【精编版】中考数学专题训练——解直角三角形

中考专题训练——解直角三角形
1．如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），且∠ABC＝90°，∠A ＝30°，求点A的坐标．
2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，BD是AC边中线，DG平分∠BDC，且BG⊥DG于点G，交BC于点F．
（1）求∠ABD的正弦值；
（2）求BG的长．
3．如图，△ABC中，AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，且与外角∠ACD的平分线CE交于点E．
（1）求sin A的值；
（2）求EF的长．
4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等
腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则：
（1）求证：DE∥AB；
（2）若cos B＝，求证：CE＝2AD．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tan B＝（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
6．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC 的延长线于点D．
（1）求∠D的正弦值；
（2）求点C到直线DE的距离．
7．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．
（1）求BE的长；
（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．
8．如图，tan B＝且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA＝3，DC＝7．（1）求cos B，sin B的值；
（2）连接BD，求BD的长．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．
（1）求∠EBD的正弦值；
（2）求AD的长．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝．D是AB边的中点，过点D 作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．
（1）求线段CE的长；
（2）求sin∠BDE的值．
11．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．
（1）求sin∠ABE的值；
（2）求点E到直线BC的距离．
12．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段DC的长；
（2）tan∠ACB的值．
13．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE：ED＝7：5，连接CE并延长交边AB 于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．
（1）求tan∠DCE的值；
（2）求的值．
14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B ＝，求：
（1）线段DC的长；
（2）sin∠EDC的值．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．
（1）求线段AE的长；
（2）求∠ACE的余切值．
16．如图，已知△ABC中，∠B＝45°，tan C＝，BC＝6．
（1）求△ABC面积；
（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求DE的长．
17．如图1．点A、B在直线MN上（A在B的左侧），点P是直线MN上方一点．若∠P AN ＝x°，∠PBN＝y°，记（x，y）为P的双角坐标．例如，若△P AB是等边三角形，则点P的双角坐标为（60，120）．
（1）如图2，若AB＝22cm，P＜26.6，58＞，求△P AB的面积；
（参考数据：tan26.6°≈0.50，tan58°≈1.60．）
（2）在图3中用直尺和圆规作出点P（x，y），其中y＝2x且y＝x+30．（保留作图痕迹）
18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．
（1）求CG的长；
（2）求tan∠BAE的值．
19．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．
（1）如图1，若AE＝DE，
①求证：CD平分∠ACB；
②求的值；
（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．
20．已知：△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点．
（1）如图1，BH⊥AD于点H，若AD＝BD，求证：BC＝2AH．
（2）如图2，∠BAC＝120°，点D在CB延长线上，点E在BC上且∠DAE＝120°，若AB＝6，DB＝2，求CE．
（3）如图3，D在CB延长线上，E为AB上一点，且满足：∠BAD＝∠BCE，＝，若tan∠ABC＝，BD＝5，直接写出BC的长为．
参考答案与试题解析
