9.2020年北京初三数学一模分类汇编：反比例函数和一次函数综合 (教师版)

反比例函数和一次函数综合
【2020海淀一模23.】在平面直角坐标系xoy 中，直线x=3与直线112y x =+交于点A.·函数(0,0)k
y k x x
=f f 的图象与真线x=3,直线1
12
y x =+分别交于点B,C. （1）求点A 的坐标
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记函数(0,0)k
y k x x
=f f 的图象在点B,C 之间的部分与线段AB,AC 围成的区域(不含边界)为W.
①当k=1时，结合函数图象，求区域W 内整点的个数; ②若区域W 内恰有1个整点，直接写出k 的取值范围.
【海淀一模23参考答案】
【2020西城一模25】.在平面直角坐标系xOy 中，直线l: y=kx+2k(k>0)与x 轴交于点A ，与y 轴交于点
B ，与函数m
y x
=(x>0)的图象的交点P 位于第一象限.
(1)若点P的坐标为(1,6),
①求m的值及点A的坐标;
②PB
PA
=_________
(2)直线h:y=2kx-2与y轴交于点C,与直线L1交于点Q,若点P的横坐标为1,
①写出点P的坐标(用含k的式子表示);
②当PQ≤PA时，求m的取值范围.
【西城一模25参考答案】
【2020东城一模22】．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数
m
y
x
=（m≠0，x＞0）的图象在第
一象限交于点A,B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为D，
E．已知A（1，4），
1
4 CD
CE
=．
（1）求m的值和一次函数的解析式；
（2）若点M为反比例函数图象在A,B之间的动点，作射线OM交直线AB于点N，当MN长度最大时，直接
写出点M 的坐标．
【东城一模22参考答案】 22.解：（1）将点A （4，1）代入m
y x =
,得 4m = . ∴反比例函数解析式为4y x
=. ∵BE ⊥y 轴，AD ⊥y 轴， ∴∠CEB ＝∠CDA ＝90°. ∴△CDA ∽△CEB .∴
CD AD
CE BE
=. ∵
1
4
CD CE =， ∴BE ＝4AD . ∵A （1，4），
∴AD ＝1.∴BE ＝4.∴x B ＝4.∴y B=1.∴B （4，1）. 将A （1，4），B （4，1）代入y ＝kx +b ， 得， 4,
4 1.
k b k b +=⎧⎨
+=⎩
解得，k ＝﹣1，b ＝5.
∴一次函数的解析式为 y ＝﹣x +5. ………………………………3分
（2）当MN 长度最大时，点M 的坐标为（2，2）. ………………………………5分
【2020朝阳一模25】．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y =与一次函数y x m =-+的图象交于点P ，与反比例函数
m
y x
=
的图象交于点Q ，点A （1，1）与点B 关于y 轴对称． （1）直接写出点B 的坐标；
（2）求点P ，Q 的坐标（用含m 的式子表示）；
（3）若P ，Q 两点中只有一个点在线段AB 上，直接写出m 的取值范围． 【朝阳一模25参考答案】
【2020石景山一模22】．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =+与函数 (0)k y x x
=>的图象交于
点(1,)A m ，与x 轴交于点B . （1）求m ，k 的值；
（2）过动点(0,)(0)P n n >作平行于x 轴的直线，交函数 (0)k y x x
=>的图象于点C ，
交直线3y x =+于点D .
①当2n =时，求线段CD 的长； ②若CD OB ≥，结合函数的图象， 直接写出n 的取值范围.
【石景山一模22参考答案】．
22．解：（1）∵直线3y x =+经过点(1,)A m ， ∴4m =． …………… 1分
又∵函数k
y x
=的图象经过点(1,4)A ，
∴4k =． …………… 2分 （2）①当2n =时，点P 的坐标为(0,2)， ∴点C 的坐标为(2,2)， 点D 的坐标为(1,2)-. ∴3CD =． …………… 3分
②02n <≤
或3n +≥ ………………………………… 5分
【2020丰台一模21】．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =x +4的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数=k
y x
的
图象的一个交点为M . （1）求点A 的坐标；
（2）连接OM ，如果△MOA 的面积等于2，求k 的值．
【丰台一模21参考答案】21. 解：（1）令x =0， ∴y =4.
∴A （0，4）. ……2分
（2）∵S △AOM =2，AO =4， 1
22
M AO x ⨯⨯=，
∴M x =1. ……3分
① 当M x =1时，M y =5.如下图=
k
y x
过点（1，5）， ∴k =5. ……4分
② 当M x =-1时，M y =3.如下图=k
y x
过点（-1，3），
∴k =-3. ……5分 综上所述，k =5或-3.
