参数方程与极坐标(精华版)

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参数方程与极坐标

参数方程与极坐标参数方程是指用参数表示的一组函数方程，极坐标则是用角度和半径来表示点的坐标系统。

这两种坐标系统在数学和物理等领域中具有广泛应用。

本文将介绍参数方程和极坐标的概念、性质以及它们的应用领域。

一、参数方程1. 参数方程的概念参数方程是指将变量用参数表示的函数方程。

通常用参数t表示，例如在二维平面上，一个曲线的参数方程可以表示为：x = f(t), y = g(t)2. 参数方程的性质参数方程具有以下性质：- 参数方程可以表示一些常规方程无法表示的图形，如螺旋线等。

- 参数方程可以简化复杂的曲线方程，将其分解为一系列简单的参数方程。

- 参数方程可以描述随时间变化的物体运动，例如质点的运动轨迹。

- 参数方程适用于描述具有对称性的图形，如心形线等。

3. 参数方程的应用参数方程在多个领域中都有应用，包括数学分析、物理学和计算机图形学等。

例如在物理学中，参数方程可以用来描述粒子在电场和磁场中的运动轨迹；在计算机图形学中，参数方程可以用来生成平滑的曲线和曲面。

二、极坐标1. 极坐标的概念极坐标系统是用角度和半径来表示二维平面上的点的坐标系统。

一个点的极坐标可以表示为(r, θ)，其中r为点到极坐标原点的距离，θ为点与极坐标正半轴的夹角。

2. 极坐标的性质极坐标具有以下性质：- 极坐标可以用于描述圆形、半径为r的圆、螺旋线等曲线。

- 极坐标可以简化极坐标下复杂函数的表示，例如指数函数在极坐标下具有较简单的形式。

- 极坐标下的积分和微分计算更加方便，适用于某些特定的数学问题。

3. 极坐标的应用极坐标在多个领域中都有应用。

在物理学中，极坐标可用于描述粒子在强磁场中的运动；在地理学中，极坐标可用于描述地球表面上的某点的位置；在工程学中，极坐标可用于描述旋转机械中的运动。

三、参数方程与极坐标的关系参数方程与极坐标是可以相互转换的。

对于平面曲线的参数方程，可以通过参数方程的参数化形式得到极坐标的形式，反之亦然。

参数方程与极坐标

参数方程与极坐标参数方程和极坐标是数学中常用的描述平面曲线的两种方法。

两者分别适用于不同类型的曲线，并且在不同的数学领域中都有广泛的应用。

下面将详细介绍参数方程和极坐标。

1.参数方程参数方程是用参数形式描述曲线的方程。

一条平面曲线可以用参数方程表示为：x=f(t)y=g(t)其中x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。

通过改变参数t的取值，我们可以获得曲线上的各个点。

参数方程的优点是可以轻松地描述一些复杂的曲线，例如椭圆、双曲线、直角坐标系不容易表示的曲线等。

此外，参数方程也常用于描述运动学问题，其中x和y可以表示物体在不同时间点的位置。

然而，参数方程也有一些限制。

一条曲线可以有多种不同的参数方程表示，而同一条曲线也可能存在无穷多个参数方程。

因此，在使用参数方程时，需要选择恰当的参数范围以确保曲线的完整性和正确性。

2.极坐标极坐标是一种描述平面上点的方法，其中每个点由一个距离和一个角度组成。

极坐标系中，坐标轴被称为极轴，原点为极点，极轴正方向为极角为0的方向。

一个点的极坐标可以用(r,θ)表示，其中r是点到极点的距离，θ是点相对极轴的角度。

通过改变r和θ的取值，我们可以获得平面上的各个点。

极坐标的优点在于能够简洁地表示出具有对称特点的曲线，例如圆、椭圆、双曲线等。

此外，极坐标也常用于描述极坐标系下的物体运动，其中r和θ可以表示物体在不同时间点的位置。

然而，极坐标也有一些局限性。

极坐标系不适用于描述直线和垂直于极轴的曲线。

此外，极坐标系下的计算也相对复杂，需要进行数学变换来转换为直角坐标系进行计算。

3.参数方程与极坐标的关系参数方程和极坐标是可以相互转换的。

对于一个曲线的参数方程x=f(t)，y=g(t)，我们可以将x和y转换为极坐标r和θ，从而得到曲线的极坐标方程。

设x=r*cos(θ)，y=r*sin(θ)，则有：r*cos(θ) = f(t)r*sin(θ) = g(t)通过这个转换，我们可以将一个曲线从参数方程转换为极坐标方程，并反过来。

极坐标和参数方程

极坐标和参数方程
【实用版】
目录
一、极坐标的概念与基本公式
二、参数方程的概念与基本公式
三、极坐标与参数方程的转换关系
四、极坐标和参数方程在实际问题中的应用
正文
一、极坐标的概念与基本公式
极坐标是一种平面直角坐标系的替代方法，用来表示平面上点的位置。

