初三数学反比例函数讲义

学科教师辅导讲义

一、 知识梳理

二、 知识概念

（一）反比例与反比例函数

1、成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数x

k

y 中的两个变量必成反比例关系。 2、反比例函数 （1）定义

体系搭建

（2）反比例函数解析式的特征

① 等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含

有自变量x ，且指数为1.

② 比例系数0≠k

③ 自变量x 的取值为一切非零实数。 ④ 函数y 的取值是一切非零实数。 （3）待定系数法

反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ）。

（二）反比例函数的图像与性质

1、图像的画法：描点法（列表、描点、连线）

2、图像特征：

（1）反比例函数的图像是双曲线，x

k

y =

（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 （2）反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=），也是中心对称图形。 （3）系数k 的几何意义：过双曲线x

k

y =

（0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 （三）反比例函数与直线相交问题

1、解决直线与双曲线的交点问题时，就是将反比例函数与直线联立组成方程组求得方程组的解即为交点坐标；

2、判断直线与双曲线有无公共点，可用△=b 2

-4ac 来确定； 3、交点个数可以通过△的正负判断：

1）△＞0，有两个交点； 2）△=0，只有一个交点； 3）△＜0，没有交点。

（四）用反比例函数图解不等式

1、比较反比例函数的大小

1）利用反比例函数的增减性可以比较反比例函数值的大小，也可以利用反比例函数的图形比较大小； 2）根据反比例函数的增减性可以确定反比例函数系数的符号。 2、利用函数图像解不等式

模型建立：如图，一次函数y=kx+b 的图像与反比函数y=的图像相交于M,N 两

点。

1） 利用图中图像求反比例和一次函数的解析式； 2） 根据图像写出关于的方程y=kx+b=的解； 3） 根据图像写出关于x 的不等式：kx+b ＜的解集。 3、求线段的最值

1）给出x 与y 的取值范围，求线段最短或最长距离转换成求两点之间的距离，并结合反比例图像的对称性质计算；

2）求反比例函数外的点到反比例函数上点通过对称性质，转换到同一线段求解。 4、系数“K”的几何意义：求图形的面积或已知面积求K 值

1）反比例函数上的任意一个点的面积(向x 轴、y 轴作垂线形成的矩形，或者与原点形成的三角形面积分别为∣k ∣、∣k ∣2

；

2）技巧：求解析式或面积都必须转换成反比例函数上的点计算。

考点一： 反比例函数的定义与表达式

例1、下列函数：xy=1，y=，y=，y=

，y=2x 2中，是y 关于x 的反比例函数的有（ ）个．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

例2、函数是反比例函数，则m的值是（）

A．m=±1B．m=1C．m=±D．m=﹣1

考点二：反比例函数的图像及性质

例1、对于反比例函数y=﹣图象对称性的叙述错误的是（）

A．关于原点对称B．关于直线y=x对称

C．关于直线y=﹣x对称D．关于x轴对称

例2、如图，在同一直角坐标系中，函数y=与y=kx+k2的大致图象是（）

A．B．C．D．

例3、已知反比例函数的图象经过点（﹣2，4），当x＞2时，所对应的函数值y的取值范围是（）A．﹣2＜y＜0B．﹣3＜y＜﹣1C．﹣4＜y＜0D．0＜y＜1

考点三：系数K的几何意义

例1、如图，两个反比例函数y1=（其中k1＞0）和y2=在第一象限内的图象依

次是C1和C2，点P在C1上．矩形PCOD交C2于A、B两点，OA的延长线交C1

于点E，EF⊥x轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则EF：AC为

（）

A．﹕1B．2﹕C．2﹕1D．29﹕14

例2、如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在

x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交

于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=（）

A．B．C．D．12

考点四：反比例函数与一次函数

例1、正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于

A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围

是（）

A．x＜﹣2或x＞2B．x＜﹣2或0＜x＜2

C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2D．﹣2＜x＜0或x＞2

例2、如图，反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象交于点A（2，2）、B（，n）．

（1）求这两个函数解析式；

（2）将一次函数y=ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图

象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求m的值．

实战演练

➢课堂狙击

1、下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（）

A．匀速行驶过程中，行驶路程与时间的关系B．体积一定时，物体的质量与密度的关系C．质量一定时，物体的体积与密度的关系D．长方形的长一定时，它的周长与宽的关系