8 4排列组合与二项式定理
排列组合与二项式定理
排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理是概率论和组合数学中重要的概念和定理。
它们在数学、统计学、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍排列组合和二项式定理的概念、性质和应用，并探讨它们之间的关系。
一、排列组合的概念和性质排列和组合是组合数学中的基本概念，用于计算事物的不同排列和组合方式。
1. 排列：排列是指从若干个元素中选择一部分元素按照一定的顺序进行排列。
设有n个元素，要从中选择r个元素进行排列，有P(n,r)种排列方式。
排列的计算公式为P(n,r) = n! / (n-r)!2. 组合：组合是指从若干个元素中选择一部分元素进行组合，不考虑元素的顺序。
设有n个元素，要从中选择r个元素进行组合，有C(n,r)种组合方式。
组合的计算公式为C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)排列和组合的计算公式是基于阶乘的，阶乘表示从1到某个正整数的连乘积。
排列和组合的性质包括交换律、结合律和分配律等。
二、二项式定理的概念和性质二项式定理是代数中的一个重要定理，用于展开二项式的幂。
二项式是两个项的和，形式为 (a + b)^n，其中a和b为实数或变量，n为非负整数。
二项式定理的表达式为：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中C(n,r)为组合数，表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数。
二项式定理的性质包括二项式系数的对称性、二项式系数的递推性和二项式系数与排列组合的关系等。
三、排列组合与二项式定理的应用排列组合和二项式定理在许多领域中有广泛的应用。
1. 概率论：排列组合和二项式定理用于计算事件的可能性和概率。
通过组合数可以计算从一组元素中选择特定数量的元素的概率。
2. 统计学：排列组合和二项式定理用于计算事件的组合和排列数量，从而分析数据的分布和规律。
排列组合二项式定理
排列组合与二项式定理一、排列与组合简介在概率论和组合数学中，排列和组合是两个重要的概念。
排列和组合通常被用来描述从给定的有限集合中选择若干元素的方式。
排列指的是从一组元素中选择若干不同的元素并按照一定的顺序排列的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行排列的方式数目记作P(n, r)。
排列主要有两种情况：1.重复元素情况下的排列，即元素可重复使用。
此时，P(n, r) = n^r.2.不重复元素情况下的排列，即元素不可重复使用。
此时，P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n!/(n-r)!.组合指的是从一组元素中选择若干不同的元素，而不考虑元素的顺序的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行组合的方式数目记作C(n, r)。
组合的计算公式为：C(n, r) = n!/[(n-r)!*r!].二、二项式定理的概念与展开二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理，也是排列组合理论的重要应用。
它用于展开一个二项式的幂。
二项式定理的公式为：(x+y)^n = C(n,0)x ny^0 + C(n,1)x(n-1)y^1 + C(n,2)x(n-2)y^2 + … + C(n,n-1)x1y^(n-1) +C(n,n)x^0y^n.其中，C(n,r)表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数目。
三、二项式定理的解读与应用二项式定理可以用来求解(x+y)^n的展开式中的各项系数。
在展开式中，每一项的系数就是对应的组合数。
举例说明，当n=3时，展开式为：(x+y)^3 = C(3,0)x3y^0 + C(3,1)x2y^1 + C(3,2)x1y^2 + C(3,3)x0y^3.展开后，得到：(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3x y^2 + y^3.可以看出，展开式中的每一项系数正好是对应的组合数。
二项式定理在概率论、组合数学、代数等领域具有广泛的应用。
排列组合与二项式定理
二项式定理的展开式和应用
应用 1. 整数幂运算：利用二项式定理可以将整数幂进行展开，从而简化复杂幂运算。
2. 组合数学：二项式定理与组合数学紧密相连，可用于解决一系列组合计数问题。
二项式定理的展开式和应用
3. 近似计算
在求解近似值时，可以利用二项式定 理对函数进行近似展开，如泰勒公式 就是利用二项式定理进行的展开。
质可用于化简复杂的组合表达式；
递归计算：在某些情况下，可以使用递 归的方法来计算组合数，即$C_n^m = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^m$。递归 的方法虽然效率较低，但在某些特定问
题中较为方便。
通过掌握这些组合的定义和计算方法， 我们能够更好地解决与组合相关的问题 ，并为进一步学习排列、二项式定理等
章节概述
本章将首先介绍排列组合的基本 概念，包括排列和组合的定义、
性质和计算方法。
接着，将介绍二项式定理的定义 和性质，包括二项式展开公式及
其应用。
最后，பைடு நூலகம்通过一些实际问题的例 子，展示如何运用排列组合和二
项式定理来解决这些问题。
CHAPTER 02
排列
排列的定义
有序选取
排列是指从n个不同元素中取出m （m≤n，m和n都是自然数,下同 ）个不同元素，按照一定的顺序 排成一列。
关。
误区2
在应用二项式定理时，忽视了定 理的使用条件。解答：二项式定 理适用于$(a+b)$的整数次方，
且$n$需要为非负整数。
01
03
02 04
疑难1
如何快速计算组合数？解答：可 以使用帕斯卡三角形，每个数都 是上面两数之和，这样可以快速 得到组合数。
疑难2
高考数学新课标复习资料——排列、组合和二项式定理
2008年高考数学新课标复习资料——排列、组合和二项式定理1.两个原理.（1）分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。
