基于方差缩减的高维美式期权Monte Carlo模拟定价
期权定价的蒙特卡罗模拟方法精选 课件
90.66702 2.667019
49
81.99887
0
25
77.86832
0
50
100.5379 12.53786
计算模拟所得的期权价值的平均值后， 再计算现值得期权价格的一个估计
C E[CT ]erT 7.000053 e0.11 6.27 用布莱克—舒尔斯模型计算期权的价格
从 S0开始模拟得 ST Sn
CT max{ST SX ,0} 或 PT max{ S X ST ,0}
(3)计算 E[CT ]或 E[PT ]及期权的价格.
4). 注意事项
A. 模拟次数和计算精度之间的考量。 理论上的要求，在模拟时，时段的长度 应小，模拟次数应尽可能的多，以便使 所得的资产价格估计尽可能涵盖资产价 格的真实分布，这会大大增加模拟的计 算工作量。
2). 基本过程
例：设有这样一个股票，其现行的市场 价格为80元，已知该股票对数收益的均 值为8%，对数收益的波动性为25%， 无风险资产的收益率为11%。现在有以 该股票为标的资产, 执行期限为1年的买 入期权，确定的股票执行价格为88元， 用模拟法确定该期权的价格。
设一年有250个工作日，将其分为250
0
18
66.88669
0
43
93.91685 5.916854
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ห้องสมุดไป่ตู้
81.63916
0
20
70.62426
0
45
81.54932
0
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74.25586
0
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74.15813
0
22
70.2892
蒙特卡罗模拟方法在期权定价中的应用
=
1 σ
St 1 ln X + r − q + 2 σ τ
2
τ
d 2 = d1 − σ τ ；N(χ)是标准正态变量的累 ,
积分布函数，即 N ( x ) = P ( X ≤ x )， 其中X ~ N (0,1)。 计算所用参数包括：S0=20，X=20， r=5%，q=8%，σ=25%，T=2，模拟次数 tsim=10000。通过式（2）和以上参数 值，可得到欧式看涨期权价格的解析解 c0=1.9734。下表给出了三种模拟所得的 计算结果及误差。
总第322期■西南金融
61
观察思考 OBSERVER
券价格进行模拟估计，得到了比直接模 拟更小的估计方差。同时，根据KoksmaHlawka定理可知，这种模拟结果具有一 个确定的误差边界。Paskov（1995）使 用Sobol、Fature和Haoton三种序列对 低押债券的价格进行了模拟估计，结果 表明，这三种序列的使用都改进了模拟 估计的效率。Sobol序列的应用效果最明 显。但是使用低偏差率序列存在以下几 个主要问题：首先，模拟估计的方差难 以确定。虽然Koksma-Hlawka定理及其修 正定理能够确定这种模拟估计的误差边 界，但是在许多情况下，得到的实际模 拟误差往往要比这一边界低得多，从而 使得确定的边界失去了意义。其次，在 处理高维数问题时，很可能会出现效率 降低的情况。 （三）随机化的拟蒙特卡罗模拟技术 这种技术是在综合蒙特卡罗模拟与 拟蒙特卡罗模拟优点的基础上发展起来 的一种复合模拟技术。体现这一思想较 早的研究工作主要有Cranley（1976）提 出的所谓的“好格子点”方法、Braaten （1979）提出的随机攀登的Halton序列 和Joe（1990）提出的随机化一般的格子 点方法等等。近几年来，这种技术又有 了新的发展，最主要的有Owen（1997） 提出的基于攀登的(t、m、s)网与(t、s) 序列的随机模拟技术。 罗模拟。常见的转换法有Box-Muller算 法、Moro算法（1995）等。Moro算法 较Box-Muller算法更快捷，而且最大 的误差为3×10 。Moro算法对于满足 10 10≤N(x)≤1-10 10的正态分布函数有相 当高的精确度。 为了比较拟蒙特卡罗模拟和蒙特卡 罗模拟的优劣，下面以欧式看涨期权定 价为例，比较了几种模拟的计算结果。 三种模拟的特点如下：（1）MC+NormInv （基于普通蒙特卡罗序列和标准正态分 布的分布函数的反函数），实现从[0,1] 均匀分布到标准正态分布的转换；（2） MC+Moro（基于普通蒙特卡罗序列和Moro 算法），实现从[0,1]均匀分布（随机 序列）到标准正态分布的转换；（3） QMC+Moro（基于Halton序列和Moro算 法），实现从Halton序列到标准正态分 布的转换。 设S1为期权定价日标的股价；X为买 权合同执行价格；r为连续复利计算的 无风险利率；q为连续复利计算的股票 红利率；T为到期日；t为当前定价日； t=T-1为定价日到到期日的时间（单位： 年）；σ为标的股价波动率。并且有标 的股票价格S1服从对数正态分布，即： (1) 2
基于内存减少蒙特卡罗法的多标的资产美式期权定价外文文献翻译、中英文翻译
<文献翻译一：原文>Pricing multi-asset American-style options by memoryreduction Monte Carlo methods1Abstract:When pricing American-style options on d assets by Monte Carlo methods, one usually stores the simulated asset prices at all time steps on all paths in order to determine when to exercise the options. If N time steps and M paths are used, then the storage requirement is d M N⋅⋅. In this paper, we give a simulation method to price multi-asset American-style options, where the storage requirement only grows like(1)++. The only additional computational cost is that we haved M Nto generate each random number twice instead of once. For machines with limited memory, we can now use larger values of M and N to improve the accuracy in pricing the options.Keywords:Memory reduction method; Monte Carlo method; Multi-asset; American-style options; Random number1. IntroductionMonte Carlo method is one of the main methods for computing American-style options, see for instance [12, 2, 3, 9]. These algorithms are computationally inefficient because they require the storage of all asset prices at all simulation times for all simulated paths. Thus the total storage requirement grows like ()O dMN where d is the number of underlying assets, M is the number of simulated paths and N is the number of time steps. The accuracy of the simulation is hence severely limited by the storage requirement.The apparent difficulties in using Monte Carlo methods to price American-style options come from the backward nature of the early exercise feature. There is no way of knowing whether early exercise is optimal when a particular asset price is reached at a given time. One can look at this problem from another point of view. In Monte Carlo method, the simulated paths are all generated in the time-increasing direction,1Raymond H. Chan, Chi-Yan Wong, Kit-Ming Yeung. Pricing multi-asset American-style options by memory reduction Monte Carlo methods [J]. Applied Mathematics and Computation 179(2006):535-544.i.e. they start from the initial asset prices 0x and march to the expiry date according to a given geometric Brownian motion. But since the pricing of American options is a backward process starting from the expiry date back to 0x , the usual approach is to save all the intermediate asset prices along all the paths.In this paper, we use our simulation method in [4] for computing multi-assetAmerican-style options that does not require storing of all the intermediate asset prices. The storage is reduced from ()O dMN to (1)d M N ++only. Our main idea is to generate the paths twice: one in a forward sweep to establish the asset prices at the expiry date, and one in a backward sweep that computes the intermediate asset prices only when they are needed. The only additional cost in our method is that we have to generate each random number twice instead of once. The resultingcomputational cost is less than twice of that of the methods where all the intermediate asset prices are stored.The remainder of this paper is organized as follows. Section 2 recalls the usual full-storage approach for computing multi-asset American-style options. Section 3 gives some background about random number generators in computers. In Section 4, we introduce our memory reduction method. In Section 5, we show how to use our method to compute multi-asset American options by adopting it to the least-squares method proposed by Longstaff and Schwartz [9]. Section 6 gives some numerical results to illustrate the effectiveness of our method.We will use the MATLAB language [11] to explain how the codes are to be written as the language is easier to comprehend. The corresponding commands in FORTRAN 90 [5] and MATHEMATICA [13] are given in Appendix A.2. The full-storage methodAs usual, we let the prices of d non-dividend paying assets 12(,,,)d T x x x =x follow the geometric Brownian motion,kk k k dx rdt dW x σ=+ 1,k d ≤≤where r is the risk-free interest rate, k σ is the volatility of asset k , and k dW is the Wiener process for asset k . By Ito’s Lemma, we have211()()exp ()2d k kk kj k j x t dt x t r dt v dW σ=⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭∑211()exp ()(,)()2d k k j x t r dt k l l σ=⎛⎫=- ⎪⎝⎭z V （1）Where ()k x t is the price of asset k at time t , z is a -vector d of standard normal random variables, and []ij v =Vis the volatility matrix. The volatility matrix V is given byT =C V V ,and []ij c =C is the -by-d d covariance matrix with ij ij i j c ρσσ=, where ij ρ is the correlation coefficient between i dW and j dW see for instance [8].In the Monte Carlo simulation, we divide the time horizon into N time steps with each having the length0T t t N-∆=, where 0t is the current time and T is the expiry date of the option. Thus the time horizon is discretized as 01N t t t T <<<=where 0j t t j t =+∆.Let the asset prices at time 0t be 12000(,,,)d