 孟子回答说：“因为他能听取别人的意见。能听取别 人的意见就足以治理天下，四面八方的人会不远千里 赶来提意见；听不進别人的意见，说：‘喔喔，你说 的我早就知道了！’‘喔喔’的声音和脸色就会把别 人拒绝在千里之外。有志之士在千里之外停滞不前， 而那些阿谀奉承的人就会到来，想治理好国家，能办 得到吗？”
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
C.自己不喜欢做的事更 不应强加于人 D.准备充分才能做事完美 E.对人要守诚信 F.为人要光明磊落
G.要管好别人首先要 管好自己
H.兴趣是学习最好 的推动力
孟子名言
1.恻隐之心， 人皆有之 2.生于忧患，死于安乐 3.尽 信 书 不 如 无 书 4.不以规矩，不成方圆 5.仁者无敌 6.君子不怨天，不尤人 7.爱人者，人恒爱之； 敬人者，人恒敬之
室.他为何要在我家弹瑟啊? "
登堂入室:
表示学业已达一定程度 或是已得到老师专授指点
有人指责孟子不尽力帮助齐王。孟子便解 释说：“比如说，天下有些易活的植物， 假如把它放在太阳下晒一天，然后再把它 放在阴冷的地方冻十天，即使是生命力再 强的植物也会死。我见到齐王的机会少之 又少，即使给了他些良好的影响与帮助， 我一离开，一些和我主张不同的人，又带 给他许多不好影响。我怎么能使齐王的思 想、品质好起来呢？”
一fx在点x的连续-PPT课件
理的结论不一定正确。例如，考虑在开区间（a，b） 上 y 2 x ，它在（a，b）上，既无最大值，也无最 小值；
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( 2 ) 如果函数在闭区间上有间断点，定理的的结论
x1, 当0x1时;
不一定正确，例如，函数 f (x) 1, 当x1时;
x3, 当1x2 时
第九节 目录 上页 下页 返回 结束
性质2 最大值和最小值定理 若函数f (x)在闭区间[a，b]上连续，则函数f (x)在 [a，b]上必能取得最大值M和最小值m，也就是 说，对一切x ∈ [a，b] ，成立m ≤ f (x) ≤M。
对最大值最小值定理应注意以下两点： ( 1 )如果函数不是在闭区间而是在开区间上连续，定
f (x)
=
s in
1 x
的振荡间断点
如图所示
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三、f (x)在区间上的连续性
1. 区间上的连续函数 如果函数 f (x) 在某区间上的每一点都连续，则 称 f (x) 为该区间上的连续函数，该区间称为函 数 f (x) 的连续区间。
定理1 初等函数在其定义区间上的每一点都连续，即 初等函数是其定义区间上的连续函数
定义在闭区间[0，2]上，x=1是它的间断点，该函
数在[0，2]上既取不到最大值，也取不到最小值。 性质 3 中间值定理（介值定理）
若函数f (x)在闭区间[a，b]上连续，则它在[a，b]
上一定能取到最大值M和最小值m 之间的任何一 个中间值 C，即存在 xp [a,b] ，使 f (xp ) C.
处连续。
若f ( x) 在点 x 0 处不连续，则f ( x) 在点 x 0
处间断，称 x 0 为 f ( x) 的间断点。
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( 2 ) 如果函数在闭区间上有间断点，定理的的结论
x1, 当0x1时;
不一定正确，例如，函数 f (x) 1, 当x1时;
x3, 当1x2 时
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性质2 最大值和最小值定理 若函数f (x)在闭区间[a，b]上连续，则函数f (x)在 [a，b]上必能取得最大值M和最小值m，也就是 说，对一切x ∈ [a，b] ，成立m ≤ f (x) ≤M。
对最大值最小值定理应注意以下两点： ( 1 )如果函数不是在闭区间而是在开区间上连续，定
f (x)
=
s in
1 x
的振荡间断点
如图所示
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三、f (x)在区间上的连续性
1. 区间上的连续函数 如果函数 f (x) 在某区间上的每一点都连续，则 称 f (x) 为该区间上的连续函数，该区间称为函 数 f (x) 的连续区间。
定理1 初等函数在其定义区间上的每一点都连续，即 初等函数是其定义区间上的连续函数
定义在闭区间[0，2]上，x=1是它的间断点，该函
数在[0，2]上既取不到最大值，也取不到最小值。 性质 3 中间值定理（介值定理）
若函数f (x)在闭区间[a，b]上连续，则它在[a，b]
上一定能取到最大值M和最小值m 之间的任何一 个中间值 C，即存在 xp [a,b] ，使 f (xp ) C.
