2020高考文数圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题

2020高考文数圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
第2课时圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
解答题
1.(2019贵阳第一学期检测)已知圆M:x 2+(y-2)2=1,直线l:y=-1,动圆P 与圆M 外切,且与直线l 相切,设动圆圆心P 的轨迹为E.
(1)求轨迹E 的方程;
(2)若点A,B 是E 上的两个动点,O 为坐标原点,且OA ·OB
=-16,求证:直线AB 恒过定点. 解析因为动圆P 与直线l:y=-1相切,且与定圆M:x 2+(y-2)2=1外切,所以动点P 到圆M 的圆心M(0,2)的距离与到直线y=-2的距离相等,由抛物线的定义知,点P 的轨迹是以M(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线.
故所求P 的轨迹E 的方程为x 2=8y.
(2)证明:设直线AB 的方程为y=kx+b,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
将直线AB 的方程代入到x 2=8y 中得x 2-8kx-8b=0,
所以x 1+x 2=8k,x 1x 2=-8b,
又OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+x 12x 2264
=-8b+b 2=-16, 所以b=4,则直线AB 恒过定点(0,4).
2.(2019兰州诊断)已知曲线C 上的任意一点到直线l:x=-12的距离与到点F (12,0)的距离相等.
(1)求曲线C 的方程;
(2)若过P(1,0)的直线与曲线C 相交于A,B 两点,Q(-1,0)为定点,设直线AQ 的斜率为k 1,直线BQ 的斜率为k 2,直线AB 的斜率为k,证明:1k 12+1k 22-2
k 2为定值. 解析 (1)由条件可知,此曲线是焦点为F 的抛物线,设抛物线的方程为y 2=2px(p>0),则 p 2=12,p=1,
∴曲线C 的方程为y 2=2x.
(2)证明:由已知得,直线AB 的方程为y=k(x-1)(k ≠0),
由{y =k(x -1),y 2=2x
可得ky 2-2y-2k=0. 设A (y 122,y 1),B (y 222,y 2),则y 1+y
2=2k ,y 1y 2=-2.
∵k 1=y 1y 122+1=2y 1y 12+2,k 2=y 2y 222+1=2y 2y 22+2, ∴1k 12+1k 22=(y 12+2)24y 12+(y 22+2)24y 22
=
(y 12+2)2y 22+(y 22+2)2y 124y 12y 22 =
y 14y 22+y 24y 12+8y 12y 22+4(y 12+y 22)4y 12y 22 =
8(y 12+y 22)+3216 =
(y 1+y 2)2-2y 1y 2+42 =4k 2
+82
=2k 2+4.∴1k 12+1k 22-2
k 2=4,为定值.
3.(2019洛阳尖子生第二次联考)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√32,短轴长为2.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)设直线l:y=kx+m 与椭圆C 交于M,N 两点,O 为坐标原点,若k OM ·k ON =54,求证:点(m,k)在定圆上.
解析(1)设椭圆C 的焦距为2c,由已知e=c a =√32,2b=2,a 2=b 2+c 2,得b=1,a=2,
∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.
(2)证明:设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),联立{y =kx +m,x 24+y 2=1得
(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0,
依题意,Δ=(8km)2-4(4k 2+1)(4m 2-4)>0,化简得m 2<4k 2+1.①由根与系数的关系得,x 1+x 2=-8km 4k 2+1,x 1x 2=4(m 2-1)4k 2+1,
y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2,
若k OM ·k ON =54,则y 1
y 2x 1x 2=54,即4y 1y 2=5x 1x 2, ∴4k 2x 1x 2+4km(x 1+x 2)+4m 2=5x 1x 2,
∴(4k 2-5)×4(m 2-1)4k +1+4km ·-8km
4k +1+4m 2=0,
即(4k 2-5)(m 2-1)-8k 2m 2+m 2(4k 2+1)=0,化简得m 2+k 2=54.②
由①②得0≤m 2<65,120<="" p="">
∴点(m,k)在定圆x 2+y 2=54上.(没求k 的范围不扣分)
4.(2019石家庄质检)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√32,且经过点(-1,√32). (1)求椭圆C 的方程;
(2)过点(√3,0)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A,B,试问在x 轴上是否存在定点Q,使得直线QA 与直线QB 恰好关于x 轴对称?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 解析(1)由题意可得c a =√32,1a 2+
34b 2=1, 又a 2-b 2=c 2,所以a 2=4,b 2=1.
所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.
(2)存在定点Q (4√33,0),满足直线QA 与直线QB 恰好关于x 轴对称.当直线l 的斜率存在时,
设直线l 的方程为x+my-√3=0,与椭圆C 的方程联立得{x +my -√3=0,x 24
+y 2=1, 整理得,(4+m 2)y 2-2√3my-1=0.
设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),定点Q(t,0)(依题意知t ≠x 1,t ≠x 2).
由根与系数的关系可得,y 1+y 2=2√3m 4+m 2,y 1y 2=-14+m 2.
直线QA 与直线QB 恰好关于x 轴对称,则直线QA 与直线QB 的斜率互为相反数,
所以y 1x 1-t +y
2x 2-t =0,即y 1(x 2-t)+y 2(x 1-t)=0. 又x 1+my 1-√3=0,x 2+my 2-√3=0,
所以y 1(√3-my 2-t)+y 2(√3-my 1-t)=0,
整理得(√3-t)(y 1+y 2)-2my 1y 2=0,
从而可得(√3-t)·2√3m 4+m 2-2m ·-14+m 2=0,即2m(4-√3t)=0,所以当t=
4√33,即Q (4√33,0)时,直线QA 与直线QB 恰好关于x 轴对称.特别地,当直线l 为x 轴时,Q (4√33
,0)也符合题意.
,0),符合题意,综上所述,在x轴上存在定当直线的斜率不存在,即直线l垂直于x轴时,Q(4√3
3
,0),使得直线QA与直线QB恰好关于x轴对称.
点Q(4√3
3。