T x x x =0x . Given 0x , we can simulate the price paths using (1). More precisely, for asset k ,1k d ≤≤, if we are to simulate M paths, then the th ipath can be defined by the recurrence:211()()exp ()(,)(),1,1,2d i i i k j j j l k k r t k l l i M j N σ-=⎛⎫=-∆≤≤≤≤ ⎪⎝⎭S S z V (2) where ij S is the asset price vector, and its th k entry (),1ij k k d ≤≤S , is the price ofasset k on the th i path at time j t with 00()ik k x =S for all i , and ij z is a vector ofd independent, identically distributed, standard normal random numbers. Forsimplicity, we denote 00S =x .The straightforward approach, like those in [12, 3, 9], is to simulate the paths and then store all intermediate asset price vectors ij S up for later computation of theoption prices. We will refer this approach as the full storage method -. It requires d M N ⋅⋅ storage. Notice that to generate the paths, we need d M N ⋅⋅ standard normal random numbers.3. The random number generatorAccording to (2), we need to generate one standard normal random number for each asset at each time step on each path. Most computer languages already have built-in functions to generate these random numbers. In MATLAB, it is “randn”. By using the concept of a seed, one has the flexibility to change or fix the sequence ofrandom numbers each time they are generated. For example, the MATLAB commandsrandn(‘seed’,s);e = randn;give a different random number e each time the seed s is changed, but give the same random number if s is fixed.In MATLAB, one can even extract the seed that generates the next random number in a sequence. The command iss = randn(‘seed’); More precisely, if the sequence corresponding to the seed s is(3)then we can obtain a partial sequence {}l l k ε∞= starting from k ε, provided that we have extracted the seed c after generating 1k ε-, i.e. (4) In view of this, we will call an integer c the current seed of a random number k ε, if setting the seed to c, the next random number so generated is k ε.<文献翻译一：译文>基于内存减少蒙特卡罗法的多标的资产美式期权定价摘要：当用蒙特卡罗方法为d 个标的资产的美式期权定价时，为了决定何时执行期权，通常存储所有的路径在全部的时间步的模拟资产价格。
MONTE CARLO模拟和美式期权
一、最小平方法：假设设总共有n条路径，t个可执行点。
首先考虑第t-1个执行点的期权持有价值和执行价值。
在t-1时期权是虚值期权，则显然持有价值大于执行价值，所以考虑实值期权的价值比较。
在t-1时，每一条路径下的执行价值等于t-1时的期权内在价值，而其持有价值的计算过程则通过最小平方法计算。
第i条路径中期权继续持有的价值等于该路径下第t时刻可执行的现金流的折现，设有a条路径期权是实值期权，则对应a个t-1时的标的价格和a 个折现的可执行现金流，假设估计持有价值与标的价格之间满足线性多项式的关系，最小化a个折现的可执行现金流与估计持有价值之差的平方计算出各个多项式的系数，则得到持有价值与标的价格的方程式。
代入每个路径的标的资产价格，得到t-1时该路径的持有价值。
同理继续计算t-2、t-3…2、1时刻期权的持有价值与执行价值。
当持有价值大于执行价值时，选择继续持有；反之，则选择立即执行该期权。
期权在t时的价格则是执行价值与持有价值的最高者。
最小平方法也有几个缺点尚待被克服。
比如多维度问题，当资产价格受更多的因素影响时，回归出比较准确的资产价格的表达式是非常不容易的，多维的表达式会给模拟过程中十分重要的过程产生较大的偏差，从而使模拟结果不理想。
所以，最小平方法比较适用于标的资产价格受较少因素影响的期权。
另外，很多实证结果都表明，lsm计算过程在选择基础函数上十分有效，但区分不同类别资产价格的基础函数对准确地估计资产价格路径是十分重要的。
二、执行边界参数化模型以andersen为代表的一些学者提出了执行边界参数化模型，他们把提前执行的条件进行参数化，通过将期权在到期时的价值回推的方式来确定最优化的参数价值。
仍沿用n条路径、t个执行点的假设，并且，t时以资产价格表示的执行边界可以被参数化为s*(t)，对看跌期权来说如果资产价格小于s*(t)，则期权被立即执行，否则在t时刻不执行。
首先可以得知，第t时刻的s*(t)等于期权合约的执行价格。
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权定价是金融市场中的一个重要问题。
近年来，蒙特卡洛模拟方法在期权定价中得到了广泛的应用。
蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的数值计算方法，通过生成大量的随机样本来估计某些数量的数值。
下面将介绍蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的基本原理及应用。
蒙特卡洛模拟方法采用随机数生成器生成大量的随机数，并利用这些随机数进行模拟计算。
在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法可以用来估计期权的价格以及其他相关的风险指标，例如风险价值和概率分布等。
在蒙特卡洛模拟方法中，首先需要确定期权定价模型。
常用的期权定价模型包括布朗运动模型和风险中性估计模型等。
然后，根据期权定价模型，生成一个或多个随机数来模拟期权价格的变动。
通过对多个随机样本进行模拟计算，我们可以获得期权价格的分布情况及其他相关指标的估计值。
在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法的精确度主要取决于两个方面：模拟路径的数量和模拟路径的长度。
路径的数量越多，模拟结果的精确度越高。
路径的长度越长，模拟结果的稳定性越好。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛。
例如，在欧式期权定价中，可以使用蒙特卡洛模拟方法来估计期权的风险价值和概率分布等指标。
在美式期权定价中，由于存在提前行权的可能性，蒙特卡洛模拟方法可以用来模拟期权的提前行权时机并确定最佳行权策略。
此外，在一些复杂的期权定价中，例如亚式期权和障碍期权等，蒙特卡洛模拟方法也可以提供有效的定价方法。
总之，蒙特卡洛模拟方法是期权定价中一种重要的数值计算方法。
它通过生成大量的随机样本来估计期权的价格及相关指标，具有较高的灵活性和精确度。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中广泛应用，为金融市场中的投资者和交易员提供了重要的决策工具。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛，下面将进一步介绍其在不同类型期权定价中的具体应用。
首先是欧式期权定价。
欧式期权是指在未来某个特定时间点（到期日）才能行使的期权。
蒙特卡洛模拟方法可以用来估计欧式期权的价格和概率分布等指标。
Monte Carlo模拟和美式期权
ｕｋ ｎ ｅｌｒ２ ０ ） 将 美 式 期 权 定 价 ｓｅａ ｄ Ｋ ｌ （０ ２ 则 ｅ
问 题 看 作 是 一 个 最 优 停 时 问 题 ， 并 且 具 有 奇 异 性 和 Ｍｏｔ ａｌ ｎｅＣ ｒ ｏ模 拟 偏 差 和 复 杂 性 问 题 。 由 于 多 维 美 式 期 权 定 价 要 解 决 多 标 的 资 产 或 者 是 路 径 依 赖 ， 而 且 执 行 策 略 又 由将 来 事件 集 的平 均 决 定 ，所 以 美 式 期 权 的 蒙 特 卡 罗 模 拟 往 往 具 有 一 种 双 重 蒙特 卡 罗模 拟 特征 。很 多人 都 为 了 克 服 这 些 困难 提 出 许 多 改 进 的 美 式 期 权 蒙 特 卡 罗 模 拟 方 法 ，主 要 有 以下 四种 ：
有 价值 和 执行 价 值 。在 Ｔ 一１时 期 权 是 虚 值 期权 ． 显 然 持有 价 值 大于 执行 价 值 ． 则
Ｍａ ｉｅｕ （９ ５ 、 ｒｎ，Ｖｏａ ａ ｄ Ｗｅ ｋ ￣ｎ ａ １９ ）Ｇ ａ ｔ ｒ ｎ ｅ ｓ
ｆ ９ ６ 、 ｒａ ｉ ｎ ｌｓｅ ｍａ ｆ９ ７ 和 １ ９ １ Ｂ ｏ ｄｅ ａ ｄ Ｇ ａｓ ｒ ｎ １ ９ ）
假 设设 总 共有 Ｎ条 路径 ， Ｔ个 可执 行
点 。 首 先 考 虑 第 Ｔ １个 执 行 点 的 期 权 持 一
ｆ ） ｇ ｒ ０ ２ 提 出 了鞅 最优 化 期权 定价 １ Ｒｏｅ（ ０ ） ２
模 拟 方 法 ， ２ Ｌ ｎ ｓａ ｎ Ｓｈ ｒ ；（ ） ｏｇｔｆ ａ ｄ ｃｗａ ｚ ｔ
对 应 的 转 移 概 率 后 折 现 的 现 值 。 其 缺 点 是 每 一 期 分 隔 区域 的 数 量 不 充 足 会 造 成 每 一 区 域 持 有 价 值 的 估 计 偏 差 。Ｅ ａ ． ｖｎ Ｋ．
利用蒙特卡罗方法模拟期权价格的实证分析
利用蒙特卡罗方法模拟期权价格的实证分析作者：范雯雯来源：《时代金融》2013年第15期【摘要】通过选择一只股票，计算方差的均值、漂移项，并且利用蒙特卡罗方法，模拟股票期权价格。
其中用到了方差减缩技术中的分层抽样方法，方差是用半方差来模拟的。
本文通过选择适当的期权，对使用方差减缩技术和没有使用方差减缩技术的期权价格进行比较，发现使用方差减缩技术期权的精度更高，并且使用方差差减缩技术后，标准差更小，那么模拟出的期权价格可信度就更高了。
【关键词】欧式期权分层抽样半方差蒙特卡罗模拟方法由于模拟期权价格涉及到了蒙特卡罗模拟方法，半方差、方差减缩技术中的分层抽样方法以及欧式期权等一系列内容，所以，有必要对这些方法理论做一些介绍。
蒙特卡罗模拟方法又称随机模拟方法。
它是以概率统计理论为基础的一种方法。
蒙特卡罗方法的基本思想就是当所求的问题的解是一个事件的概率或者是一些随机变量的数学期望时，或者是与这些概率或者数学期望有关的一些量时，通过某些模拟实验的方法，得到该事件发生的频率，也可能是该随机变量若干具体观察值的算术平均值，通过这些得到问题的解。
蒙特卡罗模拟方法概括下来的步骤就是：（1）建立概率统计模型；（2）收集模型风险变量的数据，确定风险因素的分布函数；（3）根据风险分析的精度要求，确定模拟次数；（4）建立对随机变量的抽样方法，产生随机数；（5）根据随机数在各风险变量的概率分布中随机抽样，带入第一步中的建立的数学模型；（6）从而得到N个样本数；（7）做统计分析，估计均值和标准差。
通过它可以根据历史来预测未来。
蒙特卡罗模拟方法的优点是比较逼真的描述具有随机性质事物特点及物理实验过程；受几何条件的限制相对较小；它对于误差相对比较容易确定；程序的结构相对简单，比较容易实现。
缺点是它收敛的速度可能相对较慢；误差具有概率性；并且进行模拟的前提是各输入变量相互独立。
本文对于期权价格的定价用蒙特卡罗模拟方法模拟了10000次。
(定价策略)期权定价中的蒙特卡洛模拟方法最全版
（定价策略）期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。
而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。
蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。
蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。
§1.预备知识◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。
大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。
在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov强大数定律：设为独立同分布的随机变量序列，若则有显然，若是由同一总体中得到的抽样，那么由此大数定律可知样本均值当n很大时以概率1收敛于总体均值。
中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。
设为独立同分布的随机变量序列，若则有其等价形式为。
◆Black-Scholes期权定价模型模型的假设条件：1、标的证券的价格遵循几何布朗运动其中，标的资产的价格是时间的函数，为标的资产的瞬时期望收益率，为标的资产的波动率，是维纳过程。
2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。
3、不考虑交易费用或税收等交易成本。
4、在衍生证券的存续期内不支付红利。
5、市场上不存在无风险的套利机会。
6、无风险利率为一个固定的常数。
下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。
首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。
伊藤Ito公式：设，是二元可微函数，若随机过程满足如下的随机微分方程则有根据伊藤公式，当标的资产的运动规律服从假设条件中的几何布朗运动时，期权的价值的微分形式为现在构造无风险资产组合，即有，经整理后得到这个表达式就是表示期权价格变化的Black-Scholes 偏微分方程。
期权定价的Monte Carlo模拟精度改进技术及其R软件实现
期权定价的Monte Carlo模拟精度改进技术及其R软件实现熊炳忠
【期刊名称】《电脑知识与技术》
【年(卷),期】2017(013)004
【摘要】提高模拟精度是蒙特卡洛模拟应用于解决实际问题的关键.在介绍对偶变量法、控制变量法、重要抽样技术以及分层抽样法的基本原理基础上,将这四种精度提高技术应用于标准欧式期权的模拟定价,基于R软件平台给出它们的实现程序,对比这些方法与普通蒙特卡洛模拟方法所给出期权定价的精度提高效果,结果表明它们都有较好的提高精度效果,尤其是分层抽样法,精度可以达到一般蒙特卡洛模拟精度的5倍之多.
