证明期望效用小于期望值的效用

求证：对于风险规避型效用函数()u x ，有期望效用(())E u x 小于期望值的效用(())u E x 。 证明：根据风险规避型效用函数的定义，可知()u x 满足：'()0u x >，''()0u x <，其图像描述为下图。显然，从该效用函数的图像容易得出，在该效用函数曲线上任取两点11(,())A x u x 和22(,())B x u x ，则连接该两点得到的线段AB 在弧线AB 之下。

假设财富值为随机变量X ，取值为1x 的概率为1p ，取值为2x 的概率为2p ，211p p =-。则财富值的期望值为1122p x p x +，该期望值带来的效用为C 点纵坐标：1122()u p x p x +。 从C 点做出垂直于横轴的直线，与线段AB 的交点设为D 点，其横坐标与C 相同，为1122p x p x +，而其纵坐标可以由直线AB 与直线CD 交点得出。根据直线的两点式方程，可以得出直线AB 的方程以及D 点的纵坐标，为1122()()p u x p u x +，即为VNM 期望效用。 因为D 点在C 点下方，所以其纵坐标1122()()p u x p u x +小于C 点纵坐标1122()u p x p x +，即对于风险规避型效用函数，满足期望效用(())E u x 小于期望值的效用(())u E x 。

1))

2))

21122,())

x u p x p x +221122,()())

x p u x p u x +