第六章 二次型1
线性代数 第六章二次型
第六章 二次型1、二次型基本概念1º二次型：n 个变量n x x ,,1 的二次齐次多项式n n n x x a x x a x a x x f 11211221111),,(+++=n n x x a x x a 222112++++…+211n nn n n x a x x a ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x x 21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 ∴A A Axx x f T T ==且)( 例如：3221232221453x x x x x x x f -+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=52102132022A 结论：二次型与对称矩阵一一对应，称对称矩阵的秩为对应二次型的秩. 2º标准二次型：22111),(n n n y d y d y y f ++=3º规范二次型：2212211)(q P P p q p z z z z z z f +++-+=++4º秩与惯性指数惯性指数：在标准型或规范型中，正平方项的个数称为正惯性；负平方项的个数称为负惯性指数，且正负惯性指数之和为二次型的秩，正负惯性指数之差称为符号差。
化标准形式规范型：①配方；②合同变换二次型的矩阵的秩，正负惯性指数等相关题目思路：1）Ax x x x x f T n =),,(21 将，则秩f =秩A2）将),,(21n x x x f 用合同变换式配方法化为标准型221121),,(n n n y d y d x x x f ++= 负项的个数＝负惯性指数，秩f ＝平方项个数或化为规范型2221v p z z z f --++= 将 秩v f =正惯性指数为P ，负惯性指数为P v -例1. 1）二次型323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是 ，二次型的秩为 3 .2）实二次型2322213213),,(x x x x x x f +-=的秩为 ，正、负惯性指数分别为 例2.设)1()()()()(),,(212222121>++-+++=n x x nx nx nx x x x f n n n则f 的正负惯性指数之和为解：n n n x x x x x n x n f 1212221222)1()1(-----++-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=11111111111111122222222n n n n n n n n n n n A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→22220000111111111111n n n n2、将二次型化为标准形式已知标准形来求参数标准化方法1º配方法原理：配完全平方情形1：有平方项21⨯n a步骤：对所有含1x 的项配方，使得配方后余下的项不含1x ，如此继续，直至每一项均包含在平方项中。
二次型
例 6.2 二次型 f (x1, x2 , x3) = (x1 + x2 )2 + (x2 − x3)2 + (x3 + x1)2 ，求该二次型的秩。 【解答】
令 y1 = x1 + x2 ， y2 = x2 − x3 ， x3 = y3 ，则 x1 + x3 = y1 − y2 ，
f
( x1 ,
x2 ,
这样得到的矩阵记为 A1。 ② 如果 A1的第 2 列为零，这步跳过。
如果 A 的第 2 列非零。 (a) 如果 A 的第 2 列主对角元非零，则用初等行变换将主对角元以下元素全消为 零，做对应的初等列变换，将主对角元右边的元素全消为零。 (b) 如果 A 的第 2 列主对角元为零，在该列中寻找一个非零分量，例如，第 i 个， 将第 i 行加到第 2 行，将第 i 列加到第 2 列。(当然，也可以第 2 行减第 i 行，第 2 列 减第 i 列) 再用(a)中的步骤消元。 ③ 和前面一样的办法，一直做下去，直到得到对角阵为止。
只含平方项的二次型
f (x) = λ1x12 + λ2 x22 +" + λn xn2 称为标准二次型，简称标准形，其正平方项的个数称为正惯性指数，负平方项的 个数称为负惯性指数。正负惯性指数之和等于该二次型的秩。
特别地，若平方项的系数只有1, −1, 0 ，称这样的为规范形。
(2) 化二次型为其标准形 任何一个二次型都可以通过合同变换化为标准形。化二次型为标准形的方法
至于用于合同变换的矩阵 P ，也是简单易求的：将 A, E 写成分块矩阵的形
式：( A, E) ，对左边一块进行初等行变换时，对右边的也一起进行，对左边进行
88
第六章 二次型
定义2：设A,B为n阶方阵，若存在可逆方阵C，使得
CTAC=B 则称方阵A与方阵B合同，记做A∽B
合同矩阵必相似，但相似不一定合同。
性质： （1）反身性：A∽A
（Hale Waihona Puke ）对称性：若A∽B,则B∽A（3）传递性：若A∽B，B∽C,则若A∽C
8
定理1： 若A与B合同且A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，且R(A)=R(B).