它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。
只不过利用分类计算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。
利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。
比较复杂的问题，常先分类再分步,分类相加，分步相乘. （2）一个模型： 影射B A f →:个数若A 有年n 个元素，B 有m 个元素，则从A 到B 能建立nm 个不同的影射①n 件不同物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：nm 种） ②四人去争夺三项冠军，有多少种方法？③从集合A={1，2，3}到集合B={3，4}的映射f 中满足条件f （3）=3的影射个数是多少？ ④求一个正整数的约数的个数 （3）含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n=.如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .2.排列数mnA 中1,n m n m ≥≥∈N 、、组合数m n C 中,1,0,n m n m n m ≥≥≥∈、N . (1)排列数公式!(1)(2)(1)()()!mn n A n n n n m m n n m =---+=≤-；!(1)(2)21n n A n n n n ==--⋅。
如（1）1！+2！+3！+…+n ！（*4,n n N ≥∈）的个位数字为 （答：3）； （2）满足2886xx A A -<的x ＝ （答：8）(2)组合数公式()(1)(1)!()(1)21!!m mn n mm A n n n m n C m n A m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅-；规定01！=，01n C =.如已知16mn mnm n C C A +++=，求 n ，m 的值（答：m ＝n ＝2）(3)排列数、组合数的性质： ①mn m nn C C -=；②111mm m nn n C C C ---=+；从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m nC C C--=⋅一类是不含红球的选法有mn C ）根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有m n m n m n C C C11+-=+.③11kk nn kC nC --=；111111+++=+k n k n C n C k④1121++++=++++r n r n r r r r rrC C C C C ；⑤!(1)!!n n n n ⋅=+-；⑥11(1)!!(1)!n n n n =-++. (4)常用的证明组合等式方法. ① 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-）n.n!=(n+1)!-n! ② 导数法. ③ 数学归纳法. ④倒序求和法. 1321232-=++++n nn n n n n nC C C C一般地：已知等差数列{a n }的首项a 1，公差为d ，a 1C 0n＋a 2C 1n＋a 3C 2n＋…＋a n ＋1C nn=（2a 1＋nd )·2n -1．⑤ 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C .⑥ 构造二项式. 如：n nn n n n C C C C 222120)()()(=+++ 证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中nx 的系数，左边为22110nn n n n n n n n n n n C C C C C C C C ⋅++⋅+⋅+⋅-- ，22120)()()(n n n n C C C +++= 而右边n n C 2=. 更一般地：rnm r n m n r m n r m C C C C C C C +-=+++01103.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合． 如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答：53）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）；（3）从集合{}1,2,3和{}1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（答：12）；（5）A ∠的一边AB 上有4个点，另一边AC 上有5个点，连同A ∠的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；（6）用六种不同颜色把右图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（答：480）；（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 种（答：9）；（8）f是集合{},,M a b c =到集合{}1,0,1N =-的映射，且()()f a f b +()f c =，则不同的映射共有 个（答：7）；（9）满足}4,3,2,1{=C B A 的集合A 、B 、C 共有 组（答：47）3.解排列组合问题的方法有：一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。
最新8-4排列、组合与二项式定理(理)
8-4排列、组合与二项式定理(理)
2．排列、组合 (1)排列数公式 Amn ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，Amn ＝ n－n！m！，Ann＝n！，0！＝1(n∈N*，m∈N*，m≤n)． (2)组合数公式及性质 Cmn ＝AAmmnm＝nn－1n－m2！…n－m＋1， Cmn ＝m！nn！ －m！， C0n＝1，Cmn ＝Cnn－m，Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1.
