安徽省合肥168中学2014届高三最后一卷 数学理试题 Word版含答案

安徽省合肥168中学2014届高三最后一卷
理科数学试题
本试卷分第 I 卷 (选择题)和第Ⅱ卷，满分150分，考试时间120分钟
第 I 卷 (选择题共50分 )
一、选择题(每小题5分,共50分，每小题只有一个选项是符合题目要求的) 1.已知集合{
}{
}
R x y y N x x x M x
∈==≥=,2,2
，则M
N = ( )
A ．]1,0(
B ．）（1,0
C ．)1,0[
D ．]1,0[ 2. 设集合A={x |
1
x
x ≤-0},B={x |0＜x ＜3},那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3．设函数∈+=a x a x x f (3cos 3sin )(Ｒ）满足)6
()6(
x f x f +=-π
π
，则a 的值是( )
A ．3
B.2
C.1
D.0
4. 执行如图中的程序框图，若输出的结果为21,则判断框中应填（ ） A. i < 5 B. i <6 C. i < 7 D. i < 8
5.设
2 0(4sin cos ),n x x dx π
=+⎰则二项式1
()n x x
-的展开式中x 的系数为
（ ）
A ．4
B ．10
C ．5
D ．6 6.已知各项为正数的等差数列{}n a 的前20项和为100，那么714a a ⋅的最大值为
A.25
B.50
C.100
D.不存在
7．已知实数x ,y 满足条件0,
0,1,
x y x y x -⎧⎪
+⎨⎪⎩≥≥≤
则1()2x y -的最大值为( )
A. 0
B.
21 C.2
3
- D. 1 8. 已知双曲线2
2
13
y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为 （ ）
俯视
（第11
A ．2- B.81
16
-
C.1
D.0
9.设i =(1,0)，j =(0,1)，若向量a 满足|a －2i |+|a －j |=5，则|a +2j |的取值范围是（ ）
A.[]3,22
B.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡22,556 C. []
4,5 D. ⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎣⎡3,556 10.如图，在三棱锥ABC P -中,PC PB PA ,,两两互相垂直，且2,2,3===PC PB PA ,设
M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：),,()(p n m M f =，其中p n m ,,分别表示三棱锥
PAC M PBC M PAB M ---,,的体积，若)4,,1()(y x M f =，且
81≥+y
a
x 恒成立，则正实数a 的最小值是（ ） A . 22- B .
2
1
22- C.
4
2
49- D. 246-
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填在横线上） 11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
12.已知函数⎩⎨⎧>≤-=)
0()0(1
4)(x e
x x x f x
，若方程0)(=-kx x f
至少有一个实根，则实数k 的取值范围 ．
13.已知函数,1
2
)(1+=x x f ))(()(11x f f x f n n =+,且2)0(1-)0(a +=n n
n f f ，则}{a n 通项公式为 ．
14.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心， AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量的最小值为则μλμλ++=,AC ． 15. 已知函数1()()e x a
f x a x
=
-∈R ．若存在实数m ，n ，使得()
0f x ≥的解集恰为[],m n ，则a 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共有6个小题，共计75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本题满分12分）
已知函数()sin(),(0,0,(0,))2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>>∈的部分图象如图所示，其中点P
是图象的一个最高点。

(Ⅰ) 求函数()f x 的解析式； (Ⅱ) 已知)23,(ππα∈,且56)1252(=-παf ，求()2
f α
17．（本题满分12分）
如图，斜三棱柱111C B A ABC -，已知侧面C C BB 11与底面ABC 垂直且∠BCA =90°，∠160B BC =，1BB BC ==2，若二面角C B B A --1为30°， （Ⅰ）证明:1111AAC C BB C C ⊥面平面及求1AB 与平面11AAC C 面所成角的正切值；
（Ⅱ）在平面B B AA 11内找一点P ，使三棱锥C BB P 1-为正三棱锥，并求此时1111P AA C C P BB C C
V V --的值。

18. （本题满分12分）
在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽N 个人的血，可以用两种方法进行.(1)将每个人的血分别去验，这就需N 次.(2)按k 个人一组进行分组，把从k 个人抽出来的血混在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k 个人的血液都呈阴性反应，这样，这k 个人的血就只需验一次.若呈阳性，则再对这k 个人的血液分别进行化验.这样，这k 个人的血总共要化验k+1次.假设每个人化验呈阳性的概率为p ，且这些人的试验反应是相互独立的. (Ⅰ)设以k 个人为一组时，记这k 个人总的化验次数为X ，求X 的分布列与数学期望；
A
B
C
1
1
1
A C B
(Ⅱ)设以k 个人为一组，从每个人平均需化验的次数的角度说明，若1.0=p ，选择适当的k ，按第二种方法可以减少化验的次数，并说明k 取什么值时最适宜。