处连续。
若f ( x) 在点 x 0 处不连续，则f ( x) 在点 x 0
处间断，称 x 0 为 f ( x) 的间断点。
函数的连续性(课件
数学上，如果函数$f(x)$在点$x_0$处的极限值为$f(x_0)$，即 $lim_{x to x_0} f(x) = f(x_0)$，则称$f(x)$在点$x_0$处连续。
函数在区间上的连续性
函数在区间上的连续性是指，对于该区间内的任意一点，函数在该点都连续。如 果一个函数在某个闭区间$[a, b]$内的每一点都连续，则称该函数在区间$[a, b]$ 上连续。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
闭区间上的连续函数满足中值定理， 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值相等，则该函数在这个区间内 至少有一个不动点。
闭区间上的连续函数具有介值性质， 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值异号，则该函数在这个区间内 至少有一个零点。
连续函数在无穷区间上的性质
连续函数在无穷区间上可以取到无穷大或无穷小 的值。
一致连续性
总结词
如果一个函数在其定义域内的任意两点x1 和x2，当x1趋近于x2时，函数值也趋近于 相同值，则称该函数一致连续。
VS
详细描述
一致连续性是连续函数的一个重要性质， 它表明函数在定义域内的任意两点之间的 变化都是均匀的。一致连续的函数在定义 域内不会出现剧烈的波动或间断，因此其 性质比较稳定。这个性质在解决一些数学 问题时也非常有用，例如求解函数的极限 等。
连续函数与不等式的关系
连续函数在定义域内的单调性可以用来证明不等 式。
3
利用连续函数证明不等式的方法
通过构造函数、利用函数的单调性、求导数等手 段，将不等式问题转化为连续函数的性质问题。
利用连续函数解决实际问题
实际问题的数学模型
实际问题通常需要建立数学模型进行描述和求解。
连续函数与实际问题的关系
函数在区间上的连续性
函数在区间上的连续性是指，对于该区间内的任意一点，函数在该点都连续。如 果一个函数在某个闭区间$[a, b]$内的每一点都连续，则称该函数在区间$[a, b]$ 上连续。
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闭区间上的连续函数满足中值定理， 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值相等，则该函数在这个区间内 至少有一个不动点。
闭区间上的连续函数具有介值性质， 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值异号，则该函数在这个区间内 至少有一个零点。
连续函数在无穷区间上的性质
连续函数在无穷区间上可以取到无穷大或无穷小 的值。
一致连续性
总结词
如果一个函数在其定义域内的任意两点x1 和x2，当x1趋近于x2时，函数值也趋近于 相同值，则称该函数一致连续。
VS
详细描述
一致连续性是连续函数的一个重要性质， 它表明函数在定义域内的任意两点之间的 变化都是均匀的。一致连续的函数在定义 域内不会出现剧烈的波动或间断，因此其 性质比较稳定。这个性质在解决一些数学 问题时也非常有用，例如求解函数的极限 等。
连续函数与不等式的关系
连续函数在定义域内的单调性可以用来证明不等 式。
3
利用连续函数证明不等式的方法
通过构造函数、利用函数的单调性、求导数等手 段，将不等式问题转化为连续函数的性质问题。
利用连续函数解决实际问题
实际问题的数学模型
实际问题通常需要建立数学模型进行描述和求解。
连续函数与实际问题的关系
《连续性与间断点》课件
连续函数与无穷间断点
定义
无穷间断点是指函数在该点的极 限为无穷大。
举例
