5.4一元一次方程的应用4——黄有宇
《一元一次方程的应用》 讲义
《一元一次方程的应用》讲义一元一次方程是数学中的重要基础知识，在我们的日常生活和实际问题中有着广泛的应用。
通过建立一元一次方程，可以将一些看似复杂的问题转化为数学语言，从而找到解决问题的方法。
一、行程问题行程问题是一元一次方程常见的应用场景之一。
比如，甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度为每小时 5 千米，乙的速度为每小时 4 千米，经过 3 小时两人相遇，求 A、B 两地的距离。
我们设 A、B 两地的距离为 x 千米。
甲走的路程为 5×3 ＝ 15 千米，乙走的路程为 4×3 ＝ 12 千米。
由于两人是相向而行，所以他们走过的路程之和等于两地的距离，即 15 ＋ 12 ＝ x，解得 x ＝ 27 千米。
再比如，一辆汽车以每小时 60 千米的速度从甲地开往乙地，4 小时后到达。
返回时由于路况不好，速度变为每小时 48 千米，求返回时需要的时间。
设返回时需要的时间为 x 小时。
根据路程相等，去时的路程为 60×4 ＝ 240 千米，返回的路程为 48x 千米，所以 48x ＝ 240，解得 x ＝ 5 小时。
二、工程问题工程问题也是经常用到一元一次方程的领域。
例如，一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作需要多少天完成？设两人合作需要 x 天完成。
把这项工程的工作量看作单位“1”，甲每天的工作效率为 1/10，乙每天的工作效率为 1/15，两人合作每天的工作效率为 1/10 ＋ 1/15。
根据工作量＝工作效率×工作时间，可得（1/10 ＋ 1/15)x ＝ 1，解得 x ＝ 6 天。
又如，一个水池，有甲、乙两个进水管，单开甲管8 小时可以注满，单开乙管 12 小时可以注满，现在两管同时打开，多少小时可以注满水池？设 x 小时可以注满水池。
甲管每小时的注水量为 1/8，乙管每小时的注水量为 1/12，两管同时开每小时的注水量为 1/8 ＋ 1/12，所以（1/8 ＋ 1/12)x ＝ 1，解得 x ＝ 48 小时。
5.3一元一次方程的应用(二)
关系是：
阴影部分的面积＝192块边长为0.75米 的正方形花岗石的面积;
阴影部分可以分割成4个长为(x+3)米,宽为3米的长方形.Βιβλιοθήκη 例3 一标志性建筑的底面呈
正方形,在其四周铺上花岗石, 形成一个宽为3米的正方形 边框(如图).已知铺这个边框 恰好用了192块边长为0.75 米的正方形花岗石,问标志性 建筑底面的边长是多少?
甲处 原有人数 23 x 乙处
17 20-x 增加人数 增加后人数 23+x 17+20-x
甲处增加后人数=2×乙处增加后人数
若设调往乙处的人数为x，方程又应怎样列?
甲处
原有人数 增加人数 增加后人数 23 20-x
23+20-x
乙处
17 x 17+x
在解决实际问题时,我们一般可以 通过分析实际问题, 抽象出数学问题, 然后运用数学思想方法解决问题.用列 表分析数量关系是常用的方法.
2.一书架能放厚为6.3cm 的书45本.现在准备 放厚为2.1cm 的书,问能放这种书多少 本?
3、我国古代四大发明之一的黑火药,它所用原 料有硝酸钾、硫酸、木炭，它们的重量比是15： 2：3，要配制这种火药320千克，三种原料应取 千克？
应这样设未知数呢？
4、在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196 人，如果要使甲处工作的人数是乙处工作的人数 的3倍，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙 处调x人到甲处，则方程可列为 。 272+x=3（196-x）
3
x
3
4 × 3x+4 × 32
4×3（x+3）
(x+x+6) ×3 4×———— 2
2 × 3(x+6)+2x × 3
5.4一元一次方程的应用(2)——黄有宇
二、小明每天早晨在同一时刻从家里骑车 去学校，如果以9km/h的速度行驶，则可 提早20min到学校；如果以6km/h的速度 行驶，则迟到20min到达学校，求小明的 家到学校的距离。
三、甲乙两人同时从相距100km的两地出发， 相向而行，甲每小时走6km，乙每小时走 4km。甲带了一只狗和他同时出发狗以每小 时10km的速度向乙奔跑，遇到乙即回头向甲 奔去，遇到甲又回头向乙奔去，直到甲乙两 人相遇时狗才停止，问这只狗共跑了多少千 米？
1、在应用方程解决问有关实际问题时，清楚地分辨量之间的 关系，尤其相等关系是建立方程的关键。
2、解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体 过程可省略不写。 3、对于等积变形问题，它的基本数量关系是相关的面积公式， 相等关系的特征是存在不变量，也就是用不同的方法来计算 阴影部分的面积，面积不变。
一纪念碑建筑的底面呈正方形，其四周 铺上花岗石，形成一个宽为3.2米的正方 形边框（如图中阴影部分），已知铺这个 边框恰好用了144块边长为0.8米的正方形 花岗石（接缝忽略不计）,问纪念碑建筑 底面的边长是多少米?
3.2
x
3.2
分析：如图,若用x表示中间空白正方形的边 长，本题的等量关系是什么？ 阴影部分的面积＝ 144块边长为0.8米的 正方形花岗石的面积 怎样用含x的代数式表示阴影部分的面积呢? 你能设计几种不同的计算方法。
5.4 一元一次方程的应用(2)
——体积变形问题
杭州育才中学 黄有宇
运用方程解决实际问题的一般过程是:
1.审题:分析题意,找出题中的数量及其关系; 2.设元:选择一个适当的未知数用字母表示
( 例如
x);
3.列方程:根据相等关系列出方程;
4.解方程:求出未知数的值; 5.检验:检查求得的值是否正确和符合实际 情形,并写出答案. ６.答 写出答案，进行作答.
