电磁场与电磁波复习提纲

“电磁场与电磁波“复习提纲
根本定义、根本公式、根本概念、根本计算
一、
场的概念〔§1-1〕 1. 场的定义
2. 标量场与矢量场：等值面、矢量线 二、
矢量分析
1. 矢量点积与叉积的定义：〔第一次习题〕
2. 三种常用正交坐标系
3.
标量的梯度〔§1-3〕 a) 等值面：例1-1 b) 方向导数：例1-2
c) 梯度定义与计算：例1-3 4. 矢量场的通量与散度〔§1-4〕
a) 矢量线的定义：例1-4
b) 矢量场的通量：()()S e r F S r F n S
S
d d
⋅=
⋅=
⎰
⎰
ψ
c) 矢量场的散度定义与计算：例1-5
d) 散度定理〔高斯定理〕：⎰⎰⋅=⋅∇S
V
S F V F
d d
5. 矢量场的环量与旋度〔§1-5〕
a) 矢量场的环流〔环量〕：⎰⋅=l
l F d Γ
b) 矢量场的旋度定义与计算：例1-6 c) 旋度定理〔斯托克斯定理〕：(
)
⎰⎰⋅=⋅⨯∇C
S
l F S F
d d
6. 无源场与无散场
a) 旋度的散度()
0≡⨯∇⋅∇A ，散度处处为0的矢量场为无源场，有A F
⨯∇=
b) 梯度的旋度()0≡∇⨯∇ϕ，旋度处处为0的矢量场为无旋场，有u F -∇=
；
c) 矢量场的分类 7. 拉普拉斯算子
8. 亥姆霍兹定理：概念与意义 根本概念：
1. 矢量场的散度和旋度用于描述矢量场的不同性质
a) 矢量场的旋度是矢量，矢量场的散度是标量；
b) 旋度描述矢量场中场量与涡旋源的关系，散度描述矢量场中场量与通量源的关系； c) 无源场与无旋场的条件；
d) 旋度描述场分量在与其垂直方向上的变化规律；散度描述场分量沿各自方向上的变化规律 2. 亥姆霍兹定理概括了矢量场的根本性质
a) 矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一确定；
b) 由于矢量的散度和旋度分别对应矢量场的一种源，故分析矢量场总可以从研究其散度和旋度着手； c) 散度方程和旋度方程是矢量场的微分形式，故可以从矢量场沿闭合面的通量和沿闭合路径的环流着
手，得到根本方程的积分形式。

3. 标量场的性质可由其梯度描述
a) 标量场的梯度是一个矢量场，且()0≡∇⨯∇u
b) 标量场在给定点沿任意方向l e
的方向导数等于梯度在该方向上的投影
u e l
u l ∇⋅=∂∂
c) 标量场()r u 中每一点的梯度垂直于等值面，且指向()r u
增加的方向。

三、 电磁场的根本规律
1. 电荷守恒定律
a) 电荷分布：电荷体密度、电荷面密度、电荷线密度——是空间坐标的点函数 b) 电流密度：电流密度、面电流密度——矢量点函数
c) 电荷守恒定律：积分形式⎰⎰-
=⋅V S V t S J d d d
d ρ 、微分形式0=∂∂+⋅∇t J ρ
电荷不能创造，不能消灭；在电磁场作用下，发生移动，即重新分布；数学表示式是电流连续方程。

