反比例函数(初三一轮复习)

反比例函数
一、同步知识梳理
知识点1：反比例函数的概念
一般的，形如y=x k
（k 不等于零的常数）的函数叫反比例函数。

反比例函数的解析式又可以写成：1,k
xy k y kx x
-==
=（ k 是不等于零的常数）, 知识点2：反比例函数的图象及性质
（1）反比例函数的图象是两支曲线，且这两支曲线关于原点对称，这种图象通常称为双曲线。

它与x 轴和y 轴没有交点，它的两个分支无限接近坐标轴，但永远不能到达坐标轴. (2)反比例函数y=
x
k 图象的两个分支位居的象限与k 的正负有关， ① 当k>0时，函数的图象分布在第 一、三象限； (如下图) 函数的图象在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y 的值随x 的增加而 减小；
②当k<0时，函数的图象分布在第 二、四 象限、函数的图象在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y 的值随x 的增大而增大。

(3)双曲线既是中心对称图形. 也是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线
知识点3：反比例函数中的比例系数k 的几何意义
(1)反比例函数x k y =
（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x
k
y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。

(2)过反比例函数图象上的任意一点作 x 轴的垂线，那么这点与垂足、坐标系原点构成的三角形的
面积是一个定值，即22
xy k S =
=。

知识点4： 反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定只需确定k 值，需要一个点即可列出方程
知识点5：反比例函数在实际问题中的应用
在利用反比例函数解决实际问题中，一定要注意y=
x
k 中的k 不等于零这一条件，结合图像说出性质，
根据性质画出图像，以及求函数表达式是必须牢牢记住的知识点
二、同步题型分析
题型1：反比例函数的概念、图像与性质
例1：下列函数关系中，哪些是反比例函数？如果是，比例系数是多少？
（1）x y 4=
；（2）x y 21-=；（3）2
x y =；（4）
x y -=1（5）1=xy
解：（1）是反比例函数，比例系数是4 （2）是反比例函数，比例系数是2
1-
（3）不是
（4）不是
（5）是反比例函数，比例系数是1
例2：已知函数x
k k y )
3(+=
是反比例函数，则k 应满足的条件是（ ）
A ．3≠k
B ．3-≠k
C ．0≠k 或3≠k
D ．0≠k 且3-≠k
解析：反比例函数x
k
y =（0≠k ）,所以(3)0k k +≠，即D ．0≠k 且3-≠k 答案：D 变式:函数3
2
-=
x y 的自变量x 的取值范围是 ． 总结:反比例函数的取值范围 一般地，函数y=
k
x
（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数，x 的取值范围是x≠0，y 的取值范围是y≠0．
例3：已知函数2
3)2(m x
m y --=为反比例函数.
（1）求m 的值；
（2）它的图象在第几象限内？在各象限内，y 随x 的增大如何变化？ （3）当－3≤x ≤2
1-
时，求此函数的最大值和最小值.
解：（1）
（2）它的图象在第二，三象限内，在各象限内y 随x 的增大而增大
（3）当－3≤x ≤21-时，由于在第二象限内y 随x 的增大而增大，所以y 大＝8 y 小
=34
变式: 1.反比例函数1
m y x
-=的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是 ．
答案：1m ≥ 2.函数y ＝1
x
-
图象的大致形状是（ ）
A B C D
总结：反比例函数k
y x
=的图象是由两个分支组成的双曲线，图象的位置与比例系数k 的关系有如下两种情况：
（1）0k >⇔双曲线的两个分支在第一、三象限 （2）0k <⇔双曲线的两个分支在第二、四象限 答案：D
例4：已知函数242
13m y m x
-⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭是反比例函数，且在每一象限内，y 随x 增大而减小，求这个反比例函数
答案：56y x
=
解析：因为函数是反比例函数，所以2421m -=-，解得12
m =±，又因为函数y 随x
增大而减小，
所以103m +
>，所以1
2
m =，所以反比例函数为56y x =
变式:1.关于反比例函数4
y x
=的图象，下列说法正确的是（ ）
A ．必经过点（1，1）
B ．两个分支分布在第二、四象限 答案：D
C ．两个分支关于x 轴成轴对称
D ．两个分支关于原点成中心对称
2.反比例函数x
k y 3
-=的图象，当0>x 时，y 随x 的增大而增大，则k 的范围是（ ）．答案：B
（A ）k ＜3 （B ）k ≤3 （C ）k ＞3 （D ）k ≥3 总结:反比例函数增减性、对称性
1、当k >0时⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小； 当k <0时⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．
2、反比例函数关于原点对称，且关于直线y =x 和y =-x 对称。