2024-2025学年度北师版七上数学一元一次方程的应用(第三课时)课件
（2）如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10m
处，两人同时同向起跑，那么经过几秒小强能追上小彬？
解：（2）设 t s后小强能追上小彬.
根据题意，得6 t －4 t ＝10，
解得 t ＝5.
故5s后小强能追上小彬.
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数学 七年级上册 BS版
某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，乘船
顺水速度＝静水速度＋ 水流速度 ；
逆水速度＝ 静水速度 －水流速度.
（3）相遇问题： s甲＋ s乙＝ s总.
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数学 七年级上册 BS版
（4）追及问题： s甲－ s乙＝ s0（ s0为初始距离）.
（5）环形跑道上同时出发的两个人，跑得快的人第一次追上跑
得慢的人，要多跑 一圈 .
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数学 七年级上册 BS版
当C地在A地的上游时，
+10
根据题意，得
＋
＝4，
2.5+7.5
7.5−2.5
20
解得 x ＝ .
3
当C地在A，B两地之间时，
−10
根据题意，得
＋
＝4，
2.5+7.5
7.5−2.5
解得 x ＝20.
20
故A，B两地的距离为 km或20km.
3
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数学 七年级上册 BS版
【点拨】理解题意，正确对三地的位置关系进行分类讨论，并
长时间两人首次相遇？
【思路导航】画出线段示意图分析，从两人所走的路程找出等
量关系，列方程求解.
解：（2）设小华起跑后 x min两人首次相遇.
根据题意，得260（ x ＋1）＋300 x ＝400，
《一元一次方程的应用》 讲义
《一元一次方程的应用》讲义一元一次方程是数学中的重要基础知识，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
掌握一元一次方程的应用，不仅能够提高我们的数学解题能力，还能培养我们用数学思维解决生活中各种问题的能力。
一、一元一次方程的基本概念在深入探讨一元一次方程的应用之前，我们先来回顾一下一元一次方程的基本概念。
一元一次方程指的是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 的整式方程。
其一般形式为：＄ax ＋ b ＝ 0$（其中$a$，＄b$为常数，且$a ≠ 0$）。
例如：＄3x ＋5 ＝14$就是一个一元一次方程，其中$x$是未知数，＄3$是$x$的系数，＄5$是常数项。
二、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤为：1、去分母（如果方程中有分母）：在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，去掉分母。
2、去括号：运用乘法分配律去掉括号。
3、移项：将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边，注意移项要变号。
4、合并同类项：将方程化为$ax ＝ b$的形式。
5、系数化为 1：在方程两边同时除以未知数的系数$a$，得到方程的解$x ＝＼frac{b}｛a}＄。
例如，解方程$2(x 3) ＋ 3 ＝ 5 （x ＋ 1)＄：首先去括号：＄2x 6 ＋ 3 ＝ 5 x 1$然后移项：＄2x ＋ x ＝ 5 1 ＋ 6 3$合并同类项：＄3x ＝ 7$系数化为 1：＄x ＝＼frac{7}｛3}＄三、一元一次方程在行程问题中的应用行程问题是一元一次方程常见的应用场景之一。
基本公式：路程＝速度×时间例如，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。
甲的速度为每小时5 千米，乙的速度为每小时4 千米，经过3 小时两人相遇。
问 A、B 两地的距离是多少？设 A、B 两地的距离为$x$千米。
甲行驶的路程为$5×3 ＝ 15$千米，乙行驶的路程为$4×3 ＝ 12$千米。
由于两人相向而行，所以他们行驶的路程之和等于 A、B 两地的距离，即$15 ＋ 12 ＝ x$解得$x ＝ 27$千米。
青岛版七年级上册数学《一元一次方程的应用》研讨说课复习课件
（2）若吉普车先开40分钟，那么客车开出多长时间两车相遇？
甲
相遇
乙
分析：(2)若吉普车先出发40分钟(即2/3小时)，则等量关系为： 吉普车先行路程+吉普车后行路程+客车路程＝1500
解：（2）设客车开出x小时后两车相遇，依题意可得 60×2/3+60x+（60÷1.5）x=1500 解得：x=14.6
∴ 按照少花钱多办事的原则，应选择由甲、乙 两队合作共同完成。
5、期中考查，信息技术课老师限时40分钟要求每位七年级学生 打完一篇文章．已知独立打完同样大小文章，小宝需要50分钟， 小贝只需要30分钟．为了完成任务，小宝打了30分钟后，请求小 贝帮助合作，他能在要求的时间打完吗 ?
解：设小宝打完30分钟后，请小贝合作x分钟后，打完全文， 则依题意可得：
4 5
1 6
7 . （5 千米）
所以，目的地距学校7.5千米.