由分类计数原理，共有3＋8＋5＝16种选法． (2)分三步选人，第一步选老师，有3种方法；第二步 选男生，有8种方法；第三步选女生，有5种方法．)可分两类，第一类又分两步：第一类，选一名老师 再选一名男生，有3×8＝24种选法；第二类，选一名老师 再选一名女生，有3×5＝15种选法．
(3)应用题 ①解排列组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先 选后排，先分类后分步．
②常用策略：(a)相邻问题捆绑法；(b)不相邻问题插空 法；(c)多排问题单排法；(d)定序问题倍缩法；(e)多元问题 分类法；(f)有序分配问题分步法；(g)交叉问题集合法；(h) 至少或至多问题间接法；(i)选排问题先取后排法；(j)局部 与整体问题排除法；(k)复杂问题转化法．
[评析] 区分某一问题是排列还是组合问题，关键看 选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对 结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位 置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与 选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序有关．
再由分类计数原理，共有24＋15＝39种选法．
[评析] 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的 在开始计算之前要进行仔细分析，确定需分类还是分步．
(1)分类时要做到不重不漏，分类后再对每类进行计数， 最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
排列组合与二项式定理知识点精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版排列与组合一、两个根本计数原理：〔排列与组合的根底〕1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有类方法，在第一类方法中有种不同的方法，在第二类方法中有种不同的方法，……，在第类方法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同方法.2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.二、排列与组合〔1〕排列定义:一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定顺序排成一列。
排列数公式：我们把正整数由1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示，即，并规定。
全排列数公式可写成.〔主要用于化简、证明等〕（二）组合定义:一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合；组合数用符号表示组合数公式：变式：组合数的两个性质：1、三、二项式定理1、二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.2、二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.3、二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数最大.I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2n n C 最大； II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C 最大.③系数和： 1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n nn n C C C C C C C C。
高中数学知识点总结 第十章排列组合和二项式定理
高中数学知识点总结第十章排列组合和二项式定理高中数学知识点总结：第十章——排列组合和二项式定理排列组合和二项式定理是高中数学中重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将对这两个知识点进行总结和说明。
1. 排列与组合排列是指从一组元素中按照一定顺序取出一部分元素的方式。
组合是指从一组元素中不考虑顺序地取出一部分元素的方式。
排列和组合都涉及到元素的选择和顺序，但它们在选择的要求上有所不同。
1.1 排列排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
1.2 组合组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
2. 二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了一个二项式的幂展开式。
二项式是一个形如(a+b)^n的表达式，而二项式定理则给出了(a+b)^n的展开形式。
二项式定理的表达式为：(a+b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1)b^1 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n。
其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
二项式定理的展开形式中包含了n+1个项，每一项的系数是组合数C(n, k)，指数是a和b的幂。
二项式定理的应用非常广泛，在数值计算、概率统计、组合数学等领域中都得到了广泛的运用。
它可以用来快速计算幂次方的结果，也可以用来求解概率问题或者排列组合问题。
3. 相关例题在学习排列组合和二项式定理的过程中，我们可以通过解决一些典型的例题来加深对这两个知识点的理解。
例题1：某班有10名学生，要从中选择3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：根据排列的计算公式，可以得到答案：P(10, 3) = 10! / 7! = 720。
高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理
高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理在高中数学中，排列组合是一种重要的概念与工具，它涉及到对对象的选取和排列的方式。
而在排列组合的基础上，我们还能引出二项式定理，进一步探讨多项式的展开与计算。
本文将对这些数学知识点进行归纳总结和讨论。
一、排列组合的基本概念1.1 排列排列是从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。
假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行排列，可以得到的排列数记为P(n,r)。
P(n,r) = n!/(n-r)!1.2 组合组合是指从给定的一组对象中，无视其顺序，选择若干个对象。
同样假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行组合，可以得到的组合数记为C(n,r)。
C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)1.3 重复排列与重复组合当给定的一组对象中存在重复的元素时，我们可以计算可能的重复排列与重复组合。
计算公式如下：重复排列：P(n1,n2,...,nk) = n!/(n1!n2!...nk!)重复组合：C(n+r-1,r) = (n+r-1)!/(r!(n-1)!)二、排列组合的应用2.1 生日问题生日问题是指在一个房间里，至少有两个人生日相同的概率有多大。
利用排列组合的思想可以很方便地解决这个问题。
在一个房间里，有n 个人，假设有365天可以选作生日。
我们可以计算至少有两个人生日相同的概率，即为1减去没有人生日相同的概率。
P(at least two people have the same birthday) = 1 - P(no two people have the same birthday)= 1 - C(365,n)/365^n2.2 二项式定理与展开二项式定理是代数中的重要定理之一，它描述了两个数之和的幂展开后的表达式。
假设有实数a和b以及正整数n，根据二项式定理可以将(a+b)^n展开为：(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)a^1*b^(n-1) + C(n,n)a^0*b^n2.3 二项式系数与组合恒等式二项式系数指的是二项式展开中各项的系数。
2023年新高考数学临考题号押题 押第4题 排列组合与二项式定理 学生版+解析