题型2：反比例函数解析式的确定 例1：函数1
k y x
-=
的图象经过点(1,3)A -，则k 的值为（ ） A ．4
B ．4-
C ．2
D ．2-
答案：D
例2：已知反比例函数x
k y =
的图象过点（1，－2）. （1）求这个函数的解析式，并画出图象；
（2）若点A （－5，m ）在图象上，则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？ 分析：（1） 反比例函数的图象过点（1，－2），即当x ＝1时，y ＝－2. 由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；
（2）由点A 在反比例函数的图象上，易求出m 的值，再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上.
解：（1）∵－2＝1
k
∴k=－2 ∴x
y 2-= 图略
（2）点A （－5，m ）在图象上 ∴－5m=－2 ∴m=
5
2 点A 关于x ，y 两坐标轴和原点的对称点分别是 A 1（－5， －
5
2）；A 2（5， 52）；A 3
（5， －52） 由k=－2得，A 1 ；A 2不在图像上。

A 3在图像上
变式:若反比例函数k
y x
=
的图象经过点（-1,2)，则这个反比例函数的图象一定经过点（ ） A 、(2,-1) B 、(12-,2) C 、(-2,-1) D 、(1
2
,2)
分析：由反比例函数解析式判断点是否在图像上. 答案：A
例3：已知y 与 2x 成反比例，且当x =3时，y =6
1
，那么当x =2时，y =_________，当y =2时，x =_________.
答案：14y =
, 14
x = 题型3：反比例函数K 的几何意义 例1：如图，过反比例函数
图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为
C 、
D ，连结OA 、OB ，设AC 与OB 的交点为
E ， 与梯形ECDB 的面积分别为
，比较它们
的大小，可得( ) A.
B. C. D. 大小关系不能确定
分析：由反比例的几何性质可得，S AOC S BOD =，又1S S AOC S EOC =-,
2S S BOD S EOC =-
所以，
答案：B
例2： 如图：点A 在双曲线k
y x
=
上，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB=2，则k =______．
分析：
由反比例的几何性质可得22
xy k
S ==,即4k =，4k =±，
又反比例函数图象过二、四象限，所以4k =-。

例3：如图，A 、B 是函数2
y x
=
的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ）
A ． 2S =
B ． 4S
= C ．24S << D ．4S >
分析：由反比例的中心对称性质，运用图形割补法，可把△ABC 转化为一个矩形，再由几何
性质即可求解。