1、A、B两站间的路程为448千米，一列慢车从Ａ站 出发，每小时行驶60千米，一列快车从Ｂ站出发，每小时行驶80 千米，问两车同时、同向而行，如果慢车在前，出发后多长时间 快车追上慢车？
画图分析 快车行驶路程
A 相距路程 B 慢车行驶路程 分析：此题属于追及问题，等量关系为：
1、一件工作，甲单独做需50天才能完成， 乙独做需要45天完成。问在乙单独做7天以 后，甲、乙合作多少天可以完成。
1 分析：甲独做需50天完成，工作效率 50 ；
乙独做需45天完成，工作效率 1 . 45
相等关系：
全部工作量=乙独做工作量+甲、乙合作的工作量。
1、一件工作，甲单独做需50天才能完成， 乙独做需要45天完成。问在乙单独做7天以 后，甲、乙合作多少天可以完成。
北师大版数学七年级上册第五章《一元一次方程——方程的应用1》精品课件
解这个方程，得 x=30
① ②③
答：参加书画社的有30人。
如果把例题的已知条件“两个社都参加的有20人”中 的“20人”改为“23人”，其余都不变，那么结果 将怎么样？
勤于巩固2：（列方程解应用题）
某班有学生45人，会下象棋的人数是会下 围棋人数的3.5倍，两种棋都会或都不会的人 数都是5人，求会下围棋的人数。
喜于收获：
勤于巩固3：
1
4
1. 在一列车上的乘客中，3 是成年男性，7 是成年女性，剩余
的是儿童，若儿童的人数是42，求： （1）乘客的总人数。 （2）乘客中成年男性比成年女性多多少人？
2.从某个月的月历表中取一个2×2方块。已知这个方块所 围成的4个方格的日期之和为44，求这4个方格中的日期。
•
勤于巩固1：
已知三个连续奇数的和为57，求最大 的数。
乐于合作1：
例1：七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社，已
知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社
都参加的有20人，问参加书画社的有多少人？
解：设参加书画社有x人，那么参加文 学社的有（x+5）人。
根据题意，得 x+（x+5）-20=45
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月29日星期四2021/7/292021/7/292021/7/29
作业布置
见作业本
Zx.xk
浙教版初中数学七年级上册《543一元一次方程的应用(三)调配问题》课件
去括号，得 5x = 144 –3x
移项及合并，得 8x = 144
x = 18
运土的人数为 48 – x = 48 –18 = 30
答：应安排18人去挖土，30人去运土，正好能使挖出的 土及时运走。
◆41人参加运土劳动，有30根扁担，安排多少人抬， 多少人挑，可使扁担和人数相配不多不少？
解：设有x人挑土，根据题意，得
41-x
X+ 2
=30
解这个方程，得x=19
41-x=41-19=22
答：安排22人抬，19人挑，可使扁担和人数 相配不多不少。
答：甲处原有煤100吨，乙处原有煤120吨
练习： 某车间22名工人生产螺钉和螺母，
前面学了哪两种类型？xuekewangzxxk
---行程问题
---等积变形问题xuekewangzxxk
调配问题
劳力调配应用题
问题一
例5、学校组织植树活动，已知在甲处植
树的有23人，乙处植树的有17人，现调20 人去支援，使甲处植树的人数是乙处植树 的人数2倍，应调往甲、乙两处各多少人 ？
例1、学校组织植树活动，已知在甲处植树的 有23人，乙处植树的有17人，现调20人去支 援，使甲处植树的人数是乙处植树的人数2倍， 应调往甲、乙两处各多少人？
解：设甲处原有煤x吨，根据题意，得 3（x-45）=（220-x）+45 解这个方程，得x=100 ∴220-x=220-100=120
答：甲处原有煤100吨，乙处原有煤120吨
例2 甲每天生产某种零件80个， 甲生产3天后，乙也加入生产同 一种零件，再经过5天，两人共 生产这种零件940个。问乙每天 生产这种零件多少个?
4.4一元一次方程的应用(例5)
4.4一元一次方程的应用（例5）导读：本文4.4一元一次方程的应用（例5），仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
教学内容：人见教版初一代数4.4一元一次方程的应用（例5）[目的要求]：1. 使学生能分析问题中的相等关系，会列出一元一次方程，解简单的调配问题的应用题；2. 使学生能从应用题所求的两个未知数中选设一个，通过列方程求得这个未知数的值后，再利用它与另一个未知数以及某些已知数的关系，求得另一个未知数的值。
[重点]设未知数，列方程[教学过程]（一）板书课题，揭示教学目标同学们，本节课我们继续学习“4.4一元一次方程的应用”（板书），教学目标是学会选设未知数，正确的列出一元一次方程，解有关调配问题的应用题。
调配问题应用广泛，类型多，有一定的难度，但我相信，只要同学们积极动脑，认真学习，就一定能够学好它。
（二）自学前的指导1.明确自学内容、方法、要求。
先请同学们认真看课本225页到226页例6以前的内容，理解例5的相等关系，注意例5是怎样设未知数列方程的。
5分钟后比谁能正确地解与例5类似的应用题。
2.出示思考题：1) 在甲处劳动的有28人，在乙处劳动的有10人，现另调10人去支援，使在甲处的人数为乙处的三倍，应调往甲乙两处个多少人？2) P228第1题；3) P229第2题；4) P229第3题；（三）学生自学1. 学生自学，教师巡视，了解学生的疑难问题。
2. 检查自学效果。
1) 请4名学生板演4道思考题，其余学生在各自座位上做。
2) 教师巡查。
（将学生中出现的问题用黄色粉笔板书在黑板上对应处，供讲评时用）（四）点播、矫正1. 评判、矫正1) 同时评判四个学生将未知数设得对不对。
[如果全对，则引导学生在设未知数时注意：在两个未知数中选一个设为X后，不要忘记用含X的代数式表示另一个未知数。
] [如果有错误，老师引导学生矫正。
]估计存在的问题：第3题，设两池原来各有水X吨；第4题：设每一部分的面积为xm2。
一元一次方程的应用ppt课件
知1－练
3-1. [期末·上海松江区]甲、乙两个车间工作人员的人数之
知1－练
比是3∶ 4，乙车间突然遇上紧急事件，急需增加人员，
即刻从甲车间调出12人到乙车间，这时甲车间人数是
乙车间人数的 ，甲车间原有多少人？
解：设甲车间原有3x人，则乙车间原有4x人，
(1) 求八年级选取的人数；
解：设八年级选取x人，则九年级选取2x人，
由题意，得25＋x＋2x＝100，解得x＝25.
答：八年级选取25人．
知1－练
(2)如果下一次学校选取志愿者，七年级的人数至少要
30人，则七年级志愿者人数至少要增加百分之几？
解：(30－25)÷25＝20%.
答：七年级志愿者人数至少要增加20%.
若甲、乙同时出发，则相遇时，甲用的时间 = 乙用的时间 .
