复变函数公式及常用方法总结

复变函数公式及常用方法总结

复变函数是指在复平面上定义域为复数集的函数。复变函数与实变函

数不同，其定义域和值域都是复数集合，因此需要引入复数的运算和性质

来研究这类函数。复变函数在数学以及物理、工程学等领域有广泛的应用，如电路分析、信号处理、流体力学等。

1.复变函数的定义与性质：

复变函数可以用以下形式表示：f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中

z = x + iy；u(x, y)和v(x, y)为实变量x和y的实函数。复变函数的

一些性质如下：

(1)复变函数可以进行加减、乘法和除法运算；

(2)复变函数的连续性：若f(z)在特定点z0处连续，则其实部和虚

部在该点均连续；

(3)复变函数的解析性：若f(z)在特定点z0处可导，则其在该点解析；若f(z)在定义域内每一点都解析，则称其为全纯函数；

(4)复变函数的实部和虚部都满足拉普拉斯方程式：

∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0和∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2=0。

2.常用的复变函数：

(1)幂函数：f(z)=z^n，其中n为整数；

(2) 指数函数：f(z) = e^z = e^(x+iy) = e^x * e^(iy) = e^x * (cosy + isiny)；

(3) 对数函数：f(z) = ln(z)；

(4) 三角函数：正弦函数f(z) = sin(z)，余弦函数f(z) = cos(z)，正切函数f(z) = tan(z)等；

(5) 双曲函数：双曲正弦函数f(z) = sinh(z)，双曲余弦函数f(z)

= cosh(z)，双曲正切函数f(z) = tanh(z)等。

3.复变函数的常用方法：

(1)极坐标表示法：将复数z表示为模长r和辐角θ的形式：

z=r*e^(iθ)。在极坐标下，复变函数的运算更加方便，例如可以用欧拉

公式将指数函数表示为e^(iθ)的形式。

(2) 复变函数的导数：复变函数的导数可以用极限的形式表示，即

f'(z) = lim(h→0) [f(z+h) - f(z)] / h。通常使用实部和虚部的偏导

数来计算复变函数的导数，例如u(x, y)和v(x, y)的偏导数分别为∂u/∂x、∂u/∂y、∂v/∂x和∂v/∂y。

(3) 积分与留数定理：复变函数的积分可以用路径积分的形式表示，

即∮f(z)dz。根据留数定理，如果复变函数在有界的区域内解析，那么它

在这个区域内的积分只与边界的形状有关，而与区域内部的形状无关。

(4)序列、级数和收敛性：类似于实变函数，复变函数也可以用级数

的形式表示，即f(z)=Σ(a_nz^n)，其中a_n是复系数。可以利用序列的

收敛性来研究复变函数的性质。

(5)特殊函数的应用：特殊函数是指在数学和物理中出现频率较高的

一类函数，如伽玛函数、贝塞尔函数、赫尔米特多项式等。这些函数在复

变函数的研究以及物理和工程学的应用中起着重要的作用。

综上所述，复变函数是在复平面上定义域为复数集的函数。复变函数

有着特殊的性质和公式，例如实部和虚部的导数满足拉普拉斯方程式，复

变函数可以进行加减乘除运算等。在复变函数的研究和应用中，常常使用极坐标表示法、导数、积分和留数定理、级数和收敛性以及特殊函数等方法来分析和计算复变函数的性质。复变函数在数学、物理和工程学等领域有着广泛的应用。