押新高考卷4题排 列 组 合 与 二 项 式 定 理考点 3年考题考情分析 排列组合与二项式定理 2022年新高考Ⅰ卷第13题2022年新高考Ⅱ卷第5题 2020年新高考Ⅰ卷第3题2020年新高考Ⅱ卷第6题排列组合与二项式定理均是以小题的形式进行考查，难度较易或一般，新高考冲刺复习中，分类加法原理、分步乘法原理，排列数及组合数，二项式定理、二项展开式系数都是重点复习内容，可以预测2023年新高考命题方向将继续对排列组合和二项式定理选其一展开命题．1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++ .2.分步计数原理（乘法原理12n N m m m =⨯⨯⨯ .3.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 4.组合数公式mn C =m n m m A A =mm n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 5.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅！ .6．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m nn AA （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n n n m C A A 11++=种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.7．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有m n n n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有 m n n n n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. 8.二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =.A．96种B．64种12．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）同数”，例如“125，710”都是“叔同数押新高考卷4题排 列 组 合 与 二 项 式 定 理考点 3年考题考情分析 排列组合与二项式定理 2022年新高考Ⅰ卷第13题2022年新高考Ⅱ卷第5题 2020年新高考Ⅰ卷第3题2020年新高考Ⅱ卷第6题排列组合与二项式定理均是以小题的形式进行考查，难度较易或一般，新高考冲刺复习中，分类加法原理、分步乘法原理，排列数及组合数，二项式定理、二项展开式系数都是重点复习内容，可以预测2023年新高考命题方向将继续对排列组合和二项式定理选其一展开命题．1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++ .2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯ .3.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 4.组合数公式mn C =m n m m A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 5.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅！ .6．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n n n m C A A 11++=种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为n n m C +.7．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有m n n n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有 mn n n n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. 8.二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;二项展开式的通项公式r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，=.【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式，故选：B3．（2020·新高考Ⅰ卷高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C⋅=⨯=种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.4．（2020·新高考Ⅱ卷高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C=种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A=种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.1．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）6名老师被安排到甲､乙､丙三所学校支教，每名老师只去1所学校，甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，则不同的安排方法共有（ ）A ．30种B ．60种C ．90种D ．120种 【答案】B【分析】按照分步计数原理求解.【详解】依题意，第一步，从6名老师中随机抽取1名去甲校，有16C 种方法；第二步，从剩下的5名老师中抽取2名取乙校，有25C 种方法；第三部，将剩余的3名老师给丙校，有33C 种方法；总共有123653C C C 60= 种方法； 故选：B.2．（2023·湖南湘潭·统考二模）2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行．现要安排甲、乙等5名志愿者去A ，B ，C 三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能去一个足球场，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为（ ）A ．12B ．18C ．36D ．48 【答案】C【分析】先按3，1，1或2，2，1分组，再安排到球场.【详解】将5人按3，1，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有13C 种，将5人按2，2，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有23C 种，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为()123333C C A 36+=． 故选：C3．（2023·广东佛山·统考二模）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每11．（2023·广东·统考一模）如图，在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（ ）A ．96种B ．64种C ．32种D ．16种【答案】B 【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法数，再利用分步计数原理即可求出结果.【详解】根据题意，分3步进行，第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有222A 4=种排法；第二步，排第一步中剩余的一组数，共有1142A A 8=种排法；第三步，排数字5和6，共有22A 2=种排法；由分步计数原理知，共有不同的排法种数为48264⨯⨯=.故选：B.12．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）若一个三位数M 的各个数位上的数字之和为8，则我们称M 是一个“叔同数”，例如“125，710”都是“叔同数”.那么“叔同数”的个数共有（ ）A ．34个B ．35个C ．36个D ．37个【答案】C【分析】利用列举法求出所有组合，再计算能排列出多少个“叔同数”.【详解】三位数各位数的和为8可能的组合有116，125，134，224，233，017，026，035，044，008，其中三个数不同且都不为0可排出33A 6=个“叔同数”，没有0的3个数中有2个数相同，则排出13A 3=个“叔同数”，有1个0其余2个数为不同的非零数字可排出1222A A 4=个“叔同数”， 008只能排出800一个“叔同数”，所以它们排出的“叔同数”的个数共有366334442136+++++++++=，故选：C13．