不定积分的例题

不定积分的例题

以下是一些不定积分的例题：

1. 计算 $\int (2x^3 + 5x^2 - 3x + 2) dx$

解：首先我们可以按照幂函数的积分公式来计算每一项的不定积分：

$\int 2x^3 dx = \frac{2}{4}x^4 + C_1 = \frac{1}{2}x^4 + C_1$ $\int 5x^2 dx = \frac{5}{3}x^3 + C_2$

$\int -3x dx = -\frac{3}{2}x^2 + C_3$

$\int 2 dx = 2x + C_4$

因此，$\int (2x^3 + 5x^2 - 3x + 2) dx = \frac{1}{2}x^4 +

\frac{5}{3}x^3 -\frac{3}{2}x^2 + 2x + C$

2. 计算 $\int \frac{3}{x} dx$

解：这是一个倒数函数的不定积分。倒数函数的积分公式为：$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$

在本题中，我们可以把 3 看作是$\frac{3}{1}$，然后应用常数

倍公式得到：

$\int \frac{3}{x} dx = 3\int \frac{1}{x} dx = 3\ln|x| + C = \ln|x^3|

+ C$

3. 计算 $\int (2e^x - \sin x) dx$

解：根据指数函数和三角函数的不定积分公式，我们可以得到：$\int 2e^x dx = 2e^x + C_1$

$\int \sin x dx = -\cos x + C_2$

因此，$\int (2e^x - \sin x) dx = 2e^x - \cos x + C$

这些例题可以帮助理解不定积分的概念和计算方法。在实际应用中，不定积分常常用于求解曲线下的面积、求解物理、经济等问题中的累积效应等。