舒尔三角化定理
特征值——矩阵的本质属性(horn编写的矩阵分析学习心得)
特征值——矩阵的本质属性——《矩阵分析》课程报告学院：数学与统计学院班级：硕2041班姓名：王彭学号：3112054028指导教师：说明本文并没有按照要求使用手写版，而是采用打印版，特此作如下说明：1.笔者采用手写版在第一部分画知识结构图时，发现由于知识点较多，框图须不停地修改；2.在进行正文书写的过程中，笔者发现课本上的前后知识点有串联，在进行后面书写的时候往往需要添加或修改前面的内容；显然，显然手写版难以满足不断修改的需要，笔者此前已写过两份手写版，但都由于无法修改不得已中途放弃，故最终采用了打印版的形式。
同时，笔者也保证，本课程教材为本文的唯一参考资料，本文无任何拷贝其他资料的内容，仅是笔者对课本知识点的整合梳理并加以自己的部分理解，望老师理解。
摘要本文以矩阵的特征值为主线，分别阐述了特征值、特征向量、相似性、酉等价、正规矩阵、Hermite矩阵和对称矩阵等矩阵的重要概念及其与矩阵特征值的关系。
关键字：特征值，矩阵的重要概念【目录】1 矩阵分析知识点框图 (3)2 特征值与特征向量 (4)2.1 特征值与特征向量 (4)2.2 谱与谱半径 (6)2.3 特征多项式 (6)2.4 小结 (7)3 相似性 (7)3.1 定义 (7)3.2 相似与特征值的关系 (7)3.3 矩阵的可对角化 (8)4 酉等价和正规矩阵 (9)4.1 酉矩阵 (9)4.2 酉等价 (9)4.3 SCHUR酉三角化定理 (10)4.4 可交换矩阵与矩阵的特征值之间的关系 (11)4.5 正规矩阵 (12)5 标准形 (13)5.1 JORDAN矩阵 (13)5.2 JORDAN标准形与矩阵特征值的关系 (13)5.3 由JORDAN表现出来的矩阵的基本性质 (14)6 HERMITE矩阵和对称矩阵 (15)6.1 HERMITE矩阵 (15)6.2 HERMITE矩阵、对称矩阵的相合与同时对角化 (16)6.3 合相似与合对角化 (17)7 总结 (18)1 矩阵分析知识点框图根据矩阵分析中出现的部分知识点的相互联系情况，作以上框图，笔者发现其几何中心为特征值，即特征值与绝大多数知识点都有直接或间接的关系，故本文中采用矩阵特征值为主线串联各知识点，以上的各种联系在下文中都会有体现。
舒尔不等式及其变式的应用_蔡玉书
舒尔不等式及其变式的应用蔡玉书(江苏省苏州市第一中学 , 215006《数学通报》 2009年第 10期刊登了朱华伟老师的《 Schur 不等式及其变式》一文 , 读后受益匪浅 , 本人对舒尔不等式也有一定的研究 , 曾用舒尔不等式解决了几十道国内外数学竞赛试题 , 现将部分优秀试题奉献给广大数学竞赛爱好者 , 与大家分享 .Schur 不等式设x , y , z ≥ 0, r 是实数 , 则x r (x -y (x -z +y r (y -x (y -z +z r (z-y (z -x ≥ 0.变形 1 x 3+y 3+z 3-(x 2y +xy 2+x 2z +xz 2+y 2z +yz 2 +3xy ≥ 0.简记为∑ x 3-∑ x 2(y +z +3xyz ≥ 0.变形 2 (x +y +z 3-4(x +y +z (xy +yz+z x +9xyz ≥ 0.变形 3xyz ≥ (x +y -z (y +z -x (z +x-y . (1983年瑞士数学奥林匹克试题变形 4 x 2(y +z -x +y 2(x +z -y +z 2(x +y -z ≤ 3xyz . (第 6届 IMO 试题变形 5 2(xy +yz +zx -(x 2+y 2+z 2 ≤x +y +z.变形 6(x 2+y 2+z 2 +33(xyz ≥ 2(xy+yz +z x .证明在变形 5中 , 应用均值不等式得x +y +z ≤ 3 3(xyz 即得 .下面给出 7个典型的不等式赛题供参考 . 例 1 (2001年奥地利波兰数学奥林匹克试题已知 a , b , c 是■ A BC 的三条边 , 证明 :2<a b c333abc ≤ 3.证明左不等式等价于 (b +c -a (c +a -b (a +b -c >0, 右不等式等价于 (b +c -a (c +a -b (a +b -c ≤ abc (Schur 不等式 (变形 3 例 2 (2009年希腊数学奥林匹克试题已知 x , y , z 都是非负数 , 且 x +y +z =2, 证明不等式: x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2+xyz ≤ 1.证明两边齐次化 , 等价于证明 (x +y +z 4≥ 16(x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2 +8xyz (x +y +z ①因为 (x +y +z 4=x 4+y 4+z 4+4(x 3y + xy 3+y 3z +yz 3+z 3x +z x 3 +6(x 2y2+y 2z 2+ z 2x 2 +4xyz (x +y +z ,所以①等价于证明x 4+y 4+z 4+4(x 3y +xy 3+y 3z +yz 3+z 3x +z x 3 -10(x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2 +4xyz (x +y + z ≥ 0②由 Schur 不等式 (r =2时得 x 2(x -y (x -z +y 2(y -x (y -z +z 2(x -y (z -x ≥ 0, 即 x 4+y 4+z 4-(x 3y +xy 3+y 3z +yz 3+z 3x +z x 3 +xyz (x +y +z ≥ 0,所以, x 4+y 4+z 4≥ (x 3y +xy 3+y 3z +yz 3+ z 3x +zx 3 -xyz (x +y +z .从而 , 要证明②, 只要证明5(x 3y +xy 3+y 3z +yz 3+z 3x +z x 3-10(x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2 +3xyz (x +y +z ≥0③由均值不等式得x 3y +xy 3≥ 2x 2y 2, y 3z +yz 3≥ 2y 2z 2, z 3x +zx 3≥ 2z 2x 2,所以 5(x 3y +xy 3+y 3z +yz 3+z 3x +z x 3 -10(x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2 ≥ 0, 而 3xyz (x +y +z ≥ 0显然成立 , 所以不等式③成立 . 等号成立的充要条件是 x , y , z 中有一个是 0, 其余两个相等 .例 3 (2006年乌克兰数学奥林匹克试题已知 a , b , c 是正数 , 证明 :3(a 3+b 3+c 3+abc ≥ 4(a 2b +b 2c +c 2a .证由 Schur 不等式 (变形 1 得 :a 3+b 3+c 3+3abc ≥ a 2b +ab 2+b 2c +bc 2+ c 2a +ca 2①由均值不等式得 3333≥ a 2b ,333 3≥ b 2c , 333 3≥ c 2a ,将这三个不等式相加即得a 3+b 3+c 3≥ a 2b +b 2c +c 2a ②再由均值不等式得a 3+ab 2≥ 2a 2b , 即a 3≥ 2a 2b -ab 2, 同理, b 3≥ 2b 2c -bc 2, c 3≥ 2c 2a -ca 2,将这三个不等式相加即得a 3+b 3+c 3≥ 2(a 2b +b 2c +c 2a -(ab 2+bc 2 +ca 2 ③将不等式①②③相加得 3(a 3+b 3+c 3+abc ≥ 4(a 2b +b 2c +c 2a .