2. 真空中静电场方程
a) 库仑定律：R R
q q R q q e F R
3
021********π4π4εε== b) 电场强度： i. 定义 ii. 电荷分布求解电场强度〔式2-13〕 iii. 表征电场特性的根本矢量 c) 静电场方程：
积分形式
()()0
d 1d 0
=⋅=⋅⎰
∑⎰C
i
i
S
l r E q
S r E
ε 微分形式
()()0
0=⨯∇=⋅∇r E r E ερ
d) 高斯定理、环路定理 i. 静电场散度与高斯定理：利用高斯定理求解电场强度 ii. 静电场旋度与环路定理 3. 真空中磁场方程
a) 安培力定律：⎰⎰
⨯⨯=2
1
3
12
1211220
12)
d (d π
4C C R R l I l I F
μ
b) 磁感应强度 i. 定义 ii. 也可以通过运动电荷受到的磁场力定义B qv F
⨯=〔洛仑兹力〕
iii.
表征磁场特性的根本矢量
c) 静磁场方程
积分形式()()I
l r B S r B C
S
0d 0d μ=⋅=⋅⎰⎰
微分形式()()()r J r B r B 00μ=⨯∇=⋅∇ 4. 电磁感应定律
a) 积分形式⎰⎰⋅-=⋅S
C S B t l E
d d d d 表示为闭合回路中的感应电动势与穿过回路的磁通量地变化
率的负值成正比
b) 微分形式t
B
E ∂∂-=⨯∇
c) 导体回路中的感应电流的方向与感应电动势的方向一样； d) 导体回路中的感应电流产生的磁通总是要阻止磁通的变化，实质是电磁感应现象必须遵守电磁能量
守恒定律；
e) 感应电动势存在与否不依赖导体回路；
f) 电磁感应定律的重要意义：提醒了电与磁相互联系的一个方面，即变化的磁场产生电场。

5. 位移电流密度
a) t
D J d ∂∂= 是矢量点函数，*点的位移电流密度等于该点的电位移矢量随时间的变化率；
b) 位移电流说明：变化的电场也是一种“电流〞，可以激发磁场； c) 位移电流不表示电荷的宏观定向运动，在介质中会引起热效应； d) 引入位移电流的概念，安培定律修正为
e) 位移电流概念的重要意义：提醒了电与磁相互联系的另一个方面，即变化的电场产生磁场。

6. 媒质的电磁特性
a) 电介质的极化 b) 磁介质的磁化
c) 导电媒质的传导特性 7. 麦克斯韦方程组
a) 积分形式⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅⋅∂∂-=⋅⋅∂∂+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰S V S C
S C S ρdV S D S B S t B l E S t D J l H
d 0d d d d )(d ⎰⎰
-=⋅V
S
V S J d d ρ
b) 微分形式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇ρD B t B E t D J H 0均匀媒质条件下⎪⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎪
⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇ε
ρμεγE H t H E t E E H
c) 媒质的电磁特性方程〔本构关系〕
d) 麦克斯韦方程的相关概念 i. 两个根本假设：有旋电场的假设、位移电流的假设 ii. 高斯定律在时变情况下也成立 iii. 磁通连续性原理在时变情况下也成立 8. 电磁场的边界条件
a) 一般形式：()()
()(
)
S
n n n S
n D D e B B e E E e J H H e ρ=-⋅=-⋅=-⨯=-⨯212121210
式中，n e
为媒质分界面法线方向的单位矢量，选定为离开分界面指向媒质1 i. 磁感应强度法向分量连续 ii.
电场强度切向分量连续
b) 两种理想介质分界面(0,0==s S
J ρ
)的边界条件
c) 理想导体的边界条件〔设定媒质2为理想导体〕
四、 静态电磁场
1. 静电场
a) 根本方程和边界条件
i.
根本方程微分形式 0
=⨯∇=⋅∇E D
ρ
ii.
根本方程积分形式 0
d d d =⋅=⋅⎰⎰⎰C
V
S l E V S D
ρ
iii. 边界条件 ()()
021212121=-=-⨯=-=-⋅t t n s
n n S n E E or E E e D D or D D e
ρρ iv. 积分方程表示穿过任一闭合面S 的电位移矢量D 的通量等于该闭合面包围的自由电荷的总量； v. 高斯定律积分式和微分式说明静电场是有源场，电荷是产生静电场的源；电力线从正电荷出发，终止于负电荷；
vi.
环路定律积分式和微分式说明静电场是无旋场；
vii.
在不同媒质的边界上，场矢量E 和D 一般是不连续的，故微分形式根本方程在边界面上不再适用，积分形式根本方程仍然适用；
b) 电位函数 i. 电位函数及其微分方程
在均匀、线性和各向同性电介质中，电荷分布求解位函数
点电荷()∑
'
-=
r r q r i
πε
ϕ41
体密度分布电荷()()
V r r r r V
''
-'=
⎰d 41
ρπεϕ
面密度分布电荷 ()()
S r r r r S
S ''
-'=
⎰
d 41
ρπεϕ
线密度分布电荷 ()()
l r r r r l
''
-'=
⎰
d 41
ρπε
ϕ 在均匀、线性和各向同性电介质中，电位函数满足泊松方程 或拉普拉斯方程〔0=ρ时〕
ii. 电位的边界条件
iii. 电位的定义是从静电场的无旋性引入的，但有明确的物理意义，表示电场中，将单位正电荷从P 点移动到参考点Q 时电场力所做的功，表示为
iv. 点电荷的电位计算公式提供了求解任何索要计算的场点r 处电位的一种方法，再求电场强度E ，容易实现；
v. 电位是相对量，在电场一定情况下，空间各点的电位值与参考点的选择有关；选择适当的参考点，使电位表达式具有最简单的形式； vi.
电位参考点选择原则：〔1〕不能选择点电荷所在的点为电位参考点，否则会使场中各点电位为无穷大；〔2〕只有当电荷分布在有限区域时，才可以选择无限远处位电位参考点；〔3〕对一些具有轴对称性的问题，通常也不能选择无穷远为电位参考点，而是选择半径a =ρ的圆柱面作
为电位参考点；〔4〕同一问题只能选择一个电位参考点；
vii. 静电场中，电位相等的点组成的面为等位面；点电荷产生的电场的等位面是一个以点电荷所在
点为中心的同心球面族；
viii. 可以利用泊松方程和拉普拉斯方程求解电位； c) 电场能量 i. 能量及能量密度
分布电荷的电场能量 ⎰=
V e V W d 2
1
ρϕ——表示连续分布电荷系统的静电能量计算公式；但不能认为静电场能量之储存在有电荷区域；此公式只能应用于静电场；
多导体系统电场能量 ∑==N
i i i e q W 1
21ϕ——表示点电荷系的互有能，即总静电能
能量密度
E D w e
⋅=2
1——V E D W V
e d 2
1⎰
⋅=
表示静电场能量储存在整个电场区域中，适用于静电场和时变场；
ii. 电容
在线性和各向同性电介质中，两导体间的电容为 计算电容方法：〔1〕假设导体上的带电量〔电荷或分布电荷密度〕，推导出空间的电荷分布，确定导体间的电压，再计算电容；〔2〕假设在导体间施加电压，求出空间电场的分布，利用介质中电位移或电位与导体电荷面密度的关系，确定导体上的电荷，进而计算电容。

