2024届山西省汾阳市汾阳中学高三六校第一次联考数学试卷含解析

2024年高考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()

2

()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为

2e 1-，则a =（ ）

A ．e

B ．

1e 2

- C ．1

D ．

2

e e - 2．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a

d

=（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

3．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ） A ．69人

B ．84人

C ．108人

D ．115人

4．已知AB 是过抛物线2

4y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（ ） A ．－2

B ．－4

C ．3

D ．－3

5．已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则 m n ⊥ B ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβ C ．若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则 m n ⊥ D ．若,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥

6．已知函数13

log ,0

()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭

⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)

(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞

C ．(,0)-∞

D ．(0,1)(1,)⋃+∞

7．设x ∈R ，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必条件

8．函数()[]()

cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．

53

π B ．2π

C ．

76

π D ．π

9．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =

交于点N ，3

OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

10．已知实数x 、y 满足约束条件10

3300x y x y y -+≥⎧⎪

--≤⎨⎪≥⎩

，则2z x y =+的最大值为（ ）

A ．1-

B ．2

C ．7

D ．8

11．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

12．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j i

a a 仍是该数列中的项，则（ ）

A ．593,36a S ><

B ．593,36a S >>

C ．693,36a S >>

D ．693,36a S ><

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如下： 满意度评分分组 [)50,60

[)60,70

[)70,80

[)80,90

[)90,100

合计 高一 1 3 6 6 4 20 高二

2

6

5

5

2

20

根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级：

假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长，记事件A ：“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”，则事件A 发生的概率为__________.

14．将函数()sin 2f x x =的图像向右平移6π

个单位，得到函数()g x 的图像，则函数()()y f x g x =-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上的值域为__________．

15．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)作倾斜角为135︒的直线l ，已知直线l 与圆2

2

20x y x +-=相交于

,A B 两点，则弦AB 的长等于____________．

16．在ABC 中，AB =

1BC =，23

C π

∠=

，则AC =__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t α

α=-+⎧⎨=⎩

(t 为参数，α为直线的倾斜角)．

(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 有唯一的公共点，求角α的大小．

18．（12分）已知抛物线2

:4C y x =的焦点为F ，点(),3A a ，点P 为抛物线C 上的动点．

（1）若PA PF +的最小值为5，求实数a 的值；

（2）设线段OP 的中点为M ，其中O 为坐标原点，若MOA MAO AOF ∠=∠=∠，求OPA ∆的面积． 19．（12分）已知函数2

()(2)ln 2f x x t x t x =+--+. （1）若2x =是()f x 的极值点，求()f x 的极大值； （2）求实数t 的范围，使得()2f x ≥恒成立. 20．（12分）设函数()2sin |3||1|f x x a a =+-+-. （1）若62f π⎛⎫

>

⎪⎝⎭

，求实数a 的取值范围；