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）现要从A ，B ，C ，D ，E 这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A 不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（ ）A ．56种B ．64种C ．72种D ．96种【答案】D 【分析】根据A 是否入选进行分类讨论即可求解.【详解】由题意可知：根据A 是否入选进行分类：若A 入选：则先给A 从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有13C 3=种，再给剩下三个岗位安排人有34A 43224=⨯⨯=种，共有32472⨯=种方法； 若A 不入选：则4个人4个岗位全排有44A 432124=⨯⨯⨯=种方法，所以共有722496+=种不同的安排方法，故选：D .14．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考模拟预测）某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）A ．72种B ．81种C ．144种D ．192种【答案】D【分析】先计算乙和丙在相邻两天参加服务的排法，排除乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务的排法，即可得出答案.【详解】解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为2525A A 240=， 若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为2424A A 48=，由间接法可知，满足条件的排法种数为24048192-=种.故选：D.15．（2023·重庆九龙坡·统考二模）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算和计数.某学习小组有甲､乙､丙､丁四人，该小组要收集九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､珠算6种算法的相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数有（ ）A ．1560种B ．2160种C ．2640种D ．4140种【答案】A。
二项式定理与排列组合的知识点总结
二项式定理与排列组合的知识点总结二项式定理是高中数学中的一个重要定理，它与排列组合有着密切的联系。
本文将对二项式定理和排列组合的知识点进行总结，希望能够为读者提供清晰明了的概念和理解。
一、排列组合的基本概念排列组合是数学中研究对象的一种组织方式。
排列是指将一组元素按照一定顺序进行布置，而组合是指从一组元素中取出若干元素组成一个集合。
1. 排列排列是指从一组元素中有序地选取若干个元素进行布置。
主要分为两种类型：有放回排列和无放回排列。
有放回排列是指在选择完元素后将其放回原处，元素可以被多次选取。
而无放回排列是指在选择完元素后不放回，下次选择时不能再选取。
2. 组合组合是指从一组元素中无序地选择若干个元素进行组合。
同样地，组合也可以分为有放回组合和无放回组合两种类型。
二、二项式定理的概念和公式二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开二项式的幂。
它表述了如下公式：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中，a，b是实数或者变量，n为非负整数。
C(n, k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数，也称为二项系数。
具体计算公式如下：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)三、二项式定理与排列组合的关系二项式定理中的二项系数C(n, k)正是组合数的计算公式，说明了二项式展开式中各项系数的求解方法。
1. 二项式系数的性质二项系数具有一些重要的性质，包括对称性、加法原理和乘法原理等。
这些性质在解决排列组合问题时具有重要的指导作用。
2. 应用举例利用二项式定理和排列组合的知识，可以解决一些实际问题。
比如，求解一组数的幂展开式中某一项的系数、计算某些特殊排列组合的总数等等。
四、应用示例在实际应用中，二项式定理与排列组合经常被用于解决一些概率、统计和计算问题。
排列组合与二项式定理
B． 24种 D． 36种
解析：因为恰有2人选修课程甲，共有C2 4 6 种结果，所以余下的两个人各有两种选法， 共有2 2 4种结果，根据分步计数原理知共 有6 4 24种结果．
2.(2011 重庆卷) 1 2x 的展开式中x 4的系数是
6
_________ .
r r 解析：展开式的通项为Tr 1 2r C6 x. 4 令r 4得展开式中x 4的系数是24 C6 240.
4 得常数1 1 C8 70； 4
当第一个括号中取2x 2时，则第二个括号必取
5
1 x2
5 项，由通项易知当r 5时，取得常数2 1 C8
112，所以展开式中常数项为 112 70 42.
【思维启迪】本题主要考查二项式定理的通项 公式及分类讨论的思想方法．解答两个因式 积的展开式问题主要有两种途径：
究；
6 近似计算：构造二项式，展开后根据精确度的要
求分析应取前几项，从哪项开始去掉后面的所有项．
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1.(2 011 全国大纲卷)4位同学每人从甲、乙、丙3 门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同 选法共有 A． 12种 C． 30种
专题三
排列、组合、二项式 定理、概率与统计
1．计数原理 分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办 法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同 的方法， ，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么 完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法． 分步计数原理：完成一件事，需要n个步骤，做 第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N m1 m2 mn种不同的方法．
数学中的排列组合与二项式定理
数学中的排列组合与二项式定理在数学中，排列组合和二项式定理是重要的概念和原理。
它们在解决问题、计算概率等方面起着重要的作用。
一、排列组合排列组合是数学中用来描述和计算对象排列和选择方式的概念。
排列是从一组对象中选取若干个进行有序排列，而组合是从一组对象中选取若干个进行无序组合。
1.1 排列排列是从一组对象中选取若干个进行有序排列的方式。
假设我们有n个不同的对象，要从中选取r个进行排列，则排列的方式数用P(n,r)表示。
计算排列的方式数的公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
排列的应用非常广泛，比如在数学竞赛中，求解一道题目需要按照一定的规则对给定的元素进行排列。
1.2 组合组合是从一组对象中选取若干个进行无序组合的方式。
与排列不同，组合不考虑对象的顺序。
假设我们有n个不同的对象，要从中选取r个进行组合，则组合的方式数用C(n,r)表示。
计算组合的方式数的公式为：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)组合通常用于解决计算概率、统计样本等问题。
比如在概率问题中，我们需要计算从一组给定的元素中选取若干个元素的所有可能组合的概率。
二、二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了如何展开一个二项式的幂。
一个二项式表示如下：(a + b)^n其中，a和b是实数或者变量，n是非负整数。
二项式定理给出了展开(a + b)^n所得的多项式的各项系数。
二项式定理的表达式如下：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n,r)表示从n个元素中选取r个元素的组合数量。
高考数学复习课件：排列组合与二项式定理
直接法：在处理有限制条件的排列，优先排 特殊元素，后再排其他元素。
定元定位优先排
间接法：先不考虑特殊元素，而列出所有元 素的全排列数，从中减去不满足特殊元素 要求的排列数。
注意：不重不漏
• 成才后翻P56 T13
• 六个人从左到右排成一行，最左端只能排甲或已，最右端不 能排甲，则不同的排法？
那么 完成这件事共有
种不同的方法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步
骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同
的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
件事共有
种不同的方法.