【总页数】4页(P244-246,249)
【作者】熊炳忠
【作者单位】嘉兴学院南湖学院,浙江嘉兴314001
【正文语种】中文
【中图分类】TP311
【相关文献】
1.基于方差缩减的高维美式期权Monte Carlo模拟定价 [J], 陈金飚;林荣斐
2.随机波动率下障碍期权定价的对偶Monte Carlo模拟 [J], 温鲜;邓国和
3.基于Hull-White随机波动率模型的算术平均亚式期权Monte-Carlo定价 [J], 梁艳;王玉文
4.欧式算术平均亚式期权定价——基于Lévy过程的Monte Carlo仿真 [J], 杜子
平;邱虹
5.基于Merton模型与Monte Carlo模拟的障碍期权定价对冲 [J], 郑祥;韦勇凤因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
美式期权定价的加权最小二乘拟蒙特卡罗方法法法法
uu v Cs = C3s − 2 ( s ≥ 4) 。Faure 序列 {xn } 的第 i (1 ≤ i ≤ s ) 个坐标是： v i xn = mod(Ci ⋅ a, b) =: (α1 , α 2 ,L , α m )
其中 mod(Ci ⋅ a, b) 是矩阵 Ci ⋅ a 的模 b 运算。化为十进制小数为
r =0 r
m −1
， ar ∈ Z b ，其
v a = ( a0 , a1 ,L , am −1 ) '
设 C1 , C2 ,L , Cs 是 m × m 阶的矩阵，其中 C1 是 m 阶单位矩阵，
(1)
0 1 m − 1 L 0 0 L 0 1 0 0 0 0 0 L 1 0 1 m − 1 0 L ， C2 = L L L L L ， C3 = 1 1 L 0 1 L 0 0 L L L 1 0 L 0 0 m − 1 0 L 0 m − 1
s
列 {xn }n =1 。设 Z b = {0,1,L , b − 1} ，对于 n = 0,1, 2,L ，设 n =
uu v
∞
∑a b
r =0 r
∞
r
，是 n 的以 b 为底的
r
数字展开式。对于一个确定的 n ，上述级数实际上是有限和，即 n = 中 m 称为 n 的步长(与 n 有关)。记
∑a b
美式
雷杨，杨海军
(北京航空航天大学 经济管理学院,100083，北京)
1
Email: navy@ 摘要：美式期权定价具有后向迭代搜索特征，在 Longstaff 和 Schwartz 提出的最小二乘蒙特 摘要 卡罗模拟（LSM）方法的基础上，本文通过随机 Faure 序列，以及对偶变数法增加抽样数目， 达到减小方差的目的，用其计算标的资产的价格，然后用加权最小二乘法进行回归，得到了 加权最小二乘拟蒙特卡罗方法（WLSQM） 。从期权价值、标准差、运行时间几个方面比较几 种方法的优劣，得出 WLSQM 能产生比使用随机数和普通最小二乘方法的 LSM 估计效果更 优的结果，并且得到的结果符合美式期权定价的基本性质，证明 WLSQM 是一种有效的美式 期权定价方法。 关键词：美式期权；随机 Faure 序列； 加权最小二乘拟蒙特卡罗方法；对偶变数法
美式期权的几种蒙特卡罗仿真定价方法比较
美式期权的几种蒙特卡罗仿真定价方法比较
郑承利
【期刊名称】《系统仿真学报》
【年(卷),期】2006(18)10
【摘要】在Longstaff和Schwartz(LS,2001)提出的基于多项式函数逼近的美式期权仿真定价基础上,给出美式期权重要性抽样仿真方法----顺推法及其具体算法,同时给出重要性与分层抽样相结合的算法。
该方法可以适用于类似于美式期权具有可提前执行特征以及路径依赖特征等金融衍生工具仿真定价,具有一般性。
数字示例比较结果表明,相对于LS方法,重要性抽样和分层重要性抽样都具有较好的方差缩减效果,尤其分层重要性抽样方法。
【总页数】4页(P2929-2931)
【关键词】美式期权;蒙特卡罗仿真;方差缩减;重要性抽样;分层抽样
【作者】郑承利
【作者单位】北京大学光华管理学院/深圳研究生院
【正文语种】中文
【中图分类】F830.91;O242.1
【相关文献】
1.美式期权定价的拟蒙特卡罗模拟及其方差减小技术 [J], 曹小龙;胡云姣
2.住房养老反向抵押贷款的美式期权特征与蒙特卡罗模拟定价 [J], 马俊海
3.住房养老反向抵押贷款的美式期权特征与蒙特卡罗模拟定价 [J], 马俊海;
4.基于加权最小二乘拟蒙特卡罗的美式期权定价 [J], 杨海军;雷杨
5.美式看涨期权蒙特卡洛模拟定价和二叉树定价方法的比较 [J], 刁博珏;周亮因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
基于蒙特卡罗模拟的期权定价研究
基于蒙特卡罗模拟的期权定价研究期权是金融市场中的一种交易合约，它给予持有人在未来特定时间内以特定价格买入或卖出一种资产的权利。
期权的定价是金融领域的核心问题之一，而基于蒙特卡罗模拟的期权定价方法是当前越来越受到研究者的关注。
一、蒙特卡罗模拟简介蒙特卡罗模拟是一种基于概率和统计学的一种计算方法。
在金融领域中，蒙特卡罗模拟通常用于期权定价等问题。
蒙特卡罗模拟的基本思想是：在随机生成的数据下不断模拟某个事件的过程，并在这些样本中找到期望值。
通过大量的模拟，我们可以得到一个逼近真实价格的某种估计值。
由于计算机性能的不断提高，在模拟过程中采用的样本越多，计算出来的结果越精确。
二、基于蒙特卡罗模拟的期权定价方法基于蒙特卡罗模拟的期权定价方法可以比较好地解决期权的定价问题。
该方法的基本思路是：在某个时间段内随机生成多个股价随机路径，并计算出到期收益的平均值，该平均值就是期权的某种估计值。
通过大量的模拟，可以得到一个较为准确的期权价格。
具体地，基于蒙特卡罗模拟的期权定价方法包括以下几个步骤：1、随机生成价格路径通过模拟股票价格的随机漫步，我们可以得到一些随机价格路径，这些路径可以视为股票在未来一段时间内的未知走势。
在这个过程中，我们需要考虑股票价格的波动率、股票价格的趋势以及某个时间段内股票价格的概率分布等因素。
2、计算到期收益通过对价格路径进行模拟，我们可以得到多组股票价格在期权到期时的收益情况。
收益一般是由期权的套利策略和股票价格之间的关系所确定的。
这里需要考虑到期权的行权价格、到期时间、标的资产价格的走势等因素。
3、计算期权价格最后，我们可以通过计算到期收益的期望值来估算期权的价格。
前面所提到的股票价格和期权套利策略的随机漫步，可以通过蒙特卡罗模拟产生大量的样本，加权平均就能得到一个逼近于真实价格的估算值。
三、蒙特卡罗模拟方法的优缺点通过蒙特卡罗模拟方法计算期权价格具有以下优点：1、能够处理非常复杂的期权类型与传统的期权定价方法相比，蒙特卡罗模拟方法不需要对期权类型进行任何假设。
期权定价的蒙特卡罗模拟综合性方差减少技术
期权定价的蒙特卡罗模拟综合性方差减少技术①马俊海1,张 维2,刘凤琴3(1.东北大学计算机科学与技术博士后流动站,沈阳110004;2.天津财经大学,天津300222;3.浙江财经学院,杭州310012)摘要:主要将重要性抽样技术处理特殊衍生证券定价问题的能力与控制变量技术、分层抽样技术简单灵活、易于应用的特点有机地结合起来,把分层抽样技术和控制变量技术引入重要性抽样模拟估计的分析框架,提出更为有效的关于期权定价蒙特卡罗模拟的综合性方差减少技术;并以基于算术型亚式期权定价为例,进行了实证模拟分析.关键词:期权;蒙特卡罗模拟;方差减少技术;重要性抽样技术;最优化分层抽样技术中图分类号:C931.2 文献标识码:A 文章编号:1007-9807(2005)04-0068-060 引 言蒙特卡罗模拟的基本方差减少技术作为模拟效率改进的重要途径,在金融衍生证券的定价分析中已经得到了广泛的应用和发展.其中,对偶变量、控制变量、分层抽样技术作为通用性方差减少技术,其基本特点是简单灵活,容易实现,可以应用于所有类型的金融衍生证券的价格估计中;但是,由于方法自身的局限性,单独的使用对于一些特殊的金融衍生证券的价格估计不能取得理想的效果.例如,为保证对偶变量技术对金融衍生证券定价分析有效,就必须使该衍生证券的盈亏收益函数是随机抽样样本的单调函数;这一条件对诸如欧式期权、美式期权等比较简单的衍生证券是完全满足的,但对于诸如障碍期权、亚式期权等比较复杂的新型衍生证券并不一定成立[1,2].再比如,保证控制变量技术有效性的一个重要条件就是该技术应用过程中所需分析的证券与其相关证券之间具有较高程度的正相关性.因此,对于一些比较简单衍生证券,这种相关性证券比较容易得到;而对于比较复杂的衍生证券,寻找一个较好性质的相关性证券则显得比较困难[3,4].重要性抽样技术的思想基础就是通过一定的变换,将在一个概率测度下的数学期望转换为在另一个概率测度下的数学期望,从而使得随机抽样能更好地符合模拟估计问题的性质.基于这一思想基础,恰当地确定一个合适的漂移率水平,从而建立起一个有效的重要性抽样函数是重要性抽样技术应用的一个重要环节.近些年来,许多学者都对重要性抽样技术在金融衍生证券价格模拟的应用进行大量的研究分析,这些研究也提出了许多确定重要性抽样技术中漂移率水平的方法,但没有从理论上对最佳漂移率的确定进行系统分析.此外,根据文献[5],利用蒙特卡罗模拟对许多期权价格进行估计所产生的方差,主要可由期权盈亏函数中的线性项与非线性项两部分引起,重要性抽样技术的利用可以最大限度地减小由盈亏函数线性部分所引起的价格估计方差,对于非线性部分则显得无能为力;而在重要性抽样技术中引入适当的分层抽样技术,可以减少或消除盈亏函数的非线性部分所引起的估计方差.第8卷第4期2005年8月 管 理 科 学 学 报JOURNA L OF M ANAGE ME NT SCIE NCES I N CHI NAV ol.8N o.4Aug.2005①收稿日期:2003-06-03;修订日期:2005-06-06.作者简介:马俊海(1964—),男,山西平陆人,博士,教授.1 重要性抽样技术的最佳漂移率确定方法1.1 最佳漂移率确定的最优化问题从理论上分析,上述的重要性抽样技术可以应用于标的资产价格服从任何随机运动过程的金融衍生证券的价格模拟.但是,为了研究方便,在此主要就标的资产价格服从几何布朗运动过程的情况.假设原始概率密度g为一个多维正态分布密度函数,其均值向量和协方差矩阵分别为n维零向量和n阶单位矩阵.又假设hμ(z)表示均值向量为μ协方差矩阵为n阶单位矩阵的正态分布密度函数,Eμ(.)表示在概率密度为hμ(z)的期望算子,则重要性抽样估计过程可表示为[6] E[G(Z)I D]=Eμ[G(Z)e-μ′z+(1/2)μ′μI D](1)其中,Z～N(0,I),I为n阶单位矩阵.根据多元正态分布性质,Z在密度函数hμ(z)条件下与(Z+μ)在原始密度函数g=h0(z)条件下具有相同的概率分布,即Eμ[G(Z)e-μ′z+(1/2)μ′μI D]=E[G(Z+μ)・e-μ′Z+(1/2)μ′μI D(Z+μ)](2)由式(2),在原始概率分布条件下的重要性抽样估计为G(Z+μ)e-μ′Z+(1/2)μ′μI D(Z+μ).μ的选择实际上就是要使该估计的方差达到最小,即minμEμ[G(Z)2e-2μ′Z+μ′μI D].若定义F(z)=ln G(z),则根据马俊海的研究分析[7],最佳漂移率的选择问题可以归结为以下的最优化问题min μmaxZ∈D[2F(z)-μ′z+12μ′μ-12z′z](3)又根据前面对集合D的定义和随机向量Z 的正态分布性质可知,对于许多类型金融衍生证券的盈亏函数G(z),集合D是一个开集.所以,由上式表示问题的最优解总是可以在集合D的内部D0取得.该最优化问题的一阶条件可表示为2 F(z)-μ′-z′=0.