例 4 (2009年 Oliforum 数学奥林匹克试题设 a , b , c 是正实数 , 证明 :a +b +ca +b b +c c +a 2c a b.证明令 a =xy , b =yz , c =zx , 则原不等式化为2 x 2+y 2+z 2 +xyzx +y y +z z +x≥ xy +yz +zx .由柯西不等式得 x +y +y +z+z +x ≥2(x +y +z,只要证明 x 2+y 2+z 2x +y +z≥ 2(xy +yz +z x ,即 (x +y +z 2x +y +z≥ 4(xy +yz +zx (x +y +z 3-4(x +y +z (yz +z x +xy + 9xyz ≥ 0. 此就是 Schur 不等式 (变形 2 .例 5 (2003年美国国家集训队选拔试题设α, β, γ∈(0,2, 证明不等式 :sin (β+γ sin (γ+αsin (α+β≥ 0.证明因为 sin (x +y sin (x -y =(sin x cos y +cos x sin y (sin x cos y -cos x sin y =sin 2x cos 2y -sin 2y cos 2x =sin 2x (1-sin 2y -sin 2y (1-sin 2x = sin 2x -sin 2y .所以 , 原不等式等价于[sin α(sin 2α-sin 2β(sin 2α-sin 2γ+sin β(sin 2β-sin 2α (sin 2β-sin 2γ +sin γ(sin 2γ-sin 2β (sin 2γ-sin 2α ]/[sin (α+βsin (β+γ sin (γ+α ]≥ 0①因为α, β, γ∈(0,2, 所以, sin (α+βsin (β+γ sin (γ+α >0, 只需证明sin α(sin 2α-sin 2β(sin 2α-sin 2γ +sin β(sin 2β-sin 2α (sin 2β-sin 2γ +sin γ(sin 2γ-sin 2β(sin 2γ-sin 2α ≥ 0②记x =sin 2α, y =sin 2β, z =sin 2γ, ②化为 x (x -y (x -z y (y -z (y -x + z (z -x (z -y ≥ 0③这就是 Schur 不等式当 r2时的情况 . 从而 , 原不等式成立 .例 6 (2004年中国西部数学奥林匹克试题求证 :对任意正实数 a , b , c , 都有 1<+b + b +c c +a 2.证明先证明左边的不等式 . 令 x2c 2 , y = 22, z2b 2, 则 x , y , z ∈ R +, xyz =1, 于是只需证明1+x 1+y 1+z>1.不妨设x ≤ y ≤ z , 令 A =xy , 则 zA, A ≤ 1,于是1+x +1+y+1+z=1+x +1 x 1+z 1+x1x=1+x >1. 再证明不等式的右边 .令 a 22(y +z -x , b 2=2(x +z -y , a 2 2(x +y -z , 其中 x , y , z 是■ ABC 的三条边长 . 则a +b +c +a= 2z +2x+2y ,原不等式转化为z +x+y≤ 3①①式xz (x +y -z ≤ 3xyz ,两边平方得xy (y +z -x +yz (x +z -y +xz (x +y -z +2xzy (y +z -x (x +z -y +2yzx (y +z -x (x +y -z+2xyz (x +z -y (x +y -z≤ 9xyz ②②式左边≤ xy (y +z -x +yz (x +z -y + xz (x +y -z +xz (y +z -x +y 2(x +z -y + yz (x +y -z +x 2(y +z -x +xy (x +z -y + z 2(x +y -z =6xyz +x 2(y +z -x +y 2(x +z -y +z 2(x +y -z .要证明②式成立 , 只要证明 x 2(y +z -x + y 2(x +z -y +z 2(x +y -z ≤ 3xyz . 这正是 Schur 不等式 (变形 4 .下面的例 7曾出现在朱华伟老师的文章中 , 下面给出它的完整的证明 .例 7设 x , y , z 是正实数 , 证明333 3xyzx +y +z≥ 2. (Mircea Lasscu 不等式证明由 Schur 不等式 (变形6 x +y +z + 33xyz ≥ 2xy +yz +zx 得33xyz ≥ 2xy +yz +zx -(x +y +z . 我们有3x +y +z x +y +z , 于是 ,3333xyz3x +y +z3333xyz x +y +z -13333xyz -1x +y +z -2+2 2223xyzx +y +z+2 2226xyz2+ 2+ 2 x +y +z+2 =∑[26xyz x +y +z]· 2+2.而由于 x , y , z 都是正实数 , 所以由均值不等式有 (x +y +z 22-6xyz>2(x +y z x y 2-6xyz≥ 8xyz -6xyz=2xyz >0,所以26xyz x +y +z >0, 从而∑ [26xyz x +y +z ]·x y 2≥ 0.所以3333xyz3x +y +z≥ 2.(收稿日期 :2010-03-2664数学通讯— 2010年第 8期 (下半月 ·课外园地 ·。
第四讲Schur不等式Schur分拆
高二数学竞赛班二试讲义第四讲 Schur （舒尔）不等式、Schur （舒尔）分拆班级 姓名一、知识要点：定理1．Schur 不等式：若0,0,0x y z ≥≥≥，α为实数，则()()0x x y x z α--≥∑，当且仅当x y z ==或0,x y z ==的置换时，等号成立。
证明：由对称性可假定x y z ≥≥，令123x t t t =++，23y t t =+，3z t =， 其中，123,,t t t 是非负实数，则左端()()()()()()x x y x z y y z y x z z y z x ααα=--+--+--12311223213212()()()()()t t t t t t t t t t t t t t ααα=+++++-++2212311232331232()[()()]0t t t t t t t t t t t t t t ααααα=+++++-+++≥定理2．Schur 不等式推广：若0,0,0x y z ≥≥≥，k 为非负实数，则（1）()()()0kyz x y x z --≥∑；（2）()()()0kx y z x y x z +--≥∑； （3）()()()()0kyz y z x y x z +--≥∑． 证明：（1）()()()0()()()0k k kyz x y x z xyz xx y x z ---≥⇒--≥∑∑成立（2）由对称性可假定x y z ≥≥，令123x t t t =++，23y t t =+，3z t =， 其中，123,,t t t 是非负实数，则左端()()()()()()()()()kkkx y z x y x z y z x y z y x z x y z y z x =+--++--++--1232311223123213123212()(2)()()(2)()(22)()k k k t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t =++++++++-++++22123231321231232323123312312()(2)(22)[()(2)()(2)(22)]0k k k kk t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t =++++++++++-++++++≥①分01k ≤<和1k ≥讨论可证明①（3）同理可证定理3．