(2) 追及问题中的相等关系： ①当快者追上慢者时，快者走的
路程 －慢者走的路程 = 追及路程；②若同时出发，当快者
追上慢者时，快者用的时间 = 慢者用的时间 .
(3) 航行问题中的相等关系： 顺水(顺风)速度 = 静水(无风) 速度
+ 水(风)速，逆水(逆风)速度 = 静水(无风)速度 －水(风)速 .
速度为 60 km/h，一列快车从乙站开出，速度为 90 km/h.
(1)若两车相向而行，慢车先开 30 min，快车开出几小时
后两车相遇？
(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距
1 800 km ？
(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小
时后两车相距 1 200 km(此时快车在慢车的后面)？
同向：两列火车所行路程的差 = 两列火车车身长的和 .
5.1认识一元一次方程——黄有宇好课大赛
(k 1) x|k | 21 0 是一元一次方程,则k=_-1_ 3. __
-2 4. (k 2) x 2 kx 21 0是一元一次方程,则k =____
5. ( k 1) x 2 (k 1) x 3 0 是一元一次方程, 则k= 6.
-1
是一元一次方程,则k= 0或-0.5 。
a 2, b 3
继续探究
驴和马一同走,它们共驮着12袋货物,每袋货物的重量
一样,驴抱怨太重,马就说:“你抱怨什么？如果你给我
一袋，那我所负担的就是你的两倍。”那么驴原来驮了
几袋呢？ 解：设驴原来驮了x袋，则马原来驮（12-x）袋。
2(x-1)=12-x+1
如果不解方程，你可以得出未知数x的值吗？
判断下列t的值是否是2t＋1＝7－t的解？
（1）t＝-2
（2） t＝2
由此可知，t＝2是2t＋1＝7－t的解。
检验一个数是不是方程的解的步骤有哪些？
检验一个数是不是方程的解的步骤：
１.将数值代入方程左边进行计算， ２.将数值代入方程右边进行计算，
比较左右两边的值，若左边＝右边， 则是方程的解，反之，则不是。
丢番图是古希腊亚历山大学后期的重要学者和数学家
上帝给予丢番图的童年占六分之一； 又过十二分之一，两颊长胡； 再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛； 五年之后天赐贵子； 可怜迟到的宁馨儿 享年仅及其父之半，便进入冰冷的坟墓； 悲伤只有用算术的研究去弥补， 又过四年，他也走完了人生的旅途。
（关键：找数量、等量关系）
新知巩固
1.下列式子中，哪些是方程？哪些是一元一次方程？
(1) 3x 1 5; (2) 1 y 2; (3) 2a 3b;(4) 3x 4-5 2 3x-1 (5) x 1 0 ; (6) 2 5; (7) 4 2x ; x 2 2 (8) y 3 y 0; (9) 9x -y 2
《一元一次方程的应用》 讲义
《一元一次方程的应用》讲义一、一元一次方程的基本概念首先，咱们来了解一下啥是一元一次方程。
简单说，一元一次方程就是含有一个未知数，并且这个未知数的次数是 1 的等式。
比如 3x ＋5 ＝ 17 ，这里只有一个未知数 x ，而且 x 的次数是 1 。
一元一次方程一般的形式是：ax ＋ b ＝ 0 （其中 a 、 b 是常数， a ≠ 0 ）。
在解决实际问题时，我们经常需要通过设未知数、找等量关系来列出一元一次方程。
二、一元一次方程在行程问题中的应用行程问题是一元一次方程常见的应用场景之一。
比如说，小明骑自行车以每小时 15 千米的速度去某地，回来时因为逆风，速度变成了每小时 10 千米，去的时候用了 3 小时，问回来用了多长时间？咱们可以设回来用的时间为 x 小时。
去的路程＝回来的路程，根据路程＝速度×时间，去的时候速度是 15 千米/小时，时间是 3 小时，所以路程是 15×3 ＝ 45 千米。
回来的速度是 10 千米/小时，时间是 x 小时，路程就是 10x 千米。
那么就可以列出方程： 10x ＝ 45 ，解得 x ＝ 45 ，所以回来用了 45 小时。
再比如，甲乙两人同时从 A 、 B 两地相向而行，甲的速度是每小时 8 千米，乙的速度是每小时 6 千米， 3 小时后两人相遇，问 A 、 B 两地相距多远？设 A 、 B 两地相距 x 千米。
甲走的路程＋乙走的路程＝总路程，甲 3 小时走的路程是 8×3 ＝24 千米，乙 3 小时走的路程是 6×3 ＝ 18 千米。
方程就是： 24 ＋ 18 ＝ x ，解得 x ＝ 42 千米， A 、 B 两地相距 42 千米。
三、一元一次方程在工程问题中的应用工程问题也是常考的类型。
比如一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成，两人合作需要几天完成？设两人合作需要 x 天完成。
把这项工程的工作量看成单位“ 1 ”，甲每天的工作效率就是 1/10 ，乙每天的工作效率就是 1/15 。
5.4 一元一次方程的应用 - 第4课时课件(共19张PPT)
2021年的生产总值
2022年增长的产值
2022年的生产总值
x
1.2021年的生产总值+2022年增长的产值=2022年的生产总值
7.3%x
95 930
3.依题意，得x+7.3%x=95 930解得x≈89 404答：2021年该企业的生产总值为89 404万元.
解析：设小华购买了 x 个笔袋，根据题意，得18(x-1) -18×0.9x=36，解得x=30，所以 18×0.9x=18×0.9×30=486.故小华结账时实际付款486元.
486
3.张叔叔用若干元人民币购买了一种年利率为10%的一年期债券,到期后他取出本金的一半用于购物,剩下的一半及所得的利息又全部买了这种一年期债券(利率不变),到期得本息和1 320元,问张叔叔当初购买这种债券花了多少元?