1．如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），且∠ABC＝90°，∠A ＝30°，求点A的坐标．
【分析】根据已知可得OB＝1，OC＝，在Rt△OBC中，利用勾股定理求出BC＝2，利用锐角三角函数的定义求出∠OBC＝60°，然后在Rt△BAC中，利用含30度角的直角三角形求出AC＝4，再利用平角定义求出∠1＝30°，从而可得AC∥x轴，即可解答．
【解答】解：如图：
∵点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），
∴OB＝1，OC＝，
在Rt△OBC中，BC＝＝＝2，
∴cos∠OBC＝＝，
∴∠OBC＝60°，
∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∵∠1＝180°﹣∠OBC﹣∠ABC＝30°，
∴∠A＝∠1＝30°，
∴AC∥x轴，
∴点A的坐标为（4，）．
2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，BD是AC边中线，DG平分∠BDC，且BG⊥DG于点G，交BC于点F．
（1）求∠ABD的正弦值；
（2）求BG的长．
【分析】（1）过D点作DM⊥AB于M，则∠AMD＝90°，利用勾股定理可求解AB，BD 的长，通过解直角三角形可求解AM的长，再由勾股定理可求解DM的长，利用解直角三角形可求解；
（2）过F作FN⊥BD于N，通过△DCF≌△DNF可得DN＝3，CF＝NF，BN＝2，再由勾股定理可求解CF，DF的长，证明△DCF∽△DGB列比例式可求解．
【解答】解：（1）过D点作DM⊥AB于M，则∠AMD＝90°，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，
∴AB＝，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD＝3，
∴BD＝，
∵∠C＝∠AMD＝90°，
∴cos∠A＝，
即，
解得AM＝，
∴DM＝，
∴sin∠ABD＝；
（2）过F作FN⊥BD于N，
∵DG平分∠BDC，∠C＝90°，
∴∠CDF＝∠BDF，∠C＝∠DNF＝90°，
在△DCF和△DNF中，
∴△DCF≌△DNF（AAS），
∴DC＝DN＝3，CF＝NF，
∴BN＝BD﹣DN＝5﹣3＝2，
在Rt△BFN中，BN2+FN2＝BF2，
即22+CF2＝（4﹣CF）2，
解得CF＝，
∴DF＝，
∵BG⊥DG，
∴∠C＝∠BGD＝90°，
∴△DCF∽△DGB，
∴，
即，
解得BG＝．
3．如图，△ABC中，AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，且与外角∠ACD的平分线CE交于点E．
（1）求sin A的值；
（2）求EF的长．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和勾股定理先求出BF，再求出∠A的正弦；
（2）过点E作EG⊥BD，在直角三角形ABF中先求出∠ABF的正弦，再利用角平分线的性质说明EF与EG、∠ABF与∠FBC的关系，利用直角三角形的边角间关系列方程求解得结论．
【解答】解：（1）∵AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，
∴∠ABF＝∠FBC，BF⊥AC，AF＝AC＝5．
在Rt△ABF中，
BF＝＝12．
∴sin A＝＝．
（2）过点E作EG⊥BD，垂足为G．
∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EG⊥BD，
∴EF＝EG．
在Rt△ABF中，
∵sin∠ABF＝＝，
在Rt△EBG中，
∵sin∠EBC＝sin∠ABF＝＝＝，
∴13EF＝5×12+5EF．
∴8EF＝60．
∴EF＝．
4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则：
（1）求证：DE∥AB；
（2）若cos B＝，求证：CE＝2AD．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质可得AD＝BD＝BC，从而可得∠B＝∠DAB，进而可得∠ADE＝∠BAD，即可解答；
（2）过点E作EF⊥CD垂足为F，设DE与AC交于点G，根据直角三角形斜边上的中线性质可得AD＝CD＝BC，再利用（1）的结论可得∠BAC＝∠DGC＝90°，∠B＝∠EDC，从而可得DG是AC的垂直平分线，进而可得ED＝EC，然后利用等腰三角形的性质可证cos∠ECD＝＝＝，即可解答．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴DE∥AB；
（2）过点E作EF⊥CD，垂足为F，设DE与AC交于点G，
∵∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，
∴AD＝CD＝BC，
∵DE∥AB，
∴∠BAC＝∠DGC＝90°，∠B＝∠EDC，
∴DG是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵EA＝ED，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵EF⊥CD，
∴CF＝CD，
∴∠ECD＝∠B，
∵cos B＝，
∴cos∠ECD＝，
在Rt△EFC中，cos∠ECD＝＝＝，
∴CE＝2CD，