(取105.09.0ln -=)
19. （本题满分13分）
如图，(1,1)S 是抛物线为2
2(0)y px p =>上的一点，以S 为圆心，r 为半径（1r <<）
做圆，分别交x 轴于A ，B 两点，连结并延长SA 、SB ，分别交抛物线于C 、D 两点。

(Ⅰ)求证：直线CD 的斜率为定值；
(Ⅱ)延长DC 交x 轴负半轴于点E ，若EC : ED = 1 : 3，求sin 2cos CSD CSD ∠+∠的值。

20. （本题满分13分）
已知函数()()x b a x x f ln +=在()()1,1f 处的切线方程为012=--y x . （Ⅰ）求实数b a ,的值；
（Ⅱ）当0>x 时，()tx x f >+1恒成立，求整数t 的最大值； （Ⅲ）试证明：()()()(
)()*
-∈>++++N n e n n
3
23
2
2
1212121
21. （本题满分13分）
若函数)(x f 定义域为R ,取R x ∈0并且1() ()n n x f x n N +=∈，则称{}n x 是)(x f 的迭
代数列。

已知{}n a ，{}n b 均是21
()2f x x =+的迭代数列，,1∑==n k k n a S ,1
∑==n
k k n b T 。

（Ⅰ）对任意, x y R ∈且x y ≠，求证：1
()()4
f x f y x y -<- （Ⅱ）求证： 3
2<
-n n T S )(+∈N n
（Ⅲ）求证：存在唯一实数t 满足3
2<
-nt S n )(+∈N n
合肥一六八中学2014届高三最后一卷
数学试题 (理科)答案
一、
选择题
1、A
2、D
3、D
4、C
5、B
6、A
7、B
8、A
9、 D 10、C 二、填空题
11、[)+∞,1 13、1)21(+-n 14、21 15、），（e
1
,0
16、答案：（1）)3
2sin(2)(π
+=x x f (6)
分
（2）5
3
34)2
(+-
=α
f …………12分 17、解：（Ⅰ）面C C BB 11⊥面ABC ，因为面C C BB 11⋂面C C BB 11＝BC ，BC AC ⊥， 所以⊥AC 面C C BB 11．易得1111AAC C BB C C ⊥面平面 ……………3分
取1BB 中点E ，连接AE CE ,，在1CBB ∆中，0
1160,2=∠==CBB CB BB
1CBB ∆∴是正三角形，1BB CE ⊥∴，又⊥AC 面C C BB 11且⊂1BB 面C C BB 11， AE BB ⊥∴1，即CEA ∠即为二面角C B B A --1的平面角为30°，⊥AC 面C C BB 11，
CE AC ⊥∴，在ECA Rt ∆ 中，130tan ,30=⋅=∴=CE AC CE ，取1CC 中点D ，连接1,AD B D
，
1B DA
∴∠即
1
AB 与面
11AAC C
所成的线面角，
11tan B D DAB AD ∠=
=
……………8分 （Ⅱ）在CE 上取点1P ，使
1
2
11=E P CP ，则因为CE 是BC B 1∆的中线， 1P ∴是BC B 1∆的重心，在ECA ∆中，过1P 作P P 1//CA 交AE 于P ， ⊥AC 面C C BB 11，P P 1//CA
⊥∴1PP 面1CBB ，即P 点在平面1CBB 上的射影是1BCB ∆的中心，该点即为所求，
且311=AC PP ，311=∴PP ．1111P AA C C
P BB C C
V V --=2 ……………12分
18、解： (1)
1])1(1[+--=k p k EX …………
…6分
(2)即k k f k 1
9.01)(+
-=小于1且取得最小值时，就能得到最好的分组方法。