小结
1.销售问题中的关系式 利润＝售价－进价，利润＝进价×利润率； 利润率＝ ×100%＝ ×100%； 售价＝标价×折扣率＝进价＋利润＝进价×(1＋利润率)．
2.销售中的盈亏
总售价＞ 总成本
总售价＜ 总成本
总售价＝ 总成本
盈 利
亏 损
不盈不亏
随堂练习
1.某服装进货价为80元/件，标价为200元/件，商店将此服装打 x 折销售后仍获利50%，则 x 为( )A.5 B.6 C.7 D.8
解析：根据题意列方程，得200×-80=80×50%，解得 x=6.
B
2.某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润率增加了8%，那么这种商品原来的利润率是多少？
九年级数学教案 一元一次方程的应用9篇
九年级数学教案一元一次方程的应用9篇一元一次方程的应用 15.3 用方程解决问题（2）--打折销售学习目标：1、进一步经历运用方程解决实际问题的过程。
2、提高学生找等量关系列方程的能力。
3、培养学生的抽象、概括、分析和解决问题的能力。
4、学会用数学的眼光去看待、分析现实生活中的情景。
重点：1.如何从实际问题中寻找等量关系建立方程，解决问题后如何验证它的合理性.2. 解决打折销售中的有关利润、成本价、卖价之间的相关的现实问题。
难点：如何从实际问题中寻找等量关系建立方程.学习指导：一、知识准备1.通过社会调查，亲历打折销售这一现实情境，了解打折销售中的成本价、卖价和利润之间的关系。
进而能根据现实情境提出数学问题。
2.谈一谈：请举例说明打折、利润、利润率、提价及削价的含义分别是什么？3.算一算：（1）原价100元的商品，打8折后价格为元；（2）原价100元的商品，提价40%后的价格为元；（3）进价100元的商品，以150元卖出，利润是元。
二、学习新课一、思考：1、把下面的“折扣”数改写成百分数。
九折八八折七五折2、你是怎样理解某种商品打“八折”出售的？二、问题：1、说说“打折销售”中自己有过的亲身经历。
2、假设你是一个商店老板，你的追求是什么？3、你是怎样理解商品的利润？三、新知探讨1 、你认为商品的标价、折数与商品的卖价之间有怎样的关系？2、结合实际，说说你从打折销售中可以获得哪些数学问题？（1）某商店出售一种录音机，原价430元，现在打九折出售，比原价便宜多少钱？（2）一种画册原价每本16元，现在按每本11.2元出售。
这种画册按原价打了几折？（3）、为庆祝“六一儿童节”，某书店所有儿童读物一律八折优惠，小明花了24元买了一套读物，请问这套读物原价是多少？（4）一家商店将某种服装按成本价提高40%后卖出，已知每件服装的成本价是125元，每件服装获利多少？2、例题：一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8 折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？如果设每件服装的成本价为x元，根据题意，（1）每件服装的标价为：（）（2）每件服装的实际售价为：（）（3）每件服装的利润为：（）（4）列出方程，并解答：四、回顾与反思通过这节课的学习，你最大的收获是什么？在调查中你还遇到哪些难解的问题，看看大家是不是可以给你解答？作业：作业纸。
数学六年级(下)沪教版(一元一次方程的应用B)教师版
数学六年级（下）沪教版（一元一次方程的应用B）教师版数学学科教师指导讲义年级：预初指导科目：数学课时数：3课时课题一元一次方程的应用B1.会运用题目中等量关系列出方程；教课目标2.娴熟掌握一元一次函数在实质生活中的应用.教课内容【知识梳理】列方程解决实质问题的一般步骤①审题：弄清题意及题目中的数目关系．②设元：用字母表示题目中的一个未知数．③列方程：依据题目中的等量关系列方程．④解方程；求出未知数．⑤查验：查验所求解能否切合题意．⑥作答．2.利率问题利息=本金×利率×期数本利和=本金十利息=本金×（1＋利率×期数）利息税=利息×税率税后利息=利息一利息税=利息×（1－税率）税后本利和=本金＋税后利息折扣问题收益额=成本价×收益率售价=成本价＋收益额新售价=原售价×折扣4.行程问题解行程问题的重点是抓住时间关系或行程关系，借助草图剖析来解决问题．行程=速度×时间相遇行程=速度和×相遇时间追及行程=速度差×追实时间5.工程问题解工程问题时，常将工作总量看作整体“1”．基本关系为：工作效率×工作时间=1（工作总量）【典型种类解说】题型一：按比率分派问题【点拨】此类问题，我们常常设一重量为未知数，即如已知两个量之比为a:b，则设这两个量分别为ax和bx，再依据“各部重量之和”或“各部重量之差”等等量关系来列方程求解．1/8数学六年级（下）沪教版（一元一次方程的应用B）教师版【例1】某一服饰师做成一件衬衣，一条裤子，一件外衣所用的时间之比为1:2:3．他用20个工时能做2件衬衣、3条裤子和4件上衣，那么他做一件衬农、一条裤子、一件外衣分别需要几个工时？【剖析】题目中出现了比率“1:2:3”，故可设未知数分别为x、2x、3x，则做2件衬衣用2x个工时，做3条裤子用(32x)个工时，做4件外衣用(43x)个工时，而后依据做这些服饰的总工时成立等量关系，列出方程．【答案】设服饰师做一件衬衣需 x个工时，则他做一条裤子、一件外衣所用的工时分别为22x和3x，依据题意，得2x 3 2x 4 3x2020x 20x1所以，他做成一件衬衣需1个工时，做成一条裤子需2个工时，做成一件外衣需3个工时．【小题大做】1.在第25届、第26届奥运会上，中国代表团共获取了60枚金牌，这两届奥运会中国获取的金牌数之比是7:8，问第25届运动会上中国代表团共获取多少枚金牌.【答案】28枚.题型二：利率问题【点拨】若利率是年利率，期数以“年”为单位计数，假如月利率，则期数以“月”为单位计数，解题时要注意.【例2】某人把若干元按三年期的按期积蓄存入银行，假定年利率为 3.69%，到期支取时扣除所得税实得利息2103.3元，求存入银行的本金．（利息税为5%）【剖析】利息=本金×利率×期数×利息税【答案】设存入银行的本金为x元，依据题意，得x 33.69％15％2103.3x 0.1051652103.3x 20000,所以，存入银行的本金是20000元．【小题大做】1.