三元齐三次对称多项式(,,)f x y z 可以唯一的表示为3.13.23(,,)f x y z a g b g c g =++， 其中 3.1()()g x x y x z =--∑， 3.2()()()g y z x y x z =+--∑，3.3g x y z =并且当,,0x y z ≥时，,,0(,,)0a b c f x y z ≥⇔≥ 先给出系数,,,a b c d 的简单确定方法：(1,1,0)(1,0,0),,(1,1,1)2f a f b c f === 定理4．三元齐四次对称多项式(,,)f x y z 可以唯一的表示为4.14.24.3(,,)f x y z a g b g c g d g =+++， 其中24.1()()g x x y x z =--∑，4.2()()()g x y z x y x z =+--∑，4.3()()g y z x y x z =--∑，4.4()g xyz x y z =++并且当,,0x y z ≥时，,,,0(,,)0a b c d f x y z ≥⇔≥． 先给出系数,,,a b c d 的简单确定方法：(1,1,1)(1,0,1)(1,0,0),(1,1,0),,34f c f a f c f d b a --====+定理5．三元齐五次对称多项式(,,)f x y z 可以唯一的表示为5.15.25.35.4(,,)f x y z a g b g c g d g e g =++++， 其中35.1()()g x x y x z =--∑，25.2()()()g x y zx y x z =+--∑， 5.3()()()g y z y z x y x z=+--∑， 5.4()()g x y z x y x z=--∑ 5.5()g xyz xy yz zx =++并且当,,0x y z ≥时，,,,,0(,,)0a b c d e f x y z ≥⇔≥． 先给出系数,,,a b c d 的简单确定方法（i 为虚数单位）：(1,1,0)(1,1,1)(1,,0)(1,,1)82(1,0,0),,,,232(1)22f f f i c f i i b e aa f c eb d i -++-====+=+ 定理6．三元齐六次对称多项式(,,)f x y z 可以唯一的表示为6.16.26.36.46.56.6(,,)f x y z a g b g c g d g e g m g n g =++++++， 其中46.1()()g x x y x z =--∑，36.2()()()g x y z x y x z =+--∑，2226.3()()()g x y y z z x =---26.4()()()g y z x y x z =--∑， 6.5()()g x y z x x y x z =--∑ 6.6()()()g x y z y z x y x z=+--∑ 26.7()g xyz =并且当,,0x y z ≥时，,,,,,,0(,,)0a b c d e m n f x y z ≥⇔≥． 先给出系数,,,a b c d 的简单确定方法（i 为虚数单位）：(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)a f d f n f ===由(0,1,1)444(0,1,)222f a b c d f i i a b c d -=-+-⎧⎨=--+⎩，将,a d 代入解得,b c由(1,1,1)48448(1,1,)216668f a b d e m n f i a c d e m n-=-++-+⎧⎨-=+--+-⎩，将,,,,a b c d n 代入解得,e m 二、例题精析例1．已知,,x y z 是非负实数，且满足1x y z ++=。
太原理工大学研究生矩阵论第3.8,3.9
若 2 0 ， 就取 2
令 3 3 ( iH 3 ) i , 2 ；
i 1
2
若 k 0 ，则取 k 0 ； 若 k 0 ，就取 k
1
k k
H
k ， （ k 2,3, n) ．
定理 3-20 设 A C
nn
，则有可逆矩阵 P ，使得
1 1 P AP 0
而且
1i j n
b12
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b1n b2 n n
b
ij
，其中 是预先给定的任一正数．
证明 由定理 3-19，存在酉矩阵 Q ，使得
3.8 舒尔定理及矩阵的QR分解
舒尔(Schur) 定理在理论上很重要， 它是很多重要定理证明的 出发点，而矩阵的 QR 分解在数值代数中起着重要作用，是计算 矩阵特征值及解线性方程组的一个重要工具 . 本节目的是介绍这 两个结果 . 下面的讨论是在酉空间 C n 内进行的 .
定理 3-19（Schur 定理）若 A C
可以验证 1 , 2 , n 为“正交向量组” ，且每个向量或为零向量， 或为单位向量．而且每个 j 是 1 , 2 j 的线性组合．反过来上述作 法也保证了每个 j 是 1 , 2 j 的线性组合．因此存在复数 rij 使得
j rij i ( j 1,2,n ) ．
i 1
1 12 1n 2 2 n 1 Q AQ n 令 F diag(r, r 2 ,, r n ) ， r 为非零常数，且取 P QF ，则有 1 r12 r n 1 1n 1 b12 b1n n2 2 b2 n 2 r 2 n 1 P AP ， 0 0 n n
舒尔定理 群论
舒尔定理群论舒尔定理，也称为舒尔引理，是群论中的一个重要定理，由德国数学家舒尔于 1872 年提出。
该定理表明，如果一个群 G 中存在一个不平凡的正规子群 H，满足 H 和 G/H 的阶数互质，那么 G 就是可解的。
该定理在可解群的结构和性质研究中有着广泛的应用。
为了更加深入地理解舒尔定理的含义，我们首先需要了解几个群论的基本概念。
1. 群的定义群是一种代数结构，它由一个集合G 和一个二元运算* 组成，满足以下四条公理：（1）封闭性：对于任意的 a，b∈G，a*b∈G。
（2）结合律：对于任意的 a，b，c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)。
（3）存在单位元素：存在一个元素 e∈G，使得对于任意的a∈G，a*e=e*a=a。
（4）存在逆元素：对于任意的 a∈G，存在一个元素 b∈G，使得 a*b=b*a=e。
2. 子群的定义设 G 是一个群。
如果 H 是 G 的一个非空子集，并且 H 对于 G 的群运算 * 构成一个群，那么 H 就是 G 的一个子群，记作H≤G。
3. 正规子群的定义设 G 是一个群，如果 H 是 G 的一个子群，并且对于任意的g∈G，都有 gH=Hg，那么 H 就是 G 的一个正规子群，记作H◁G。
有了这些基本概念的铺垫，我们现在来正式介绍舒尔定理。
舒尔定理如果一个群 G 中存在一个不平凡的正规子群 H，满足 H 和G/H 的阶数互质，那么 G 就是可解的。
在这里，我们来详细解释一下这个定理的意义和证明。
1. 可解群的定义可解群是指存在一个可解的群链，即一个子群的正规子群为前一个子群，最后得到的 G 就是可解群；或者说，存在一个群替换列，满足每个替换子群都是前一个子群的正规子群，并且最后的替换群是可交换群。
实际上，如果一个群可以通过一系列的正规子群一直降到一个可交换群，那么这个群就是可解的。
这是因为，可交换群的性质相对简单，所以可以通过群上的一些基本操作来构造出一个完整的可解群。
第三章 特征值与矩阵的Jordan标准型
74
则
AU1 = U1
λ1 0 . . . 0
c12 c13 · · · c1n C1
.