在极坐标系中，一个点的位置由一个长度（半径）和一个角度来表示。

半径表示点到原点（极点）的距离，角度表示从极轴逆时针旋转到连接极点和该点的线段的角度。

极坐标的基本公式如下：
x = ρ * cos(θ)
y = ρ * sin(θ)
其中，x 和 y 分别表示点的横纵坐标，ρ表示半径，θ表示角度。

二、参数方程的概念与基本公式
参数方程是一种用参数来表示曲线上点的方法。

参数方程由一组参数方程和一组普通方程组成。

参数方程表示曲线上某一点的位置，普通方程表示参数方程中参数的取值范围。

参数方程的基本公式如下：
x = x(t)
y = y(t)
其中，x(t) 和 y(t) 表示曲线上某一点的横纵坐标，t 表示参数。

三、极坐标与参数方程的转换关系
极坐标和参数方程之间可以互相转换。

从极坐标转换为参数方程，需要先求出极坐标的导数，然后将极坐标方程化为普通方程。

从参数方程转换为极坐标，需要先求出参数方程的极坐标方程，然后将普通方程化为极坐标方程。

四、极坐标和参数方程在实际问题中的应用
极坐标和参数方程在实际问题中有广泛应用，例如在物理学、工程学、计算机图形学等领域。

它们可以简化问题的处理，使得问题更加直观和易于理解。

全参数方程与极坐标(精华版)

参数方程与极坐标参数方程知识回顾：一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数t 的函数，x f （t ）即y f （t ），其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （ x ， y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数t叫做参变数，简称参数. 二、二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程：中心在（x o , y o ）,半径等于r 的圆:{ x r cos特殊地，当圆心是原点时，、y r si n注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。

Eg1 :已知点P (x , y )是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0上的动点，求:（1 ） x 2+y 2的最值；（2 ） x+y 的最值；（3 ）点P 到直线x+y-1=0 的距离d 的最值。

Eg2 :将下列参数方程化为普通方程总结：参数方程化为普通方程步骤：（1 ）消参（2 ）求定义域 2、椭圆的参数方程:中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆:x x 0 rcos 〔y y o rsin（为参数，的几何意义为圆心角）(1 ) x=2+3cosy=3sin1(|3) x=t+ 一t Y 2 1I y=t 2+ ”x=s iny=cos4、抛物线的参数方程:顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线：x 2pt 2y 2pt（t 为参数，p > 0 , t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）直线方程与抛物线方程联立即可得到。

三、一次曲线（直线）的参数方程x a cos y bsin（为参数，的几何意义是离心角，如图角 AON 是离心角）注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆,点的轨迹是椭圆，中心在（x o ，y o ）椭圆的参数方程:X 。

a cos ybsi nxEg :求椭圆36 y=1上的点到 M (2,0)20的最小值。

极坐标与参数方程

极坐标与参数方程极坐标和参数方程是解析几何中的两种常见的坐标系统。

它们在描述曲线、曲面和图形等数学问题中具有重要的应用。

本文将就极坐标和参数方程的定义、特点以及应用做详细介绍。

一、极坐标1.1 定义极坐标是用一个有序的有序对(r, θ)来表示平面上的点P。

其中r表示点P到原点的距离，θ表示点P与X轴正半轴的夹角。

极坐标可以看做是极径和极角的一种表示方式。

1.2 特点极坐标的主要特点在于其描述了点P与原点之间的极径和极角关系，而不是点的直角坐标。

极坐标有助于描述某些特殊的图形特征，如圆、扇形和螺旋线等。

1.3 转换关系极坐标与直角坐标之间存在一定的转换关系。

对于平面上一点P(x,y)，其转换为极坐标(r,θ)的关系如下：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)二、参数方程2.1 定义参数方程又称参数表示法，是用参数的形式描述平面上点的坐标。

对于平面上点P，可以使用一组参数t来表示其坐标(x,y)，即P(x(t),y(t))。

参数方程可以看做是x和y的函数表达。

2.2 特点参数方程的主要特点在于可以通过参数的变化来描述点的轨迹和运动规律。

参数方程常用于描述曲线、线段和曲面等几何形体，同时也在物理学和工程学中广泛应用。

2.3 转换关系直角坐标和参数方程之间也存在转换关系。

对于平面上一点P(x,y)，其对应的参数方程为：x = x(t)y = y(t)三、极坐标与参数方程的应用3.1 几何图形的描述极坐标和参数方程可以更直观地描述某些几何图形。

比如，圆的极坐标方程为(r,θ) = (a, θ)，其中a为半径；直线可用参数方程表示，利用参数t可以描述直线的起点、终点和运动方向。

3.2 物理学中的应用极坐标和参数方程在物理学中有着广泛的应用。

例如，带电粒子在磁场中的运动可通过参数方程来描述；振动系统中的物体位置随时间的变化也可以通过参数方程来表示。

3.3 工程学中的应用工程学中常常需要处理复杂的曲线和曲面。

参数方程与极坐标(精华版)

参数方程与极坐标(精华版)y y tsin注意：倾角为的直线，斜率为tan，所以tan=tan，即tcos=tsin，所以cos=sin，即=45，即直线与x轴或y轴夹45角。

Eg：已知直线L过点（1，2）且与x轴夹45角，求直线L的方程。

解：设直线L的参数方程为x=1+tcos45，y=2+tsin45，即x=1+t/2，y=2+t/2，将y=mx+b代入得到m=1，b=3/2，即直线L的方程为y=x+3/2.四、极坐标1、定义：在平面直角坐标系中，点P到原点O的距离r和OP与x轴正半轴的夹角唯一确定点P的位置，称（r，）为点P的极坐标，r为极径，为极角，记作P（r，）。

