第5讲指数与指数函数分析

第5讲指数与指数函数最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4.知道指数函数是一类重要的函数模型．知识梳理1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn＝na m (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a＞0，b ＞0，r，s∈Q.2．指数函数的图象与性质y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0，1)(4)当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1(5)当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)(4（－4）)4＝－4.(×) (2)(－1)24＝(－1)12＝－1.(×) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．(×) (4)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14|x |的值域是(－∞，1]．(×)2．已知函数f (x )＝a x (0＜a ＜1)，对于下列命题： ①若x ＞0，则0＜f (x )＜1；②若x ＜1，则f (x )＞0； ③若f (x 1)＞f (x 2)，则x 1＜x 2. 其中正确的命题( )A ．有3个B ．有2个C ．有1个D ．不存在 解析 结合指数函数图象可知①②③正确． 答案 A3．(2014·陕西卷)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x解析 ∵a x ＋y ＝a x ·a y ，满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，∴可先排除A ，C ，又因为f (x )为单调递增函数，故选B. 答案 B4．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0＜a 2－1＜1，∴1＜a 2＜2，即1＜a ＜2或－2＜a ＜－1.答案(－2，－1)∪(1，2)5．(人教A必修1P52例4(1)改编)计算：=________．答案4a考点一指数幂的运算【例1】化简下列各式：规律方法(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．考点二指数函数的图象及其应用【例2】(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0(2)(2015·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．解析(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0，故选D.(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．答案(1)D(2)[－1，1]规律方法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．【训练2】(1)已知实数a，b满足等式2 014a＝2 015b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)(2014·济宁模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0C．2－a＜2c D．2a＋2c＜2解析(1)设2 014a＝2 015b＝t，如图所示，由函数图象，可得若t＞1，则有a＞b＞0；若t＝1，则有a＝b＝0；若0＜t＜1，则有a＜b＜0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，结合图象知f(a)＜1，a＜0，c＞0，∴0＜2a＜1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a＜1，∴f(c)＜1，∴0＜c＜1.∴1＜2c＜2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)＞f(c)，∴1－2a＞2c－1，∴2a＋2c＜2，故选D.答案(1)B(2)D考点三指数函数的性质及其应用【例3】(1)下列各式比较大小正确的是()A．1.72.5>1.73B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1>1.250.2D．1.70.3<0.93.1(2)若函数f(x)＝a x(a＞0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．解析(1)A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2．5<3，∴1.72.5<1.73.B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62.C中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D中，∵1.70.3>1，0＜0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1.(2)若a＞1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝12，此时g(x)＝－x为减函数，不合题意．若0＜a＜1，有a－1＝4，a2＝m，故a＝14，m＝116，检验知符合题意．答案(1)B(2)1 4规律方法(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可．【训练3】设函数f(x)＝ka x－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；(2)若f(1)＝32，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．解因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以k－1＝0，即k＝1，f(x)＝a x－a－x.(1)因为f(1)>0，所以a－1a>0，又a>0且a≠1，所以a>1.因为f′(x)＝a x ln a＋a－x ln a＝(a x＋a－x)ln a>0，所以f(x)在R上为增函数，原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，所以x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，所以x>1或x<－4.所以不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．(2)因为f(1)＝32，所以a－1a＝32，即2a2－3a－2＝0，所以a＝2或a＝－12(舍去)．所以g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t(x)≥t(1)＝3 2，所以原函数为ω(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，所以当t＝2时，ω(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋2)．即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2.[思想方法]1．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的单调性和底数a 有关，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．4．与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成；而与其有关的最值问题，往往转化为二次函数的最值问题． [易错防范]1．指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算中变换的方法不当，不注意运算的先后顺序等． 2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．形如a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)形式，常借助换元法转化为二次方程或不等式求解，但应注意换元后“新元”的范围.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．若x ＝log 43，则(2x －2－x )2＝( )A.94 B.54 C.103D.43解析 由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x＝3，2－x ＝33，所以(2x－2－x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫2332＝43.答案 D2．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析 当x ＝1时，y ＝0，故函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象必过点(1，0)，显然只有C 符合． 