答案：A
题型4：反比例函数的简单应用 例1：如图，点A 、B 在反比例函数k y x
=
的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为
,2a a (0)a >，
AC ⊥x 轴，垂足为C ，且2AOC S ∆=，（1）求该反比例函数的解析式；（2）若点1(,)a y -、2(2,)a y -在该反比例函数的图象上，试比较1y 、2y 的大小；（3）求△AOB 的面积
答案：（1）
4
y
x
=；（2）
1
2
y y
<；（3）3
解析：（1）因为2
AOC
S
∆
=，所以4
k=，所以反比例函数的解析式为
4
y
x
=；
（2）若点
1
(,)
a y
-、
2
(2,)
a y
-在该反比例函数的图象上，而且0
a>，所以2
a a
->-，又因为0
k>，所以y随x的增大而减小，所以12
y y
<；
（3）把A、B两点横坐标代入到反比例函数的解析式中可以得到
4
4
2
y
a
y
a
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，所以得到A、B两点坐标分别为
4
(,)
a
a
、
2
(2,)
a
a
，所以CD a
=，于是△AOB的面积等于△AOC的面积加上四边形ABCD 的面积减去△OBD的面积，所以△AOB的面积
142
3()33
2
a
a a
++⋅-=
例2：如图，Rt△AOB的顶点A是直线(1)
y x m
=+-与双曲线
m
y
x
=在第一象限内的一个交点，
且3
AOB
S
∆
=，直线(1)
y x m
=+-与x轴的交点为C，（1）求m的值；（2）求△ACB的面积答案：（1）6
m=；（2）18
解析：（1）因为3
AOB
S
∆
=，所以6
AB OB
⋅=，所以6
m=；
（2）因为6
m=，所以直线解析式为5
y x
=+，所以直线与x轴的交点为C为(5,0)
-并且联立直线
双曲线解析式可以得到交点A 的坐标为(1,6)，所以△ACB 的面积等于
11
661822
AB BC ⋅=⨯⨯= 例3：（2008广州中考22题）如图8，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m
y x
=
的图象相交于A 、B 两点
（1）根据图象，分别写出A 、B 的坐标； （2）求出两函数解析式；
（3）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值
答案：（1）y ＝0.5x ＋１，y ＝
x
12
（2）－６<x <0或x >4 变式：如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x
=的图象交于A 、B 两点，（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的
x 的取值范围
答案：（1）
2
y x =-
；1y x =--；
（2）2x <-或01x <<
解析：（1）因为A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-和(1,)n ，所以先把(2,1)-代入到反比例函数的解析式中得到2m =-，于是反比例函数的解析式为2y x
=-
，再把
(1,)n 代入到反比例函数解析式中，
可以得到2n =-，所以B 点坐标为(1,2)-，再把A 、B 两点坐标代入到一次函数的解析式中，得到
21
2
k b k b -+=⎧⎨
+=-⎩，所以解得11k b =-⎧⎨=-⎩，所以一次函数解析式为1y x =--； （2）根据图象，一次函数的值大于反比例函数的值的图象为第三象限A 点左侧和第四象限B 点左侧部分，所以2x <-或01x <<
三、课堂达标检测
1.（1）已知反比例函数21m y x
-=
的图象在一，三象限，那么m
的取值范围是______________。

答案：12
m >
（2）反比例函数y = -
2x
的图象位于（ ） A. 第一、二象限
B. 第一、三象限
C. 第二、三象限
D. 第二、四象限
答案：D 2．函数y ＝
x ＋1
x
中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥－1 B ．x ＞－1 C ．x ≥－1且x ≠0
D ．x ＞－1且x ≠0
答案：C 3.已知函数2
y x
=
，当1x =时，y 的值是 ． 答案：2y = 4.反比例函数x
k y 3
-=
的图象，当0>x 时，y 随x 的增大而增大，则k 的范围是（ ）． A.k ＜3 B.k ≤3 C.k ＞3 D.k ≥3 答案：A
5.若点12(1,),(2,)A y B y 是双曲线3
y x
=
上的点，则1y 2y （填“>”,“<”“=”）. 答案：>
6.已知三点11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y 均在双曲线4
y x
=上，且1230x x x <<<，则下列各式正确的
是（ ）答案：B A 、
123
y y y << B 、
213
y y y << C 、
312
y y y << D 、
321
y y y <<
7.如图，已知双曲线)0k (x
k
y ＞=
经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为6，则k ＝____________．
解：过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E ， 由双曲线上点的性质，得S △AOC =S △DOE = 12
k ∵DE ⊥x 轴，AB ⊥x 轴， ∴DE ∥AB ， ∴△OAB ∽△OED ， 又∵OB=2OD ， ∴S △OAB =4S △DOE =2k ， 由S △OAB -S △OAC =S △OBC ， 得2k-
1
2
k =6， 解得k=4．
8.如图，直线y ＝mx 与双曲线x k
y =
交于A ，B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM ，若S
△ABM ＝2，则k 的值是( )．
解：设点A 的坐标为（x ，y ）， ∴B 的坐标为（-x ，-y ）， ∵S △ABM =4， ∴
1
242
xy ⨯= ∴xy=4， ∴k=xy=4， 故答案为4．
9.如图，点A 、B 是双曲线3
y x
=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1
S =阴影，则12
S S += 4
10.已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OCD 的一边OC 在x 轴上，∠C ＝90°，点D 在第一象限，OC ＝3， DC ＝4，反比例函数的图象经过OD 的中点A ． (1)求该反比例函数的解析式；
(2)若该反比例函数的图象与Rt △OCD 的另一边交于点B ，求过A 、B 两点的直线的解析式．
解:(1)OC=3，DC=4，图象经过OD 的中点A ．则A(1.5,2)
设k y x
=
2=k/1.5 ,k=3
该反比例函数的解析式3y x = (2)B 点横坐标为3，代入3
y x
=得，B(3,1)
设直线y=kx+b ，则
2 1.513k b
k b =+⎧⎨
=+⎩
k=-2/3,b=3 y=-2/3x+3
一、专题精讲
例1：病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含量达到归大值为4
毫克。