2、极坐标与直角坐标的转换x=r cos，y=r sinr2=x2+y2，tan=y/x3、常见曲线的极坐标方程1）圆：r=a2）半直线：=0或=3）双曲线：r=a sec或r=a cosec4）椭圆：r=a bcos或r=a sin5）心形线：r=a(1+cos)6）阿基米德螺线：r=a+b7）对数螺线：r=a e b8）伯努利双曲线：r2=a2 sec29）费马螺线：r=2a sin(/2)10）旋轮线：r=a或r=a sin(n)/sin（n为正整数）总结：极坐标的方程形式比较简单，但是不同曲线的极坐标方程需要记忆，转换成直角坐标系方程需要用到三角函数的知识。

P点的有向距离在点P两侧t的符号相反，可以通过直线的参数方程来表示。

其中，t代表有向距离的几何意义。

需要注意的是，t的符号相对于点P，正负在P点两侧，且|PP|=|t|。

直线参数方程可以有多种变式，比如y=y+tsinα和x=x+at，y=y+bt，但此时t的几何意义不是有向距离。

只有当t前面系数的平方和为1时，t的几何意义才是有向距离。

因此，可以将直线参数方程整理为x=x+a2+b2t，XXX，让a2+b2t作为t，这样t的几何意义就是有向距离了。

例如，对于直线x=-1+3t，y=2-4t，可以求其倾斜角。

高中数学公式——极坐标与参数方程

极坐标与参数方程一、参数方程1.参数方程的概念重点体会参数t 与点M （x ，y ）的一一对应关系。

2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数得到普通方程.注意互化过程中必须使x 、y 的取值范围保持一致。

3．利用22cos sin 1θθ+=将圆、椭圆的普通方程化为参数方程如，圆229x y +=化为参数方程：x y =⎧⎨=⎩ 圆22(1)(2)5x y -++=化为：x y =⎧⎨=⎩ ，椭圆22143x y +=化为：x y =⎧⎨=⎩ 4．直线的参数方程（1）经过点M 00(,)x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为: x y =⎧⎨=⎩（2）参数t 的几何意义：直线l 上的点P 对应的参数为t ，则||t =||PM 。

注：①P 必须是直线l 上的点，很多时候是l 与其他曲线的交点，M 必须是建立参数方程时使用的点M 00(,)x y ；②当点P 在M 的上方是0t >，当点P 在M 的下方是0t <，当点P 与M 重合时0t =。

（3）弦长与中点：直线l 上的点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12||||AB t t =-= ， __________AB t =的中点所对应的参数（4） 1212||||||||||MA MB t t t t =⋅=||||MA MB +=1212121212||,0||||||,0t t t t t t t t t t +>⎧+=⎨-<⎩, （此处不能死记结论，要明白原因）要通过图像或者韦达定理判断12,t t 的符号。

二、极坐标方程1.极坐标系的概念ρ=||OM 叫做点M 的极径, θ= xOM ∠叫做点M 的极角.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ。

一般地,不作特殊说明时, 0ρ≥（后面有过极点的直线另外规定R ρ∈） 2.极坐标和直角坐标的互化(建议结合图像)点直角坐标极坐标互化公式3.一类特殊的直线：过极点（坐标原点）的直线（0απ≤<）直线()R θαρ=∈化为直角坐标方程即表示过原点、倾斜角为α的直线. 如2()3R πθρ=∈，化为直角坐标方程：_______ 如_____________,化为直角坐标方程：3y x =如()2R πθρ=∈，化为直角坐标方程：______注：①对于(,)P ρθ点，0,0,P P ρρ><当时点在极轴上方，当时点在极轴下方②(,)'(,)P P ρθρθ-点与点关于极点对称。

极坐标与参数方程知识点总结大全

极坐标与参数方程知识点总结大全一、极坐标系统极坐标系统是一种用来表示平面上点的坐标系统，它与直角坐标系统相互转化。

在极坐标系统中，一个点的位置由径向和角度两个量来确定。

常用的表示方式为(r, θ)，其中r表示点到原点的距离，称为极径，而θ表示与参考轴（通常为正X 轴）的夹角，称为极角。

极坐标系统与直角坐标系统之间可以通过如下的转换关系相互转化：•直角坐标→ 极坐标：x = r * cos(θ)，y = r * sin(θ)•极坐标→ 直角坐标：r = sqrt(x^2 + y^2)，θ = arctan(y/x)极坐标系统适用于描述旋转对称性的图形，例如圆、花朵等。