由于 C1 为 n − 1 阶矩阵, 由归纳假设, 存在 n − 1 阶酉矩阵 U2 使 b22 b23 · · · b33 · · · ∗ U2 C1 U2 = B1 = .. . b2n b3n . . . bnn 为上三角矩阵. 令 U = U1 则 U ∗ AU = 1
证 注意 P 是第三种初等矩阵, P −1 = I − αEpq . 故 P −1 A 仅将 A 的第 q 行的 −α 倍加 到第 p 行, 因此所得矩阵仍是上三角矩阵且不改变 A 的对角线; AP 的意义类似. 因此知 B 是 与 A 的主对角线相同 (包括顺序) 的上三角矩阵. 直接计算可得 bpq . 例 3.1.1 设 λ1 = λ2 , P = I −
0. 故由分块 Schur 三角化定理, 可设 A = A1 ⊕ A2 ⊕ · · · ⊕ As , 其中 Ai 是特征值均为 λi 的 ni 阶上三角矩阵. 则 f (A) = (A − λ1 I )n1 (A − λ2 I )n2 · · · (B − λs I )ns . 由 例 3.1.2 可知, 对每个 i, 均有 (Ai − λi Ini )ni = 0, 故上式的第 i 个因子 (A − λi I )ni 的第 i 个 块为 ni 阶 0 矩阵, 从而整个乘积等于 0 矩阵. 由于 n 阶矩阵 A 的特征多项式是 n 次多项式, Cayley-Hamilton 定理表明, A 的 n 次幂 可由其较低次幂的线性组合给出, 因此, A 的高于 n 次的幂可由其低于 n 次的幂的线性组合给 出, 故对任意自然数 m, 有 Am ∈ Span{I, A, A2 , · · · , An−1 }. 换句话说, n 阶矩阵 A 的任意次幂均属于由 I, A, A2 , · · · , An−1 生成的 Mn (C) 的子空间. 这 就提供了一种计算高次幂的降幂算法. 例 3.1.3 设 A= 求 A2 , A3 , A4 . 解 A 的特征多项式为 f (λ) = λ2 − 4λ + 1, 所以 A2 − 4A + I = 0. 故知 A2 = 4A − I, A3 = 4A2 − A = 15A − 4I, A4 = 15A2 − 4A = 56A − 15I. 命 题 3.1.1 (Sylvester 降幂公式) 设 A 与 B 分别是 m × n 与 n × m 矩阵, m ≥ n. 则 |λIm − AB | = λm−n |λIn − BA|. 证 注意下述分块矩阵的恒等式: I B 0 I 因此, 矩阵 C1 = BA 0 A 0 与矩阵 C2 = 0 0 A AB 0 0 A AB = BA BAB A AB = BA 0 A 0 I B 0 I , 2 3 1 2 ,
矩阵分析引论--第三章 矩阵的标准化-舒尔定理及矩阵的QR分解、矩阵的奇异值分解
第三章第八九节 舒尔定理及矩阵的QR分解与矩阵的奇异值分解
第八节 舒尔定理及矩阵的QR分解
引理 (可逆矩阵的UR分解)
若A C nn为可逆矩阵,则存在酉矩阵U C nn
和主对角线上元素皆为正的上三角矩阵
r11
R
r12 r22
使得
A UR.
r1n r2n , rii 0;i 1,2,, n, rnn
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第三章第八九节 舒尔定理及矩阵的QR分解与矩阵的奇异值分解
证 因为 A (1 ,2 ,,n )可逆，
所以 1,2 ,,n为C n的一个基. Schmidt 正交化,可得标准正交基{e1, e2 ,… , en }
于是有
1,2 ,,n e1,e 2 ,,e n 酉矩阵Q
于是有 A (P1T )1 J T P1T . （J T为上三角形矩阵） 令 P (P1T )1 , 由于P C nn可逆，根据引理，P有UR分解
P UR. (U为酉矩阵, R为上三角阵)
则有 A PJT P 1 U RJ T R1 U H , 令T RJ T R1, 则 T为上三角矩阵,
R
r12 r22
使得
A UR.
r1n r2n , rii 0;i 1,2,, n, rnn
下
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第三章第八九节 舒尔定理及矩阵的QR分解与矩阵的奇异值分解
1
1
,
2
,,
n
e
1
,
e
2
,
,
e
n
2 ,e1
2
n n
,e ,e
1 2
n
n ,n1,,1 e n ,e n1,,e1
舒尔不等式pqr法
舒尔不等式pqr法摘要：舒尔不等式pqr法1.舒尔不等式的基本概念2.pqr法的原理3.pqr法的应用领域4.结论正文：舒尔不等式pqr法舒尔不等式是数学领域中一个非常重要的不等式，它涉及到复数、三角函数以及指数函数等知识。
舒尔不等式的基本形式为：|a+bi|≤√(a+b)，其中a 和b为实数，i为虚数单位。
在实际应用中，舒尔不等式可以帮助我们研究各种信号处理、图像处理等问题。
pqr法是解决舒尔不等式问题的一种高效方法。
它通过对舒尔不等式进行变量替换，将原问题转化为一个易于处理的二次型问题。
具体来说，pqr法的原理如下：1.令a=r*cosθ，b=r*sinθ，其中r为实数，θ为第二、四象限角。
2.将a和b代入舒尔不等式，得到：|r*(cosθ+isinθ)|≤√(r*(cosθ+sinθ))。
3.利用三角函数的性质，化简得：|r*(cosθ+isinθ)|=r|cos(θ/2)+isin(θ/2)|。
4.再次利用三角函数的性质，将|r*(cosθ+isinθ)|转化为一个易于处理的二次型问题。
pqr法的应用领域非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1.信号处理：在信号处理领域，pqr法可以帮助我们研究信号的幅度和相位问题，以及信号的传输和变换问题。
2.图像处理：在图像处理领域，pqr法可以帮助我们研究图像的亮度和对比度问题，以及图像的滤波和增强问题。
3.通信系统：在通信系统中，pqr法可以帮助我们研究信号的调制和解调问题，以及信号的传输和接收问题。
总之，舒尔不等式pqr法是一种非常有用的数学方法，它可以帮助我们解决各种实际问题。
schur定理 实方阵可分块上三角化的矩阵证明
《Schur定理与实方阵可分块上三角化的矩阵证明》1. 导言Schur定理是线性代数中的重要定理，它提供了一个关于矩阵分解的重要结果。
在本文中，我们将探讨Schur定理及其应用。
我们还将深入分析实方阵可分块上三角化的矩阵证明，以加深对这一概念的理解。
2. Schur定理的概念和原理Schur定理是一个关于矩阵相似对角化的定理，它指出任何一个n阶复数矩阵A都可以相似于一个上三角矩阵T，即存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=T为上三角矩阵。
这一定理在矩阵理论和应用中具有广泛的意义，特别是在谱理论、线性系统理论等方面有重要的应用。
3. 实方阵可分块上三角化的矩阵证明实方阵可分块上三角化的矩阵证明是Schur定理的一个重要应用。
在证明中，我们首先需要将实方阵A分解为复共轭对，并将其转化为实Schur标准型。
利用实Schur标准型的性质，通过适当的变换和观察，可以证明实方阵可分块上三角化的结论。
4. Schur定理及实方阵可分块上三角化的意义和应用Schur定理的意义在于提供了一种对复杂矩阵进行简化处理的方法，为矩阵理论和线性代数理论的研究提供了重要的工具和方法。
而实方阵可分块上三角化的矩阵证明则为实际问题的求解提供了一种有效的途径，尤其是在控制理论、信号处理等领域具有重要的应用。
5. 个人观点和结论个人认为Schur定理及其应用具有重要的理论意义和实际应用价值，它为复杂矩阵的处理提供了一种简化的方法，为矩阵理论和线性系统理论的研究提供了新的视角和方法。
实方阵可分块上三角化的矩阵证明也为实际问题的求解提供了重要的支持，为控制理论和信号处理等领域的应用提供了新的思路和方法。