区别1 区别2
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，共有n类办法，关 键词“分类”
完成一件事，共分n个步骤，关 键词“分步”
解：（2）设f（x）=(3x-1)8 分别赋予x=1，-1
a0+a2+a4+a6+a8=[f(1)+f(-1)]/2
一般来说 多项式f（x）各项系数和为f（1） 奇数项系数和为1/2[f(1)-f(-1)] 偶数项系数和为1/2[f(1)+f(-1)]
求值、等式与不等式证明问题
（2）求证：5555+1能被8整除；
解:采用“隔板法” 得: C259 4095
类似练习： 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级， 共有多少种不同的分配方法？
2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走 一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有 多少种不同的走法？
3、方程x+y+z=12的非负整数解的个数为多少？ 正整数解的个数呢？
人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 复习课 第1课时 排列、组合与二项式定理
答案:40
专题二
排列组合的应用
【例2】 6名女生(其中有1个领唱)和2名男生分成两排表演.
(1)每排4人,共有多少种不同的排法?
(2)领唱站在前排,男学生站在后排,每排4人,有多少种不同的排法?
解:(1)要完成这件事,可以分为三步:
第一步,从 8 人中选 4 人站在前排,另 4 人站在后排,共有C84 C44 种不同的排法;
(
)
A.122
B.135
C.154
D.165
(2)如图,给矩形A,B,C,D涂色,要求相邻的矩形涂色不同,现有4种不同的颜
色可供选择,则不同的涂法有(
A.72种
B.48种
C.24种
D.12种
)
解析:(1)可以组成7×8×8=448个三位数,
其中无重复数字的三位数有7×7×6=294个,
故有重复数字的三位数有448-294=154个.
3
答案:2
=
专题四
项的系数和问题
【例4】 (1)若(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次项的系数之和为32,则
a=
.
(2)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-
(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为
.
解析:(1)设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
排列、组合、二项式定理-基本原理
排列、组合、二项式定理-基本原理排列、组合和二项式定理是概率论和组合数学中的重要概念和技巧。
它们在计算和解决组合问题的过程中起着关键的作用。
本文将介绍这些基本原理，帮助读者更好地理解和应用它们。
一、排列排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的方式。
在组合数学中，排列有两种常见的类型：有重复元素的排列和无重复元素的排列。
1.1 有重复元素的排列有重复元素的排列是指从一组包含重复元素的集合中选取若干个元素按照一定的顺序排列。
在有重复元素的排列中，每个元素可以重复出现多次。
例如，假设有一组元素 {A, B, C, C}，我们要从中选取两个元素进行排列。
根据有重复元素的排列原理，我们可以计算出共有以下几种情况：•AA•AB•AC•BA•BB•BC•CA•CB•CC共计9种不同的排列方式。
1.2 无重复元素的排列无重复元素的排列是指从一组不包含重复元素的集合中选取若干个元素按照一定的顺序排列。
在无重复元素的排列中，每个元素只能出现一次。
例如，假设有一组元素 {A, B, C, D}，我们要从中选取三个元素进行排列。
根据无重复元素的排列原理，我们可以计算出共有以下几种情况：•ABC•ABD•ACD•BCA•BCD•CAB•CAD•CBA•CBD•DAB•DAC•DBA•DBC共计12种不同的排列方式。
二、组合组合是指从一组元素中选取若干个元素不考虑顺序的方式。
在组合数学中，组合也有两种常见的类型：有重复元素的组合和无重复元素的组合。
2.1 有重复元素的组合有重复元素的组合是指从一组包含重复元素的集合中选取若干个元素不考虑顺序的方式。
在有重复元素的组合中，每个元素可以重复出现多次。
例如，假设有一组元素 {A, B, C, C}，我们要从中选取两个元素进行组合。
根据有重复元素的组合原理，我们可以计算出共有以下几种情况：•AA•AB•AC•BB•BC•CC共计6种不同的组合方式。
2.2 无重复元素的组合无重复元素的组合是指从一组不包含重复元素的集合中选取若干个元素不考虑顺序的方式。
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与二项式定理
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与二项式定理高中数学知识点总结及公式大全：排列组合与二项式定理一. 排列组合排列组合是高中数学中重要的知识点之一，用于解决计数问题。
排列组合分为排列和组合两种情况。
1. 排列排列是指从一组对象中按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。
高中数学中常用的排列公式为：An= n!/(n-r)!，其中n表示总数，r表示选取的个数。
排列的特点是考虑顺序，即不同的顺序被视为不同的排列。
2. 组合组合是指从一组对象中选择若干个对象进行组合，不考虑顺序。
高中数学中常用的组合公式为：Cn= n!/[(n-r)!*r!]，其中n表示总数，r表示选取的个数。
组合的特点是不考虑顺序，即不同的顺序被视为相同的组合。
二. 二项式定理二项式定理是高中数学中的重要定理之一，用于展开一个任意次数的二项式表达式。
