中考专题训练一线三直角模型

函数中的垂直问题（巧用一线三直角模型）

依照几何相似模型中的一线三直角模型，通过作垂线构造相似三角形，根据线段比例构造等量关系。

如图，当BC AB ⊥时，过B 作直线平行于y 轴（如图1）或者直线平行于x 轴（如图2）构造一线三直角模型，ABD ∆∽BCE ∆

，得到线段比例建立等量关系：CE BD BE AD =。 例：如图，已知直线6-=kx y 与抛物线c bx ax y ++=2相交于A 、B 两点，

且点A （1，4-）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点Q 是y 轴上的一点，且ABQ ∆为直角三角形，求Q 的坐标。

分析：（1）抛物线的解析式为：322--=x x y

（2）分三种情况：设点Q 的坐标为（0，m ）

①如图1，当︒=∠901ABQ 时，作x AH ⊥轴

得ABH ∆∽1BOQ ∆ AH OB BH OQ =∴

1，即432=m ，解得：2

3=m ②如图2，当︒=∠902BAQ 时，

作y AG ⊥轴，AG BH ⊥于点H 。

得ABH ∆∽AG Q 2∆ BH AG AH G Q =∴2，即412)4(=--m ，解得：2

7-=m

②如图3，当︒=∠903A BQ 时，作y AH ⊥轴

得3OBQ ∆∽A HQ 3∆

H Q OB AH O Q 33=∴，即)4(31--=-m m ，解得：3,121-=-=m m 综上所述：点Q 的坐标可以为（0，23）、（0，2

7-）、（0，1-）、（0，3-）. 图1 图2

图1 图2

图3

练习1：如图，已知抛物线与x 轴交于A （2，0）、B （6，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）

（1）求此抛物线的表达式；

（2）抛物线上有一点P ，满足︒=∠90PBC ，求点P 的坐标.

练习2：如图，反比例函数x

k y =

的图象经过点A （2，4）和点B （8，m ）， （1）求k 和m 的值；

（2）以AB 为直径作圆G ，圆G 与x 轴交于点D ，求点D 的坐标。

练习3：如图，已知抛物线的对称轴为直线1-=x ，且抛物线经过点A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于B 点

（1）求抛物线的解析式和直线BC 的解析式；

（2）设点P 为抛物线对称轴上的一个动点，求BPC ∆为直角三角形

时的点P 的坐标。

练习4：如图，抛物线n mx x y ++-=2

与x 轴分别交于点A （4，0），B （2-，0），与y 轴交于点C

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P ，使得PAC ∆为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

练习5：如图，抛物线)0(322>--=m m mx mx y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点

（1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表）和A 、B 两点的坐标；

（2）是否存在使BCM ∆为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.