小明的妈妈在银行里存入人名币5000元，国家规定存款利息的纳税方法是：利息税=利息×20％，储户存款时由银行代扣代收.存期一年，到期可得人名币5090元，求这项积蓄的年利率是多少？【答案】50005000x11205090x2.25.题型三：折扣问题【例3】小丽和小明相约去书城买书，请你依据他们的对话内容（如图），求出小明上一次所买书本的原价．2/8数学六年级（下）沪教版（一元一次方程的应用B）教师版图641【剖析】设小明上一次购置书本的原价是x元，由题意，得0.8x 20 x12，解得x160．所以，小明上一次所买书本的原价是160元，【答案】160元.【小题大做】1.一家商铺将某种服饰按成本价涨价40％作为标价，又以8折（即按标价的80％）优惠卖出，结果每件服饰仍可获利15元，问这种服饰每件的成本价是多少元？【答案】125元.题型四：行程问题【例4】小杰和小丽分别在400米环形跑道上联系跑步与竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟走120米，两人同时由同一同点同向出发，问几分钟后小丽与小杰第一次相遇.【剖析】因为小杰、小丽在环形跑道上同时同地同向出发，所以小丽与小杰第一次相遇，一定是小杰比小丽多跑一圈，获取的等式是：小杰所跑的行程—小丽所走的行程=400.因为“速度×时间=行程”，所以三个量中只需已知此中两个量就能够获取第三个量.【答案】设x分钟后小丽与小杰第一次相遇.依据题意，得320 120x400解方程，得x2答：出发2分钟后小丽与小杰第一次相遇.【小题大做】1.小丽、小明在 400米环形跑道上练习跑步，小丽每分钟跑220米，小明每分钟跑280米，两人同时由同一同点反向而跑，几分钟此后小丽与小明第一次相遇？【答案】0.8分钟.题型五：工程问题【例5】一项工程甲做40天达成，乙做50天达成，此刻先由甲做，半途甲有事离开，由乙接着做，共用46天达成．问甲、乙各工作了多少天？3/8数学六年级（下）沪教版（一元一次方程的应用B）教师版【剖析】由题意知，甲每日达成所有工作量的1，乙每日达成1，设甲工作了x天，则乙工作了（46x）天，x46x 4050依据题意，得1．解得x16，则461630（天）．4050故甲工作了16天，乙工作了30天．【答案】甲工作16天，乙工作30天．【小题大做】1.某工程由甲独做需18天达成，由乙独做需12天达成，此刻乙先做2天，再甲、乙两人合作，合作几日可达成这件工程？【答案】6天.【随堂练习】1．活期积蓄月息是0.12%，假如积蓄5000元，5个月后可得的税后利息是____元．（利息税为5）2．某同学把积攒的零用钱100元存人银行，假如月利率是0．15%,那么x个月后，连本带利可取回元钱．3．一列快车和一列慢车从相距300千米的两站同时开出，相向而行，3小时相遇，若快车每小时走x千米，则慢车每小时行____千米．4．船在静水中的速度是每小时24千米，水流速度是每小时2千术，那么船顺流航行x小时行了____千米．5．某人从A地出发，先上山，再下山到B地共走0.4千米，再由B地顺原路返回，已知上山速度为m千米/时，下山速度为n千米/时，那么从A地到B地再回到A地所用时间是____小时.【答案】；2.1000.1425x；3.100x；26x；0.4 0.45..m n6．一项工程甲独做3天达成，乙独做7天达成，两人共同达成所有工程需多少天？若设两人合作共同达成所有工程需x天，可列方程().A．3x7x1B．11D．C．x137x x13 71 1x1 3 77．三个连续奇数的和比此中最小的奇数大128，则最小奇数是()．A．69B．65C．63D．614/8数学六年级（下）沪教版（一元一次方程的应用B）教师版8．甲组有 40人，乙组有26人，如何调换才能使甲组人数是乙组人数的2倍？设从甲组调x人到乙组，列方程，得40 x 226 x，则x4，答案应是()．A．无解B．从甲组调4人到乙组C从乙组调4人到甲组D．没法确立【答案】BDC.9．甲、乙、丙三个乡合修水利工程，依据得益土地的面积比3:2:4分担花费1440元，三个乡各分担多少元？【答案】三个乡个分担：480元、320元、640元.10．已知A、B两地相距120千米，乙的速度比甲每小时快1千米，甲先从A地出发2小时后，乙从B地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲、乙的速度．【答案】甲的速度为5千米/小时，乙的速度是6千米/小时.11．天气转冷了，大明爸爸去为外公外婆买了一台空调，零售价为4400元，因为正当圣诞节，商铺搞促销活动，按零售价的80％降低销售，营业员说这样商铺盈余10%，问照此说法空调的进价是多少元？【答案】3200元.12．小丽的妈妈在银行里存入人民币10000元，存期一年，取款时银行代扣20%的利息税，实质取走10180元，求这项积蓄的年利率是多少？【答案】2.25.【讲堂总结】【课后作业】（一）基础复习稳固一、填空题：1.化简：8:6=______________；30:80=________________.2.已知：x:y2:3;y:z6:7，则x:y:z=__________________.3.已知三角形的三个内角的度数比是1:2:7，则这三个内角的度数分别是_________________.4.某同学买了一些80分邮票和1元邮票共花了16元，已知所买1元邮票2枚，80分邮票若干枚，设买了80分邮票x枚，则依据题意可列得方程________________________.5.利息=____________________；税前本利和=_________________．5/8数学六年级（下）沪教版（一元一次方程的应用 B ）教师版6．某商品按原价的九折销售，买这种商品 2件需要126元，这件商品原价 _____________元．7．在银行里积蓄2000元，假如月利率为x ，那么一年后的本利和是 ______________（不计利息税）．8．小杰和小丽分别在 400米环形跑道上练习跑步与竞走，小杰每分钟跑 320米，小丽每分钟走120米，两人同时由同一同点同向出发，问 ____分钟后，小杰与小丽第一次相遇 . 【答案】1.4:3；3:8；2.4:6:7 ；3.18°、36°、126°；4.2 1 80x 16；5本金×利率×期数；本金 +利息； 70元；20002000x ； 8.2分钟.