∴CD＝2AD．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tan B＝（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
【分析】（1）由tan B＝＝设AC＝3x、BC＝4x，据此得DC＝4x﹣2，根据∠ADC＝45°得AC＝DC，即3x＝4x﹣2，解之得出x的值，继而可得答案；
（2）作DE⊥AB，设DE＝3a、BE＝4a，根据DE2+BE2＝BD2可求得a的值，继而根据正弦函数的定义可得答案．
【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，
∵tan B＝＝，
∴设AC＝3x、BC＝4x，
∵BD＝2，
∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2，
∵∠ADC＝45°，
∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x，
解得：x＝2，
则AC＝6、BC＝8，
∴AB＝＝10；
（2）作DE⊥AB于点E，
由tan B＝＝可设DE＝3a，则BE＝4a，
∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，
∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a＝（负值舍去），
∴DE＝3a＝，
∵AD＝＝6，
∴sin∠BAD＝＝．
6．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC 的延长线于点D．
（1）求∠D的正弦值；
（2）求点C到直线DE的距离．
【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H．由等腰三角形三线合一的性质得出BH＝BC ＝2．在△ABH中，根据正弦函数的定义得出sin∠BAH＝＝，根据三角形内角和定理求出∠BAH＝∠D＝90°﹣∠B，则sin∠D＝sin∠BAH＝；
（2）过点C作CM⊥DE于点M．解直角△BED，求出BD＝＝9，则CD＝BD ﹣BC＝5．再解直角△MCD，求出CM＝，即点C到DE的距离为．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H．
∵AB＝AC，BC＝4，
∴BH＝BC＝2．
∵在△ABH中，∠BHA＝90°，AB＝6，
∴sin∠BAH＝＝＝，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠BED＝90°，BE＝3，
∴∠BED＝∠BHA，
又∵∠B＝∠B，
∴∠BAH＝∠D，
∴sin∠D＝sin∠BAH＝，
即∠D的正弦值为；
（2）过点C作CM⊥DE于点M．
∵在△BED中，∠BED＝90°，sin∠D＝，BE＝3，
∴BD＝＝9，
∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5．
∵在△MCD中，∠CMD＝90°，sin∠D＝＝，
∴CM＝CD＝，
即点C到DE的距离为．
7．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．
（1）求BE的长；
（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．
【分析】（1）在直角△BED中，利用∠B的余弦函数求出BE；
（2）利用等腰直角三角形的性质先求出DE，再在直角△AED中利用∠DAB的正弦函数和勾股定理求出AD、AE，最后求出△ABD的面积．利用三角形中线的性质可得结论．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°．
在Rt△BED中，
∵cos∠ABC＝，
∴BE＝cos45°•3＝•3＝3．
（2）∵∠ABC＝45°，∠BED＝90°．
∴∠EDB＝45°．
∴BE＝DE＝3．
∵sin∠DAB＝＝，
∴AD＝5．
∴AE＝＝4．
∴AB＝AE+BE＝4+3＝7．
∴S△ABD＝AB•DE＝．
∵AD是BC边上的中线，
∴S△ADC＝S△ABD＝．
8．如图，tan B＝且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA＝3，DC＝7．（1）求cos B，sin B的值；
（2）连接BD，求BD的长．
【分析】（1）延长CD，BA，它们相交于点E，得到直角三角形BCE，利用tan B＝，设CE＝4k，则BC＝3k，利用勾股定理求得BE；在Rt△BCE中，用正弦，余弦的定义，结论可求；
（2）利用DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，得到∠ADE＝∠CBE，在Rt△ADE中求得线段DE，利用tan B＝，求得线段BC，在Rt△BCD中，用勾股定理，BD可求．【解答】解：（1）延长CD，BA，它们相交于点E，如图，
∵DC⊥BC于点C，
∴∠BCE＝90°．
∵tan B＝，tan B＝，
∴．
设CE＝4k，则BC＝3k．
∴BE＝．∴cos B＝．
sin B＝．
（2）如下图：
∵DA⊥BA于点A，
∴∠E+∠ADE＝90°．
∵DC⊥BC于点C，
∴∠E+∠CBE＝90°．
∴∠ADE＝∠CBE．
∴cos∠ADE＝cos∠CBE＝．
∵cos∠ADE＝，
∴．
∵AD＝3，
∴DE＝5．
∴CE＝CD+DE＝5+7＝12．
∵tan∠CBE＝，tan∠CBE＝，
∴．
∴BC＝9．
∴BD＝．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．