二、参数方程参数方程是一种用参数表示函数的方式。

在参数方程中，自变量和因变量都可以是参数。

一般来说，参数方程是将自变量和因变量都用参数表示的方程组。

以平面上的曲线为例，如果将曲线上的点的坐标分别用参数t表示，则曲线上的点的坐标可以表示为(x(t), y(t))。

这种表示方式称为参数方程。

参数方程在描述含有符号导数的曲线段以及曲线段的方向时非常有用。

参数方程可以将复杂的图形分解成多个简单的函数，从而方便进行图形的分析和计算。

它在计算机图形学、物理学、工程学等领域有广泛的应用。

三、极坐标与参数方程的关系极坐标与参数方程之间存在着密切的关系。

可以通过参数方程来描述极坐标系中的曲线。

一个常见的例子是圆的极坐标方程和参数方程的表示。

以圆的极坐标方程为例，极坐标方程为r = a，其中a为圆的半径。

使用参数方程表示时，可以将极坐标方程转化为参数方程x = a * cos(θ)，y = a * sin(θ)。

同样地，通过参数方程也可以得到一些特殊的极坐标曲线，例如r = a *cos(θ)可以表示一条心形曲线。

四、极坐标曲线的绘制在计算机图形学中，可以通过极坐标方程或参数方程来绘制各种各样的曲线。

对于一个极坐标曲线，可以选择一系列的角度值，然后根据极坐标方程或参数方程计算出相应的极径或坐标点，再将这些点连接起来就可以绘制出曲线。

(完整版)极坐标与参数方程知识点总结大全

极坐标与参数方程一、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.练习1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数A ．B ．C ．D ．2323-3232-2．下列在曲线上的点是（）sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数A ．B ．C ．D ．1(,231(,)42-3．将参数方程化为普通方程为（）222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数A ．B ．C ．D ．2y x =-2y x =+2(23)y x x =-≤≤2(01)y x y =+≤≤注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。

应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。

这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。

圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。

4．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。

参数方程与极坐标(精华版)

参数方程与极坐标参数方程知识回顾：一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数，即　，其中，t为参数，并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点⎩⎨⎧==)()(tfytfxM（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．二、二次曲线的参数方程1、圆的参数方程：中心在（x0，y0），半径等于r的圆：（为参数，的几何意义为圆心角），θθsincosryyrxx+=+=θθ特殊地，当圆心是原点时，θθsincosryrx==注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。

Eg1：已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点，求：（1）x2+y2的最值；（2）x+y的最值；（3）点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。

Eg2：将下列参数方程化为普通方程（1） x=2+3cos（2） x=sin（3） x=t+θθt1y=3sin y=cos y=t2+θθ21t总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域2、椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在x轴上的椭圆：（为参数，的几何意义是离心角，如图角AON是离心角）θθsincosbyax==θθ注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M点的轨迹是椭圆，中心在（x0，y0）椭圆的参数方程：θθsincosbyyaxx+=+=Eg ：求椭圆=1上的点到M （2,0）的最小值。

203622y x +3、双曲线的参数方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线：　（为参数，代表离心角），中心在θθtan sec b y a x ==θ（x 0，y 0），焦点在x 轴上的双曲线： θθtan sec 00b y y a x x +=+=4、抛物线的参数方程：顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：（t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）pt y pt x 222==直线方程与抛物线方程联立即可得到。

极坐标和参数方程知识点总结

千里之行，始于足下。

极坐标和参数方程知识点总结极坐标是一种表示平面上点位置的坐标系统，它是由点到原点的距离（称为极径）和点与极轴的夹角（称为极角）所确定的。

在极坐标系中，每个点的坐标可以表示为(r,θ)的形式，其中r为极径，θ为极角。

参数方程是一种用一对参数变量来表示曲线上的点的坐标的方法。

对于平面上的曲线，常用的参数方程形式为x=f(t)和y=g(t)，其中t为参数变量，f(t)和g(t)分别表示x和y的函数关系。

以下是极坐标和参数方程的一些重要知识点总结：1. 极坐标的转换关系：- 直角坐标到极坐标的转换：x=r*cos(θ)，y=r*sin(θ)- 极坐标到直角坐标的转换：r=sqrt(x^2+y^2)，θ=tan^(-1)(y/x)2. 常见曲线的极坐标方程：- 直线：θ=常数- 圆：r=常数- 椭圆：r=a*b/sqrt(b^2*cos^2(θ)+a^2*sin^2(θ))3. 参数方程的表示方式：- 曲线方程：(x,y)=(f(t),g(t))- 曲线长度的计算公式：L=∫sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt4. 参数方程的性质：- 曲线方向：随着参数变量的增大，曲线的运动方向- 曲线对称性：参数方程对称性特点取决于函数f(t)和g(t)的对称性第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

- 曲线切线方向：曲线上某点的切线方向由参数方程的导数决定5. 参数方程与极坐标之间的关系：- 参数方程可以转换为极坐标方程，极径r=f(t)，极角θ=g(t)- 极坐标方程可以转换为参数方程，x=f(θ)*cos(θ)，y=f(θ)*sin(θ)需要注意的是，极坐标和参数方程在一些问题中可以更方便地描述曲线的特性，而在其他问题中直角坐标系可能更适用。

因此，在应用中需要根据具体问题选择合适的坐标系表示。

（完整版）极坐标与参数方程知识点、题型总结（最新整理）

（完整版）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结（最新整理）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结⼀、伸缩变换：点是平⾯直⾓坐标系中的任意⼀点，在变换),(y x P 的作⽤下，点对应到点，称伸缩变换>?='>?=').0(,y y 0),(x,x :µµλλ?),(y x P ),(y x P '''⼀、1、极坐标定义：M 是平⾯上⼀点，表⽰OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极⾓；⼀般地，，。