已知服药后，2小时前每毫升血液中的含量y （毫克）与时间x （小时）成正比例；2小时后y 与x 成反比例（如图所示）。

根据以上信息解答下列问题：
(1).求当20≤≤x 时，y 与x 的函数关系式； (2).求当2>x 时，y 与x 的函数关系式；
(3).若每毫升血液中的含量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时
间是多长？
分析：根据函数图象建模，用待定系数法求解析式。

解：（1）当0≤x ≤2时；设y=kx 把（2，4）代入得：k=2， ∴y=2x ， 当x ＞2时，设m
y x
=
， 把（2，4）代入得：m=8，
∴8y x
=
； （2）当y=2时；得
11x =，24x =，
∴有效时间=4-1=3小时．
答：治疗疾病的有效时间是3小时．点评：本题考查了反比例函数的实际应用．关键是建立
两个函数关系式，当函数值相等时，分别求出自变量的值并作差。

点评：本题考查了反比例函数的实际应用．关键是建立两个函数关系式，当函数值相等时，
分别求出自变量的值并作差。

例2：（2010广东广州，23，12分）已知反比例函数y ＝
8
m x
-(m 为常数)的图象经过点A （－1，6）． （1）求m 的值；
（2）如图9，过点A 作直线AC 与函数y ＝
8
m x
-的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且AB ＝2BC ，求点C 的坐标．
分析:（1）将A 点坐标代入反比例函数解析式即可得到一个关于m 的一元一次方程，求出m
的值；（2）分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，则△CBE ∽△CAD ，运用相似三角形知识求出CE 的长即可求出点C 的横坐标．
解：（1）∵ 图像过点A (－1，6)，
8
61
m -=-． ∴
m －8－1=6 （2）分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ， 由题意得，AD ＝6，OD ＝1，易知，AD ∥BE ，
∴△CBE ∽△CAD ，∴CB BE
CA AD
=
． ∵AB ＝2BC ，∴
1
3
CB CA = ∴136BE =，∴BE ＝2． 即点B 的纵坐标为2
当y ＝2时，x ＝－3，易知：直线AB 为y ＝2x ＋8， ∴C (－4，0)
涉及知识点:反比例函数
点评:由于今年来各地中考题不断降低难度，中考考查知识点有向低年级平移的趋势，反比例函数出现在解答题中的频数越来约多．
例3：已知：如图，正比例函数y ＝ax 的图象与反比例函数x
k
y =
的图象交于点A (3，2)． (1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值； (3)M (m ，n )是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m ＜3，过点M 作直线MB ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．
分析：(1) 由点A 为正比例与反比例函数图象的交点，将A 点坐标代入正比例函数y=ax 中，求出a 的值，确定出正比例函数的解析式，将A 点坐标代入反比例函数x
k
y =中，求出k 的值，确定出反比例函数的解析式；
（2）由A 的横坐标及函数图象可得出反比例函数的值大于该正比例函数的值时，x 的范围范围； （3）过M 作MQ 垂直于x 轴，由M 为反比例函数上的点，将M 的坐标代入反比例函数解析式中求
出mn=6，同时由三个角的为直角的四边形为矩形得到四边形BOCD为矩形，根据矩形的对边相等可得出BO=DC，又BMQO为矩形，得到MQ=BO，由M的纵坐标为n，得到MQ=BO=DC=n，横坐标为m，得到BM=m，由A的坐标得出AC及OC的长，四边形OADM的面积=矩形BOCD的面积-三角形BMO的面积-三角形AOC的面积，利用矩形及三角形的面积公式分别表示出各自的面积，将mn=6及四边形OADM的面积为6代入，得出关于n的方程，求出方程的解得到n的值，进而求出m的值，即可确定出M的坐标，就可判断线段BM与DM的大小关系了.
BM=3
2
,MD=3-
3
2
=
3
2
所以BM=MD
例4:（2013广州中考25）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边
OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（2，2），反比例函数()
0,0k
y x
k x
=>≠的图象经过线段BC 的中点D 。