二项式定理的公式为：(a+b)^n = Cn0 * a^n * b^0 + Cn1 * a^(n-1) * b^1 + Cn2 * a^(n-2) * b^2 + ... + Cnr * a^(n-r) * b^r + ... + Cnn * a^0 * b^n 其中Cnr代表组合数，表示从n中选取r个的组合数。
三. 相关数学公式除了排列组合和二项式定理，高中数学还有许多重要的公式需要掌握。
1. 三角函数相关公式：- 三角恒等式：sin^2x + cos^2x = 1；tanx = sinx/cosx- 三角和差公式：sin(x ± y) = sinx*cosy ± cosx*siny；cos(x ± y) = cosx*cosy - sinx*siny- 三角倍角公式：sin2x = 2sinxcosx；cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x2. 数列与数列求和公式：- 等差数列通项公式：an = a1 + (n-1)d；等差数列前n项和公式：Sn = n/2(a1 + an) = n/2(2a1 + (n-1)d)- 等比数列通项公式：an = a1 * r^(n-1)；等比数列前n项和公式：Sn = (a1(1-r^n))/(1-r)3. 平面几何相关公式：- 点到直线的距离公式：d = | Ax0 + By0 + C | / √(A^2 + B^2)- 两点间距离公式：d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]- 矩形面积公式：S = a * b- 三角形面积公式：S = 1/2 * a * b * sinγ以上只是数学知识点的一部分，针对不同的题目和问题，可能还需要运用其他公式和方法进行解题。
排列、组合、二项式定理-基本原理
排列、组合、二项式定理-基本原理一、排列排列是组合数学中的一个概念，指的是从一组元素中按照一定的顺序选取若干元素进行排列的方法总数。
在排列中，元素的顺序是重要的，不同的顺序会生成不同的排列。
排列的计算可以采用阶乘来表示。
例如，从3个元素A、B、C中选取2个进行排列，可以有以下6种不同的排列结果： AB、AC、BA、BC、CA、CB排列的计算公式可以表示为： P(n, k) = n! / (n-k)!其中P(n, k)表示从n个元素中选取k个进行排列的方法总数，n!表示n的阶乘。
排列的计算方法可以用于解决很多实际问题，如计算赛事的比赛安排、编码问题等。
二、组合组合是组合数学中的另一个重要概念，指的是从一组元素中选取若干个元素进行组合的方法总数。
在组合中，元素的顺序不重要，相同的元素组合的结果是相同的。
组合的计算可以采用组合数来表示。
例如，从3个元素A、B、C中选取2个进行组合，可以有以下3种不同的组合结果： AB、AC、BC组合的计算公式可以表示为： C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中C(n, k)表示从n个元素中选取k个进行组合的方法总数，n!表示n的阶乘。
组合的计算方法可以应用于解决实际问题，如抽奖问题、分组问题等。
三、二项式定理二项式定理是代数学中的一个基本定理，用于展开两项式的幂。
二项式定理的表述如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + … + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n其中(a + b)^n表示一个二项式的幂展开结果，C(n, k)表示从n个元素中选取k 个进行组合的方法总数。
二项式定理的展开结果是一系列组合数的线性组合。
二项式定理的应用非常广泛，例如在概率统计中的二项分布、二项树和二项式堆等。
排列组合二项式定理
排列组合与二项式定理1. 排列组合排列组合是概率论与组合数学中非常重要的概念。
它们在各种数学和统计问题中起着关键作用。
在本文档中，我们将介绍排列组合的基本概念，以及它们在计算二项式定理中的应用。
1.1 排列排列是指从一组元素中选取一部分，按一定的顺序进行排列。
在数学符号中，排列表示为 nPm，其中 n 表示可选元素的数量， m 表示选取的元素的数量。
排列的计算公式如下：nPm = n! / (n-m)!其中，! 表示阶乘操作，即将一个正整数 n 与所有小于它的正整数相乘。
1.2 组合组合是指从一组元素中选取一部分，不考虑顺序的情况。
在数学符号中，组合表示为 nCm，其中 n 表示可选元素的数量， m 表示选取的元素的数量。
组合的计算公式如下：nCm = n! / (m! * (n-m)!)1.3 例子假设有一个由 A、B、C 三个元素组成的集合。
我们希望从中选取两个元素进行排列和组合，那么可以使用排列和组合的计算公式进行计算：•排列：3P2 = 3! / (3-2)! = 3•组合：3C2 = 3! / (2! * (3-2)!) = 3可以看到，排列结果为 3，即从集合中选取两个元素并进行排列的结果有 3 种。
而组合结果也为 3，即从集合中选取两个元素并进行组合的结果有 3 种。
2. 二项式定理二项式定理是指一个二项式的任意幂展开式的结果。
在数学中，一个二项式的一般形式为 (a + b)^n，其中 a 和 b 是实数，n 是正整数。
二项式定理通过展开这个二项式，给出了展开式中各项的系数。
二项式定理的公式如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + …+ C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素进行组合的数量。
2.1 例子假设我们希望展开 (a + b)^3 这个二项式。
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A．24种
B．36种
C．42种
D．60种
[答案] D
[ 解析] 每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行， 共有43＝64种安排方案；三个项目都在同一个体育馆比赛， 共有4种安排方案；所以在同一个体育馆比赛的项目不超过 2项的安排方案共有60种，故选D.
