函数的连续性()PPT课件

y
-
o
x 10
1.第一类间断点 如果 f(x)在x 点 0处的左、右
存在 , 则称 x0为 点函f(x 数 )的第一类 . 间断
1)跳跃间断点 f(x 0 0 ) f(x 0 0 )
2)可去间断点 xl im x0f(x)A,但(1)Af(x0), 或(2)f(x)在点 x0处无定义 则称x点 0为函f数 m 2 )2 f(0),
x 0
x 0
右连续但不左连续 ,
故函 f(x)在 数x点 0处不 . 连续
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4.连续函数与连续区间
f(x)在(a,b)内连续: x 0 (a ,b )f,(x )在 x 0 连续
f(x)在闭[a区 ,b]上 间连 : 续
(1)f(x)在 (a,b)连续
( 2 ) A f ( x 0 ) 或 A f ( x 0 )
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2
设 xxx0, yf(x )f(x 0),
x x 0 就 x 是 0 , f(x ) f(x 0 ) 就 y 是 0 .
定义 2.9中xl ixm 0f(x)f(x0)可写成 limy0
x0
定2.9 义 可写 :设 成 函 yf(数 的 x)定D 义 x0, D 域 , 若 lx i0m y0,则f(x 称 )在 x0连. 续
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
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例5 讨论函数
2 x, 0 x 1,
f (x)
1,
x1
1 x , x 1,
在 x 1的连续性
y y1x
2 y2 x
1
o1
x
lim f(x)2 f(1), x 0为函数的可去间.断点
x 1
令f(1)2,
y
则f(x)2 x, 0x1, 1x, x1,
性质2.14
函 f ( x ) 在 x 0 处 数 f ( x 0 连 0 ) f ( x 0 0 ) 续 f ( x 0 )
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例2
讨论f函 (x)数 x x 2 2,,
x0, 在 x0处的 x0,
连续 . 性
解 lifm (x ) li(x m 2 )2f(0),
x 0
x 0
(x)存在但不等于 f (x0).
则称函数f (x)在点x0处不连续(或间断), 并称点x0为
f (x)的不连续点(或间断点).
例 3f(x)x(x2) x24 的间断点 _1_个 , 数 (x2)(x1)
间断_点 x_=2_为 .__
例4
讨论f(函 x) 1 数 x x ,,
x0,在 x0处的.连续 x0,
在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点。
★
f(x)11,,
当x是有理,数时 当x是无理,数时
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.
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例8 当 a取何,值时
函数 f(x) a cox xs,,
x0, x0,
在 x0处连 . 续
解 f(0)a,
f(00)lim coxs 1, x 0
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3
例 1 ： 证 明 y x 2 在 x x 0 处 连 续
证明：limVylim[
Vx0
Vx0
x0
Vx
2 x02]
Vlixm 0[2x0Vx(Vx)2]0
yx2在xx0处连续
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4
例1 试证函 f(x数 )xsin1x, x0, 在x0 0, x0,
处连. 续
证 limxsin10,
这种情况称为无穷断间点.
例7 讨论f(函 x)s数 i1 n在 x0处的连 . 续 x
解 在x0处没有,定义
且limsin1不存.在 x0 x
y sin 1 x
x0为第二类间. 断点
这种情况称为振荡间断 点.
注意 不要以为函数的间断点只能是个别的几个点.
★ 狄利克雷函数
yD(x)10,,
当x是有理,数时 当x是无理,数时
f(00 )li(m ax ) a, x 0
四、函数的连续性
(一)、连续的定义
1.函数的增量
设函 f(x)在 数 O (x0)内有, 定 xO 义 (x0), xxx0, 称为自x 变 0的量 增 . 在 量点
y f ( x ) f ( x 0 )称 , f ( 为 x ) 相 函 x 的 应 . 数
y
y
yf(x)
yf(x)
y y
x
x
(2)lifm (x)f(a) x a
(3)lim f(x)f(b ) x b
若f(x)在定义域内连续,则称f(x)为连续函数.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
定理2.3: 基本初等函数在定义域内都是连续的.
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(二)、函数的间断点及类型
函数 f(x)在点 x0处连续必须满条 足件 :的三个
x0
x
又f(0)0, lim f(x)f(0), x 0
由定义2.9知
函f数 (x)在 x0处连 . 续
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5
3.单侧连续 若f(函 x )在 (a ,x 数 0 ] 内有 ,且 f(x 0 定 0 ) f(x 义 0 ),
则 f(x ) 称 在 x 0 处 点左 ; 连续
若f(函 x )在 [x 0 ,b 数 ) 内有 ,且 f(x 0 定 0 ) f(x 义 0 ), 则 f(x ) 称 在 x 0 处 点右 . 连续
(1)f(x)在x点 0处有;定(2)义 xl ixm 0 f(x)存在 ;
(3)x l ix0m f(x)f(x0).
定义:设y f (x)在x0处满足下面三条件之, 一
(1) f (x)在x0的去心邻域内有定,但 义在x0无定义.
(2) lim f (x)不存在 xx0
(3) lim xx0
f
0 x 0 x0 x x 0 x 0 x0 x x
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1
2.连续的定义
定2.义 9设函 yf数 (的 x) 定D 义 x0, 域 D , 为 若 x l ix0m f(x)f(x0)则 , f(称 x)在 x0连.续
x0称为 f(x)的连续 . 点
与limf(x)A定义的区别 : 在于 xx0 x l ix0m f(x)A:(1)f(x)在 x0可以无 . 定义
在x1处连.续
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2 1
o1
x 12
2.第二类间断点 如果 f(x)在点 x0处的左、 右极限至少有 在,一 则个 称x不 点 为存 函数
0
f(x)的第二类.间断点
例6 讨论函 f(x) 数 1 x, x0,在 x0处的连 . 续
x, x0,
y
解 f(00)0, f(00),
x 0为函数的第二类间断.点 o x