答案 C3．(2014·武汉模拟)设a ＝(2)1.4，b ＝332，c ＝ln 32，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c解析 c ＝ln 32＜1＝(2)0＜a ＝(2)1.4＜(2)32＜b ＝332，故选D. 答案 D4．(2014·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x －1D ．y ＝log 2(2x )解析 f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又由0＝1－1知(1，1)不在函数y ＝1－x 的图象上．答案 A5．若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是 ( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析 由f (1)＝19得a 2＝19，∴a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B. 答案 B 二、填空题 6.a 3a ·5a 4(a ＞0)的值是________． 解析a 3a ·5a 4＝a 3a 12·a 45＝a 3－12－45＝a 1710.答案 a 17107．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在x ∈[－3，2]上的值域是________．解析 因为x ∈[－3，2]，若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8. 则y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57. 所以所求函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，578．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析 因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a ＞1，解得0＜a ＜1.答案 (0，1)三、解答题9．求下列函数的定义域、值域及单调性．(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 6＋x －2x 2；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |. 解 (1)函数的定义域为R ，令u ＝6＋x －2x 2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u . ∵二次函数u ＝6＋x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋498， ∴函数的值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12498. 又∵二次函数u ＝6＋x －2x 2的对称轴为x ＝14，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞上u ＝6＋x －2x 2是减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14上是增函数，又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 是减函数， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋x －2x 2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞上是增函数， 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14上是减函数． (2)定义域为R .∵|x |≥0，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32|x |≥⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1. 故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |的值域为{y |y ≥1}． 又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |是偶函数，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫32x （x ≥0），⎝ ⎛⎭⎪⎫23x （x ＜0）. 所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |在(－∞，0]上是减函数， 在[0，＋∞)上是增函数．(此题可借助图象思考)10．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a. 解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪t >1或t <－13. 能力提升题组(建议用时：25分钟)11．函数y ＝a x －b (a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0，1)D ．无法确定解析 函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y 轴的交点在负半轴上．而当x ＝0时，y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，1－b ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，b ＞1，所以a b ∈(0，1)． 答案 C12．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a ＞0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1)∪(1，＋∞)B ．(0，1)C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 方程|a x －1|＝2a (a ＞0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．①当0＜a ＜1时，如图(1)，∴0＜2a ＜1，即0＜a ＜12.②当a ＞1时，如图(2)，而y ＝2a ＞1不符合要求．综上，0＜a ＜12.答案 D13．(2014·丽水模拟)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x ＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析 原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2.答案 (－1，2)14．(2015·广元模拟)已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0，1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求函数f (x )在(－1，1)上的解析式；(2)判断f (x )在(0，1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f (x )＝λ在(－1，1)上有实数解？解 (1)∵f (x )是x ∈R 上的奇函数，∴f (0)＝0.设x ∈(－1，0)，则－x ∈(0，1)，f (－x )＝2－x 4－x ＋1＝2x4x ＋1＝－f (x )， ∴f (x )＝－2x 4x ＋1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 4x ＋1，x ∈（－1，0），0，x ＝0，2x4x ＋1，x ∈（0，1）.(2)设0<x 1<x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝（2x 1－2x 2）＋（2x 1＋2x 2－2x 2＋2x 1）（4x 1＋1）（4x 2＋1）＝（2x 1－2x 2）（1－2x 1＋x 2）（4x 1＋1）（4x 2＋1）， ∵0<x 1<x 2<1，∴2x 1<2x 2，2x 1＋x 2>20＝1，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在(0，1)上为减函数．(3)∵f (x )在(0，1)上为减函数，∴2141＋1<f (x )<2040＋1，即f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12. 同理，f (x )在(－1，0)上时，f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25. 又f (0)＝0，当λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25∪⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12， 或λ＝0时，方程f (x )＝λ在x ∈(－1，1)上有实数解.。