二、选择题：9．一双皮鞋此刻售价为1OO 元，比原价降低了20%，原价为()A ．80元B．125元C.120元D．145元10．有x 位学生疏派宿舍，如每间住 4人，最后剩余 1间，那么宿舍的间数是()A ．x1B ．x1 C ．4x1D ．x144411．第一小队有52人，第二小队有42人，从第一小队调人到第二小队，令人数相等，那么第一小队应调（）A.2人B.3人 C.4人D.5人【答案】BBD.三、解答题：13.有银和铜的合金 200克，此中含银2份，含铜3份，此刻要改变合金成分，使它含银4份，含铜7份，应当加入铜多少克？【答案】设应当加入铜2 :2003x 克.2002x4:7.x202 3314．某班属羊的学生占全班的 80%，比属其余生肖的学生多 30人．这个班的学生人数是多少？【答案】设该班人数为 x .80 x180 30.x 50.长方形的长与宽的比为5:2，它的周长为56厘米，求这个长方形的面积．【答案】160cm 2.16.2000元人民币存入银行，按期2年，年利率为 x ，扣除20%的利息税后，到期获得本利和2086.4 元．求年利率6/8数学六年级（下）沪教版（一元一次方程的应用 B ）教师版为多少？【答案】200012x1202086.4.x2.7.17. 某商场购进一种电器，进货的成本为每件 400元，元旦时期，该商场决定对这种电器按售价的 8折销售，此时 每卖出一件这种电器，商家只好获取 10%的收益．这种电器本来的售价是多少？ 【答案】假定售价为 x 元.x80 400 40010 .x 550（元）18. 甲、乙两辆汽车从A 站出发，同向而行，甲每小时走 36千米，乙每小时走 48千米．若甲车比乙车早出发 2小时，则乙车经过多少时间才能追上甲车？【答案】设乙车经过 x 小时追上甲车.48x36x 2.x 6.19. 要加工200个部件，甲先独自加工了 5小时，而后又与乙一同加工了 4小时，达成了任务，假如甲每小时比乙 多加工2个部件，那么甲、乙每小时各加工多少个部件？【答案】设乙每小时加工 x 只部件.4x9x 2 200.x 14.x 216.二、综合能力提升 已知船在静水中的速度为10米／秒，若水速为2米／秒，求顺流、逆水速度；(2)若船顺流行驶了5小时以后，又沿原路返回行驶了7小时30分，问水速是多少？【剖析】解决这个问题，只需明确：顺流速度（或顺风速度） =静水速度（或无风速度）＋水速（或风速），逆水速度（顶风速度）=静水速度（无风速度）－水速（风速），再由行程问题的基本公式svt 就能够进行求解.这种问题，对本例中(1)直接依据上述公式可求，对本例中 (2)，因为去与回的行程同样，不过速度与所用时间不一样，则依据不一样状况也可列方程．【答案】(1)设顺流速度为x 米／秒，依据题意得x 102x 12y 米／秒设逆水速度为10 y2y8答：顺流速度12米/秒，逆水速度 8 米/秒．(2)设水速为x 米／秒，则顺流速度为 ( 10x )米／秒，逆水速度(10x )米/秒，依据题意得，510 x 30 10 x760解得,505x 15 1510 x2 27/8数学六年级（下）沪教版（一元一次方程的应用B）教师版25x 252x 2答：水速为2米／秒.【点拨】在解应用题时，所用的单位必定要一致，不然将会犯错．如本例中时间的单位有小时．有分钟，一致为同一单位后列方程才不会致使错误．8/8。
2021完整版《一元一次方程的应用》PPT课件9
17人。现调20人去支援，使在甲处植
树的人数是乙处植树人数的 32 倍，应调
往甲、乙两处各多少人？
在解决实际问题时,我们一般可以 通过分析实际问题, 抽象出数学问题, 然后运用数学思想方法解决问题.用列 表分析数量关系是常用的方法.
看谁算得快
①已知一批零件250个，要求5小时完成，每小时加工
__5__0__个。
PPT素材：/sucai/ PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/ PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shu xue/ 美术课件：/kejian/me ishu/ 物理课件：/kejian/wul i/ 生物课件：/kejian/she ngwu/ 历史课件：/kejian/lish i/
甲处
原有人数 23 增加人数 x 增加后人数 23+x
乙处
17 -x 17-x
甲处增加后人数=3×乙处增加后人数
解： 设应调往甲处 x 人，根据题意，得
23+ x =3（17- x ）. 解这个方程，得 x =7.
答：应从乙处调出7人去甲处.
变式训练1.学校组织植树活动，已知
在甲处植树的有23人，在乙处植树的有 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
69.任何业绩的质变都来自于量变的积累。 20.外在压力增加时，就应增强内在的动力。 87.成功是什么？就是走过了所有通向失败的路，只剩下一条路，那就是成功的路。 6.人生舞台的大幕随时都可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。 48.摔倒了十次就再也不愿爬起来，他就永远是失败，但是他哪怕是摔倒了一百次次，他一百次零一次继续站起来，往前走实在站不起来了，我爬也要爬着往前走，这就叫成功。这个世界上失去 什么东西都不可怕，惟一可怕的是失去你的心，失去你的勇气，只要你坚韧不拔地奋斗，只要你眼睛看向未来，生命就永远属于你，生命的辉煌也一定永远属于你。
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8
例6 某车间有16名工人，每人每天可加工甲
种零件5个或乙种零件4个，已知每加工一 个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种 零件可获利24元。若此车间一共获利1440 元，则这一天有几个工人加工甲中零件？
9
10
请问这张存单给你哪些信息？ 你对哪条信息比较有兴趣？
解:设:小明存入银行的压岁钱有x元,由题意得：
解得:x=500
检验：x=500适合方程,且符合题意.