[例2] (2019·大连二模)由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的 不重复的六位数中，不出现“ 135”与“24”的六位数的个数 为( )
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2．排列、组合 (1)排列数公式 Amn ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，Amn ＝ ?n－n！m?！，Ann＝n！，0！＝1(n∈N*，m∈N*，m≤n)． (2)组合数公式及性质 Cmn ＝AAmnmm＝n?n－1??n－m2！?…?n－m＋1?， Cmn ＝m！?nn！－m?！， C0n＝1，Cmn ＝Cnn－m，Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1.
C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，C2n＝Cnn－2，…， Crn＝Cnn－r. ②二项式系数的和等于 2n，即 C0n＋C1n＋C2n＋…＋ Cnn＝2n. ③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数 项的二项式系数和，即 C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋… ＝2n－1.
[例1] (2019·浙江金华十校 )有一项活动，需在 3名老 师、8名男生和5名女生中选人参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？ (2)若需老师、男生、女生各一人参加，有多少种不同 选法？ (3)若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同选法？ [分析] 根据“分类互斥”、“分步互依”合理地选 用计数原理．
(3)应用题 ①解排列组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先 选后排，先分类后分步．
②常用策略：(a)相邻问题捆绑法； (b)不相邻问题插空 法；(c)多排问题单排法； (d)定序问题倍缩法； (e)多元问题 分类法；(f)有序分配问题分步法； (g)交叉问题集合法； (h) 至少或至多问题间接法； (i)选排问题先取后排法； (j)局部 与整体问题排除法；(k)复杂问题转化法．
(2)分步要做到“步骤完整” ——完成了所有步骤恰好 完成任务，当然步骤之间要相互独立，分步后再计算每一 步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步 的方法数相乘，得到总数．
(2019·东北四市联考)计划在4个体育馆举办排球、篮球、 足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育 馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过 2项的安排方 案共有( )
1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分 析和解决一些简单的应用问题．
2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它 解决一些简单的应用问题．
3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的 性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．
4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们 计算和证明一些简单的问题．
3．二项式定理 (1)定理：(a＋b)n＝Can－1·b＋…＋Can－rbr＋…＋ Cabn－1＋Cbn(n∈N*)． 通项(展开式的第 r＋1项)：Tr＋1＝Can－rbr.其中 C(r＝ 0,1，…，n)叫做二项式系数． (2)二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项 的二项式系数相等，即
[解析] (1)有三类选人的办法：3名老师中选一人，有 3种方法；8名男生中选一人，有 8种方法；5名女生中选一 人，有5种方法．
由分类计数原理，共有3＋8＋5＝16种选法． (2)分三步选人，第一步选老师，有 3种方法；第二步 选男生，有8种方法；第三步选女生，有5种方法． 由分步计数原理，共有3×8×5＝120种选法．
1．两个计数原理 分类计数原理与分步计数原理，都是关于完成一件事 的不同方法种数的问题． “分类”与“分步”的区别：关键是看事情完成情况， 如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续 若干步才能将事件完成则是分步．分类要用分类计数原理 将种数相加；分步要用分步计数原理将种数相乘．
Grammar Focus
(3)可分两类，第一类又分两步：第一类，选一名老师 再选一名男生，有 3×8＝24种选法；第二类，选一名老师 再选一名女生，有3×5＝15种选法．
再由分类计数原理，共有24＋15＝39种选法．
[评析] 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的 在开始计算之前要进行仔细分析，确定需分类还是分步．
(1)分类时要做到不重不漏，分类后再对每类进行计数， 最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
1．本部分内容在高考中所占分数大约在 3%—6%之 间．
2．本部分考查的内容主要是：分类与分步计数原理， 排列与组合及二项式定理的有关内容．
3．命题规律：此部分在命题时，题目类型一般为选择 或填空题，高考对本部分内容的考查特点是侧重基础，多 数高考试题的难度与课本中习题难度相当，但在高考试卷 中分值所占比例超过占总课时的比例．在解答题时，将可 能出现与其它知识点 (函数、不等式、几何等 )相结合的综 合题，有一定的难度．
A．582
B．504
C．490
D．486
[答案] C
[ 解析 ] 先求出现“ 135”或“24”的六位数的个数： A·A＋A·A－A·A＝18＋96－4＝110，而组成的不重复的六 位数的个数为： A·A＝600，因此不出现 “135”与“24”的 六位数的个数为：600－110＝490.
[ 评析] 区分某一问题是排列还是组合问题，关键看 选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对 结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位 置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与 选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序有关．