（1）求k 的值；
（2）若点P （x ，y ）在该反比例函数的图象上运动（不与点D 重合），过点P 作PR ⊥y 轴于点R ，作PQ ⊥BC 所在直线于点Q ，记四边形CQPR 的面积为S ，求S 关于x 的解析式并写出x 的取值范围。

y x
O
D C
B
A
二、专题过关
1.函数y ax a =-与a
y x
=
（a ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
2.如图，函数11y x =-和函数22
y x
=的图象相交于点M(2，m)，N(-1，n)，若12y y >，则x 的取值范围是（ ）
A ．102x x <-<<或
B ．12x x <->或
C ．1002x x -<<<<或
D ．102x x -<<>或
O y y
O
y
x
O
y
x
O
3.如图所示,已知
A(
1
2
,
1
y),B(2,
2
y))为反比例函数y=
1
x
图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（）
A．（1/2，0）B．（1，0）C．（3/2，0）D．（5/2，0）
4.已知一次函数y＝x－b与反比例函数y＝
2
x的图象，有一个交点的纵坐标是2，则b的值为________．5.如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O,且正方形的一组对边与x轴平行. 点P(3a,a)是反比例函数(0)
k
y k
x
=的图象与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积为9，则这个反比例函数的解析式为
答案：1.D 2.D 3.D 4.b=-1 5.
3
y
x
=
6.如图，一次函数b
x
y+
=的图象经过点B（1
-，0），且与反比例函数
x
k
y=（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：
（1）一次函数和反比例函数的解析式；
（2）当6
1≤
≤x时，反比例函数y的取值范围．
解：（1）把点B（-1，0）代入一次函数y=x+b得：
0=-1+b，
y
O
A
B
∴b=1，
∴一次函数解析式为：y=x+1，
∵点A （1，n ）在一次函数y=x+b 的图象上， ∴n=1+1， ∴n=2，
∴点A 的坐标是（1，2）． ∵反比例函数k
y x
=
的图象过点A （1，2）． ∴k=1×2=2，
∴反比例函数关系式是：2y x
=
（2）反比例函数
2
y x
=
，当x ＞0时，y 随x 的增大而减少， 而当x=1时，y=2，当x=6时，1
3y =，
∴当1≤x≤6时，反比例函数y 的值：1
23
y ≤≤
7.（2011广州中考23题）已知R t △ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C （1,3）在反比例函数y=
x
k
的图象上，且sin ∠BAC=53。