（1）求∠EBD的正弦值；
（2）求AD的长．
【分析】（1）通过已知条件推出∠EBD＝∠ABC，即可通过求∠ABC的正弦值求出∠EBD 的正弦值；
（2）过点C作CF⊥AB于点F，利用cos∠CAF＝cos∠CAB求出AF的长，结合等腰三角形性质即可求出AD的长．
【解答】解：（1）∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝∠EDB，
又∵在Rt△EDB中，∠EDB+∠EBD＝90°，在Rt△ABC中，∠CAD+∠ABC＝90°，∴∠EBD＝∠ABC，
∴sin∠EBD＝sin∠ABC＝；
（2）过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：
在Rt△ACB中，cos∠CAB＝＝sin∠ABC＝，
∴在Rt△AFC中，cos∠CAF＝＝＝，
∴AF＝1，
又∵△CAD为等腰三角形，CF⊥AD，
∴AD＝2AF＝2．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝．D是AB边的中点，过点D 作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．
（1）求线段CE的长；
（2）求sin∠BDE的值．
【分析】（1）由勾股定理求出BC，再根据斜边上的中线求出AD，∠DCB＝∠B，由余弦定理求出CE；
（2）作EF⊥AB交AB于F，在直角三角形中由勾股定理列出关于BF的关系式，从而求出∠BDE的正弦值．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝，
∴＝，
∴AB＝10，
∴BC＝＝8，
又∵D为AB中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB＝5，
∴∠DCB＝∠B，
∴cos∠DCB＝，cos∠B＝，
∴，
∴CE＝；
（2）作EF⊥AB交AB于F，
由（1）知CE＝，
则BE＝8﹣＝，DE＝＝，
设BF＝x，则DF＝BD﹣BF＝5﹣x，
在Rt△DEF中，EF2＝DE2﹣DF2＝，
在Rt△BEF中，EF2＝BE2﹣BF2＝，
∴﹣（5﹣x）2＝﹣x2，
解得x＝，
∴EF2＝（）2﹣（）2＝，
EF＝，
∴sin∠BDE＝＝．
11．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．
（1）求sin∠ABE的值；
（2）求点E到直线BC的距离．
【分析】（1）过D作DF⊥AB于F，求出DF和BD即可得答案；
（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，先求BE，再用相似三角形性质得到答案．
【解答】解：（1）过D作DF⊥AB于F，如图：
∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝＝2，sin∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝，
∴BD＝＝，
Rt△ADF中，DF＝AD•sin∠BAC＝，
Rt△BDF中，sin∠ABE＝＝；
（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，如图：
∵∠ADH＝∠BDC，∠BCD＝∠AHD＝90°，
∴△BCD∽△AHD，
∴，
∵BC＝2，CD＝AD＝，BD＝，
∴，解得AH＝，HD＝，
∵∠AEB＝∠BAC＝30°，
∴HE＝＝，
∴BE＝BD+DH+HE＝，
∵EG∥AC，
∴∠BDC＝∠BEG，
而∠CBD＝∠GBE，
∴△CBD∽△GBE，
∴，即，
∴EG＝．
方法二：过E作EG⊥BC于G，
∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠DBA，
∴△ABD∽△ABE，
∴＝，
即，
∴BE＝，
∵DC⊥BC，EG⊥BG，
∴DC∥BG，
∴，即＝，
∴EG＝，
∴点E到直线BC的距离为．
12．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段DC的长；
（2）tan∠ACB的值．
【分析】（1）根据sin B＝，求得AB＝15，由勾股定理得BD＝9，从而计算出CD；
（2）再利用三角函数，求出tan∠ACB的值即可．
【解答】解：（1）∵AD是BC上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵sin B＝，AD＝12，
∴AB＝15，
∴BD＝，
∵BC＝14，
∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；
（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，
∴tan∠ACB＝＝．
13．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE：ED＝7：5，连接CE并延长交边AB 于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．
（1）求tan∠DCE的值；
（2）求的值．
【分析】（1）由三角函数定义求出CD＝5，由勾股定理得出AD＝12，AE：ED＝7：5，求出ED＝5，由三角函数定义即可得出答案；
（2）过D作DG∥CF交AB于点G，求出BD＝BC﹣CD＝3，由平行线分线段成比例定理得，＝，得出AF＝FG，设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，BF＝