，点P 的直⾓坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直⾓坐标极坐标 2、极坐标直⾓坐标?cos sin x y ρθρθ=??=??222tan (0)x y y x xρθ?=+??=≠?3、求直线和圆的极坐标⽅程：⽅法⼀、先求出直⾓坐标⽅程，再把它化为极坐标⽅程⽅法⼆、（1）若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的⾓为α，则它的⽅程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆⼼为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆⽅程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0⼆、参数⽅程：（⼀）．参数⽅程的概念：在平⾯直⾓坐标系中，如果曲线上任意⼀点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每⼀个允许值，由这个⽅程所确y x ,t ?==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个⽅程就叫做这条曲线的参数⽅程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。

相对于参数⽅程⽽⾔，直接给出点的坐标间关系的y x ,t ⽅程叫做普通⽅程。

（⼆）．常见曲线的参数⽅程如下：直线的标准参数⽅程1、过定点（x 0，y 0），倾⾓为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的⼏何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t|(2)直线上对应的参数是。

极坐标与参数方程总结

极坐标与参数方程总结在数学中，极坐标和参数方程是两种常见的数学表达方式，它们在解决几何问题、描述曲线等方面有重要的应用。

本文将对极坐标和参数方程进行总结和概述。

一、极坐标（Polar Coordinates）极坐标是一种用距离和角度来确定平面上点位置的坐标系统。

在极坐标中，平面上任一点都可以由两个值来表示：极径（r）和极角（θ）。

其中，极径表示点与原点之间的距离，极角表示该点与固定方向（通常取正右方向）之间的夹角。

极坐标的表示形式为：(r, θ)在极坐标中，我们可以通过一些特定的数学公式将直角坐标系中的点转换为极坐标表示，或者将极坐标转换为直角坐标系表示。

二、参数方程（Parametric Equations）参数方程是一种用参数表示自变量与因变量关系的方程。

在参数方程中，自变量一般由参数 t 表示，因变量则由 t 的函数表示。

参数方程的一般形式为：x = f(t), y = g(t)所以，曲线上的每一个点，都可以通过在参数方程中给定 t 的值，从而计算出对应的 x 和 y 坐标。

参数方程能够描述各种复杂的曲线形状，包括曲线的弯曲程度、方向变化等，常被用于描述曲线、路径和轨迹等问题。

三、极坐标与参数方程的联系极坐标和参数方程在数学描述上有一定的联系，可以通过相互转换来表示同一个曲线或点集。

在一些情况下，将直角坐标系转换为极坐标或参数方程的形式，可以更方便地描述和解决问题。

例如，在极坐标中，圆的方程可以简单地表示为 r = a（其中 a 表示圆的半径），而在参数方程中，圆的方程可以表示为 x = a*cos(t), y = a*sin(t)。

同样地，参数方程也可以转换为极坐标形式。

例如，对于参数方程x = f(t), y = g(t)，可以通过计算 x 和 y 的平方和的平方根得到极坐标中的 r 值，同时通过计算 arctan(y/x) 得到极坐标中的θ 值。

四、应用领域极坐标和参数方程在几何学、物理学、工程学等领域有广泛的应用。

第四节--参数方程和极坐标

利用式(1)、(2)可以把直角坐标方程和极坐标方程进行互化.
例1 将极坐标方程
=2cos
化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线.
解方程两边同乘以得
2 2 cos
则
x2 + y2 = 2x
(x-1)2 + y2 = 1,
所以它表示圆心为(1,0)，半径为1的圆.
例2 将直线 y 2x 化为极坐标.
封闭的，写出该图形所包围的区域极角θ的范围。
1. x2 y2 a2
ra
0 2
2. x2 y a2 a2 3. x a2 y2 a2
4. y 3 x 3
5. y 5x 4
r 2asin 0
r 2a cos
2
2
6
r
4
sin 5cos
6. x2 y 22 1 r 2sin 4sin2 3 2
下面给几个特殊的极坐标方程： (2) 双纽线, 如图极坐标方程为
r2 = a2cos2
化为直角方程为 (x2 + y2)2 = a2(x2 - y2)
y
4
o
ax
4
下面给几个特殊的极坐标方程：
(3) 阿基米德螺线, 如图极坐标方程为
r = a
y
2a
o
x
例试写出下列图形的极坐标表达式，如果图形是
一般地,在直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐
标 x、y 都是某个变量 t 的函数
x f (t)
y
g(t
)
---------(1)
并且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点M
(x,y) 都在这条曲线上,那么方程组(1) 就叫做这条曲线