此一阶条件可简化为 F(μ)=μ′如果对漂移率为μ的重要性抽样估计进行T aloy展开,并将上述一阶条件代入该式,则有e F(μ)+ F(μ)Z+O(Z′Z)-μ′μI D=e F(μ)-(1/2)μ′μ・e O(Z′Z)I D(4)此式说明,通过上述最优化问题得到的漂移率为μ的重要性抽样模拟估计,实际上消除了由于函数F(z)中的线性项部分所代表的随机变量,从而也就消除了该线性项所引起的估计方差.1.2 求解最优化问题的基本算法对于诸如欧式、亚式期权等金融衍生证券的价格估计,满足一阶条件的重要性抽样函数的漂移率可以通过直接求解满足一阶条件的方程来确定.而对于一般的金融衍生证券而言,则必须通过数值迭代方法来加以解决.实际上,求解一阶条件问题可以看作为一个不动点问题[8].假设函数F(z)是区域集合D上的一个二次连续可微的,区域集合D是一个凸集,H(z)代表函数F(z)在z处的海塞矩阵.定义从D到D中的一个映射: F(z):D→D,supz∈D‖H(z)‖<1.则恰有一个μ∈D满足上述的一阶条件,并且对于任何一个μ0∈D,如果漂移序列μn满足以下迭代公式μn+1= F(μn),则该漂移率序列必收敛于μ.对于一些比较简单的金融衍生证券的价格模拟,通过较少的迭代步骤就可以达到较高的估计精度.但是,对于相当一些金融衍生证券的价格模拟,由于定理中的一些条件得不到满足,因而其收敛速度比较慢.为此可考虑对其进行适当改进,基本过程为首先,上述的一阶条件可以重新写为 G(μ)/G(μ)=μ.经过第i次迭代以后,G(μ)可近似为G(μ)=G(μi)+ G(μi)(μ-μi)而 G(μ)可由 G(μi)来近似逼近,则上述的迭代公式可以近似为μi+1=G(μi)G(μi)+ G(μi)(μi+1-μi)(5)进一步假设β=β(μi+1)=1/[G(μi)+ G(μi)(μ-μi)],则可得μi+1=β G(μi)将该公式代入式(5),得到的方程‖ G(μi)‖2β2+(G(μi)- G(μi)μi)・ β-1=0求解这一方程,得到关于参数β的两个值,取其中的正值代入上式,则可由μi得到μi+1,从—96—第4期 马俊海等:期权定价的蒙特卡罗模拟综合性方差减少技术而实现对所求漂移率的迭代逼近公式.2 最优化分层抽样基本方法及其抽样方向选择由前面分析结果,通过漂移率μ的选择而得到的重要性抽样技术,去掉了由于函数F(z)线性项所引起的估计方差.因此,为了进一步减少模拟的估计方差,一个重要途径就是要减少由于函数F(z)的二次项所引起的估计方差.下面将通过选择适当的分层抽样的方向,比较有效地解决随机向量Z服从多元标准正态分布时,以解决盈亏函数F(z)的二次项所引起的估计方差问题.关于分层抽样技术,在文献[1]中有比较详细论述,本文主要就特殊方向上的分层抽样技术的基本思想及其抽样方向选择问题进行研究分析. 2.1 特殊方向上的分层抽样技术对前面重要性抽样估计进行T aylor展开,并利用选择最佳漂移率一阶条件,可得e F(μ+Z)-μ′Z-(1/2)μ′μI D=e F(μ)-(1/2)μ′μ・ e(1/2)Z′H(μ)z+o(1)I D(6)其中,H(μ)表示函数F(z)在μ处的海塞矩阵.2.1.1 单一方向的分层抽样技术假设μ为一个n维单位化实数向量,Z为n 元标准正态分布随机向量,则μ′Z是一个一元标准正态分布随机变量.为了对随机变量μ′Z进行层数为N的分层抽样,先将实数空间R划分为N 个子区间B1,B2,…,B N,设X i为在μ′Z∈B i成立下Z的条件分布随机变量.这样一来,对随机变量μ′Z进行层数为N的分层抽样就等价于对每一个随机变量X i,i=1,2,…,N进行随机抽样.根据Duffie[9]的研究分析可知,(Z|μ′Z=a)～N(μa,I n-μμ′).由此可以比较容易实现对随机变量X i,i= 1,2,…,N的随机抽样.现在,假设上述的划分满足特殊性质,即子区间B i是一个位于标准正态分布的第(i-1)/N与第i/N个分位数之间的子区间,也即有以下的关系(i-1)/N≤P(μ′Z∈B i)≤i/N则为了进行分层抽样,可以做以下定义V i=i-1N+U i0N(i=1,2,…,N)(7)其中,U i0为区间[0,1]均匀分布随机变量的抽样样本,因而V i则是区间[(i-1)/N,i/N]上均匀分布随机变量的抽样样本.又假设X i=Φ-1(V i),则X i为基于条件μ′Z∈B i的标准正态分布随机变量的抽样样本.其中,Φ-1为标准正态分布函数的逆函数.最后设定沿着方向u的分层随机抽样样本,Z i=μX i+CμY i.其中,Y i～N(0,I n),并与X i独立,Cμ满足CμCμ′=I n-μμ′.特别地,可以直接选择C u就为I n-μμ′本身.2.1.2 沿着多个方向的分层抽样的技术方法设U=(μ1,μ2,…,μk),其中μi为n维单位化相互正交实数向量,1≤k≤n,即U′U=I k.则根据正态分布的性质,有U′Z～N(0,I k),(Z|U′Z=a)～N(U a,I-UU′).为了进行沿着k个方向μ1,μ2,…,μk进行分层随机抽样,令N=m k,通过把k个方向的每一个方向的[0,1)区间划分为m个相同长度的子区间,从而将单位超立方体[0,1)K划分为N个子超立方体.从每一个子超立方体的均匀分布中选择一个点,再对每一个选择出的点通过Φ-1(・)运算,便得出基于n个方向的分层抽样样本.由于分层抽样通常需要较大的m,因此,如果k比较大时,这种抽样程序实现起来是非常困难的.为此,将利用由前面分析的拉丁超立方抽样方法(Latin Hypercube Sam pling),对k比较大时情况给予比较好的解决.2.2 最优化分层抽样方向的选择假设现在所估计的问题为C=E(f(Z)).其中,E(f2(Z))<∞,Z为多元标准正态分布随机向量,Z1,Z2,…,Z n为Z的随机抽样样本,<表示单变量标准正态分布密度函数,可以将分层抽样的最佳抽样方向的选择归结如下的最优化问题[10]minμ∶μ′μ=1∫var(f(Z)|μ′Z=x)<(x)d x(8)由前面分析可知,在重要性抽样分析框架中引入分层抽样技术的主要目的是减少或消除由函数F(z)的二项式所引起的估计方差.为此,可以假设上述最优化问题中的函数为如下的特殊形式f(Z)=exp12Z′H(μ)Z(9)其中,H(μ)f(Z)在Z=μ处的海塞矩阵.—7—管 理 科 学 学 报 2005年8月假设μ为已经选定的最优化重要性抽样函数的漂移率,则分层抽样方向的选择实际上就是要解决以下的最优化问题minμ∶μ′μ=1E[Var(e(1/2)Z′H(μ)Z|μ′Z)](10)根据线性代数学基本定理,对于这一最优化问题,有以下的基本定理[10]:假设海塞矩阵H(μ)的n个特征根为λ1,λ2,…,λn,并且每一个特征根都大于等于零和小于等于1/2,v i是相应于特征根λi的单位化特征向量.如果λj3为H(μ)的最大特征根,则μ=v j3取得上述的最优化问题的解,即u=v j3为分层抽样的第一个最佳抽样方向.此外,该定理中关于特征根的假设条件(小于或等于1/2)似乎限制了其应用范围.但根据F orunie等[11]的分析与讨论,对于诸如亚式期权、障碍期权、基于CIR利率模型的利率衍生证券以及基于随机波动率的各种路径依赖式衍生证券等许多比较复杂的金融衍生证券,都比较容易满足该假设条件.所以,尽管受到了一定程度的限制,但该定理仍具有非常广泛的应用范围.2.3 最优化抽样方向选择的简化方法从上述理论分析可知,确定最优分层方向的关键就是要衍生证券的盈亏函数F(Z)在最佳漂移率μ处的海塞矩阵H(μ)的特征值及单位化特征向量.这一问题对于许多比较复杂的衍生证券而言,实现起来非常困难.因此,寻找简化计算方法就显得十分必要.首先,假设对函数为如下特殊表示形式时的最优分层方向确定进行简要分析F(Z)=f(b′Z)(b∈R n)这种特殊形式函数要求高维衍生证券的盈亏函数能够表示为以随机抽样的线性组合为变量的一元函数.当标的资产价格服从几何布朗运动过程时,基于标的资产价格几何平均值的亚式期权是满足这一性质的最为常用的金融衍生证券.此外,还有许多类型的金融衍生证券,虽然不能直接具有这一特殊性质,但也可以通过T aylor展开等变换近似地表示为这一特殊形式.F(Z)的梯度可表示为如下的形式: F(Z)=b′ f(b′Z).其中, f(・)表示函数的微分运算.则求解最佳漂移率的一阶条件可表示为b′ f(b′μ)=μ.根据微分方程理论,上述方程的任何解μ都可以表示为μ=k b.进一步分析,F(Z)在μ处的海塞矩阵可表示为bb′ f(b′μ).则由矩阵分析理论,该矩阵仅有一类与向量b成比例的非零的特征向量.由此可以得出,盈亏函数为F(Z)= f(b′Z)(b∈R n)形式时,最佳漂移率μ与最优分层方向v相互成比例的两个同方向向量.因此,最优分层方向v实际上就是最佳漂移率μ的单位化向量,即v=μ/μ′μ.以上分析主要讨论了具有特殊形式盈亏函数F(Z)的最优分层方向的确定问题.但大量的实证研究结果表明,在许多情况下,即使盈亏函数F(Z)不具有上述的特殊形式,沿着公式所确定的方向进行分层抽样也能取得十分理想的效果.因此,当海塞矩阵及其特征向量很难确定时,往往就可以通过这一简化方法来进行分析.3 实例分析在此以亚式期权为例,对本章提出的模拟模型的应用效果进行比较分析.根据前面的分析,主要对以下的五种模拟模型进行比较分析,即普通蒙特卡罗模拟MC、基于最佳漂移率μ的重要性抽样模拟I MC、基于最佳漂移率μ的重要性抽样和沿着方向μ进行的分层抽样技术SI MC、基于最佳漂移率μ的重要性抽样和沿着海塞矩阵H(μ)的最大单位化特征向量v1进行的分层抽样技术EI MC以及在SI MC基础上引入控制变量技术的模拟模型SI MC2C V.3.1 基本模拟过程分析根据Benedecte A,Jean2Paul[12]算术平均标的资产价格的亚式看涨期权盈亏收益函数为G(z)=e-rT max(S-K,0)式中的无风险利率r为常数,因此在讨论分析时,可以不考虑常数因子e-rT.为了进行模拟估计,首先对期权的标的资产价格在风险中性世界中的变化路径在其有效期内进行离散化,其基本表示形式为S0,S1,S2,…,S N.其中,S i表示模拟路径上的第i个时刻的价格S iΔt,Δt=T/N.则平均价格S可表示为S=(1/N)∑Ni=1S i.设在此盈利收益函数下的方差最小的重要性抽样函数的漂移率向量为μ,μ=(z31,z32,…,—17—第4期 马俊海等:期权定价的蒙特卡罗模拟综合性方差减少技术z 3N ),其一阶最优化条件可表示为如下的关系式z 3j =σΔt∑Ni =jS i NG (μ),j =1,2,…,N(11)此公式可进一步表示为以下的迭代递推形式z 3j +1=z 3j -σΔtS jNG (z )(12)其中z 31=σΔt (G (μ)+K )G (μ),s j =S j -1e(r -(1/2)σ2)Δt +σΔtz3jj =1,2,…,N -1在确定了重要性抽样中的最佳漂移率以后,一般地就可以通过计算函数F (z )在μ=(z 31,z 32,…,z 3N)处的海塞矩阵H (μ)来进一步确定最优分层抽样方向.这里有F (z )=ln (max (S -K,0)).该函数在满足条件S >K 的所有点z 处都是二阶可微的,而且其二阶偏导数也很容易计算.因此,海塞矩阵H (μ)也同样容易地计算出来.在实际运用过程中,还可以根据2.3中的简化方法,将已经求出的最佳漂移率μ进行单位化来确定最优分层抽样方向.在进行以上的过程的基础上,再利用基于几何平均标的资产价格的亚式期权价格作为控制变量来做进一步分析,最小方差系数β3通过一元回归模型确定[13].3.2 模拟结果分析现在假设亚式期权的基本参数为S 0=60,T =1,r =0.05;波动率σ取两个值,分别为0.15和0.25;执行价格K 分别取40、55和60三个值;样本路径的离散化的时间点N =16,分层抽样的层数为m =50,随机模拟次数M =1000.利用这些模拟模型对上述假定的期权进行100次重复计算,得出普通蒙特卡罗模拟与后边四个模拟模型估计标准差的比率,其基本计算结果如表1所示.