答:小明存入银行的压岁钱有500元.
15
作业题:
老王把5000元按一年期的定期储蓄存入银行， 到期支取时，扣去利息税后实得本利和为 5080元。已知利息税税率为20%，问当时一 年期定期储蓄的年利率为多少？
解得：x=30（人）
答：参加书画社的人数为30人。
20
例8.七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社。已知参 加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的 有20人，问参加书画社的有多少人？
4、回顾：
①把30代入方程，左边=右边，说明解方程正确， 显然也符合题意；
②应用方程解决问题时，常用如本例的图示法来 帮助分析数量关系，并建立方程；
课内练习2
21
某班有学生45人，会下象棋的人数是会下围棋人 数的3.5倍，两种棋都会及两种棋都不会的人数都是 5人，求只会下围棋的人数.
22
本节课你学到了什么? 有什么体会？
5.4
一元一次方程的应用（4）
——配套问题、储蓄利率问题、集合问题
杭州育才中学 黄有宇
1
知识回顾
甲仓库储粮35吨，乙仓库储粮19吨，现调粮 食15吨，应分配给两仓库各多少吨，才能使 得甲仓库的粮食数量是乙仓库的两倍？
2
3
例1 某车间22名工人生产螺钉和螺母，
每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000 个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天 的产品刚好配套，应该分配多少名工人生 产螺钉，多少工人生产螺母？
分析：
生产速度：螺钉1200个 螺母2000个
数 量：120螺0x钉 ：2螺00母0(22-x) = 1：2
生产x螺钉+生产22螺-x母 =22
4
例2 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒
身16个，或盒底43个，一个盒身与两个盒 底配成一套罐头盒。现有150张白铁皮，用 多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好 制成整套罐头盒？
12
银行存款涉及哪些数量? 它们有什么样的联系呢?
本金 利息 年利率 利息税税率 实得本利和
本金利率 利息 利息 利息税税率=利息税 本金+利息-利息税=实得本利和
13
1、小明把5000元按一年期的定期储蓄存入银行，年
利率为1.98%，到期后可得利息5000×1.98% 元。
2、小明把x元按一年期的定期储蓄存入银行，年利
分析： 生产速度：大齿轮16个 小齿轮10个 数 量：1大6x : 10(1小5—x) = 2：3
大的x人数+小85的—人x数=85
7
例5 一个大人一餐能吃四个面包，四个幼
儿一餐只吃一个面包，现有大人和幼儿共 100人，一餐刚好吃100个面包，这100人 中大人和幼儿各有多少人？
分析： 一餐能吃的数量：大4个 小1/4个 面包总数：4大x 人吃的+幼1/儿4(吃10的0—x) = 100
两个社都参加的人数
参加 文学 社的 人数
只参加文学社的人数
+ = 参加书画
社人数
参加文学 社人数
两个社都 参加人数
总人数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
19
例8.七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社。已知参 加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的 有20人，问参加书画社的有多少人？
3、执行计划： 解：设参加书画社的有x人，那么参加文学社 的有（x+5）人 由题意得：（x+5）+x-20=45
分析： 每张铁皮可制： 盒身16个，或盒底43个 数 量：1盒6x身 ：43盒(1底50-x) = 1：2
生产x盒身+生15产0盒-x底=150
5
例3 一张学生桌由一个桌面和四条腿组成。若
1立方米木料可制作桌面50个或桌腿300条， 现有15立方米木材，请你设计一下，用多少 木料做桌面，用多少木料做桌腿恰好配套？
11
合作交流
例7：小明把压岁钱按定期一年存入银行.当时一年期 定期存款的年利率为1.98%,利息税的税率为20%.到期 支取时,扣除利息税后小明实得本利和为507.92元.问小 明存入银行的压岁钱有多少元?
思考:本题中本金多少?利息多少?利息税多少?
设哪个未知数?根据怎样的等量关系列出方程? 如何解方程?
率为1.98%，到期后可得利息 1.98%x 元。
3、小明把x元按一年期的定期储蓄存入银行，年利率
为1.98%，利息税的税率为20%，到期后应交利息
税 01.09083%96xx×20% 元。
最后小明实得本利和为
0.97624X 元。
（x+0.0198x–0.00396x）
14
例7 小明把压岁钱按定期一年存入银行.当时一年期 定期存款的年利率为1.98%,利息税的税率为20%.到期 支取时,扣除利息税后小明实得本利和为507.92元.问小 明存入银行的压岁钱有多少元?
解：设一年期定期储蓄的年利率为x,由题意得
解得：x=2%
检验：x=2%适合方程，且符合题意． 答：当时一年期定期储蓄的年利率为２％.
16
17
例8.七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社。 已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人， 两个社都参加的有20人，问参加书画社的有多少人？
1.理解问题:
分析： 1立方米木料可制作：桌面50个 桌腿300条 数 量：5桌0x面 : 300(腿15—x) = 1：4
生产x桌面+生15产—桌x腿=15
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例4 机械厂加工车间有85名工人，平均每
人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个。2个 大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安 排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每 天加工的大小齿轮刚好配套？
已知参加两个社的总人数，两个社都参加的人数 及每个社的人数关系，要求的是参加书画社的人 数。
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例8.七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社。已知参 加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的 有20人，问参加书画社的有多少人？
2.制订计划：
只参加书画社的人数
参加 书画 社的 人数