（1）求k 的值和边AC 的长；（2）求点B 的坐标。

解：（1）∵点A （1,3）在反比例函数k
y x
=的图像上 ∴ 133k xy ==⨯= 作CD ⊥AB 于点D ，所以CD ＝3 在Rt △ACD 中，sin ∠BAC=
CD
AC
，
∴
33
5AC
=
，解得 AC=5 （2）在Rt △ACD
中，2222534AD AC CD =-=-=
cos ∠BAC=
4
5
AD AC = 如图1，在在Rt △ACD 中，cos ∠BAC=AC
AB
，
∴ 25
54cos 45
AC AB BAC ===
∠ ∴ 413AO AD OD =-=-= 2513344
OB AB OA =-=
-= ∴ 点B 的坐标为13,04⎛⎫
⎪⎝⎭
如图2，∴ 415AO AD OD =+=+= 255
544
OB AB OA =-=
-= ∴ 点B 的坐标为5
,04⎛⎫- ⎪⎝⎭
8.如图，已知A （4，a ），B （－2，－4）是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数x m
y =
的图象
的交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOB 的面积.
解：因为B(-2,-4)在y=m/x 上，所以-4=m/-2 得：m=8,所以y=8/x 又因为A(4,a)在这个函数上，所以有a=8/4，所以a=2
x
y
图2
B A
C
O D
又因为这两点都在y=kx+b 上，代入得：-4=-2k+b ；2=4k+b ，解之得：k=1; b=-2 所以反比例函数为：y=8/x ，一次函数为：y=x-2 （2）由一次函数可知：与x 轴的交点坐标为：C(2,0) 所以SAOB=SOCB+SOCA=1/2×2×4+1/2×2×2=4+2=6
9.已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数
()0,0>>=
x k x
k
y 的图象上，点()n m P ,为其双曲线上的任一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ．
(1)求B 点坐标和k 的值； (2) 写出S 关于m 的函数关系式． (3) 当2
9
=
S 时，求P 点坐标；
解析：（1）由于点B 在函数 k
y x
=
的图象上，而正方形OABC 的面积为9，由此可以得到正方形边长为3，接着得到B 的坐标及k 的值； （2）分类讨论阴影部分（矩形）的面积； （3）根据（2）函数关系式即可求解．
解：（1）∵正方形OABC 的面积为9，
∴正方形OABC 的边长为3，即OA=3，AB=3， ∴B 点坐标为（3，3）． 又∵点B 是函数 k
y x
=的图象上的一点， ∴3=
3
k
，∴k=9； （2）分两种情况：
若点P 在点B 的右侧，如图（1），则PE=n ，AE=m-3， ∴S=n(m-3)=
9
m
(m-3)= 279m -；
若点P 在点B 的左侧，如图（2），
则PF=m ，FC=n-3， ∴S=m(n-3)=m(
9
3m
-)=9-3m ； （3）若点P 在点B 的右侧， 由（2）有279m -= 92
∴m=6，
∴n=
9m = 96= 32 ∴P(6，3
2
)
若点P 在点B 的左侧， 由（2）有9-3m= 92
， 解得m= 32
， ∴n=
9
m =6， ∴P(3
2
，6)，
∴点P 的坐标是(6，
32)或(3
2
，6) 10.如图，正比例函数11y k x =与反比例函数2
2k y x
=
相交于A 、B 点，已知点A 的坐标为（4，n ），BD ⊥x 轴于点D ，且S △BDO=4。

过点A 的一次函数33y k x b =+与反比例函数的图像交于另一点C ，与x 轴交于点E （5，0）。

（1）求正比例函数1y 、反比例函数2y 和一次函数3y 的解析式； （2）结合图像，求出当2
31k k x b k x x
+>
>时x 的取值范围。

解：（1）∵S △BDO =4， ∴k 2=2×4=8，
∴反比例函数解析式；y 2=， ∵点A （4，n ）在反比例函数图象上， ∴4n=8，n=2， ∴A 点坐标是（4，2），
∵A 点（4，2）在正比例函数y 1=k 1x 图象上， ∴2=k 1·4，k 1=
，
∴正比例函数解析式是：y 1=x ，
∵一次函数y 3=k 3x+b 过点A （4，2），E （5，0）， ∴
解得：
，
∴一次函数解析式为：y 3=-2x+10；
（2）-2x+10=解得另一交点C 的坐标是（1，8），点A （4，2）和点D 关于原点中心对称， ∴D （-4，-2），
∴由观察可得x 的取值范围是：x ＜-4或1＜x ＜4
三、学法提炼
1、解题方法
（1）反比例函数的定义、性质的应用，待定系数法求解析式，
（2）数形结合，会看图，读图，并用图像解决函数问题。

读图是近几年一个很重要的考点，
许多题目都是通过图像可以比较轻松的解决问题。

（3）反比例函数和几何图形结合的综合类型题。

2、注意事项
在利用反比例函数解决实际问题中，一定要注意y=
x
k 中的k 不等于零这一条件，结合图像说
出性质，根据性质画出图像，以及求函数表达式是必须牢牢记住的知识点
能力培养
综合题1:如图，在x 轴的正半轴上依次截112233445OA A A A A A A A A ====，过点
12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()2
y x x
=
≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为
分析： 根据反比例函数k
y x
=
中k 的几何意义再结合图象即可解答． 解：∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积
S 是个定值, 12
s k =
评析： 主要考查了反比例函数k
y x
=
中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确
y
x
O P 1
P 2
P 3
P 4 P 5
A 1 A 2 A 3 A 4 A
5
2
y x
=
理解k 的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即 12
s k =
综合题2.两个反比例子函数y ＝
x 3，y ＝x
6
在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，……， P2010在反比例函数y ＝
x
6
图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，……，x2010，纵坐标分别是1，3，5，……，共2010个连续奇数，过点P1，P2，P3，……，P2010分别作y 轴的平行线，与y ＝x
3
的图
象交点依次是 Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），……，Q2010（x2010，y2010），则y2010＝_______________。