表1中的价格估计a 和b 分列一栏表示利用1000次模拟样本路径的SI MC 2C V 和EI MC 模型进行100次重复计算的平均结果.表1 模拟模型的估计标准差比率T able 1The ratios of estimated standard deviation for the simulated m odel波动率σ执行价格价格估计a价格估计bI MC SI MC SI MC 2CV EI MC 0.15455560 6.0001.9020.215 5.9981.9110.215 2.5413 6.723717.330.798.07.8341020.254555607.1014.0932.0547.1004.0912.0572.02.5712152014.719.225.717.621.427.03.2.1 模拟结果的整体比较由模拟结果可知,基于最佳漂移率的重要性抽样的估计方差比普通蒙特卡罗模拟的估计标准差有了一定程度的降低.而在上述重要性抽样基础上,再沿着最优分层抽样方向进行的分层抽样模拟模型对普通蒙特卡罗模拟的估计方差产生了极其明显的降低效果.降低的程度大约增加了几十倍.进一步分析可知,沿着最佳漂移率方向进行的分层抽样模拟的改进效果与沿着通过海塞矩阵求出的最佳分层方向进行的分层抽样模拟的改进效果相比较,后者的效果要比前者稍微好一些,但差别并不十分明显.如果对前一模拟模型在引入控制变量技术,即表中的SI MC 2C V 模拟模型的改进效果与EI MC 大体相当.但由于在计算工作上,二者之间存在着明显的差别,即SI MC 2C V 模型的计算工作要比EI MC 模拟模型小得多,实现起来也容易得多.所以,对于上述的亚式期权,SI MC 2C V 模拟模型将是前述模拟模型中最具实用意义的模型.3.2.2 SI MC 与EI MC 的比较分析SI MC 与EI MC 两种模型模拟效率的差别关键在于最佳漂移率方向与通过海塞矩阵求出的最优分层抽样方向之间的相关程度.它们之间的相关性程度越强,SI MC 与EI MC 的模拟效率也就越接近.比如,假设期权的基本参数取以下数值S 0=60,K =55,σ=0.25,T =1,0.05,n =16.根据上述递推公式计算出具有单位长度1的最佳漂移率向量与最优分层抽样方向,前5个分量和后两个分量分别为μ=(0.22,0.207,0.194,0.182,0.169,…,0.027,0.205)υ=(0.23,0.217,0.204,0.191,0.178,…,—27—管 理 科 学 学 报 2005年8月0.036,0.013)对其他参数情况下的亚式期权做类似分析,可得大致相同的结论,从而也说明了EI MC 与SI MC 两种模拟估计效率差别不太明显基本原因所在.因此,对于一般性金融衍生证券的价格模拟过程,上述的关于漂移率方向与最优分层抽样方向相关性程度的分析判断是决定SI MC 或SI MC 2C V 两种比较简单的模拟模型能否近似取代比较复杂的EI MC 模拟模型的关键问题.4 结束语本文的研究分析可以得出以下主要结论:(1)不同的蒙特卡罗模拟的方差减少技术有机结合起来,将是进一步提高金融衍生证券定价的蒙特卡罗模拟效率的重要途径;(2)基于最佳漂移率的重要性抽样技术与沿着最优分层抽样方向进行的分层抽样技术结合起来的综合性方差减少技术,比普通的蒙特卡罗模拟产生了极其明显的效率提高效果,在各种金融衍生证券定价分析中,平均提高程度大约为几十倍.(3)考虑到模拟的计算工作与方差减少水平,基于最佳漂移率μ的重要性抽样技术与沿着海塞矩阵H (μ)的最大单位化特征向量υ1进行的分层抽样技术所形成的综合性方差减少技术,对于许多特殊的金融衍生证券定价而言,则是一种最为有效的蒙特卡罗模拟提高技术.参考文献:[1]Broadie P ,G lasserman P.M onte Carlo methods 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tw o-factors m odels and g ot the closed 2form s olution to the price of default 2able bonds.Finally ,we analyzed the pricing problem of credit risk derivatives.K ey w ords :credit risk ;term structure ;pricing ;intensity m odel(上接第73页)Comprehensive variance reduction techniques of Monte C arlo simulation methods for pricing optionsMA Jun 2hai ,ZH ANG Wei ,LIU Feng 2qin1.P ost 2D octor W ork S tation of C om puter S cience and T echn ology ,N ortheastern University ,Shenyang 110004,China ;2.T ianjin University of Finance and Economics ,T ianjin 300222,China ;3.Zhejiang University of Finance and Economics ,Hangzhou 310012,ChinaAbstract :In this paper ,combining the stronger ability to deal with s ome special financial derivative securities given by im portance sam pling technique and the characters of sim ple and flexible of mulit 2control variable technique and optimum stratified sam pling technique ,we will put forward s ome m ore effective com prehensive variance reduction techniques on M onte Carlo simulation method for pricing financial derivative securities by introducing control variable technique and optimum stratified sam pling technique into the analysis framew ork of im portance sam pling technique.At last ,we make s ome practical analysis by using an arithmetic Asian option.K ey w ords :options ;M onte Carlo simulation ;variance reduction technique ;im portance sam pling technique ;optimum stratified sam pling technique—97—第4期 梁世栋等:随机违约强度下的信用风险期限结构研究。
基于内存减少蒙特卡罗法的多标的资产美式期权定价外文文献翻译、中英文翻译
<文献翻译一：原文>Pricing multi-asset American-style options by memoryreduction Monte Carlo methods1Abstract:When pricing American-style options on d assets by Monte Carlo methods, one usually stores the simulated asset prices at all time steps on all paths in order to determine when to exercise the options. If N time steps and M paths are used, then the storage requirement is d M N⋅⋅. In this paper, we give a simulation method to price multi-asset American-style options, where the storage requirement only grows like(1)++. The only additional computational cost is that we haved M Nto generate each random number twice instead of once. For machines with limited memory, we can now use larger values of M and N to improve the accuracy in pricing the options.Keywords:Memory reduction method; Monte Carlo method; Multi-asset; American-style options; Random number1. IntroductionMonte Carlo method is one of the main methods for computing American-style options, see for instance [12, 2, 3, 9]. These algorithms are computationally inefficient because they require the storage of all asset prices at all simulation times for all simulated paths. Thus the total storage requirement grows like ()O dMN where d is the number of underlying assets, M is the number of simulated paths and N is the number of time steps. The accuracy of the simulation is hence severely limited by the storage requirement.The apparent difficulties in using Monte Carlo methods to price American-style options come from the backward nature of the early exercise feature. There is no way of knowing whether early exercise is optimal when a particular asset price is reached at a given time. One can look at this problem from another point of view. In Monte Carlo method, the simulated paths are all generated in the time-increasing direction,1Raymond H. Chan, Chi-Yan