人教A版高中数学必修二课件：第一章章末小结
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所围成的几何体.
【方法指导】根据所给的几何体结构特征的描述,结合所学几何
体的结构特征做出判断. 【解答】(1)如图①,因为该几何体的五个面是有公共顶点的三角
形,所以是棱锥.又其底面是凸五边形,所以是五棱锥. (2)如图②,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角
梯形,每个直角梯形旋转 180°形成半个圆台,故该几何体为圆台.
3.画空间几何体的直观图时,要注意两点:(1)在已知图形中取互 相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O.画直观图时,把它们画成对应 的 x'轴和 y'轴,两轴相交于点 O',且使∠x'O'y'=45°(或 135°).在 已知图形中,平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中,分别画成平行于 x'轴或 y'轴的线段,在已知图形中,平行于 x 轴的线段,在直观图中, 长度保持不变,平行于 y 轴的线段,在直观图中,长度为原来的一半.
第一章章末小结
1.空间几何体的结构特征
结构
棱 柱
(1)两个底面相互平行,其余各 面都是平行四边形 (2)侧棱平行且相等
(1)两个底面相互平行
圆 柱
(2)侧面的母线平行于圆柱的轴 (3)以矩形的一边所在的直线为 旋转轴,其余三边旋转形成的曲
面所围成的几何体
图例
棱 锥
(1)底面是多边形,各侧面均是 三角形 (2)各侧面有一个公共顶点
题型一:空间几何体的结构特征
【例 1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.
(1)由六个面围成,其中一个面是凸五边形,其余各面是有公共顶 点的三角形;
(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转 180° 形成的封闭曲面所围成的图形;
(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面
【方法指导】由斜二测画法的规则先判断原图的形状,再根据线
段长度之间的关系求其面积. 【解析】由 A'B'∥y'轴,B'C'∥x'轴,知△ABC 为直角三角形,其
中∠ABC=90°,由 A'B'=4,B'C'=5,及斜二测画法的规则,得 AB=8,BC=5,
所以 S△ABC=12·AB·BC=12×8×来自百度文库=20.
4.空间几何体的表面积与体积 (1)S =S 柱表面积 侧+2S 底. 特别地,S 长方体=2(ab+bc+ac),其中 a、b、c 分别是长方体的长、
宽、高;
特别地,S 圆柱表=cl+2πr2=2πr(r+l),其中 r、l 和 c 分别是圆柱的 底面半径、母线和底面圆的周长.
(2)S =S 锥表面积 侧+S 底. 特别地,S 圆锥表=πr2+πrl=πr(r+l),其中 r 和 l 分别是圆锥的底 面半径和母线. (3)S =S 台表面积 侧+S 上+S 下. 特别地,S 圆台表=π(r2+r'2+rl+r'l),其中 r、r'和 l 分别是圆台的 上底面半径、下底面半径和母线. (4)V 柱=Sh,其中 S 和 h 分别是柱体的底面积和高.
(3)如图③,过直角梯形 ABCD 的顶点 A 作 AO⊥CD 于点 O,将直角 梯形分为一个直角三角形 AOD 和一个矩形 AOCB,绕 CD 旋转一周形成 一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.
【小结】解决此类问题的策略是紧扣相关几何体的结构特征进行
有关的概念辨析,多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.明
特别地,V 圆柱=πr2h,其中 r 和 h 分别是圆柱的底面半径和高. (5)V 锥=13Sh,其中 S 和 h 分别是锥体的底面积和高. 特别地,V 圆锥=13πr2h,其中 r 和 h 分别是圆锥的底面半径和高. (6)V 台=13(S+ ������������'+S')h,其中 S、S'和 h 分别是台体的上底面面 积、下底面面积和高. 特别地, V 圆台=13π(r2+rr'+r'2)h,其中 r、r'和 h 分别是圆台的上 底面半径、下底面半径和高. (7)V 球=43πR3,S 球表面积=4πR2,其中 R 是球体的半径.
球
等(2)以半圆的直径所在的直线 为旋转轴,半圆面旋转一周形成
的几何体
2.三视图的放置方式是正(主)视图与侧(左)视图在同一水平
线上,正(主)视图在左,侧(左)视图在右,俯视图在正(主)视图的正下
方.