极坐标和参数方程知识点总结

极坐标和参数方程知识点总结在数学的广阔天地中，极坐标和参数方程是两个独具特色且非常有用的工具。

它们为我们解决各类几何和物理问题提供了新的视角和方法。

接下来，让我们一同深入探索极坐标和参数方程的奥秘。

一、极坐标极坐标是一种用距离和角度来表示平面上点的位置的坐标系统。

在极坐标系中，一个点由极径和极角来确定。

1、极坐标的定义极径：表示点到极点（通常是坐标原点）的距离，用符号ρ 表示。

极角：表示极径与极轴（通常是 x 轴正半轴）所成的角，用符号θ 表示。

2、极坐标与直角坐标的转换（1）直角坐标转极坐标极径ρ ＝√（x²＋ y²)极角θ ＝ arctan(y ／ x) （需要根据点所在的象限确定θ 的取值）（2）极坐标转直角坐标x ＝ρ cosθy ＝ρ sinθ3、常见的极坐标曲线（1）圆圆心在极点，半径为 a 的圆的极坐标方程：ρ ＝ a圆心在点（a, 0)，半径为 a 的圆的极坐标方程：ρ ＝2a cosθ（2）直线过极点且与极轴夹角为α 的直线的极坐标方程：θ ＝α过点（a, 0) 且垂直于极轴的直线的极坐标方程：ρ cosθ ＝ a4、极坐标的应用在物理学中，描述物体的平面运动轨迹，如圆周运动，极坐标常常能使问题简化。

二、参数方程参数方程是通过引入参数来表示曲线或曲面的方程。

1、参数方程的定义对于平面曲线，如果曲线上任意一点的坐标 x 和 y 都可以表示为某个变量 t 的函数，即 x ＝ f(t)，y ＝ g(t)，那么我们称这两个方程为该曲线的参数方程，t 称为参数。

2、参数方程的常见形式（1）直线的参数方程若直线过点（x₀, y₀)，倾斜角为α，则直线的参数方程为：x ＝ x₀＋ t cosαy ＝ y₀＋t sinα （t 为参数）（2）圆的参数方程圆心在点（a, b)，半径为 r 的圆的参数方程为：x ＝ a ＋r cosθy ＝ b ＋r sinθ （θ 为参数）（3）椭圆的参数方程焦点在 x 轴上的椭圆 x²／ a²＋ y²／ b²＝ 1 的参数方程为：x ＝a cosθy ＝b sinθ （θ 为参数）3、参数的几何意义在直线的参数方程中，参数 t 通常具有几何意义，如表示直线上动点到定点的距离。

极坐标与参数方程

极坐标与参数方程1.直角坐标系与极坐标系可以互相转换。

在两个坐标系中取相同的长度单位，将直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴。

对于任意点M，其直角坐标为(x,y)，极坐标为(ρ,θ)，其中ρ表示点M到原点的距离，θ表示点M与极轴的夹角。

它们之间的关系是ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=y/x（当x≠0时）。

2.直线的极坐标方程为ρsin(θ-α)=d，其中d为直线到极点的距离，α为极轴到直线的角度。

对于特殊位置的直线，如过极点的直线、过点M(a,0)且垂直于极轴的直线、过点M(b,π/2)且平行于极轴的直线，它们的极坐标方程分别为θ=α、ρcosθ=a、ρsinθ=b。

3.圆的极坐标方程为2ρ²-2ρr cos(θ-θ0)+r²=0，其中M(ρ,θ)为圆心，r为半径，θ0为极轴与圆心连线的角度。

对于特殊位置的圆，如圆心位于极点且半径为r的圆，其极坐标方程为ρ=r；圆心位于M(r,0)且半径为r的圆，其极坐标方程为ρ=2rcosθ；圆心位于M(r,π/2)且半径为r的圆，其极坐标方程为ρ=2r sinθ。

4.直线的参数方程为x=x0+t cosα，y=y0+t sinα，其中M(x0,y0)为直线上的一点，α为直线倾斜角，t为参数。

5.圆的参数方程为x=x0+r cosθ，y=y0+r sinθ，其中M(x0,y0)为圆心，r为半径，θ为参数，0≤θ≤2π。

6.椭圆的参数方程为x=a cosθ，y=b sinθ，其中a、b为长轴和短轴的长度；抛物线的参数方程为x=2pt²，y=2pt，其中p 为焦距的一半。

1.给定曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ，在以极点为原点、x 轴正半轴为极轴的直角坐标系中，其参数方程为x=2cos(t)，y=2sin(t)。

2.给定曲线C的参数方程为x=t²，y=t，在以原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，其极坐标方程为ρ=tan(θ)。