总结通过本文的讨论，我们对Schur定理及其应用有了更深入的了解，同时对实方阵可分块上三角化的矩阵证明也有了更全面的认识。
希望本文能够为读者提供有益的信息和启发，进一步推动相关领域的研究和发展。
以上为本人对Schur定理与实方阵可分块上三角化的矩阵证明的一些个人理解和观点，希望对你有所帮助。
schur公式
schur公式
schur公式又名为舒尔公式。
舒尔定理(Schur theorem)是源于数论中的一个定理，因为是由舒尔(I.Schur)于1916年发表的，由这个定理可知，存在一个最小的整数sn，使得任意划分{1，2，…，Sn}为n个子集S1，S2，…，Sn，都存在一个Si包含x，y，z，满足x+y=z，这个最小数称为舒尔数舒尔定理是拉姆塞理论的源头之一，虽然舒尔本人证明这个定理是为了研究别的问题，而且以后他也没有在拉姆塞理论这一领域发表其他研究成果，但在这一理论的发展史上至少有二件大事与舒尔紧密相关。
i)在研究数论(有关于二次剩余和二次非剩余的分布)问题时，舒尔在1920年提出了一个猜想，这个猜想在1927年被荷兰数学家范德瓦尔登(B.L.van der Waerden)证明为真，从而成为拉姆塞理论——
也是数论——的一个著名经典定理(后来这个定理称作范德瓦尔登定理)。
ii)舒尔指导了他的一位博士生拉多(R.Rado)写作学位论文，在
拉多的1933年的学位论文以及随后的一系列更进一步的研究工作中，拉多证明了一个深刻的定理(后来被称作拉多定理)，这个定理既是舒尔定理又是范德瓦尔登定理的非常深刻的推广，它也是拉姆塞理论的经典定理之一。
舒尔定理的简介及应用
舒尔定理的简介及应用舒尔定理（也称为乘积定理或巧合定理）是数论中的一个重要定理，描述了一个特定数与三个数的乘积之和等于另一个整数的关系。
具体来说，舒尔定理可以表述如下：对于任意给定的整数n，存在整数x、y、z，使得x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)=n。
舒尔定理的应用非常广泛，包括在分析数论问题、代数方程、组合数学中，尤其是在高中数学、奥数、竞赛数学等方面常常用到。
下面将详细介绍舒尔定理的应用。
1. 表达与证明整数恒等式：舒尔定理可以用来表达和证明一些关于整数的恒等式。
例如，我们可以利用舒尔定理证明：对于任意整数n，n(n+1)(n+2)可以被6整除。
我们可以令x=n，y=n+1，z=n+2，代入舒尔定理的表达式中，得到：n(n+1)+ (n+1)(n+2)+ (n+2)(n+3)=6m（其中m为任意整数）。
化简后可得n(n+1)(n+2) = 6m，因此n(n+1)(n+2)可以被6整除。
2. 将整数分解成三个数的和：在一些特定的问题中，需要将一个整数分解成三个数的和，这时舒尔定理可以提供帮助。
例如，我们有一个整数210，想将它分解成三个数的和。
根据舒尔定理，我们可以令x=9，y=12，z=13，代入舒尔定理的表达式中，得到：9·10+ 12·13+ 13·14 = 210。
因此，210可以分解成9、12、13这三个数的和。
3. 证明与判别某些数的性质：舒尔定理可以用来证明与判别某些数的性质。
例如，我们可以利用舒尔定理证明：对于任意一个整数n，n(n+1)(n+2)是一个3的倍数。
由于3是一个质数，我们只需要证明其中一个因子（n、n+1或n+2）是3的倍数。
假设n=3k（其中k为整数），那么：n=3k, n+1=3k+1, n+2=3k+2。
根据舒尔定理，我们有：3k(3k+1)+ (3k+1)(3k+2)+ (3k+2)(3k+3) = 3k·(3k+1)·(3k+2)。
舒尔公式列变换
舒尔公式列变换舒尔公式是一种用于求解三角形内部点与三边长度的关系的数学公式。
它是由奥地利数学家费迪南德·舒尔于1827年提出的。
舒尔公式通过将三角形内部点与三边的长度联系起来，帮助我们解决了一些几何问题。
舒尔公式的数学表达式如下：$\frac{PA}{BC} + \frac{PB}{AC} + \frac{PC}{AB} = 1$其中，P为三角形内部的任意一点，A、B、C为三角形的三个顶点，BC、AC、AB分别为三角形的三边长度。
舒尔公式的应用十分广泛。
它可以用于证明三点共线、求解三角形内部点的坐标、证明三角形内部点与三边长度的关系等等。
下面我将通过几个具体的例子来说明舒尔公式的应用。
例子1：证明三点共线假设我们有一个三角形ABC，及其内部一点P。
我们想要证明P与AB的延长线上的一点D、与AC的延长线上的一点E以及与BC的延长线上的一点F三点共线。
根据舒尔公式，我们可以得到以下等式：$\frac{PD}{BD} + \frac{PE}{CE} + \frac{PF}{AF} = 1$如果上述等式成立，则可以证明D、E、F三点共线。
例子2：求解三角形内部点的坐标假设我们已知一个三角形ABC的三个顶点坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）和C（x3，y3）。
我们想要求解三角形内部一点P的坐标。
根据舒尔公式，我们可以得到以下等式：$\frac{x-x1}{x2-x1} + \frac{y-y1}{y2-y1} + \frac{x-x1}{x3-x1} + \frac{y-y1}{y3-y1} = 1$通过解上述等式，我们可以求解出点P的坐标。
例子3：证明三角形内部点与三边长度的关系假设我们已知一个三角形ABC的三个顶点和一个内部点P。
我们想要证明点P与三边的长度之间存在以下关系：$\frac{PA}{BC} + \frac{PB}{AC} + \frac{PC}{AB} = 1$通过舒尔公式，我们可以证明上述关系成立。
shur定理
shur定理shur定理是一种关于对称多项式的定理，是中国数学家舒尔（Shur）于1901年首先提出的。
shur定理的表述方式有很多种，其中最常见的一种是：对于任意的正整数$n$和$n$元对称多项式$f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n),\f_2(x_1,x_2,\cdots,x_n),\cdots,\ f_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，如果$f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)$为一个$k$次齐次对称多项式，那么对于任意的实数$x_1,x_2,\cdots,x_n$，都有：$$\sum_{i=1}^n f_i(x_1,x_2,\cdots,x_n) \prod_{j\neq i} \frac{x_i-x_j}{x_i+x_j} = k!\ f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$尽管shur定理本身的表述方式有点抽象，但是它对于对称多项式的研究非常重要。
特别地，如果将$f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)$取为任意一个初等对称多项式，就可以得到很多有趣而且实用的公式。
例如：- 当$k=n-1$时，取$f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)=e_{n-1}(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，就可以得到新西兰数学家A.G. MacGregor在1951年发现的关于$n$阶复矩阵的特征值和迹的公式，即：其中$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$是矩阵$A$的特征值，$\mathrm{tr}\,A,\mathrm{tr}\,A^2,\cdots,\mathrm{tr}\,A^{n-k}$是矩阵$A$的迹、迹的平方、……、迹的$n-k$次方。
其中$a_{ij}$是一个对称矩阵的元素，$b_1,b_2,\cdots,b_n$是一个向量的元素。
