《余弦函数的图像与性质再认识》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】

《余弦函数的图象与性质再认识》教案
1．用描点法画出y=cos x的图象，进一步理解余弦函数的性质；
2．利用余弦函数的图象再认识其性质（定义域、周期性、单调性、最值、值域、奇偶性、图象与x轴的交点等性质）；
3．通过对余弦函数图象研究的过程，深化对一般函数研究方法的再认识，通过从单位圆和图象两个不同的角度去观察和认识三角函数的变化规律，提高学生直观想象素养．
重点：利用描点法画出余弦函数图象，通过图象对函数的性质再认识．
难点：能通过诱导公式cos x=sin(x
+π
2
)法画y=cos x的图象．
一、新课导入
我们已经学习过了正弦函数，余弦函数的概念，并借助单位圆学习了三角函数的基本性质，上一节课我们又学习了正弦函数y=sin x的图象和性质，那么余弦函数y=cos x的图象是怎样的呢？
二、新知探究
问题1：我们怎样画出余弦函数y=cos x的图象呢?
答案：由于余弦函数y=cos x是以2π为周期，我们只需要画出区间[0，2π]内余弦函数的图象，再利用周期性将其延拓到整个定义域上．
在区间上[0，2π]取一系列x的值（x的值取得越多，图象越精确，曲线越光滑），例如
0，π
6，π
3
，π
2
，⋯，2π，列表，描点做出图象：
x0 π
6π
3
π
2
2π
3
5π
6
π7π
6
4π
3
3π
2
5π
3
11π
6
2π
cos x 1 √3
21
2
0 −√3
2
−
1
2
−1
−
√3
2
−
1
2
01
2
√3
2
1
◆教学目标
◆教学重难点◆
◆教学过程
由周期性，函数y =cos x 在区间[2kπ，2(k +1)π]，k ∈Z ，k ≠0上与在区间[0，2π]上的函数图象形状完全相同，将函数y =cos x ，x ∈[0，2π]的图象向左、右平移（每次平移2π个单位长度），就可以得到正弦函数y =cos x ，x ∈R 的图象（如图）．余弦函数的图象叫做余弦曲线．
问题2：观察y =cos x 的图象，你认为哪些点起着关键性作用，理由是什么？ 答案：(0，1)， (π
2
，0) ， (π，−1)， (3π
2
，0)， (2π，1)这五个点起关键性作用．
它们分别表示了余弦曲线与x 轴的交点(π2，0)和 (3π
2，0)余弦函数取得最大值的点(0，1)和(2π，1)，取得最小值的点(π，−1) ．
根据余弦曲线的基本性质，描出这五个关键点后，函数y =cos x ，x ∈[0，2π]的图象形状就基本确定了．
在精度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到余弦函数的简图．这种作余弦曲线的方法称为“五点（画图）法”．
问题3：除了描点作图，我们还可以用其他方法画出y =cos x 的图象吗？
答案：由诱导公式cos x =sin (x +π
2)可知，余弦函数y =cos x 图象可以通过正弦曲线
y =sin x 向左平移π
2个单位长度得到．
问题4：观察余弦函数图象，我们可以得余弦函数y =cos x 的哪些性质，并将看到的性质列表总结出来．
答案：与正弦函数相同，我们可以根据余弦曲线得到余弦函数性质并总结如下：
函数
y=cos x
三、应用举例
例1画出函数y =cos (x −π)在一个周期上的函数图象． 解：按五个关键点列表
于是得到y =cos (x −π)在区间[π，3π]上的五个关键点为： （π，1），（3π
2
，0）（2π，−1），（5π
2
，0），（3π，1）
描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出y =cos (x −π)在一个周期上的图象
同样的，我们也可以根据诱导公式y=cos (x −π)−cos x ，画出y=−cos x 的图象． 例2 画出y=cos x −1在一个周期上的图象，并根据图象讨论函数的性质． 分析：利用[0，2π]内五个关键点确定y=cos x −1的图象． 解：函数y=cos x 的最小正周期是2π，按五个关键点列表
性质
定义域 R 值域 [-1，1]
周期性 是周期函数，周期为2k π(k ∈Z )，最小正周期为2π
最值
当x =2kπ，k ∈Z 时，取得最大值1 当x =(2k +1)π，k ∈Z 时，取得最小值-1
单调性
增区间 [(2k −1)π，2kπ]，k ∈Z 减区间
[2kπ，(2k +1)π]，k ∈Z
奇偶性 偶函数
对称性
对称轴为x =kπ，k ∈Z
对称中心为点(π
2+kπ，0)，k ∈Z
于是得到函数y=cos x −1在区间[0，2π]上的五个关键点为： （0，0），（π
2
，−1）（π，−2），（3π
2
，−1），（2π，0）
描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出y=cos x −1在[0，2π]上的图象如图：
由函数y=cos x −1的图象得到它的主要性质如下表：
设计意图：通过例题，重视利用“五点法”画函数y=cos x −1图象以及利用函数图象研究函数性质的方法，为后续学习积累经验．
四、课堂练习
1．函数y =cos x 的图象的一条对称轴方程可以是( )． A ．x =−π
6 B ．x =π
6
C ．x =−π
2 D ．x =π
2．利用五点法画出函数y =2+cos x 和y =3cos x 在区间[0，2π]上的图象．
3．利用函数y =cos x 的图象，求满足不等式cos x
≤√2
2
的x 的取值范围．
参考答案：
1．解析：函数y =cos x 图象的对称轴方程为x =kπ，k ∈Z ，当k =1时，x =π， 故选D ．
2．解析：按五个关键点列表
于是得到函数y=2+cos x 在区间[0，2π]上的五个关键点为： （0，3），（π
2，2）（π，0），（3π
2，2），（2π，3） 函数y=3cos x 在区间[0，2π]上的五个关键点为： （0，3），（π
2
，0）（π，−3），（3π
2
，0），（2π，3）
描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y =2+cos x 和y =33cos x 在[0，2π]上的图象如图：
３．解析：画出函数y =cos x 在区间[0，2π]上的图象，如图所示： 结合图象，得出不等式cos x ≤√2
2
的x 的取值范围是：
{x|2kπ+π
4≤x ≤2kπ+3π4
，k ∈Z}．
五、课堂小结 1.五点作图法：
x
0 π2
π 3π2
2π y=cos x 1 0 −1 0 1 y=2+cos x 3 2 0 2 3 y =3cos x
3
−3
3
根据余弦曲线的基本性质，描出(0，1)， (π2
，0) ， (π，-1)， (3π
2
，0)， (2π，1)这五
个关键点后，函数y =cos x ，x ∈[0，2π]的图象形状就基本确定了．在精度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图．这种作余弦曲线的方法称为“五点（画图）法”．此外，我们还可以通过诱导公式作出余弦函数的图象.
2.余弦函数的性质：
函数 y=cos x 性质
定义域 R 值域 [-1，1]
周期性 是周期函数，周期为2k π(k ∈Z )，最小正周期为2π
最值
当x =2kπ，k ∈Z 时，取得最大值1
当x =2kπ−π，k ∈Z 时，取得最小值-1
单调性
增区间 [(2k −1)π，2kπ]，k ∈Z
减区间
[2kπ，(2k +1)π]，k ∈Z
奇偶性
偶函数
对称性
对称轴为x =kπ，k ∈Z
对称中心为点(π
2+kπ，0)，k ∈Z
六、布置作业
教材第37页练习第2，3，4，5题．。