模型一线三等角模型全梳理（优选）

模型一线三等角模型全梳理（优选）

文章来源于公众号：乐灵教育、爱在数学

一线三等角定义：

指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，通常称为“K字模型”，也有部分地方称为“M形图”。

起源与基本类型

DE绕A点旋转，从外到内，从一般位置到特殊位置。

基本类型：

同侧“一线三等角”

异侧“一线三等角”

性质

1.一般情况下，如下左图，易得△AEC∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等。（若CE=ED，则△AEC≌△BDE）

3.中点型“一线三等角”

如右上图，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.

4.“一线三等角”的各种变式

应用

1.“一线三等角”应用的三种情况。

a.图形中已经存在一线三等角，直接应用模型解题；

b.图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；

c.图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.

2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段。

3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似。

如上图，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过C、D两点作直线l的垂线是必不可少的。

模型建立

例如图2，已知E是矩形ABCD的边AB上一点，EF⊥DE交BC 于点F，

试说明：ΔADE∽ΔBFE。

分析：要证明ΔADE与ΔBFE相似，已经知道∠A=∠B=90°，只需要再找出另外一对相等的角即可。

解答：在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°

∵EF⊥DE

∴∠DEF=90°，∠2+∠3=90°

又∵∠1+∠3=90°

∴∠1=∠2

∴ΔADE∽ΔBFE

小结：此时，在直线AB上，∠A=∠DEF=∠B=90°，一条线上有3个直角，

两边的ΔADE与ΔBFE相似。这个相似的基本图形像字母K，可以称为“K”型相似，但更因为图形的结构特征是一条线上有3个垂直关系，也常被称为“一线三垂直”。通过例题，我们已经证明，“一线三垂直”可以得出相似三角形，那普通的3个等角又会怎样呢？

变式1

如图3，已知等边三角形ABC，点D、E分别为BC，AC上的点，∠ADE=60º。

（1）图中有相似三角形吗？如果有，请说明理由。

（2）如图4，若将∠ADE在ΔABC的内部（∠ADE两边不与BC 重合）绕点D逆时针旋转一定的角度，得到的两三角形仍相似吗？

分析：

（1）此时，在直线BC上，∠B=∠ADE=∠C=60°，一条线上有3个等角，两边的ΔABD与ΔDEC相似吗？

（2）旋转后，变化中的不变量是什么？ΔABD与ΔDEC相似吗？

解答：（1）在等边三角形ABC中，

∠B=∠C=60°

∵∠ADE=60º

∴∠2+∠3=120°

又∵∠1+∠3=120°

∴∠1=∠2

∴ΔABD∽ΔDCE

另外：ΔADE与ΔACD也相似。

∵∠DAE=∠CAD（公共角）

∠ADE=60º=∠DCA

∴ΔADE∽ΔACD

（2）旋转后，变化中的不变量是∠ADE的大小

那么，依然可以有：

∵∠2+∠3=120°

又∵∠1+∠3=120°

∴∠1=∠2

∴ΔABD∽ΔDCE

小结：

此时，一条线上的三个等角由90°变成了60°，两边的三角形依然相似。那么，更一般的等角呢？

变式2

如图5，隐藏变式1图形中的线段AE，在得到的新图形中，

（1）如果∠B=∠C=∠ADE=50º，图中有相似三角形吗？

（2）如图6，若∠B=∠C=∠ADE=∠α，∠α为任意角，还有相似三角形吗？

分析：等角由90°变为60°，三角形依然相似。再变为50º，任意角α，虽然等角的大小发生了变化，但等量关系没变。

解答：

（1）∵∠B=∠C=∠ADE=50º

∴∠2+∠3=130°

又∵∠1+∠3=130°

∴∠1=∠2

∴ΔABD∽ΔDCE

（2）

∵∠B=∠C=∠ADE=α

∴∠2+∠3=180°-α

又∵∠1+∠3=180°-α

∴∠1=∠2

∴ΔABD∽ΔDCE

小结：现在，我们已经从特殊角过渡到任意角，证明在一条线上，只要有3个等角，两边的三角形就一定相似。这个相似的基本模型就是“一线三等角”。

模型应用

打开我们的新年礼包：

已知，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（）

分析：观察这个图形，∠α不是特殊角，要求sinα的值，首先要把角α放在一个直角三角形中，于是过点B作垂线，构造直角三角形ABF。又已知△ABC是等腰直角三角形，要用到∠ACB 为直角和AC=CB的特殊条件，及平行线之间的等距条件，所以分别过点A、B 作垂线，构造“一线三等角”的相似基本图形。

解答：由“一线三等角”，得ΔACD∽ΔCBE

由AC=AB，得ΔACD≌ΔCBE，由平行线等距，可设平行线间的距离为d，

小结：在数学中，我们常通过模型来建立数量之间的关系或图形间的联系，本题中，通过建立“一线三等角”这种相似的基本模型可以巧妙的使问题得解。

初中数学“一线三等角”解析