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、极坐标系在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.二、极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩（对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆；0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线；2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆.(可化直角坐标: 22cos a ρρθ=222x y ax ⇒+=222()x a y a ⇒-+=.)四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:00sin ()()cos 2y y x x απαα-=-≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩,2πα=也成立，故直线的参数方程为00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，动点(,)M x y ，t 为0M M 的数量，向上向右为正(如图16-33所示).五、圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y ，半径为r ，则圆的参数方程为00cos (02)sin x x r y y r θθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.六、椭圆的参数方程椭圆2222C :1x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.七、双曲线的参数方程双曲线2222C :1x y a b -=的参数方程为sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(,)2k k πθπ≠+∈Z .八、抛物线的参数方程抛物线22y px =的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，参数t 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.题型归纳即思路提示题型1 极坐标方程化直角坐标方程思路提示对于极坐标方程给出的问题解答一般都是通过化为直角坐标方程，利用直角坐标方程求解.这里需注意的是极坐标系与直角坐标系建立的对应关系及其坐标间的关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩. 例16.7 在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线6πθ=(ρ∈R )的距离是 .分析将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解.解析极坐标系中的圆4sin ρθ=转化为平面直角坐标系中的一般方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，其圆心为(0,2)，直线6πθ=转化为平面直角坐标系中的方程为：y x =，即0x =.圆心(0,2)到直线0x ==. 变式1 已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=，(0,0)2πρθ≥≤<，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 .变式2 ⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别为4cos ρθ=,4sin ρθ=-.(1)把⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别化为直角坐方程; (2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的直角坐标方程.变式3已知一个圆的极坐标方程是5sin ρθθ=-，求此圆的圆心和半径. 例16.8 极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是（）A. 两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线分析将极坐标方程化为直角坐标方程.解析因为(1)()0(0)ρθπρ--=≥，所以1ρ=或θπ=(0)ρ≥.11ρ=⇒=，得221x y +=，表示圆心在原点的单位圆；(0)θπρ=≥表示x 轴的负半轴，是一条射线.故选C.变式1 极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 参数)所表示的图形分别是( )A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线变式2 在极坐标系中，点(2,)6P π-到直线:sin()16l πρθ-=的距离是 .变式3 直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .题型2 直角坐标方程化为极坐标方程思路提示如果题目中已知的曲线为直角坐标方程，而解答的问题是极坐标系下的有关问题，这里要利用直角坐标与极坐标关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将直角坐标方程化为极坐标方程.例16.9 在直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：22(2)4x y -+=.（1）在以O 为极点，x 轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆1C , 2C 的极坐标方程，并求出圆1C , 2C 的交点坐标（用极坐标表示）;（2）求出1C 与2C 的公共弦的参数方程.解析（1）圆1C 的极坐标方程为2ρ=，圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.24cos ρρθ=⎧⎨=⎩解得2ρ=，3πθ=±，故圆1C 与圆2C 的交点的坐标为(2,),(2,)33ππ-. 注：极坐标系下点的表示不唯一.（2）解法一：由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得圆1C 与圆2C 的交点的坐标分别为.故圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1(x t y t=⎧≤≤⎨=⎩.解法二：将1x =代入cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得cos 1ρθ=，从而1cos ρθ=.于是圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1()tan 33x y ππθθ=⎧-≤≤⎨=⎩.变式1 曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，以原点为极点，x 轴的正半轴为极抽建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 _.题型3 参数方程化普通方程思路提示已知直线或曲线的参数方程讨论其位置关系、性质问题一般要通过消参（代入法、加减法，三角法)转化为普通方程解答.例16.10 若直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是 . 解析将圆的参数方程1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)化为普通方程22(1)(2)1x y -++=，圆心(1,2)-，半径1r =.直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径，|38|15m -+>|5|5m ⇒->，得10m >或0m <，即m 的范围是(,0)(10,)-∞+∞.变式 1 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2]θ∈π），则圆C 圆心坐标为 _，圆心到直线l 的距离为 . 变式2 (2013湖北理16)在庄角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>），在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O 的极坐标方程分别为sin()4πρθ+=（m 为非零数）与b ρ=.若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 . 变式3 参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数）的普通方程是 .例16.11 已知动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=（,a b 是正常数，a b ≠，θ是参数），则圆心的轨迹是 .解析由动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=得222222(cos )(sin )cos sin x a y b a b θθθθ-+-=+.圆心坐标为(cos ,sin )a b θθ（θ为参数），设cos x a θ=，sin y b θ=，则221x y a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22221x y a b +=为所求轨迹方程，所以圆心的轨迹是椭圆.变式1 方程2232(05)1x t t y t ⎧=+⎪≤≤⎨=-⎪⎩表示的曲线是（） A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线变式2 已知直线11cos :sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.(1)当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；(2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点.当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.题型4 普通方程化参数方程思路提示对于直线与圆锥曲线方程化为参数方程问题实质是引入第三个变量的换元法，这里有代数换元（如抛物线22y px =的参数方程222x pt y pt =⎧⎨=⎩）或三角换元（如椭圆22221x y a b +=的参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩）.例16.12 在平面直角坐标系xOy 中，设(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值.分析利用椭圆的参数方程，建立,x y 与参数θ的关系，运用三角函数最值的求法，求解x y +的最大值.解析点(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，则sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），[0,2]θ∈π，则sin x y θθ+=+2sin()3πθ=+，[0,2]θ∈π，故max ()2x y +=.变式1 已知点(,)P x y 是圆2220x y y +-=上的动点.(1)求2x y +的取值范围；(2)若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 变式2 直线l 过(1,1)P ，倾斜角6πα=.（1）写出l 的参数方程；（2）l 与圆224x y +=相交于,A B 两点，求P 到,A B 两点的距离之积.变式3 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)M m 在x 轴的正半轴上，过M 的直线l 与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点.(1)若1m =时，l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2)若存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，求实数m 的取值范围.题型5 参数方程与极坐标方程的互化思路提示参数方程与极坐标方程的互化问题，需要通过普通方程这一中间桥梁来实现，先将参数方程（极坐标方程）化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程（参数方程）.例16.13 已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 .分析把曲线C 的参数方程化为普通方程，求出切线l 的普通方程，然后把求出的直线l 的普通方程化为极坐标方程.解析由22sin cos 1t t +=得曲线C 的普通方程为222x y +=，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为1-，所以切线l 的方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=.把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的方程可得cos sin 20ρθρθ+-=sin()204πθ+-=，化简得sin()4πθ+=变式1 设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 .有效训练题 1.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（）A. 一条射线和一个圆B. 两条直线C. 一条直线和一个圆D. 一个圆 2.圆cos )ρθθ=-的圆心的一个极坐标是（）A. (B. (2,)4πC. 3(2,)4π D. 7(2,)4π3.在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是(2,)4A π，5(2,)4B π.那么顶点C 的坐标可能是（）A. 3(4,)4πB. 3)4πC. )πD. (3,)π4.直线的参数方程为sin 501cos50x t y t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），则直线的倾斜角为（）A. 40B. 50C. 140D.1305.过点(2,3)A 的直线的参数方程为232x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若此直线与直线30x y -+=相交于点B ，则||AB =（）6.设曲线C 的参数方程23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l的点的个数为（） A. 1 B. 2 C.3 D.4 7.已知直线l的极坐标方程为sin()42πρθ-=，圆M 的参数方程为22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，则圆M 上的点到直线l 的最短距离为 .8.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为 . 9.已知抛物线的参数方程为222x pt y pt=⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p = .10.在极坐标系中，O 为极点，已知两点,M N 的极坐标分别为2(4,)3π，)4π,求△OMN 的面积. 11.已知椭圆221164x y +=，O 为坐标原点，,P Q 为椭圆上的两动点，若OP OQ ⊥，求22||||OP OQ +的最大值.12. 已知曲线12cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2247:cos 016C ρθ-+=.（1）若,P Q 分别是曲线1C 和曲线2C 上的两个动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若曲线1C 上与x 轴、y 轴的正半轴分别交于,A B 点，P 是曲线1C 上第一象限内的动点，O 是坐标原点，试求四边形OAPB 面积的最大值.。

