学案2：§10.2 排列与组合

§10.2 排列与组合基本知识

1．排列与排列数

1．判断题

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()

(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()

(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．()

(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.()

(5)A m n＝n A m－1

.()

n－1

(6)C k n＝n C k－1

n－1

.()

2．填空题

(1)A、B、C、D、E五人并排站成一排，不同的排法共有________种．

(2)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言________条．

(3)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中恰有1门相同的选法有________种．

(4)方程3A3x＝2A2x＋1＋6A2x的解为________．

(5)已知1

C m5－

1

C m6＝

7

10C m7，则m＝________.

全析考法

考点一排列问题

例1(1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()

A．192种B．216种

C．240种D．288种

(2)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．

方法技巧求解排列问题的六种主要方法

组合问题的常见题型及解题思路

人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为( ) A ．85 B ．86 C ．91

D ．90

(2)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( ) A ．130 B ．120 C ．90

D ．60

(3)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)． 方法技巧

有限制条件的组合问题的解法

组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理． 考点三 分组分配问题

分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．

例3 (1)教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．

(2)某 室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为________．

(3)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所

3名，则有________种不同的分法．

方法技巧 分组分配问题的三种类型及求解策略

1.某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行．则安排这6项工程的不同方法种数为( ) A ．10 B ．20 C ．30

D ．40

2.世界华商大会的某分会场有A ，B ，C 三个展台，将甲、乙、丙、丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为( ) A ．12 B ．10 C ．8

D ．6

3.某局安排3名副局长带5名职工去3地调研，每地至少去1名副局长和1名职工，则不同的安排方法总数为( ) A ．1 800 B ．900 C ．300

D ．1 440

4.用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)

5.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________． 集中演练

1．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．24种

D ．36种

2．如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )

A ．24

B ．18

C ．12

D ．9

3．定义“规范01数列”{a n }

如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意 ≤2m ，

a1，a2，…，a中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有() A．18个B．16个

C．14个D．12个

4．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组．则不同的选法共有()

A．60种B．70种

C．75种D．150种

参考答案

基本知识

1.按照一定的顺序排成一列所有不同排列的个数

3. n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) n！C n－m

n

基本能力

1．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√

2．填空题