Wong, Kit-Ming Yeung. Pricing multi-asset American-style options by memory reduction Monte Carlo methods [J]. Applied Mathematics and Computation 179(2006):535-544.i.e. they start from the initial asset prices 0x and march to the expiry date according to a given geometric Brownian motion. But since the pricing of American options is a backward process starting from the expiry date back to 0x , the usual approach is to save all the intermediate asset prices along all the paths.In this paper, we use our simulation method in [4] for computing multi-assetAmerican-style options that does not require storing of all the intermediate asset prices. The storage is reduced from ()O dMN to (1)d M N ++only. Our main idea is to generate the paths twice: one in a forward sweep to establish the asset prices at the expiry date, and one in a backward sweep that computes the intermediate asset prices only when they are needed. The only additional cost in our method is that we have to generate each random number twice instead of once. The resultingcomputational cost is less than twice of that of the methods where all the intermediate asset prices are stored.The remainder of this paper is organized as follows. Section 2 recalls the usual full-storage approach for computing multi-asset American-style options. Section 3 gives some background about random number generators in computers. In Section 4, we introduce our memory reduction method. In Section 5, we show how to use our method to compute multi-asset American options by adopting it to the least-squares method proposed by Longstaff and Schwartz [9]. Section 6 gives some numerical results to illustrate the effectiveness of our method.We will use the MATLAB language [11] to explain how the codes are to be written as the language is easier to comprehend. The corresponding commands in FORTRAN 90 [5] and MATHEMATICA [13] are given in Appendix A.2. The full-storage methodAs usual, we let the prices of d non-dividend paying assets 12(,,,)d T x x x =x follow the geometric Brownian motion,kk k k dx rdt dW x σ=+ 1,k d ≤≤where r is the risk-free interest rate, k σ is the volatility of asset k , and k dW is the Wiener process for asset k . By Ito’s Lemma, we have211()()exp ()2d k kk kj k j x t dt x t r dt v dW σ=⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭∑211()exp ()(,)()2d k k j x t r dt k l l σ=⎛⎫=- ⎪⎝⎭z V （1）Where ()k x t is the price of asset k at time t , z is a -vector d of standard normal random variables, and []ij v =Vis the volatility matrix. The volatility matrix V is given byT =C V V ,and []ij c =C is the -by-d d covariance matrix with ij ij i j c ρσσ=, where ij ρ is the correlation coefficient between i dW and j dW see for instance [8].In the Monte Carlo simulation, we divide the time horizon into N time steps with each having the length0T t t N-∆=, where 0t is the current time and T is the expiry date of the option. Thus the time horizon is discretized as 01N t t t T <<<=where 0j t t j t =+∆.Let the asset prices at time 0t be 12000(,,,)d T x x x =0x . Given 0x , we can simulate the price paths using (1). More precisely, for asset k ,1k d ≤≤, if we are to simulate M paths, then the th ipath can be defined by the recurrence:211()()exp ()(,)(),1,1,2d i i i k j j j l k k r t k l l i M j N σ-=⎛⎫=-∆≤≤≤≤ ⎪⎝⎭S S z V (2) where ij S is the asset price vector, and its th k entry (),1ij k k d ≤≤S , is the price ofasset k on the th i path at time j t with 00()ik k x =S for all i , and ij z is a vector ofd independent, identically distributed, standard normal random numbers. Forsimplicity, we denote 00S =x .The straightforward approach, like those in [12, 3, 9], is to simulate the paths and then store all intermediate asset price vectors ij S up for later computation of theoption prices. We will refer this approach as the full storage method -. It requires d M N ⋅⋅ storage. Notice that to generate the paths, we need d M N ⋅⋅ standard normal random numbers.3. The random number generatorAccording to (2), we need to generate one standard normal random number for each asset at each time step on each path. Most computer languages already have built-in functions to generate these random numbers. In MATLAB, it is “randn”. By using the concept of a seed, one has the flexibility to change or fix the sequence ofrandom numbers each time they are generated. For example, the MATLAB commandsrandn(‘seed’,s);e = randn;give a different random number e each time the seed s is changed, but give the same random number if s is fixed.In MATLAB, one can even extract the seed that generates the next random number in a sequence. The command iss = randn(‘seed’); More precisely, if the sequence corresponding to the seed s is(3)then we can obtain a partial sequence {}l l k ε∞= starting from k ε, provided that we have extracted the seed c after generating 1k ε-, i.e. (4) In view of this, we will call an integer c the current seed of a random number k ε, if setting the seed to c, the next random number so generated is k ε.<文献翻译一：译文>基于内存减少蒙特卡罗法的多标的资产美式期权定价摘要：当用蒙特卡罗方法为d 个标的资产的美式期权定价时，为了决定何时执行期权，通常存储所有的路径在全部的时间步的模拟资产价格。