$f(x) = frac{1}{x}$在x=0处存在无 穷间断点，因为lim(x->0)f(x)=∞ 。
性质
无穷间断点会破坏函数的连续性， 因为该点的极限为无穷大。
PART 04
连续性与间断点的应用
利用连续性判断函数性质
总结词
连续函数与跳跃间断点
定义
性质
跳跃间断点是指函数在该点的左右极 限不相等，即函数在该点处发生“跳 跃”。
跳跃间断点会破坏函数的连续性，因 为该点的左右极限不相等。
举例
$f(x) = begin{cases} x, & x leq 0 2x, & x > 0 end{cases}$在x=0处存 在跳跃间断点，因为lim(x>0+)f(x)=0!=lim(x->0-)f(x)=0。
在某一点左侧和右侧的函数值相 等，即$f(x_{0} - 0) = f(x_{0} + 0)$，则称$x_{0}$为函数$f(x)$的 可去间断点。
描述
可去间断点是间断点中最容易处 理的一种，可以通过补充定义使 得函数在该点连续。
第二类间断点（跳跃间断点、无穷间断点）
定义
在某一点左侧和右侧的函数值不相等，即$f(x_{0} - 0) neq f(x_{0} + 0)$，则称 $x_{0}$为函数$f(x)$的跳跃间断点。如果函数值在某一点趋于无穷，则称该点为 无穷间断点。
详细描述
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多实际问题 需要用到连续性与间断点的概念。例如，在物理学中 的速度、加速度、力的变化规律分析中，可以利用连 续性来描述平滑的变化过程；在经济学中的供需关系 、价格形成机制中，可以利用间断点来描述市场价格 的突变和调整。此外，在信号处理、图像处理等领域 中，连续性与间断点的概念也具有重要应用价值。
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y
-
o
x 10
1.第一类间断点 如果 f(x)在x 点 0处的左、右
存在 , 则称 x0为 点函f(x 数 )的第一类 . 间断
1)跳跃间断点 f(x 0 0 ) f(x 0 0 )
2)可去间断点 xl im x0f(x)A,但(1)Af(x0), 或(2)f(x)在点 x0处无定义 则称x点 0为函f数 m 2 )2 f(0),
x 0
x 0
右连续但不左连续 ,
故函 f(x)在 数x点 0处不 . 连续
-
7
4.连续函数与连续区间
f(x)在(a,b)内连续: x 0 (a ,b )f,(x )在 x 0 连续
f(x)在闭[a区 ,b]上 间连 : 续
(1)f(x)在 (a,b)连续
( 2 ) A f ( x 0 ) 或 A f ( x 0 )
-
2
设 xxx0, yf(x )f(x 0),
x x 0 就 x 是 0 , f(x ) f(x 0 ) 就 y 是 0 .
定义 2.9中xl ixm 0f(x)f(x0)可写成 limy0
x0
定2.9 义 可写 :设 成 函 yf(数 的 x)定D 义 x0, D 域 , 若 lx i0m y0,则f(x 称 )在 x0连. 续
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
-
11
例5 讨论函数
2 x, 0 x 1,
f (x)
1,
x1
1 x , x 1,
在 x 1的连续性
y y1x
2 y2 x
1
o1
x
lim f(x)2 f(1), x 0为函数的可去间.断点
x 1
令f(1)2,
y
则f(x)2 x, 0x1, 1x, x1,
性质2.14
函 f ( x ) 在 x 0 处 数 f ( x 0 连 0 ) f ( x 0 0 ) 续 f ( x 0 )
-
6
例2
讨论f函 (x)数 x x 2 2,,
x0, 在 x0处的 x0,
连续 . 性
解 lifm (x ) li(x m 2 )2f(0),
x 0
x 0
(x)存在但不等于 f (x0).