以上只是两个例子，实际上，shur定理在组合数学、代数学和数学物理等多个领域都有广泛的应用。
三角公式及推导(祥尽解释)
三角公式及推导（祥尽阐明）之阳早格格创做1-----诱导公式：时常使用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任性角，末边相共的角的共一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任性角，π+α的三角函数值取α的三角函数值之间的闭系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任性角α取 -α的三角函数值之间的闭系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα公式四：利用公式二战公式三不妨得到π-α取α的三角函数值之间的闭系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一战公式三不妨得到2π-α取α的三角函数值之间的闭系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α取α的三角函数值之间的闭系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈z)诱导公式影象心诀※顺序归纳※上头那些诱导公式不妨综合为：对付于k·π/2±α(k∈z)的个三角函数值，①当k是奇数时，得到α的共名函数值，即函数名没有改变；②当k是奇数时，得到α相映的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变奇没有变）而后正在前里加上把α瞅成钝角时本函数值的标记.（标记瞅象限）上述的影象心诀是：奇变奇没有变，标记瞅象限.公式左边的标记为把α视为钝角时，角k·360°+α（k∈z），-α、180°±α，360°-α地圆象限的本三角函数值的标记可影象火仄诱导名没有变；标记瞅象限.百般三角函数正在四个象限的标记怎么样推断，也不妨记开心诀“一齐正；二正弦；三为切；四余弦”．那十二字心诀的意义便是道：第一象限内所有一个角的四种三角函数值皆是“＋”；第二象限内惟有正弦是“＋”，其余局部是“－”；第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；第四象限内惟有余弦是“＋”，其余局部是“－”．公式七：特殊的定义2---共角三角函数基础闭系⒈共角三角函数的基础闭系式倒数闭系:tanα ·cotα＝1sinα ·cscα＝1cosα ·secα＝1商的闭系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα仄圆闭系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝11＋tan^2(α)＝sec^2(α)1＋cot^2(α)＝csc^2(α)道明：共角三角函数闭系六角形影象法六角形影象法：（参瞅图片或者参照资料链交）构制以"上弦、中切、下割；左正、左余、中间1"的正六边形为模型. （1）倒数闭系：对付角线上二个函数互为倒数；（2）商数闭系：六边形任性一顶面上的函数值等于取它相邻的二个顶面上函数值的乘积.（主假如二条实线二端的三角函数值的乘积）.由此，可得商数闭系式.（3）仄圆闭系：正在戴有阳影线的三角形中，上头二个顶面上的三角函数值的仄圆战等于底下顶面上的三角函数值的仄圆.3---二角战好公式⒉二角战取好的三角函数公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan（α＋β）＝——————--1－tanα ·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ战好公式的道明：(1)二角好的余弦令面A面A面B面B()()()()()()22222222222222222222222222sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin cos sin cos 2sin sin 2cos cos 112s A B A B AB y y x x r r r r r r r r r r r r r αββααβαβαβαβαβαβαβαβααββαβαβ=-+-=-+-=+-++-=+-++-=+++--=+-()()()22in sin cos cos 22sin sin cos cos 21sin sin cos cos r r αβαβαβαβαβαβ+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦由余弦公式可得：综上得：()cos sin sin cos cos αβαβαβ-=+(2) 二角战的余弦 (3) 二角战的正弦 (4) 二角好的正弦 (5) 二角战的正切 (6) 二角好的正切4---二倍角公式二倍角的正弦、余弦战正切公式（降幂缩角公式） 表示一：sin2α＝2sinαcosα 道明：果为 sin(+)=sincos +cos sin，令== ，所以，可得：sin2=2sincos表示二：（以正切表示二倍角）sin2=2tan1+tan 2證明：sin2=2sin cos=2sin coscos2=2tan(1sec2) =2tan 1+tan 2余弦二倍角公式：表示一：cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)道明：果为由战角公式：cos( +)=cos cos sin sin ，令== ，所以，可得： cos2=cos 2sin 2=2cos 21=12sin 2表示二：cos2=1tan 21+tan 2證明： cos2=2cos 21 =2sec21 =21+tan21 =1tan 21+tan 22tanα tan2α＝————— 1－tan^2(α)道明：果为由战角公式：tan(+)= tan +tan 1tan tan，令== ，所以，可得： tan2= 2tan 1tan 2 結論：利用tan不妨將sin2，cos2，tan2表示出來，整治如下：(a) sin2=2tan1+tan 2(b) cos2= 1tan 21+tan 2(c) tan2=2tan1tan 2用三角形曲瞅表示如下：（图）1-tan 2θ2tan θ1+tan 2θ2θ1-tan 2θ2tan θ1+tan 2θ2θ半角的正弦、余弦战正切公式（落幂扩角公式）1－cosα或者：sin^2(α/2)＝—————21＋cosαcos^2(α/2)＝—————21－cosαtan^2(α/2)＝—————1＋cosα7---万能公式万能公式推导附推导：sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（果为cos^2(α)+sin^2(α)=1）再把*分式上下共除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))而后用α/2代替α即可.8---三倍角公式三倍角的正弦、余弦战正切公式(a)sin3= 3sin4sin3證明：sin3=sin(+2)=sin cos2+cos sin2=sin(12sin2)+cos(2sin cos) =sin(12sin2)+2sin cos2 = sin(12sin2)+2sin(1sin2)= 3sin4sin3(b)cos3=4cos33cos證明：cos3=cos(+2)=cos cos2sin sin2=cos(2cos21)sin(2sin cos)= cos(2cos21)2sin2cos= cos(2cos21)2(1cos2)cos=4cos33cossin3α＝3sinα－4sin^3(α)cos3α＝4cos^3(α)－3cosα3tanα－tan^3(α)tan3α＝——————1－3tan^2(α)附推导：tan3α＝sin3α/cos3α＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)上下共除以cos^3(α)，得：tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)＝3sinα－4sin^3(α)cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))＝4cos^3(α)－3cosα即sin3α＝3sinα－4sin^3(α)cos3α＝4cos^3(α)－3cosα三倍角公式奇像影象影象要领：谐音、奇像正弦三倍角：3元减 4元3角（短债了(被减成背数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）余弦三倍角：4元3角减 3元（减完之后另有“余”）☆☆注意函数名，即正弦的三倍角皆用正弦表示，余弦的三倍角皆用余弦表示.