d) 静电场问题求解 i. 电荷分布，求场分布 ii. 电场分布，求电荷分布 iii. 求解方法有：〔1〕直接利用电场强度公式〔式2.13〕；〔2〕直接利用电位函数计算公式〔式2.28〕；
〔3〕应用高斯定律求解对称分布的电场；〔4〕电场或电位分布求电荷分布，可利用微分形式和微分方程；〔5〕直接积分法，利用泊松方程或拉普拉斯方程
2. 恒定电场〔在导电媒质中〕
a) 根本方程
i.
微分形式 0
=⨯∇=⋅∇E J
ii.
积分形式 0
d 0d =⋅=⋅⎰⎰C
S
l E S J
b) 边界条件 c) 用电位表示为 3. 恒定磁场
a) 根本方程
i.
微分形式 J
H B =⨯∇=⋅∇0
ii.
积分形式 ⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅S
C
S
S
J l H S B d d 0d
iii.
边界条件 ()
(
)
S
t t S n n n n J H H or J H H e B B or B B e
=-=-⨯=-=-⋅212121210
b) 矢量磁位 i.
矢量磁位 A B
⨯∇=
在均匀、线性和各向同性磁介质中，电流求解矢量磁位
体分布电流 ()()V r r r J r A V
''
-=
⎰
d 4 π
μ
面分布电流 ()()S r r r J r A S
S ''
-=
⎰
d 4 π
μ
线电流()l r r I
r A l
''
-=
⎰
d 4 π
μ ii.
微分方程
在均匀、线性和各向同性磁介质中，矢量磁位满足泊松方程
或拉普拉斯方程〔0=J
时〕
iii. 矢量磁位的边界条件 c) 磁场能量 i. 能量和能量密度
多个电流回路的能量 ∑==N
i i i m I W 1
21ψ
分布电流的能量 ⎰⋅=V m V A J W d 21
能量密度 H B w m
⋅=2
1
ii.
电感
回路的自感 I
L ψ
=
回路的互感 2
12
121
21
21,
I M I M ψψ=
=
纽曼公式 ⎰⎰'
-⋅=1212d d 4C C r r l l M πμ
d) 恒定磁场问题求解： i. 直接积分法：利用公式〔4.6〕~〔4.8〕电流密度求磁感应强度，利用〔4.46〕~〔4.48〕电流
密度求磁矢位
ii. 利用安培环路定律： iii. 利用泊松方程和拉普拉斯方程
五、 时变电磁场
1. 波动方程
2. 矢量位与标量位
a) 定义ϕ
∇-∂∂-=⨯∇=t
A E A B
b) 洛仑兹条件0=∂∂+⋅∇t
A ϕμε
c) 微分方程ε
ρϕμεϕμμε-
=∂∂-∇-=∂∂-∇222
22
2t J
t A A 3. 坡印廷定理与坡印廷矢量
a) 坡印廷定理
()()⎰⎰⎰⋅+⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+⋅=⋅⨯-⋅+⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+⋅∂∂=⨯⋅∇-V d d 2121d d d 2121V
J E V D E B H t S H E J
E D E B H t H E V S
物理意义：单位时间通过曲面S 进入体积V 的电磁能量等于单位时间体积V 中所增加的电磁能量与
损耗的能量之和。