则称函数f (x)在点x0处不连续(或间断), 并称点x0为
f (x)的不连续点(或间断点).
例 3f(x)x(x2) x24 的间断点 _1_个 , 数 (x2)(x1)
间断_点 x_=2_为 .__
例4
讨论f(函 x) 1 数 x x ,,
x0,在 x0处的.连续 x0,
在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点。
★
f(x)11,,
当x是有理,数时 当x是无理,数时
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.
-
15
12/16
例8 当 a取何,值时
函数 f(x) a cox xs,,
x0, x0,
在 x0处连 . 续
解 f(0)a,
f(00)lim coxs 1, x 0
-
3
例 1 ： 证 明 y x 2 在 x x 0 处 连 续
证明：limVylim[
Vx0
Vx0
x0
Vx
2 x02]
Vlixm 0[2x0Vx(Vx)2]0
yx2在xx0处连续
-
4
例1 试证函 f(x数 )xsin1x, x0, 在x0 0, x0,
处连. 续
证 limxsin10,
这种情况称为无穷断间点.
例7 讨论f(函 x)s数 i1 n在 x0处的连 . 续 x
解 在x0处没有,定义
且limsin1不存.在 x0 x
y sin 1 x
x0为第二类间. 断点
这种情况称为振荡间断 点.
注意 不要以为函数的间断点只能是个别的几个点.
★ 狄利克雷函数
yD(x)10,,
当x是有理,数时 当x是无理,数时
f(00 )li(m ax ) a, x 0
四、函数的连续性
(一)、连续的定义
1.函数的增量
设函 f(x)在 数 O (x0)内有, 定 xO 义 (x0), xxx0, 称为自x 变 0的量 增 . 在 量点
y f ( x ) f ( x 0 )称 , f ( 为 x ) 相 函 x 的 应 . 数
y
y
yf(x)
yf(x)
y y
x
x
(2)lifm (x)f(a) x a
(3)lim f(x)f(b ) x b
若f(x)在定义域内连续,则称f(x)为连续函数.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
定理2.3: 基本初等函数在定义域内都是连续的.
-
8
(二)、函数的间断点及类型
函数 f(x)在点 x0处连续必须满条 足件 :的三个
x0
x
又f(0)0, lim f(x)f(0), x 0
由定义2.9知
函f数 (x)在 x0处连 . 续
-
5
3.单侧连续 若f(函 x )在 (a ,x 数 0 ] 内有 ,且 f(x 0 定 0 ) f(x 义 0 ),
则 f(x ) 称 在 x 0 处 点左 ; 连续
若f(函 x )在 [x 0 ,b 数 ) 内有 ,且 f(x 0 定 0 ) f(x 义 0 ), 则 f(x ) 称 在 x 0 处 点右 . 连续
(1)f(x)在x点 0处有;定(2)义 xl ixm 0 f(x)存在 ;
(3)x l ix0m f(x)f(x0).
定义:设y f (x)在x0处满足下面三条件之, 一
(1) f (x)在x0的去心邻域内有定,但 义在x0无定义.
(2) lim f (x)不存在 xx0
(3) lim xx0
f
0 x 0 x0 x x 0 x 0 x0 x x
-
1
2.连续的定义
定2.义 9设函 yf数 (的 x) 定D 义 x0, 域 D , 为 若 x l ix0m f(x)f(x0)则 , f(称 x)在 x0连.续
x0称为 f(x)的连续 . 点
与limf(x)A定义的区别 : 在于 xx0 x l ix0m f(x)A:(1)f(x)在 x0可以无 . 定义
在x1处连.续
-
2 1
o1
x 12
2.第二类间断点 如果 f(x)在点 x0处的左、 右极限至少有 在,一 则个 称x不 点 为存 函数
0
f(x)的第二类.间断点
例6 讨论函 f(x) 数 1 x, x0,在 x0处的连 . 续
x, x0,
y
解 f(00)0, f(00),
x 0为函数的第二类间断.点 o x