在画三视图时,务必做到正(主)视图与侧(左)视图高平齐,正(主)
视图与俯视图长对正,俯视图与侧(左)视图宽相等.
【小结】将空间几何体的表面通过翻转展开变成平面图形,能更
好地解决空间几何体的距离、面积问题.
题型三:空间几何体的三视图和直观图 【例 3】
水平放置的△ABC 利用斜二测画法得到的直观图△A'B'C'(如 图),其中 A'B'∥y'轴,B'C'∥x'轴,若测得 A'B'=4,B'C'=5,求△ABC 的面积.
确组合体的结构特征,主要弄清它是由哪些简单几何体组成的,会识 别较复杂的图形是学好立体几何的第一步,注意观察周围的物体,然 后将它们“分拆”成几个简单的几何体,培养空间想象能力和识图能
力.
题型二:空间几何体的平面展开图 【例 2】
一个长方体的同一个顶点出发的三条棱的长度分别是 2,3,4,如
图,一只蚂蚁欲从该长方体的一个顶点 A 处沿表面爬到该顶点所在的 对角线的另一端 C 处,求最短的线路长.
(1)底面是圆
圆 锥
(2)以直角三角形的一条直角边 所在的直线为旋转轴,其余两边 旋转形成的曲面所围成的几何
体
(1)两个底面相互平行
棱 (2)用一个平行于棱锥底面的平
台 面去截棱锥,底面和截面之间的
部分
(1)两个底面相互平行
圆 (2)用一个平行于圆锥底面的平
台 面去截圆锥,底面和截面之间的
部分
(1)球心到球面上各点的距离相
【方法指导】求经过几何体的表面的距离最短问题,可以把几何
体的表面平铺打开转化为平面上的两点距离的最短问题. 【解析】蚂蚁从 A 到 C 处需经过两个面,可分为三类情形讨论:
(1)沿正面到右面再到 C 处,最短距离为 62 + 32= 45; (2)沿正面到上面再到 C 处,最短距离为 42 + 52= 41; (3)沿左面到上面再到 C 处,最短距离为 72 + 22= 53. 所以最短的线路长为 41.
【方法指导】根据所给的几何体结构特征的描述,结合所学几何
体的结构特征做出判断. 【解答】(1)如图①,因为该几何体的五个面是有公共顶点的三角
形,所以是棱锥.又其底面是凸五边形,所以是五棱锥. (2)如图②,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角
梯形,每个直角梯形旋转 180°形成半个圆台,故该几何体为圆台.
3.画空间几何体的直观图时,要注意两点:(1)在已知图形中取互 相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O.画直观图时,把它们画成对应 的 x'轴和 y'轴,两轴相交于点 O',且使∠x'O'y'=45°(或 135°).在 已知图形中,平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中,分别画成平行于 x'轴或 y'轴的线段,在已知图形中,平行于 x 轴的线段,在直观图中, 长度保持不变,平行于 y 轴的线段,在直观图中,长度为原来的一半.
第一章章末小结
1.空间几何体的结构特征
结构
棱 柱
(1)两个底面相互平行,其余各 面都是平行四边形 (2)侧棱平行且相等
(1)两个底面相互平行
圆 柱
(2)侧面的母线平行于圆柱的轴 (3)以矩形的一边所在的直线为 旋转轴,其余三边旋转形成的曲
面所围成的几何体
图例
棱 锥
(1)底面是多边形,各侧面均是 三角形 (2)各侧面有一个公共顶点
题型一:空间几何体的结构特征
【例 1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.
(1)由六个面围成,其中一个面是凸五边形,其余各面是有公共顶 点的三角形;
(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转 180° 形成的封闭曲面所围成的图形;
(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面
【方法指导】由斜二测画法的规则先判断原图的形状,再根据线
段长度之间的关系求其面积. 【解析】由 A'B'∥y'轴,B'C'∥x'轴,知△ABC 为直角三角形,其
中∠ABC=90°,由 A'B'=4,B'C'=5,及斜二测画法的规则,得 AB=8,BC=5,
所以 S△ABC=12·AB·BC=12×8×来自百度文库=20.