【2020延庆一模23】.在平面直角坐标系x O y 中，将点A （2，4）向下平移2个单位得到点C ，反比例函数x
m
y =(m ≠0)的图象经过点C ，过点C 作CB ⊥x 轴于点B . (1)求m 的值；
(2)一次函数y =kx+b (k <0)的图象经过点C ，交x 轴于点D ， 线段CD ，BD ，BC 围成的区域（不含边界）为G ； 若横、纵坐标都是整数的点叫做整点. ⊥b =3时，直接写出区域G 内的整点个数.
⊥若区域G 内没有整点，结合函数图象，确定k 的取值范围.
【延庆一模23参考答案】（1）m ＝4；（2）①1个；②1k ≤-． 【分析】
（1）求出C （2，2），代入m
y x
=
即可得到m 的值； （2）①画出b=3时的函数图象，根据函数图象结合整点的定义判断即可；②根据函数图象判断出当直线CD 过点（3，1）时，区域G 内恰好没有整点，求出此时k 的值即可得到k 的取值范围． 【详解】解：（1）将点 A （2，4）向下平移 2 个单位得到点 C ，则C （2，2）， 将C （2，2）代入m
y x
=
，得4m xy ==； （2）①当b=3时，一次函数y=kx+b 过点（0，3），如图1所示， 由图象可得，区域G 内的整点为（3，1），只有一个；
M
A y
x
O
-1-2-3-1-2-31
23-4-6
-5
4651
23-4-6-5465
x /cm y /cm 1
2345665
4
3
2
1
O
x
y
②由图1可知，当直线CD 过点（3，1）时，区域G 内恰好没有整点， 代入C （2，2）和（3，1）得：2231k b k b +=⎧⎨
+=⎩，解得：1
4k b =-⎧⎨=⎩
，
∴若区域G 内没有整点，k 的取值范围为：1k ≤-．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，一次函数的图象和性质以及新定义的理解，正确理解整点的定义，熟练掌握属性结合思想的应用是解题的关键． 【2020房山一模21】. 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数x
k
y =
的 图象与一次函数1-2=x y 的图象交于A 、B 两点， 已知A （m ，﹣3）． （1）求k 及点B 的坐标；
（2）若点C 是y 轴上一点，且5=ΔABC S ，直接写出点 C 的坐标．
【房山一模21参考答案】
【2020平谷一模23】.在平面直角坐标系中，反比例函数(0)k
y x x
=
>的图象G 与直线:24l y x =
-xOy
交于点(3,)A a ． （1）求k 的值；
（2）已知点(0,)(0)P n n >，过点P 作平行于x 轴的直线，与图象G 交于点B ，与直线l 交于点C ．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点，B 之间的部分与线段AC ，围成的区域（不含边界）为．
⊥当5n =时，直接写出区域内的整点个数； ⊥若区域内的整点恰好为3个，结合函数图象， 直接写出n 的取值范围.
【平谷一模23参考答案】 23.（1）A （3,2）----------1 k=6-----------------2
(2)3-----------------------3 (3) 54≤<n 或10<<n
【2020顺义一模25】. 已知：在平面直角坐标系xOy 中，函数n
y x
=
(n ≠ 0，x>0) 的图象过点A (3，2)，与直线l ：y kx b =+交于点C ，直线l 与y 轴交于点B (0,-1)．
（1）求n 、b 的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数n
y x
=
(n ≠ 0，x>0) 的图象在点A ，C 之间的部分与线段BA ，BC 围成的区域（不含边界）为W ．
①当直线l 过点（2，0）时，直接写出区域W 内的整点个数，并写出区域W 内的整点的坐标； ②若区域W 内的整点不少于．．．5．个，结合函数图象，求k 的取值范围． 【顺义一模25参考答案】
25．解：（1）∵点A （3，2）在函数n
y x
=
的图象上， ∴n =6．……………………………………………………………… 1分
∵点B （0，-1）在直线l ：y kx b =+上，
∴b=-1．……………………………………………………………… 2分 （2）①区域W 内的整点个数为 1 ， …………………………………… 3分 区域W 内的整点的坐标为（3，1） ； ……………………………4分
②（ⅰ）当直线l 在BA 下方时，若直线l 与x 轴交于点（3，0），结合图象，区域W 内有4个整点，
此时：3k -1=0， ∴1
3
k =
． 当直线l 与x 轴的交点在（3，0）右侧时，区域W 内整点个数不少于5个，∴ 0<k <
13
． （ⅱ）当直线l 在BA 上方时，若直线l 过点（1，4），结合图象，区域W 内有4 个整点， 此时k -1= 4，解得 k = 5．
结合图象，可得 k > 5时，区域W 内整点个数不少于5个， 综上，k 的取值范围是0<k <
1
3
或k > 5．…………………………………6分 【2020密云一模22】. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：的图象与反比例函数 A BC W W W 1y x =-(0)k
y x x
=
>
的图象交于点A （3，m ）. （1）求m 、k 的值；
（2）点P （x p ，0）是x 轴上的一点，过点P 作x 轴的垂线，交直线l 于点M ，交反比例函数k
y x
=（0x >）的图象于点N . 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记k
y x
=
（0x >）的图象在点A ，N 之间的部分与线段AM ，MN 围成的区域（不含边界）为W ．
