(完整版)第四章习题与复习题(线性空间)----高等代数

习题5. 1

1． 判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R

+⊕==∈∈o 其中 判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.

3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为

A B AB BA ⊕=-

按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 4．在22P ⨯中，{}2222/0,,W A A A P W P ⨯⨯==∈判断是否是的子空间.

习题5.2

1．讨论22P ⨯中

1234111111,,,111111a a A A A A a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

的线性相关性.

2．在4R 中，求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中

1234010011001111ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

2111，=，=，=，3010

2212342347P ααααα⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

110-11-1103.在中求在基=，=，=，=下的坐标.11100000 4．已知3R 的两组基

（Ⅰ）： 123111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

11=，=0，=0-11

（Ⅱ）：123121βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

23=，=3，=443

（1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；

（2） 已知向量123123,,,,,αααααβββ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；

（3） 已知向量123123,,,,,βββββααα⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2;

（4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量γ. 5．已知P [x ]4的两组基

（Ⅰ）：2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=，，，

（Ⅱ）：2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++，g ，g ，g （1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵； （2） 求在两组基下有相同坐标的多项式f (x ).

习题5.3

证明线性方程组

12345123451

234536420

22353056860

x x x x x x x x x x x x x x x +--+=⎧⎪

+--+=⎨⎪--+-=⎩ 的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.

习题5.4

1． 求向量()1,1,2,3α=- 的长度.

2． 求向量()()1,1,0,12,0,1,3αβ=-=与向量之间的距离. 3．求下列向量之间的夹角

（1） ()()10431211αβ==--,,,，,,, （2） ()()12233151αβ==,,,，,,,

（3）()()1,1,1,2311,0αβ==-，，，

3． 设αβγ，,为n 维欧氏空间中的向量，证明: (,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.

习题5.5

1． 在4R 中，求一个单位向量使它与向量组

()()()1,1,1,11,1,1,11,1,1,1321--=--=--=ααα，， 正交.

2． 将3R 的一组基1231101,2,1111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

化为标准正交基.

3．求齐次线性方程组

123451

23530

0x x x x x x x x x +-+-=⎧⎨

+-+=⎩ 的解空间的一组标准正交基.

3． 设1α,2α ,… ,n α 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, A 是n 阶正交矩阵,证明: 1αA ,2αA ,… ,n A α 也是n R 中的一组标准正交基． 5．设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组标准正交基, 证明

1123212331231

11(22),(22),(22)333

βαααβαααβααα=+-=-+=--

也是V 的一组标准正交基.

习题四 (A)

一、填空题

1．当k 满足 时，()()()31211,2,1,2,3,,3,,3k k R ααα===为的一组基. 2．由向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为 .

3．()()()()3123,,1,3,5,6,3,2,3,1,0R αααα====中的向量371在基下的坐标为 . 4. ()()()3123123,,2,1,3,1,0,1,2,5,1R εεεααα=-=-=---中的基到基的过渡矩阵为 .

5. 正交矩阵A 的行列式为 .

6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 . ()()()()412342,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,11,a a a R a αααα====≠7.已知不是的基且a 则满

足 .

二、单项选择题

1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是( ). （A ） (){}

R x x x x V n n ∈=,,0,,0,111Λ （B ） ()

{}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,0,,,212

1

2ΛΛ （C ） ()

{}R x x x x x x x V i n n

∈=+++=

,1,,,212

1

3ΛΛ

(D) (){}411,0,,0,0V x x R =∈L

2.331,23P A ⨯⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

在中由生成的子空间的维数为（ ）. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 331231223311223311223123123123123

,,( )() ,, ()2,23,3

() ,,2 () ,2322,355R R A B C D ααααααααααααααααααααααααααααααα++-+++++++++-++-3.已知是的基,则下列向量组是的基.

33123122313122331122313122313

,, () ,, () 2,2,2() ,, () 2,2,2R R A B C D ααααααααααααααααααααααααααα++++++------4.已知是的基,则下列向量组（）不是的基. 5．n 元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r , 该方程组的解空间的维数为s, 则( ).

(A) s=r (B) s=n -r (C) s>r (D) s

(A) 一定不可逆 (B) 一定可逆 (C) 不一定可逆 (D) 是正交矩阵

(B)