4.空间几何体的表面积与体积 (1)S =S 柱表面积 侧+2S 底. 特别地,S 长方体=2(ab+bc+ac),其中 a、b、c 分别是长方体的长、
宽、高;
特别地,S 圆柱表=cl+2πr2=2πr(r+l),其中 r、l 和 c 分别是圆柱的 底面半径、母线和底面圆的周长.
(2)S =S 锥表面积 侧+S 底. 特别地,S 圆锥表=πr2+πrl=πr(r+l),其中 r 和 l 分别是圆锥的底 面半径和母线. (3)S =S 台表面积 侧+S 上+S 下. 特别地,S 圆台表=π(r2+r'2+rl+r'l),其中 r、r'和 l 分别是圆台的 上底面半径、下底面半径和母线. (4)V 柱=Sh,其中 S 和 h 分别是柱体的底面积和高.
(3)如图③,过直角梯形 ABCD 的顶点 A 作 AO⊥CD 于点 O,将直角 梯形分为一个直角三角形 AOD 和一个矩形 AOCB,绕 CD 旋转一周形成 一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.
【小结】解决此类问题的策略是紧扣相关几何体的结构特征进行
有关的概念辨析,多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.明
特别地,V 圆柱=πr2h,其中 r 和 h 分别是圆柱的底面半径和高. (5)V 锥=13Sh,其中 S 和 h 分别是锥体的底面积和高. 特别地,V 圆锥=13πr2h,其中 r 和 h 分别是圆锥的底面半径和高. (6)V 台=13(S+ ������������'+S')h,其中 S、S'和 h 分别是台体的上底面面 积、下底面面积和高. 特别地, V 圆台=13π(r2+rr'+r'2)h,其中 r、r'和 h 分别是圆台的上 底面半径、下底面半径和高. (7)V 球=43πR3,S 球表面积=4πR2,其中 R 是球体的半径.
球
等(2)以半圆的直径所在的直线 为旋转轴,半圆面旋转一周形成
的几何体
2.三视图的放置方式是正(主)视图与侧(左)视图在同一水平
线上,正(主)视图在左,侧(左)视图在右,俯视图在正(主)视图的正下
方.
在画三视图时,务必做到正(主)视图与侧(左)视图高平齐,正(主)
视图与俯视图长对正,俯视图与侧(左)视图宽相等.
【小结】将空间几何体的表面通过翻转展开变成平面图形,能更
好地解决空间几何体的距离、面积问题.
题型三:空间几何体的三视图和直观图 【例 3】
水平放置的△ABC 利用斜二测画法得到的直观图△A'B'C'(如 图),其中 A'B'∥y'轴,B'C'∥x'轴,若测得 A'B'=4,B'C'=5,求△ABC 的面积.
确组合体的结构特征,主要弄清它是由哪些简单几何体组成的,会识 别较复杂的图形是学好立体几何的第一步,注意观察周围的物体,然 后将它们“分拆”成几个简单的几何体,培养空间想象能力和识图能
力.
题型二:空间几何体的平面展开图 【例 2】
一个长方体的同一个顶点出发的三条棱的长度分别是 2,3,4,如
图,一只蚂蚁欲从该长方体的一个顶点 A 处沿表面爬到该顶点所在的 对角线的另一端 C 处,求最短的线路长.
(1)底面是圆
圆 锥
(2)以直角三角形的一条直角边 所在的直线为旋转轴,其余两边 旋转形成的曲面所围成的几何
体
(1)两个底面相互平行
棱 (2)用一个平行于棱锥底面的平
台 面去截棱锥,底面和截面之间的
部分
(1)两个底面相互平行
圆 (2)用一个平行于圆锥底面的平
台 面去截圆锥,底面和截面之间的
部分
(1)球心到球面上各点的距离相
【方法指导】求经过几何体的表面的距离最短问题,可以把几何
体的表面平铺打开转化为平面上的两点距离的最短问题. 【解析】蚂蚁从 A 到 C 处需经过两个面,可分为三类情形讨论:
(1)沿正面到右面再到 C 处,最短距离为 62 + 32= 45; (2)沿正面到上面再到 C 处,最短距离为 42 + 52= 41; (3)沿左面到上面再到 C 处,最短距离为 72 + 22= 53. 所以最短的线路长为 41.