蒙特卡罗模拟在期权定价中的应用
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The Application of Monte Carlo Simulation to Pricing of Options
ZHOU Shi jun, YUE Chao long ( 1. School of Economics, AH UT ; 2. School of M anag ement Science and Eng ineering, AHU T , M a anshan 243002, Anhui, China) Abstract: T he pricing problem of options is one of the most co mplicated mathematical problems in financial application fields. Under many circumstances, however, no analytical solution on the value of options is available. So some numerical arithmetic is applied to solve it and M onte Carlo simulation is o ne o f most extensive numerical arithmetic. Key words: option pricing; Mon te Carlo simulation ; B S model
[ 5]
确定的: 边际模拟价值= 期权价值的变动度 每 1 000 次模拟 当边际模拟价值明其模拟效果与理论要求相符。为 了进一步验证蒙特卡罗模拟的精度如何, 下面将利用 B - S 模型对该期权进行定价并与之对比。 3 B S 模型定价结果。对于该实例, 若利用 Black - Scholes 模型定价公式来求解, 则结果如下: d1 = ln( S/ X) + ( r+ 2 / 2) ( T - t) 0. 125+ 0. 12 / 2 = 0. 1 T- t T - t = 1. 3- 0. 1= 1. 2
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法引言在金融市场中，期权定价一直是投资者和金融机构关注的焦点之一。
为了准确地定价期权，需要采用一种能够模拟市场价格变动的方法。
蒙特卡洛模拟方法便是一种常用的期权定价方法。
本文将介绍蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用以及实施细节。
蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法是一种基于统计学原理的随机模拟方法。
在金融领域，蒙特卡洛模拟方法常用于模拟金融资产价格的随机变动。
通过生成大量的随机样本，可以近似地计算出金融产品的价格和风险。
期权定价的基本原则在介绍蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用之前，首先了解一些期权定价的基本原则。
期权定价的基本原则包括：1.买卖期权的对冲操作可以消除风险。
2.根据期权的到期日、执行价和标的资产价格的关系，可以判断期权的内在价值。
3.期权的时间价值取决于波动性等因素，需要通过计算推导或模拟计算得出。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用蒙特卡洛模拟方法广泛应用于期权定价中，其主要步骤包括：1.设定模型：选择一种适合的金融模型来描述标的资产价格的变动。
2.模拟价格路径：使用随机数生成器来模拟标的资产的价格变动路径。
通过设定模型的参数以及随机数发生器的特性，可以生成一系列的价格路径。
3.计算期权价格：对每条价格路径，使用期权定价公式来计算期权的价格。
这要求对期权的到期日、执行价以及标的资产价格有所了解。
4.统计分析：对生成的所有价格路径进行统计分析，计算期权的均值、方差和置信区间等统计指标。
5.结果输出：将统计分析的结果输出，得到期权的定价和风险指标。
蒙特卡洛模拟方法的实施细节在实施蒙特卡洛模拟方法时，需要注意以下几个细节：1.模型选择：根据实际情况选择合适的金融模型。
常用的金融模型包括布朗运动模型和几何布朗运动模型。
2.随机数生成器：选择一个高质量的随机数生成器，确保生成的随机数具有良好的随机性和均匀分布性。
3.模拟路径数：为了得到准确的结果，需要生成足够数量的价格路径。
美式期权定价的一种蒙特卡洛方法
美式期权定价的一种蒙特卡洛方法张丽虹【摘要】期权定价理论是目前金融工程、金融数学等领域所研究的前沿和热点问题,基于此,本研究中,使用蒙特卡洛方法解决美式期权定价问题.首先,简要介绍期权的相关概念和分类、美式期权的基本知识;然后,提出合理的假设,根据美式期权的行权特点建立相应的数学模型,推导得出美式期权价格的数学期望表达式,再根据表达式设计一种蒙特卡洛方法进行计算;最后,得出在合理假设条件下美式看涨期权和美式看跌期权的价格计算方法.假设利用传统的有限差分法得出的美式看涨期权和美式看跌期权价格的数值结果是"准确解",然后将蒙特卡洛方法得到的数值结果与用有限差分法得到的准确解进行比较,并进一步讨论蒙特卡洛方法的优越性及其推广.【期刊名称】《经济研究导刊》【年(卷),期】2015(000)027【总页数】5页(P95-99)【关键词】美式看涨期权;美式看跌期权;蒙特卡洛方法;期权定价【作者】张丽虹【作者单位】云南财经大学马克思主义学院,昆明 650221【正文语种】中文【中图分类】F830引言在最近的几十年里，金融衍生市场的发展已经成为影响经济的重要现象，衍生市场是相对于基础市场而言的。
金融衍生物是一种风险管理工具，它的价值依赖于基本的原生资产（或称标的资产）的价格变化。
在金融市场，商品市场有很多形式的金融衍生工具，其中远期合约、期货和期权是三种最基本的金融衍生工具。
如果把原生资产设定为股票、债券、汇率或商品等，那么为了对这些原生资产进行风险管理，相应的有：股票期货（期权）、债券期货（期权）、货币期货（期权）以及商品期货（期权）等[3，7]。
在市场经济发达的国家，期权市场已是构成其证券市场的一个重要组成部分。
近二十年来，国际金融界对期权理论的研究和应用投入了巨大的关注。
特别是在西方发达国家，期权理论的发展日新月异，期权应用研究也紧随其后[3，7]。
从金融期权研究得出的原理、方法和结论不仅仅应用于期权投资领域，还可以广泛应用于宏观、微观经济和管理问题的分析与决策[8]。
蒙特卡罗模拟法在期权定价中的应用
5152010金融FINANCE蒙特卡罗模拟法在期权定价中的应用■徐保震武汉理工大学理学院中图分类号：F832文献标识：A文章编号：1006-7833(2010)05-051-02摘要在金融期权的定价尤其是对美式期权的定价中有很多数值方法。
本文简要介绍了期权定价中标的资产的运动模型及其推广，并对欧式期权和美式期权分别用蒙特卡罗模拟法进行定价，并在Matla b 中编程实现，在Excel 软件中运行，给出了详细的实证分析过程。
关键词维纳过程期权定价蒙特卡罗模拟一、维纳过程期权的价格与相应标的资产的价格密切相关，最典型的是股票期权。
研究股票期权首先要考虑股票价格变动模式。
如果某变量以某种不确定的方式随时间变化，则称该变量遵循某种随机过程。
随机过程分为离散时间和连续时间两种。
离散时间随机过程是变量只能在某些确定的时间点上变化的过程，而一个连续时间随机过程是变量的值的变化可以在任何时刻发生。
连续时间随机过程中，时间变量可在某一范围内取任意值，而在离散随机过程中，时间变量只能取某些离散值。
股票行为可用著名的维纳过程来表达。
（一）维纳过程极其性质设随机过程()Z Z t ，在一个很小的时间间隔t 的变化用t z 表示。
如果t z 具有如下性质：1.t z t ，其中是服从标准正态分布的随机变量。
2．对于不同的时间间隔t ，t z 相互独立。
则称()Z Z t 为维纳过程。
（二）风险中性环境中股票的价格运动在风险中性环境中股票的价格遵循的运动公式：()()()dS t S t dt S t dz ，其中dz 是一个标准布朗运动，为在风险中性世界中的收益率，现实世界中一般以LIBOR 为准。
为波动率，()S t 表示时刻t 的股票价格.将上述连续模型进行离散可得：()()()()S t t S t S t t S t t ，则00()()()S t S t S t ，211()()()S t S t S t ，，11()()()n n n S t S t S t ，，1n t ，n t (12)n ，，很接近且0()S t ，1()S t ，，()n S t 为相互独立的随机正态随机变量。
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基于方差缩减的高维美式期权Monte Carlo模拟定价陈金飚;林荣斐【摘要】American options allow holders to execute an order at any moment before due date.However, the pricing of American options is comparatively complicated because it involves the optimal stopping rule.Monte Carlo method is flexible and easy to implement.Besides, its error estimation and convergence rate are independent of the dimension of the problem, providing Monte Carlo method a great advantage over classical numerical approaches in option pricing.This paper combines the Least Square Monte Carlo method with some variance reduction techniques and a memory reduction approach to price multi-asset American-style options, then compares the efficiency of different variance reduction techniques, and analyzes their application.%美式期权给予持有者在到期日之前任何时刻的权利,因涉及最佳执行时刻问题定价较为复杂.Monte Carlo方法其估计误差及收敛速度与问题的维数独立,可较好地处理高维衍生证券问题,且方法灵活易于实现.利用最小二乘蒙特卡洛方法(LSM),结合存储量减小技术与方差缩减技术,将 Monte Carlo 模拟方法应用于多标的资产的美式期权定价,并比较、分析了不同方差缩减技术的效果及适用范围.【期刊名称】《浙江大学学报（理学版）》【年(卷),期】2017(044)005【总页数】6页(P542-547)【关键词】MonteCarlo方法;美式期权;方差缩减技术;定价【作者】陈金飚;林荣斐【作者单位】台州学院数学与信息工程学院, 浙江台州 317000;台州学院数学与信息工程学院, 浙江台州 317000【正文语种】中文【中图分类】O242.28近年来随着数据分析和计算机技术的飞速发展，高维美式期权的定价方法取得了实质性的突破[1-8]，但随着美式期权维数的增加,存在所谓的“维数灾难”问题.