分析：根据P 2010和Q 2010的横坐标相同找出排列规律，代入反比例函数的解析式即可．
解：根据题意，因为P 2010Q 2010∥y 轴，所以P 2010和Q 2010的横坐标相同．
根据数列1，3，5，7，9，11，…，的排列规律，得第2010个数为2×2010-1=4019，所以,P2010纵坐
标为4019，X2010=64019。

Q 点y2010=634019÷=4019
2
评析：考查了反比例函数图象上点的坐标特征，此题将规律探索和求点的坐标结合起来，而且解答时要抓住问 题的关键：两反比例函数中，P n 和Q n 横坐标相等．
综合题3. 在反比例函数10
y x
=
()0x >的图象上,有一系列点1A 、2A 、3A …、n A 、1n A +，若1A 的横坐 为2,且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别过点1A 、
2A 、3A …、n A 、1n A + 作x 轴与y 轴的垂线段，构成若干个矩形如图8所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记
为1S 、 2S 、 3S 、n S ，1S =________,1S +2S +3S +…+n S =__________.(用n 的代数式表示)
分析：由已知条件横坐标成等差数列，再根据点A1、A2、A3、…、A n、A n+1在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出S n的表达式，把n=1代入求得S1的值．
解：∵点A1、A2、A3、…、A n、A n+1在反比例函数
10
y
x
=（x＞0）的图象上，且每点的横坐标
与它前一个点的横坐标的差都为2，又点A1的横坐标为2，
评析：本题考查了反比例函数综合题，此题是一道规律题，首先根据反比例函数的性质及图象，求出
A n的坐标的表达式，再由此求出S n的表达式．
二、能力点评
1.反比例函数
k
y
x
=中k的几何意义和数形结合的思想。

2. 根据反比例函数图象上点的坐标特征，发现排列规律，将规律探索和求点的坐标结合起来。

3. 等差数列和分数的简便运算等。

学法升华
知识收获
1.反比例函数的定义的三种表示形式：1,k
xy k y kx x
-==
=。

2.反比例函数图象与性质：增减性与k 的关系，图像的对称性，k 的几何意义。

3.待定系数法求解析式，数形结合解决函数问题。

4.反比例函数与一次函数、几何综合应用。

二、 方法总结
本次课主要复习反比例函数的定义，图形性质及应用。

1.学习反比例函数的图象与性质要善于数形结合，由解析式联想图象的位置与性质，能确定k 的符号。

2.在解决一次函数与反比例函数的题中常常用数形结合的方法，即通过几何图形性质的研究找到相应的数量关系，然后再用代数方法解决问题。

比较函数值的大小只需找到图像交点坐标，就可解决问题了。

3.解决反比例函数与几何图形的问题，常会用到待定系数法求解析式、数形结合、方程思想、几何图形的性质等。

三、 技巧提炼
1.反比例函数的定义，建模k
y x
=
再用待定系数法求解析式。

2.数形结合，学会看图，读图，并用图像解决函数问题
3.反比例函数和几何图形结合的综合类型题常常用待定系数法求解析式、数形结合、分类讨论、方程思想并结合几何图形的性质等解决问题。

课后作业
基本概念考查：反比例函数的定义 1.当m 取什么值时，函数2
3)2(m x
m y --=是反比例函数？
解：m=-2
考点分析：直接考察反比例函数的定义第三种形式y=k 1
-x （k ≠0，k 是常数）。

2.下列函数中，是反比例函数的是 （ ）
A ．(1)1y x +-
B ．11
y x =- C ．21y x = D ．23y x =
解：D
考点分析：考察反比例函数的定义。

3.已知点（2，5）在反比例函数y=
x
k
的图象上，则下列各点在该函数图象上的是（ ） A ．（2，—5） B ．（—5，—2） C ．（—3，4） D ．（4，—3） 解：B
考点分析：运用函数解析式判断点是否在图像上。