b) 坡印廷矢量2W/m H
E S
⨯=
表示单位时间通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁能量，其方向就是电磁能量传输的方向。

4. 时谐电磁场
a) 复数表示法
b) 麦克斯韦方程的复数形式 c) 波动方程的复数形式
d) 动态矢量位和标量位的复数形式
i. 洛仑兹条件 ωμεϕj A -=⋅∇
ii.
达朗贝尔方程 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+∇-=+∇ε
ρϕϕμ222
2k J A k A e) 平均坡印廷矢量
六、 平面电磁波
1. 理想介质中的均匀平面电磁波
a) 均匀平面电磁波函数 i. 波动方程
假设x x E e E =，波动方程简化为02
2
2=+∂∂x x E k z E ，解为()kz m x E e z E j j e e -=φ 相伴磁场强度为()kz
m y E e z H j j e e 1-=φη
ii. 电磁场瞬时表示
b) 均匀平面电磁波传播参数 i.
周期()s 2ω
π
=
T
，表示时间相位相差2π的时间间隔；
ii.
相位常数〔波数〕()rad/m μεω=k
，表示波传播单位距离的相位变化；
iii.
波长()m 2k
πλ=
，表示空间相位差2π的两个等相位面之间的距离；
iv.
相速()m/s 1
με
ω
=
=
k
v p
，表示等相位面的移动速度；
v.
波阻抗〔本征阻抗〕()Ωε
μ
η=
=y x H E ，描述均匀平面电磁波的电场和磁场之间的大小和相位关系；真空中，()Ω3771200
===
πεμη。

c) 能量密度和能流密度 i. 在理想介质中，均匀平面电磁波的电场能量密度等于磁场能量密度 ii. 电磁能量密度为2
2H E w w w m e με==+= iii.
瞬时坡印廷矢量为2
1E e H E S z η
=⨯=
iv.
平均坡印廷矢量为[]
221Re 21
E e H E S z av η
=⨯=*
d) 沿任意方向传播的平面电磁波 i.
定义波矢量为z z y y x x n k e k e k e k e k
++==
2. 电磁波的极化
a) 极化的概念：波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性，并用电场强度
矢量的端点在空间描绘出轨迹来描述； b) 电磁波的极化状态 i. 线极化、圆极化、椭圆极化 ii. 极化状态的判别
沿z 方向传播的均匀平面电磁波的电场可表示为 ● 直线极化
条件：πφφ±=-or x y
极化角：const arctan arctan =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=xm ym x y E E E E α
● 圆极化
条件：2
π
φφ±
=-==x y m ym xm
E E E
合成波电场强度大小：const 2
2=+=y x m E E E
极化角：t E E x y ωα±=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=arctan
当2
π
φφ=
-x y 时，为左旋圆极化波；当2
π
φφ-
=-x y 时，为右旋圆极化波
椭圆极化
当不满足上述条件时，为椭圆极化波；直线极化和圆极化可看作椭圆极化的特例；
3. 均匀平面电磁波的反射与透射
a) 平面电磁波对分界面的垂直入射 b) 平面电此波对介质分界面的斜入射。