FG+BG＝8x，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝＝，
∴CD＝5，由勾股定理得：AD＝＝12，
∵AE：ED＝7：5，
∴ED＝5，
∴tan∠DCE＝＝1；
（2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示：
∵BC＝8，CD＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝3，
∵DG∥CF，
∴，＝，
∴AF＝FG，
设BG＝3x，则FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x，
∴＝．
14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B ＝，求：
（1）线段DC的长；
（2）sin∠EDC的值．
【分析】（1）在直角三角形ABD中，利用边角间关系和勾股定理先求出AB、BD，再求出CD的长；
（2）在直角三角形ADC中，利用斜边的中线与斜边的关系，说明∠C与∠EDC的关系，求出∠C的正弦值即得结论．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC．
∴sin B＝＝．
∵AD＝12，
∴AB＝＝＝15．
在Rt△ABD中，∵BD＝＝＝9，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．
（2）在Rt△ADC中，∵AD＝12，DC＝5，
∴AC＝13．
∵E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C．
∴sin∠EDC＝sin∠C＝＝．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．
（1）求线段AE的长；
（2）求∠ACE的余切值．
【分析】（1）根据锐角三角函数定义即可求出AE的长；
（2）过点E作EH⊥AC于点H．根据等腰直角三角形的性质可得EH＝AH的值，再根据三角函数即可求出∠ACE的余切值．
【解答】解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，
∴BD＝3．
∵AB＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°．
∵DE⊥AB，
∴在Rt△DEB中，．
∴
在Rt△ACB中，，
∴
（2）如图，过点E作EH⊥AC于点H．
∴在Rt△AHE中，，
AH＝AE•cos45°＝，
∴，
∴EH＝AH＝，
∴在Rt△CHE中，cot∠ECH＝，
即∠ACE的余切值是．
16．如图，已知△ABC中，∠B＝45°，tan C＝，BC＝6．
（1）求△ABC面积；
（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求DE的长．
【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据题意得到三角形ACH为等腰直角三角形，设AH＝BH＝x，根据tan C的值，表示出HC，由BC＝6求出x的值，确定出AH的长，即可求出三角形ABC面积；
（2）由（1）得到AH与CH的长，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出CD的长，根据tan C的值，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ABH中，∠B＝45°，
设AH＝x，则BH＝x，
在Rt△AHC中，tan C＝＝，
∴HC＝2x，
∵BC＝6，
∴x+2x＝6，
解得：x＝2，
∴AH＝2，
∴S△ABC＝•BC•AH＝6；
（2）由（1）得AH＝2，CH＝4，
在Rt△AHC中，AC＝＝2，
∵DE垂直平分AC，
∴CD＝AC＝，
∵ED⊥AC，
∴在Rt△EDC中，tan C＝＝，
∴DE＝．
17．如图1．点A、B在直线MN上（A在B的左侧），点P是直线MN上方一点．若∠P AN ＝x°，∠PBN＝y°，记（x，y）为P的双角坐标．例如，若△P AB是等边三角形，则点P的双角坐标为（60，120）．
（1）如图2，若AB＝22cm，P＜26.6，58＞，求△P AB的面积；
（参考数据：tan26.6°≈0.50，tan58°≈1.60．）
（2）在图3中用直尺和圆规作出点P（x，y），其中y＝2x且y＝x+30．（保留作图痕迹）
【分析】（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，根据锐角三角函数即可求解；
（2）如图3，用直尺和圆规作出点P＜x，y＞，其中y＝2x且y＝x+30．可得x＝30°，y＝60°即可．
【解答】解：（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，
在Rt△PBC中，∠PBC＝58°，
∵tan58°＝，
∴BC＝，
在Rt△P AC中，∠P AC＝26.6°，
∵tan26.6°＝，
∴AC＝，
∵AB＝AC﹣BC，
∴﹣＝22，
解得PC≈16（cm），
∴S△P AB＝22×16＝176cm2；
（2）如图3，点P即为所求．
18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．
（1）求CG的长；
（2）求tan∠BAE的值．