① 当x p =5时，直接写出区域W 内的整点的坐标为 ； ② 若区域W 内恰有6个整点，结合函数图象，求出x p 的取值范围．
【密云一模22题参考答案】
22．（1）解：m =2，k =6 ……………………………2分
（2）①（4,2） ………………………………3分
② 当x p =1时，与直线l 的交点M （1，0），与反比例函数图象的交点N （1，6） 此时在x =1这条直线上有5个整点：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）； ∴ 01p x <<
当x p =6时，与直线l 的交点M （6，5），与反比例函数图象的交点N （6，1）
此时在x =6这条直线上有3个整点：（6，2）（6，3）（6，4）
∴ 67p x <≤
综上所述：01p x <<或 67p x <≤ ………………………………5分
【2020通州一模24】 已知：在平面直角坐标系xOy 中，对于任意实数a(a ≠0),直线y=ax+a-2的图象 都经过平面内一个定点A 。

（1）求点A 的坐标；
(2反比例函数b
y x
=
的图象与直线y=ax+a-2交于点A 和另外一点P （m,n ）. ①求b 的值；
②当n ＞-2时，求m 的取值范围。

【通州一模24参考答案】
【2020燕山一模25】．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：32y x =
与反比例函数(0)k
y x x
=>的图象交于点A (2，a )． (1) 求a ，k 的值；
(2) 横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P (m ，n )为射线OA 上一点，过点P 作x 轴，y 轴的垂线，分别交函数(0)k y x x =
>的图象于点B ，C ．由线段PB ，PC 和函数(0)k
y x x
=>的图象在点B ，C 之间的部分所围成的区域(不含边界)记为W ．
①若PA ＝OA ，求区域W 内的整点个数；
②若区域W 内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．
【燕山一模25参考答案】25．解：(1) 将点A (2，a )的坐标代入32y x =
中，得3
232
=⨯=a ， 将点A (2，3)的坐标代入=
k
y x
中，得k ＝3×2＝6． ………………………2分 (2) ① ∵点P 为射线OA 上一点，且PA ＝OA ，
∴A 为OP 中点， ∵A (2，3)，
∴点P 的坐标为(4，6)．
3分
将4=x 代入6
y x =
中，得32
=y ， 将6=y 代入6y x
=中，得1=x ，
∵PB ，PC 分别垂直于x 轴和y 轴， ∴B (4，
3
2
)，C (1，6)， 结合函数图象可知，区域W 内有54分 ②
213≤<m ，或10
43
<≤m ． ………………………………6分
【2020门头沟一模25】．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y x m m =+≠的图象与y 轴交于点A ，过点()02B m ，
且平行于x 轴的直线与一次函数()0y x m m =+≠的图象，反比例函数4m
y x
=的图象分别交于点C ，D . （1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；
（2）当m = 1时，用等式表示线段BD 与CD 长度之间的数量关系，并说明理由； （3）当BD ≤CD 时，直接写出m 的取值范围.
【门头沟一模25参考答案】
25解：（1）∵过点B （0，2m ）且平行于x 轴的直线与反比例函数4m
y x
=
的图象交于点D ∴42m
m x
=
，． ∴D （2，2m ）. ……………………………………………………………………1分 （2）①当m =1时，()02B ，
，()22D ，， ∵过点B （0，2m ）且平行于x 轴的直线与一次函数()0y x m m =+≠的图象交于点C ， ∴()2C m m ，
． ∴()12C ，
．……………………………………………………………………2分 ∴BD =2CD . ……………………………………………………………………3分
（3）40m m <≥或.………………………………………………………………………5分
【2020大兴一模25】．在平面直角坐标系xOy 中，直线5x =与直线y=3, x 轴分别交于点A ，B ，直线(0)y kx b k =+≠经过点A 且与x 轴交于点C (9，0). （1）求直线y =kx +b 的表达式；
2x =
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB BC CA
，，围成的区域（不含边界）为W．
①结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；
②将直线y=kx+b向下平移n个单位，当平移后的直线与区域W没有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围.
【大兴一模25参考答案】
25.解：（1）由题意可得：
A的坐标是（5,3）
∵C（9，0），
将A，C两点坐标代入y=kx+b中，
得
53, 90 k b
k b
+=⎧
⎨
+=⎩
解得
3
4,
27
4 k
b
⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
327 44
y x ∴=-+
∴直线y=kx+b的表达式是
327
44
y x
=-+……………………………………2分
（2）①3 ……………………………………3分
②n≥3 ……………………………………5分。