21
9.0ln 9.0)('k
k f k --=单调递增，且0035.0)3('<-=f ，0006.0)4('>=f
且
)
4()3(f f >，
所
以
4
=k 最适
宜 ……………12分
19、解（1）将点（1，1）代入px y 22=，得 12=p ∴抛物线方程为x y =2
设)1(1-=-x k y SA 的方程为直线，),(11y x C 与抛物线方程x y =2 联立得：
012
=-+-k y ky k y 1
11=
+∴111-=∴k y )11,)1((22--∴k
k k C 由题意有
SB
SA =，
k SB -∴的斜率为直线
2
1)1()1(1
1
112
22
2-
=+--++-=∴k k k k k k K CD
……………6分
（2）设)0,(t E = )11,)1((31)11,)1((2
2
22---+=---∴k t k k k t k k )11(3
111--=-k
k
2=∴k 12-=∴x y SA 的方程为直线 )0,2
1
(A ∴
同理)0,23(B 53
2cos cos 222=
⋅-+=∠=∠∴SA SB AB SB SA ASB CSD ∴4sin 5CSD ∠=，24sin 225CSD ∠=
， 因此：39
sin 2cos 25CSD CSD ∠+∠=
……………13分
20、解：（Ⅰ） ()()x b a x x f ln +=
(),
ln b a x b x f ++='∴
直线012=--y x 的斜率为2，且过点()1,1
()()1,12111==⇒⎩
⎨⎧='=∴b a f f (4)
分
（Ⅱ）当0x >时，
由()tx x f >+1()()()[]x
x x x x f t +++=
+<
⇒1ln 111在(0,)+∞上恒成立， 取1()[1ln(1)]x h x x x
+=++，则2
)
1ln(1)(x x x x h +--=' 再取()1ln(1),g x x x =--+1()10,11
x
g x x x '=-=>++
故()g x 在(0,)+∞上单调递增，
而(1)ln 20,(2)1ln 30,(3)22ln 20g g g =-<=-<=->， 故()0g x =在(0,)+∞上存在唯一实数根(2,3),1ln(1)0a a a ∈--+=， 故(0,)x a ∈时，()0;(,)g x x a <∈+∞时，()0,g x >
∴[]min 1
()1ln(1)1(3,4),3,a h x a a k a
+=
++=+∈≤ 故max 3k = ……………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
1ln(1)3333
(0)ln(1)122111x x x x x x x x x
++>>⇒+>-=->-+++
令,2n x =则()n n 2
3212ln ->+，又()()()()[]
n
21212121ln 32++++
()()()()
n 21ln 21ln 21ln 21ln 3++++++++= ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++->n n 2121
2
1213232
3
221132->⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--=n n n 即：
()()()()()*-∈>++++N n e n n 323221212121 (13)
分
21、一.证明（1）
2222
()()(2)(2)(2)(2)
x y x y
f x f y x y x y x y x y ++-=
-≤⋅-++++ 222222222(1)2(1)1
04(2)(2)4(2)(2)
x y x y x y x y x y ++-+--=>++++ 221(2)(2)4
x y x y +∴<++ 又x y ≠
1
()()4
f x f y x y ∴-<
- （注：此题也可构造函数判断单调性解决） ……………4分
（2） 由第（1）题结论知：11111)41
(41b a b a b a k k k k k -≤≤-≤
---- )(01a f a = )(01b f b = 1102x ∴<≤ 2101≤<b ∴ 2
1
11<-b a
∴1)4
1
(21-<-k k k b a 对任意正整数k 成立，
∴
32
)41(3232)4
1(21)(1111
<
-=<-≤-=
--===∑∑∑n k n
k n k k k n
K k k
n n y a b a
T S
)(+∈N n ……………8分
（3）记x x f x F -=)()(，易知0)0(>F ，0)1(<F )(x F ∴存在零点t x = 即)(t f t =，由第（1）题结论知：t a t f a f t a k k k -≤
-=---114
1
)()( ∴t a t a t a k k k -≤≤-≤
---111)41(41 )(01a f a = )(t f t = 2101≤<a 210<<t ∴ 211<-t a ∴1)4
1
(21-<-k k t a 对任意正整数k 成立，
32
)41(3232)4
1(21)(1111<-=<-≤-=
--===∑∑∑n k n
k n k k
n K k n t a t a nt S )(+∈N n
假设还存在另一个实数/t 满足3
2/<
-nt S n )(+∈N n ∴ n
nt S n nt S n nt S S nt n t t n n n n 34
111///<
-+-≤-+-=-对任意正整数n 成立， ∴ 0/≤-t t 即/t t =这与/t t ≠相矛盾！ ∴ 合题意的实数t 存在且唯
一。

……………13分
2014.5。