有限单元法的基本知识和地震波传播正演模拟的应用

泊松方程两侧乘以任意函数v(x)，
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相 互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线性 组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为 由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所 有单元上的近似解构成。根据所采用的权函数和插值函数的不同， 有限元方法也分为多种计算格式。从计算单元网格的形状来划分， 有三角形网格、四边形网格和多边形网格。
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线性代数基础
矩阵求逆：
方阵A可逆的充分必要条件是它的行列式不为零，即 det(A) A 0
如果行列式为零，称A为奇异矩阵。
矩阵求逆： 对一个方阵A，如果存在一个矩阵B，使得
AB BA I
则B是A的一个逆矩阵。 当A可逆时，A的逆矩阵为：
A1 1 A det(A)
其中，A*为A的伴随矩阵，由A的代数余子式组成，
W Fds
W 1
2
cij ijkl kl
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有限单元法基础
一维问题：
设有线性方程组
Ax b
设有向量y，y Rn 。一般地，方程组两侧同乘y不改变它的解：
yAx yb
考虑泊松方程：
u(x) f (x)
其中u是标量场，f是源项，一维情况下：
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有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢 慢用于流体力学的数值模拟。
在地球物理领域，有限单元法应用于地震波场模拟、地球动 力学模拟等。由于网格划分的灵活性，特别适用于非常复杂的模 型，如自由地表、复杂边界模型。
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有限单元法简介
有限单元方法是将偏微分方程描述的连续问题进行离散求解的一 种数值方法。 其基本原理是：用简单的块体构造复杂的对象，或将一个复杂的 对象分为用以处理的小块体。 例子：近似圆的面积
地球动力学 地幔对流 3、地电磁学 4、波动传播 5、强震地面运动、地震工程 …
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有限单元法简介
有限单元方法在地球物理中的应用： 1、地壳变形 2、地球物理流体力学
地球动力学 地幔对流 3、地电磁学 4、波动传播 5、强震地面运动、地震工程 …
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线性方程组：
线性代数基础
其中x1、x2、…、xn是待求变量，以上方程组写为矩阵形式：
元方程组，可求得各节点的函数值。 7、计算感兴趣的单元内的函数值。
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有限单元法简介
为什么要用有限单元方法（有限单元方法的优势）： 1、有限单元方法可以对任意形状的问题进行灵活剖分，特别适
用于非常复杂的模型，最早应用于结构力学。 2、有限单元方法是工程中应用最广泛的计算及数值模拟方法。3、 所需要的复杂节点生成可以利用图形界面软件（如CAD）实
Ax b
其中：
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列向量：
线性代数基础
行向量：
矩阵加减运算：
其中：
矩阵相乘运算：
其中：
其中：A：lxm矩阵，B：mxn矩阵，i=1,2,…,l，j=1,2,…,n
一般地：
但是
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特殊矩阵： 矩阵的转置： 对称矩阵： 单位矩阵：
线性代数基础
并且有
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线性代数基础
特殊的行列式：
方阵A的行列式是一个数，表示为 det(A) ，或 A
迭代方法 …
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线性代数基础
正定矩阵：
对于方阵A，如果对所有的非零的向量x，
则A为正定矩阵。
xTAx 0
正定矩阵是非奇异矩阵。
矩阵的微分、积分： 设
A(t) aij (t)
该矩阵对变量t的微分为：
d dt
A(t)


daij (t) dt

相应的积分为：
A(t)dt aij (t)dt
Aij ( 1)i jMij
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线性代数基础
矩阵求逆：
对逆矩阵有:
(AB)1 B1A1
线性方程组求解：对线性方程组 Ax b ，如果A可逆，则 x A1b
线性方程组求解的主要任务是求系数矩阵A的逆矩阵。
常用求解技术，如：
高斯消元法(Gaussian elimination)（对给定的线性方程组施行 初等变换，将其变成一个同解的阶梯形方程组，从而达到求解的 目的。）
现。 4、有很多商用有限单元软件系统可以使用（如：ANSYS、
ADINA、介
有限单元方法的应用： 1、力学、航空、土木工程、汽车工程 2、结构分析（静力学、动力学、线形、非线性） 3、热传导和流体力学 4、电磁学 5、地质力学 6、生物学 …
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有限单元法简介
有限单元方法在地球物理中的应用： 1、地壳变形 2、地球物理流体力学
地球物理数值计算方法
地球物理数值计算方法
Numerical Methods in Geophysics
王彦宾 地球物理学系 2008-2009学年第二学期
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地球物理数值计算方法 第六章 有限单元方法
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有限单元法
地球内部介质，尤其是浅部，存在横向非均匀结构，包括分 层、不规则形状的块体。由于解析方法不能给出这类复杂模型中 的解，因此需要近似的数值求解方法。有限单元方法(Finite Element Method，FEM)是地球物理数值方法中另一种常用到的方 法。
2、将研究对象剖分为简单的块体，即单元。 3、描述每一个单元中的物理量，确定单元基函数，将各个单元
中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近。 4、将所有单元通过节点组合到一起，按一定法则进行累加，形
成总体有限元方程。 5、处理边界条件。 6、采用适当的数值计算方法求解根据边界条件修正的总体有限
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有限单元法基础
有限单元方法最早是为了解决弹性静力学问题而提出来的，因此 一般按照方法的发展历史介绍其基本概念，如单元(elements)、 刚度矩阵(stiffness matrix)等等。
需要的预备知识：
胡克定律（Hooke’s Law）
F Ds
静力平衡原理 功的概念 应变能
Ftot F1 F2 F3
一个三角形的面积：
Si

1 2
R2
sin
θi
圆的面积：
SN

N i 1
Si

1 2
R2N
sin(
2
N
)
N为三角形的个数，当N→∞时，
SN R2
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有限单元法简介
有限单元方法包括以下基本步骤：
1、根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分 方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发 点。