积化战好公式推导附推导：最先,咱们知讲sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 咱们把二式相加便得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2共理,若把二式相减,便得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2共样的,咱们还知讲cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把二式相加,咱们便不妨得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以咱们便得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2共理,二式相减咱们便得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2那样,咱们便得到了积化战好的四个公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2也不妨那样证：战好化积的公式推导：佳,有了积化战好的四个公式以来,咱们只需一个变形,便不妨得到战好化积的四个公式.咱们把上述四个公式中的a+b 设为x,a-b 设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b 分别用x,y 表示便不妨得到战好化积的四个公式: sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)11---辅帮角公式sin cos )a b αααϕ+=+，其中tan ba ϕ=，ϕ的象限由,a b 的标记决定.12---任性三角形里积公式：13---余弦定理： 任性三角形一角的余弦等于二邻边的仄圆战减对付边的仄圆之好取二邻边积的二倍之比.道明： 如Figure II,（证完） 14---正弦定理Ca bhd如 Figure III,c 为ΔABC 中交圆的曲径, 共理：15---海伦公式（任性三角形已知三边供里积） 道明16---特殊的三角函数值（表）()00︒1512π⎛⎫︒ ⎪⎝⎭ 306π⎛⎫︒ ⎪⎝⎭ 454π⎛⎫︒ ⎪⎝⎭ 603π⎛⎫︒ ⎪⎝⎭ 57512π⎛⎫︒ ⎪⎝⎭ 902π⎛⎫︒ ⎪⎝⎭ sin 0 624- 12 22 32 624+ 1 cos 1 624+32 2212624-0 tan23-3313 23+N/A17：其余一些恒等变更的有用公式：也必须生记 (a)cos2=cos 2sin 2=2cos 21=12sin 2 (b) cos =2cos 221=12sin22(c)cos 2=1+cos22，sin2=1cos2218：一些时常使用的下次圆落次---有用的公式： (a)sin 4+cos 4=(sin 2+cos 2)22sin 2cos 2=12sin 2cos 2(b)sin 6+cos 6=(sin 2+cos 2)33sin 2cos 2( sin 2+cos 2)=1 3sin2cos 2(c)tan+cot= 1sin cos = 2sin2(d)(sin cos)2=sin 2+cos 22sincos=1sin219：三角函数公式集结影象表：1-tan 2θ2tan θ1+tan 2θ2θcos sin αβ±sin sin αtan tan 1tan tan αβα±倍角、半角的三角函数2sin cos αα222cos sin 2cos αα-=-22tan tan αα-cos 1α=cos α=将上头二式安排二边分别相除，得：1cos 1cos αα-=+sin2α∴=α。
(整理)第四讲Schur不等式Schur分拆
高二数学竞赛班二试讲义第四讲 Schur （舒尔）不等式、Schur （舒尔）分拆班级 姓名一、知识要点：定理1．Schur 不等式：若0,0,0x y z ≥≥≥，α为实数，则()()0x x y x z α--≥∑，当且仅当x y z ==或0,x y z ==的置换时，等号成立。
证明：由对称性可假定x y z ≥≥，令123x t t t =++，23y t t =+，3z t =， 其中，123,,t t t 是非负实数，则左端()()()()()()x x y x z y y z y x z z y z x ααα=--+--+--12311223213212()()()()()t t t t t t t t t t t t t t ααα=+++++-++2212311232331232()[()()]0t t t t t t t t t t t t t t ααααα=+++++-+++≥定理2．Schur 不等式推广：若0,0,0x y z ≥≥≥，k 为非负实数，则（1）()()()0kyz x y x z --≥∑；（2）()()()0kx y z x y x z +--≥∑； （3）()()()()0kyz y z x y x z +--≥∑． 证明：（1）()()()0()()()0k k kyz x y x z xyz xx y x z ---≥⇒--≥∑∑成立（2）由对称性可假定x y z ≥≥，令123x t t t =++，23y t t =+，3z t =， 其中，123,,t t t 是非负实数，则左端()()()()()()()()()kkkx y z x y x z y z x y z y x z x y z y z x =+--++--++--1232311223123213123212()(2)()()(2)()(22)()k k k t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t =++++++++-++++22123231321231232323123312312()(2)(22)[()(2)()(2)(22)]0k k k kk t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t =++++++++++-++++++≥①分01k ≤<和1k ≥讨论可证明①（3）同理可证定理3．三元齐三次对称多项式(,,)f x y z 可以唯一的表示为 3.1 3.2 3.3(,,)f x y z ag bg cg =++，其中 3.1()()g x x y x z =--∑，3.2()()()g y z x y x z =+--∑，3.3g xyz =并且当,,0x y z ≥时，,,0(,,)0a b c f x y z ≥⇔≥ 先给出系数,,,a b c d 的简单确定方法：(1,1,0)(1,0,0),,(1,1,1)2f a f b c f === 定理4．