反比例函数的图像与性质： 4.关于反比例函数4
y x
=
的图象，下列说法正确的是（ ） A ．必经过点（1，1）
B ．两个分支分布在第二、四象限
C ．两个分支关于x 轴成轴对称
D ．两个分支关于原点成中心对称
【答案】D
考点分析：利用k 值确定函数的图像。

5.如图，反比例函数k
y x
=
的图象经过点A (-1,-2).则当x ＞1时，函数值y 的取值范围是（ ） A.y ＞1 B.0＜y ＜1 C. y ＞2 D.0＜ y ＜2 【答案】D
考点分析：数形结合求取值范围。

6. 若双曲线y=x k 1
2- 的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是
k ＞
21 B. k ＜21 C. k =2
1
D. 不存在 考点分析：利用图像求反比例函数的k 值。

用待定系数法求反比例函数解析式：
7.如图1所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，点A 在此曲线上，则该反比例函数的解析式为_______________.
解：3y x
=
考点分析：已知一点坐标，确定k 值，进而求函数解析式，是最常见的用待定系数法求解析
式的题型。

8.如图，已知直线x y 2-=经过点P （2-，a ），点P 关于y 轴的对称点P ′在反比例函数x k
y =（0≠k ）
的图象 上．
（1）求a 的值；
（2）直接写出点P ′的坐标； （3）求反比例函数的解析式．
解：（1）将P （-2，a ）代入x y 2-=得a =-2×(-2)=4; (2) P ′（2，4） （3）将P ′（2，4）代入x k
y =
得4=2k ，解得k =8，∴反比例函数的解析式为8y x
=． 考点分析：本题是一次函数和反比例函数的综合考察，是最常见的基本题型，要求学生根据
一次函数的解析式，通过图形，求出反比例函数的解析式。

反比例函数与一次函数的综合考察：
（第19题）
9.函数2y x =与函数
1
y x
-=
在同一坐标系中的大致图像是
解：D
考点分析：两个函数图像性质的综合考察，考察学生数形结合的能力。

10.如图，函数b x k y +=11的图象与函数x
k y 2
2=
（0>x ）的图象交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知A 点坐标为（2，1），C 点坐标为（0，3）．
（1）求函数1y 的表达式和B 点的坐标；
（2）观察图象，比较当0>x 时，1y 与2y 的大小.
解：（1）由题意，得⎩⎨
⎧==+.3,121b b k 解得⎩⎨⎧=-=.
3,
11b k ∴ 31+-=x y ;
又A 点在函数x k y 22=
上，所以 212k =，解得22=k , 所以x
y 2
2=;
解方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=x y x y 2
,
3 得⎩⎨⎧==2111y x , ⎩⎨⎧==1222y x ． 所以点B 的坐标为（1, 2）． （2）当x =1或x =2时，y 1=y 2； 当1＜x ＜2时，y 1＞y 2； 当0＜x ＜1或x ＞2时，y 1＜y 2．
考点分析：第二小题要求学生学会看图，数形结合解决函数问题，是最有效的方法。

11.如图，反比例函数x
m
y =
的图象与一次函数b kx y -=的图象交于点M ，N ，已点M 的坐标为（1，3），点N 的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x 的方程x
m
=b kx -的解为（ ）
A. －3,1
B. －3,3
C. －1,1
D.3，-1
A
B
O
C
x
y
【答案】A
12.设函数2y x =与1y x =-的图象的交战坐标为（a ，b ），则11a b
-的值为__________． 【答案】12
- 考点分析：例题11，12均是对反比例函数和一次函数交点的考察。

13.如图，已知反比例函数x
k y =的图像经过第二象限内的点A （－1，m ），AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2．若直线y=ax+b 经过点A ，并且经过反比例函数x k y =
的图象上另一点C （n ，一2）． ⑴求直线y=ax+b 的解析式；
⑵设直线y=ax+b 与x 轴交于点M ，求AM 的长．
解：（1）∵点A （-1，m ）在第二象限内，
∴AB=m ，OB=1，
∴
即：，解得m=4，
∴A （-1，4）， ∵点A （-1，4），在反比例函数
的图像上， ∴4=，解得k=-4，
∵反比例函数为
， 又∵反比例函数的图像经过C （n ，-2），。