极坐标和参数方程知识点总结

极坐标和参数方程知识点总结一、极坐标基础知识极坐标是一种描述平面上点位置的方式，它由两个值组成：极径和极角。

极径表示点到原点的距离，而极角表示点到正半轴的夹角。

二、极坐标与直角坐标系的转换在直角坐标系中，一个点可以用它在x轴和y轴上的投影表示。

而在极坐标系中，一个点可以用它与原点的距离和与正半轴的夹角来表示。

两种坐标系之间可以通过以下公式进行转换：x=r*cosθy=r*sinθ其中，r为极径，θ为极角。

三、常见图形的极坐标方程1. 圆：r=a2. 点：r=03. 直线：θ=k4. 简单叶形线：r=a*cos(2θ)5. 简单心形线：r=a*(1-sinθ)四、参数方程基础知识参数方程是一种描述曲线运动状态的方式，它由两个函数组成：x(t)和y(t)。

这两个函数分别表示曲线上每个点在x轴和y轴上的位置。

五、参数方程与直角坐标系的转换在直角坐标系中，一个曲线可以用y=f(x)的形式表示。

而在参数方程中，一个曲线可以用x(t)和y(t)的形式表示。

两种坐标系之间可以通过以下公式进行转换：x=f(t)y=g(t)其中，t为参数。

六、常见图形的参数方程1. 直线：x=at+b，y=ct+d2. 圆：x=a+r*cosθ，y=b+r*sinθ3. 椭圆：x=a*cosθ，y=b*sinθ4. 双曲线：x=a*secθ，y=b*tanθ七、极坐标与参数方程的联系极坐标和参数方程都是描述曲线运动状态的方式。

它们之间有一定的联系，可以通过以下公式进行转换：r=sqrt(x^2+y^2)tanθ=y/x其中，r为极径，θ为极角。

极坐标与参数方程知识讲解

极坐标与参数方程知识讲解参数方程和极坐标系（一）曲线的参数方程的定义:在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数.（二）常见曲线的参数方程如下：1. 过定点（X o ，y o ），倾角为a 的直线：其中参数t 是以定点P （x o ，y o ）为起点，对应于t 点M （x, y ）为终点的有向线段PM 的数量, 又称为点P 与点M 间的有向距离.根据t 的几何意义，有以下结论.①.设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 t A 和 t B ，则 |AB = |t^t A= J （tBYA ）' -4t A t B .2. 中心在（x o , y o ），半径等于r 的圆:知识要点X=X 0tcos ：y = y 0（t 为参数）（2 .线段AB 的中点所对应的参数值等于t A t Bx =X Q r COST y = y 0 rsin3 •中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：沃 •为参数）（或）1y 二 bs iny = asi nr 丿中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程x]xo：cos[ X-为参数）y = y 0 +bsi na.焦点在x 轴（或y 轴）上的2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③ 长度单位；④角度单位及它的方向.极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数 —对应惟一点P （，），但平面内任一个点P 的极坐标不惟一.一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，PC'，）（极点除外）的全部坐标为C',r + 2k ：J 或（（2k l ）：）,（k Z ）.极点的极径为0,而极角任意取.若5. 线：顶点在原点，焦点在X 轴正半轴上的抛物x =2pt 2y = 2pt （t 为参数， 4. 双曲线:（A 为参数）（或（二为参数）中心在原点，P> 0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （X o, y°）,倾斜角为a的直线的参数方程是其阳瞌；（t为参数）.J3.2极坐标系1、定义：在平面内取一个定点0，叫做极点，引一条射线Ox,叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。