【分析】（1）根据在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，可以求得AB的长，然后根据点D为AB的中点，可以得到DC的长，再根据点G是△ABC中点的交点，可以得到CG＝CD，从而可以求得CG的长；
（2）作EF⊥AB于点G，然后根据题意，可以求得EF和AF的长，从而可以得到tan∠BAE的值．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，
∴，
∵D是斜边AB上的中点，
∴，
又∵点E是BC边上的中点，
∴点G是△ABC的重心，
∴；
（2）∵点E是BC边上的中点，
∴，
过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵在Rt△BEF中，cos B＝，
BF＝BE•cos B＝，
∴，
∵AF＝AB﹣BF＝18﹣4＝14，
∴tan∠BAE＝．
19．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．
（1）如图1，若AE＝DE，
①求证：CD平分∠ACB；
②求的值；
（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．
【分析】（1）①想办法证明∠ACD＝∠CAE＝22.5°即可解决问题．
②如图1中，过点D作DT⊥BC于T．证明DA＝DT，BD＝DT即可解决问题．
（2）如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．证明△ABE≌△CAT
（AAS）可得结论．
【解答】（1）①证明：∵AE＝DE，
∴∠ADE＝∠DAE，
∵∠CAD＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ACD，
∴EA＝EC，
∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，
∴∠ACD＝22.5°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，
∴CD平分∠ACB．
②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．
∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，
∴DA＝DT，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，
∴BD＝DT＝AD，
∴＝．
（2）解：如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．
∵AE⊥BE，CT⊥AT，
∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAT，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAT（AAS），
∴AE＝CT，BE＝AT，
∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，
∴ET＝CT＝AE，
∴BE＝2AE，
∴tan∠ABE＝＝
20．已知：△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点．
（1）如图1，BH⊥AD于点H，若AD＝BD，求证：BC＝2AH．
（2）如图2，∠BAC＝120°，点D在CB延长线上，点E在BC上且∠DAE＝120°，若AB＝6，DB＝2，求CE．
（3）如图3，D在CB延长线上，E为AB上一点，且满足：∠BAD＝∠BCE，＝，若tan∠ABC＝，BD＝5，直接写出BC的长为．
【分析】（1）先判断出∠ABD＝∠BAD，进而得出△ABN≌△BAH，即可得出BN＝AH，代换即可得出结论；
（2）设出EF＝a，先利用勾股定理求出FC，证明△ABD∽△AFE，得出比例式求出CF 即可建立方程，求出a，利用勾股定理即可求出CE；
（3）如图3，作辅助线，构建相似三角形，设AE＝2m，BE＝3m，则AB＝AC＝5m，证明△ABD∽△GCA，列比例式结合平行线分线段成比例定理可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，
过点A作AN⊥BC于N，
∵AB＝AC，
∴BN＝BC，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD，
在△ABN和△BAH中，
，
∴△ABN≌△BAH（AAS），
∴BN＝AH，
∴BC＝AH，
∴BC＝2AH；
（2）解：如图2，在AC上取一点F，使EF＝EC，连接EF，
∵∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴∠ABE＝∠C＝∠CFE＝30°，
∴∠ABD＝∠AFE＝150°，
∴△ABD∽△AFE，
∴，即，
∴＝，
设EF＝a，则AF＝a，
∵EF＝CE＝a，∠C＝30°，
∴CF＝a，
∴6﹣a＝a，
∴a＝，
∴CE＝EF＝；
（3）解：如图3，过点A作AP⊥BC于P，作AG∥CE交BC的延长线于G，设AE＝2m，BE＝3m，则AB＝AC＝5m，
∵tan∠ABC＝＝，
∴＝，
∴BP＝CP＝4m，BC＝8m，
∵∠BAD＝∠BCE＝∠G，∠ABD＝∠GCA＝150°，
∴△ABD∽△GCA，
∴，即＝，
∴CG＝5m2，
∵AG∥CE，
∴，
∴，
∴m＝，
∴BC＝8m＝．
故答案为：．。