三元齐四次对称多项式(,,)f x y z 可以唯一的表示为4.1 4.2 4.3 4.4(,,)f x y z ag bg cg dg =+++， 其中24.1()()g x x y x z =--∑，4.2()()()g x y z x y x z =+--∑， 4.3()()g yz x y x z =--∑，4.4()g xyz x y z =++并且当,,0x y z ≥时，,,,0(,,)0a b c d f x y z ≥⇔≥． 先给出系数,,,a b c d 的简单确定方法：(1,1,1)(1,0,1)(1,0,0),(1,1,0),,34f c f a f c f d b a --====+定理5．三元齐五次对称多项式(,,)f x y z 可以唯一的表示为 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5(,,)f x y z ag bg cg dg eg =++++， 其中35.1()()g x x y x z =--∑，25.2()()()g x y z x y x z =+--∑， 5.3()()()g yz y z x y x z =+--∑， 5.4()()g xyz x y x z =--∑5.5()g xyz xy yz zx =++并且当,,0x y z ≥时，,,,,0(,,)0a b c d e f x y z ≥⇔≥． 先给出系数,,,a b c d 的简单确定方法（i 为虚数单位）：(1,1,0)(1,1,1)(1,,0)(1,,1)82(1,0,0),,,,232(1)22f f f i c f i i b e aa f c eb d i -++-====+=+ 定理6．三元齐六次对称多项式(,,)f x y z 可以唯一的表示为6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7(,,)f x y z ag bg cg dg eg mg ng =++++++， 其中46.1()()g x x y x z =--∑，36.2()()()g x y z x y x z =+--∑，2226.3()()()g x y y z z x =---26.4()()()g yz x y x z =--∑， 6.5()()g xyz x x y x z =--∑6.6()()()g xyz y z x y x z =+--∑26.7()g xyz =并且当,,0x y z ≥时，,,,,,,0(,,)0a b c d e m n f x y z ≥⇔≥． 先给出系数,,,a b c d 的简单确定方法（i 为虚数单位）：(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)a f d f n f ===由(0,1,1)444(0,1,)222f a b c d f i i a b c d -=-+-⎧⎨=--+⎩，将,a d 代入解得,b c由(1,1,1)48448(1,1,)216668f a b d e m n f i a c d e m n-=-++-+⎧⎨-=+--+-⎩，将,,,,a b c d n 代入解得,e m 二、例题精析例1．已知,,x y z 是非负实数，且满足1x y z ++=。
舒尔不等式在解题中的应用
舒尔不等式在解题中的应用
Cauchy–Schwarz 判别不等式，又称舒尔不等式，是数学中一种重要的不等式，它的应用非常广泛，其中最为常见的应用就是用来证明几何问题中的结论。
1、在几何中，舒尔不等式可以用来证明三角形的一些性质，如两边之和大于
第三边，两边之积小于第三边的平方等。
2、在空间几何中，舒尔不等式可以用来证明四边形的一些性质，如两边之和
大于第三边，两边之积小于第三边的平方等。
3、在数论中，舒尔不等式可以用来证明一些数学公式，如求解多项式的根，
求解二次不定方程等。
4、在统计学中，舒尔不等式可以用来证明一些统计概率的性质，如期望的不
等式，方差的不等式等。
5、在机器学习中，舒尔不等式也可以用来证明一些机器学习的算法的性质，
如支持向量机，神经网络等。
舒尔不等式等价形式推导
舒尔不等式等价形式推导舒尔不等式是一种数学不等式，它是由德国数学家费迪南德·舒尔于1878年提出的。
舒尔不等式是一种著名的不等式定理，它在数论和几何中有广泛的应用。
舒尔不等式的等价形式有多种推导方法，本文将以一种等价形式为标题进行推导和讨论。
标题：从舒尔不等式等价形式推导到其他不等式舒尔不等式的等价形式是：对于任意的正实数a，b，c，总有(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)≥0。
我们将从这个等价形式出发，推导出一些其他的不等式。
1. 三角不等式由舒尔不等式的等价形式可以得到三角不等式。
首先令 a = |x|，b = |y|，c = |z|，代入舒尔不等式的等价形式得到：(|x| + |y| + |z|)(|x| + |y| - |z|)(|x| - |y| + |z|)(-|x| + |y| + |z|) ≥ 0化简得到：(|x| + |y| + |z|)(|x - y|)(|y - z|)(|z - x|) ≥ 0这就是我们熟知的三角不等式。
2. 亚历山大不等式亚历山大不等式是一种与舒尔不等式等价的不等式。
它的形式为：对于任意的正实数a，b，c，总有(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。
我们可以通过舒尔不等式的等价形式来推导亚历山大不等式。
令 a = b + x，c = b + y，代入舒尔不等式的等价形式得到：(3b + x + y)(x + y)(3b - x - y)(x + y) ≥ 0化简得到：(x + y)^2(3b - x - y)(3b + x + y) ≥ 0再进行展开和整理，得到：9b^2(x^2 + y^2) + 2b(x^3 + y^3) + (x^4 + y^4) - 2xy(x^2 + y^2) ≥ 0这就是亚历山大不等式。
3. 尼尔森不等式尼尔森不等式是一种与舒尔不等式等价的不等式。
它的形式为：对于任意的正实数a，b，c，总有(a^2 + b^2)(b^2 + c^2)(c^2 + a^2) ≥ (ab + bc + ca)^2。
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舒尔三角化定理
舒尔三角化定理是一个重要的数学定理，它可以用来解决多边形的面积问题。
它是由德国数学家舒尔（Schur）在1870年发现的，它的定义是：如果一个多边形的顶点坐标是（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），（x6，y6），那么它的面积S可以用下面的公式来计算：
S = 1/2 * |x1*y2 + x2*y3 + x3*y4 + x4*y5 + x5*y6 + x6*y1 - x2*y1 - x3*y2 - x4*y3 - x5*y4 - x6*y5 - x1*y6|
舒尔三角化定理的应用非常广泛，它可以用来计算多边形的面积，也可以用来计算多边形的重心，还可以用来计算多边形的质心，以及多边形的重心和质心的距离。
此外，舒尔三角化定理还可以用来计算多边形的内接圆半径，以及多边形的外接圆半径。
它还可以用来计算多边形的质心和重心的距离，以及多边形的内接圆和外接圆的距离。
舒尔三角化定理的另一个重要应用是用来计算多边形的最小外接圆半径。
它可以用来计算多边形的最小外接圆半径，以及多边形的最小外接圆的圆心坐标。
舒尔三角化定理的最后一个重要应用是用来计算多边形的最小外接圆的圆心坐标。
它可以用来计算多边形的最小外接圆的圆心坐标，以及多边形的最小外接圆的半径。
总之，舒尔三角化定理是一个重要的数学定理，它可以用来解决多边形的面积问题，以及多边形的重心、质心、内接圆半径、外接圆半径、最小外接圆半径和最小外接圆的圆心坐标等问题。
它的应用非常广泛，在几何学、数学和工程学等领域都有着重要的作用。