为了克服这一难题,研究者将Monte Carlo模拟美式期权定价作为重要的研究主题 [9-10].假设d维无红利标的资产x=(x1,x2，…，xd)满足几何布朗运动其中,r为无风险利率，dWi为标准维纳过程，波动率矩阵V=[νij]由协方差矩阵C=VVT决定，C=[cij]是d×d的协方差矩阵，且cij=ρijσiσj，σk为资产k的波动率，ρij为dWi和dWj的相关系数.假设初始时刻为0，到期时刻为T，把期权有效期划分为c个小时间段，每个时间段长度为Δt=，此时时间轴就离散化为εk.设模拟c条路径，由高维Ito引理，第i条路径可定义为其中为资产k在时刻j上第i条路径的模拟价格为d个独立同分布的标准正态变量所组成的向量.本文研究的美式看跌期权的收益均由标的资产价格的最大值决定，即期权收益为BOYLE等[11]对美式期权的Monte Carlo模拟方法做了详细介绍和综述，其中提到：每生成一列Sti(i=0，1，…，N)的路径后，一个明显的估计量为但此估计量是偏高的，即这是因为人们试图寻找一个无偏估计，但束划分方法、BARRAQUAND等[12]的分层状态汇总法得到的均为有偏估计量，而且偏差无法估计.BROADIE等[13]回避了有偏估计问题，提出了2个估计量，一个偏高，一个偏低，但两者都收敛且渐近无偏，得到一个期权价格的置信区间.这些美式期权模拟算法有一个共同点，就是需要把模拟的股价路径先储存下来，再利用动态规划思想进行计算.不同点在于用不同的方法衡量和计算继续持有的价值，如束划分方法把继续持有的价值定义为价格贴现的平均值.LONGSTAFF等[14]利用最小二乘法确定了一个“期望函数”，并以期望函数的值作为期权继续持有的价值，与立刻执行的价值进行比较，决定是否提前执行.LSM 方法的具体过程为：首先对每条模拟路径，求出tN时刻的期权收益，作为相应路径在tN时刻的期权收益贴现到tN-1时刻的现金流Y关于tN-1时刻d个标的资产的价格向量X的线性回归，用最小二乘法求出回归系数，称所得的函数为条件期望函数.对期权收益为正的路径，将tN-1时刻的X值代入线性回归函数，求得相应的条件期望函数值.然后比较此值与在tN-1时刻执行的收益大小，以确定期权在该路径上是否提前执行，进而计算tN-1时刻期权的价格.最后重复上述过程，依次计算前面各时刻美式期权的价格，直到t1时刻，计算所有路径期权价格的平均值，取该平均值与0时刻期权价值中较大者作为期权价格的最终估计值.需要强调的是，在作线性回归时， LSM方法仅对处于在值状态(期权收益为正)的路径进行回归，其余路径仅作为贴现，从而减少了计算时间，大大提高了算法的效率.美式期权的后向性质决定了定价时需要把所有模拟路径存储下来，这对计算机存储量的要求很高.CHAN等[15]提出了一种不用存储所有模拟路径的简化算法.该方法主要基于模型中的2个重要性质：计算机生成的随机数具有伪随机性，即随机数可由“种子”确定和几何布朗运动的特点.一方面从式(1)可以得到所有路径的表达式：1≤i≤M，其中S0为初始资产价格向量和均为d维向量.可见要计算最终股价模拟值无须把所有随机数都记录下来，只要求即可.另一方面，由式(1)得其中,k=1，2，…，d，j=1，2，…，N，i=1，2，…，M.式(4)表明，在给定的条件下，要计算，只需要计算随机数向量即可，而相应的随机数可由存储的相应种子确定.该方法大大降低了计算机存储量，提高了计算效率，可用于计算多标的资产及路径依赖型的美式期权定价.文献[10-11]详细介绍了各种方差缩减技术的理论依据，并用数值例子进行了比较和分析.本文选用了其中2种方法：对偶变量法和控制变量法.用数值例子比较这2种方法在处理实际问题时的效果.1.1.1 对偶变量法对偶变量法利用变量之间的负相关性减小方差.就美式期权定价问题而言，需要利用服从标准正态分布的随机数计算期权价格.注意到若i服从标准正态分布，则也如此.具体来说，每次模拟，首先生成随机数序列，并计算期权价格，设算得的期权价格估计为Y1.然后，把每个随机数用其相反数代替，其余方法完全相同，可得到一个期权价格估计，记为Y2.用2个估计的平均值估计期权价格，即YAV=.重复上述过程，设得到N0个估计值，再取这N0个估计值的平均值作为最终期权价格估计，取它们的样本标准差作为标准差的估计.下面讨论对偶变量法的方差缩减效果和运算效率.从理论上说，因为估计量Y1和Y2的方差相同，所以如果Cov[Y1,Y2]≤Var(Y1)，那么就有Var(YAV)≤Var(Y1).但是YAV的计算量是Y1的2倍，在考虑效率问题时，必须将所需计算量也考虑在内.因此，想要提高计算效率，需满足此条件等价于Cov[Y1,Y2]≤0.事实上，Y1和Y2都是模拟所生成的随机数的函数，BROADIE等[13]指出，只要Y1关于随机数的函数(记为φ)是单调的，对偶变量法总能起到减小方差的效果.方差缩减比率为VRERAV===,其中ρ=Cov[Y1,Y2].ρ越小，方差缩减效果越好.对美式期权来说，φ十分复杂，想要计算Y1和Y2的相关系数也很困难，方差缩减效果只能通过模拟来估计. 1.1.2 控制变量法控制变量法是通过一个与期权价格相关性较大的控制变量来减小方差的.本文利用单一控制变量技术的推广——复合控制变量进行计算.选取基础资产价格向量作为控制变量，每次模拟时，记资产价格向量为期权价格的原始估计为Yi，i=1，2，…，M.此时，E(X)是已知的，随机变量X和Y的随机模拟样本(Xi,Yi)是独立同分布的，且其协方差矩阵为其中，∑X为d×d矩阵，∑XY为d×1矩阵，标量为Y的方差.最终的估计量定义为其中为随机变量Y的粗糙估计量为随机向量X的粗糙估计量，b为系数向量.控制变量YCV的方差其中当系数向量b取最优系数向量时，控制变量YCV的方差取最小值:其中此时方差缩减效率为R2越大，方差缩减效果越好.在实际计算中，最优系数向量的确定步骤为：先用小样本估计样本方差SX与样本协方差SXY，分别代替∑X和∑XY并代入式(10),计算最优系数向量.要求小样本数目远小于期权定价的模拟数目.具体来说，首先在模拟M条路径之前，先以完全相同的方法生成m条路径，得到资产价格模拟向量和期权价格模拟值Yi，i=1，2，…，m.在此基础上，计算随机模拟样本(Xi,Yi)的样本方差SX与样本协方差SXY，其中SX为d×d矩阵，其第jk个元素为SXY为d×1矩阵，其第j个元素为此时选取的最优系数向量的估计为然后计算期权收益向量p，计算YCV.其中取收益向量p各元素的平均值，b取取股价关于所有模拟路径的均值，是d维向量.最后重复上述过程，得到N0个估计值，取这N0个估计值的平均值作为最终期权价格估计，取它们的样本标准差作为该估计的标准差.首先，按如下顺序生成随机数序列.设N维向量s用于储存随机数种子.先任意给出一个种子s(1)，以它开始随机数发生，从t1时刻开始，在每条路径i上，生成一个d维随机数向量，然后生成后面时刻所需的随机数.在每生成M个随机向量后，得到并储存当前种子s(j).重要的是不需要储存任何生成的随机数只需求和式用一个d×M的矩阵U来储存随机向量的和.一旦生成，将其加到U的第i列，此时就可以舍弃如此，当随机向量生成完成后，矩阵U的每一列就是所需的可按式(3)计算求得后，原矩阵U中的数据不再需要，该变量空间可用来储存新产生的同时，根据式(2)计算tN时刻的期权价值，储存在M维向量p中.然后，根据式(4)求得且只需就可以进一步求出此时，结合LSM方法，决定是否在该时刻执行期权.若结果为即刻执行，则将期权价值向量p中相应路径的数值更新为即刻执行的价值.若结果为继续持有，则不改变向量p中相应路径的数值.按照上述方法，依次向前计算，直到t1时刻.最后，分别结合对偶变量法和控制变量法对求得的估计值做进一步修正，得到最终估计值，并运用批处理方法计算估计量的方差，因为此两方法都破坏了样本间的独立性.考虑3个无红利标的资产的美式看跌期权(d=3)，期权价值由式(2)决定，敲定价格为E.3种资产的初始价格S0为(40,40,40)T，无风险利率r为0.05，资产的波动率分别为0.2,0.3和0.5，到期时间为T，假设标的资产之间的相关系数均为ρ，选取M=1 000,N=10，采用Matlab计算，并用文献[11]中的例子进行检验.表1分别给出了基本Monte Carlo方法、对偶变量法和控制变量法的计算结果.其中，mean列和std列分别代表重复10次运算的均值和样本标准差，CI(confidence interval)列为由10次运算结果得到的置信度为95%的置信区间，PDE列是用经典积分方法算得的结果；T的单位为月，资产价格的单位为美元.为了更明显地比较缩减效果，表2列出了这2种方法的方差缩减比.其中VRERAV=，VRERCV=，#代表对应方法的样本标准差为0.从结果看，对偶变量法和控制变量法都能明显起到减小标准差的作用，相比之下，对偶变量法的缩减效率要高于控制变量法.为了分析计算结果的稳定性，下面对3种方法的均值和标准差做进一步比较.选定T=7,E=40，选取ρ=0，1，对前文所述的方法分别重复50次，作散点图，得到图1和图2，图中每个点都代表10次模拟得到的均值和标准差.根据散点图进行横向比较可得，在3种参数选择下，对偶变量法和控制变量法都能起到减小方差的作用，对偶变量法缩减效果十分明显，而控制变量法相对不明显.纵向比较可得，控制变量法在ρ=1时的方差缩减效果比ρ=0时要高，而对偶变量法则表现得比较平均.其原因为控制变量法的缩减效率取决于控制变量与期权价格的相关程度，相关程度越高，效果越好.在本文中，控制变量为模拟股价，期权收益由股价的最大值决定，故两者间的相关系数取决于标的资产间的相关系数.当ρ=0时，标的资产间的相关性低，控制变量的缩减效果并不明显，甚至有几次模拟的标准差比未使用控制变量的标准差最大值还大.当ρ=1时，标的资产间的相关性高，控制变量和期权收益的相关性也高，控制变量的缩减效果较之前有明显提高.而对偶变量法的缩减效率由对偶变量产生的估计量的相关系数决定，与到期时间、资产间相关系数等参数无直接关系，所以对偶变量法在不同参数下表现较为平均.充分利用Monte Carlo方法的特点和优势，讨论了一个多目标资产的美式期权定价问题，运用线性回归思想以及几何布朗运动和伪随机数的性质，在LSM方法的基础上，结合存储量减小方法和方差缩减技术，对不同参数下美式期权定价进行了比较和分析.采用对偶变量法和控制变量法缩减基本方差，讨论了决定其方差缩减效果的因素和参数估计的方法.从计算结果看，对偶变量法较控制变量法标准差缩减效果更明显，且对偶变量法在不同参数下的表现比较平均，而控制变量法的效果取决于标的资产间的相关系数，这是由所选取的控制变量所决定的.然而，需要指出的是，本文的计算结果还不够稳定、收敛性不够高，这也是Monte Carlo方法的缺点之一.若采用拟蒙特卡洛方法(quasi-Monte Carlo)，用确定性的低偏差序列 (low discrepancy sequences)代替随机点列，可改进Monte Carlo方法的收敛性.如何利用拟蒙特卡洛方法提高算法的收敛性是未来研究的一个重要方向.【相关文献】[1] JIN X,YANG C Y.Efficient estimation of lower and upper bounds for pricing higher-dimensional American arithmetic average options by approximating their payoff functions[J].International Review of Financial Analysis,2016,44: 65-77. 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