2 2 2 那么上式就变为f d 1 y1 d 2 y2 ... d n yn
上面的问题就转化为：
求一个正交矩阵 , 使得Q T AQ ,即 Q 将f ( x ) X T AX标准化 求正交矩阵Q将实对称矩阵 对角化 A
7
由前章的内容知，任意实对称矩阵A,一定存在正交矩阵Q，使 QTAQ=，因而实二次型f (x)=XTAX一定可以化为标准型。
例1：将二次型写成矩阵形式
2 2 2 f ( x) 2 x1 3 x2 x3 4 x1 x2 10x2 x3
通常，称二次型
2 2 2 f x1 , x 2 ,... x n d 1 x1 d 2 x 2 ... d n x n
d1 X T X (
4
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( x1 , x 2 ,..., x n ) .......... .......... .......... .. a x a x ... a x n2 2 nn n n1 1 a11 a12 ... a1n x1 a 21 a 22 ... a 2 n x 2 x1 , x 2 ,..., x n ... ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn x n 令 a11 a 21 A ... a n1 则 a12 a 22 ... an2 ... a1n x1 ... a 2 n x2 , x ... ... ... x ... a nn n
二次型
第六章 二次型§1. 二次型的定义二次型就是一个二次齐次多项式，其来源是平面解析几何中的有心二次曲线和空间解析几何中的二次曲面。
一个系数取自数域F 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式：=),,,(21n x x x f n n x x a x x a x x a x a 11311321122111222++++n n x x a x x a x x a x a 22422432232222222+++++ 2n nn x a ++称为数域F 上的一个n 元二次型，简称二次型。
令ji ij a a =，则上述二次型可以写成对称的形式： =),,,(21n x x x f ∑∑==n i nj j i ijx x a11把上式的系数排成一个n 阶方阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a aa a a A 212222111211称这矩阵为二次型),,,(21n x x x f 的矩阵。
由于ji ij a a =，所以矩阵A 是对称矩阵，因此二次型的矩阵都是对称的。
由此二次型可以写成矩阵的形式： AX X x x x f T n =),,,(21 式中()Tn x x x X ,,,21 =。
定理1：若A 、B 为n 阶对称方阵，且AX X T BX X T =，则A=B 。
这定理说明二次型和它的矩阵是相互唯一确定的。
例1：设23322221213214422),,(x x x x x x x x x x f ++++=，则它的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=420221011A例2：设323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=，则它的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011102120A例3：设二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=031331111A ，则对应的二次型为：32223121213216322),,(x x x x x x x x x x x f --+-= 和在几何中一样，在处理许多其它问题时也经常希望通过变量的线性替换来简化有关的二次型。
第六章二次型
第六章-二次型————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ第六章 二次型二次型就是二次齐次多项式,它的研究起源于解析几何中化二次曲线与二次曲面方程为标准形式的问题。
不仅在几何中,而且在数学的其它分支及物理、力学和网络计算中也常会碰到二次型问题。
在本章中,我们将利用矩阵工具讨论二次型的化简、惯性定理及正定二次型等基本理论。
§1 二次型定义１ n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式nn n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121222),,,(++++=+nn x x a x x a x a 223223222222++++…+)1.1(2nnn x a称为一个ｎ元二次型, 简称二次型。
当所有系数ij a 为复数时,f 称为复二次型;当ij a 都为实数时, f 称为实二次型。
本章中只讨论实二次型。
取ji a ＝ij a (n j i j i ,,2,1,, =<）则有i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2从而(1.1）式可写成∑==nj i j i ijn x x ax x x f 1,21),,,(＝n n x x a x x a x a 1121122111+++ n n x x a x a x x a 2222221221++++ ＋ (2)2211n nn n n n n x a x x a x x a ++++=)(12121111n n x a x a x a x +++ )(22221212n n x a x a x a x +++++…)(2211n nn n n n x a x a x a x ++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x22112222121121211121),,,( ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2121222211121121),,,( 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n n n n x x x X a a a a a a a a a A21212222111211则用矩阵将二次型(1．1)可写成AX X x x x f n '=),,,(21 (1.２) 其中n n ij a A ⨯=)(为实对称矩阵,它的主对角线元素ii a 是二次型),,,(21n x x x f 中平方项2i x 的系数, 其余元素)(j i a a jiij ≠= 正是f 中交叉项j i x x 系数的一半。
第六章 二次型
a12 = a21 1 ∴ A = 2 0
= 2, a13 = a 31 = 0 , a 23 = a 32 = −3. 2 0 2 − 3 . − 3 − 3
1 2 0 x1 f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 , x2 , x3 ) 2 2 −3 x2 = X T AX 0 −3 −3 x 3
称 x1, x2,⋯ xn的 个 二 型 为 , 一 n元 次
实 次 ： 数 ij为 数 二 型 简 二 型 二 型 系 a 实 的 次 ， 称 次
2 2 例：f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + 4 x2 + 5 x3 − 4 x1 x3 是二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3
第六章
二次型
第一节 二次型的概念 第二节 化二次型为标准型 第三节 第四节 惯性律、 惯性律、二次型的规范形 二次型的正定性
第一节 二次型的概念
定 6.1 义 n元 次 二 型
含 个 量 1, x2,⋯ xn的 次 次 项 n 变 x , 二 齐 多 式
2 f (x1, x2,⋯ xn ) = a11x1 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 +⋯+ 2a1nx1xn , 2 + a22x2 + 2a23x2x3 +⋯+ 2a2nx2xn 2 +⋯+ 2annxn
是二次型
令 aij = aji
(i < j)
2 a x1 + a12x1x2 +⋯+ a nx1xn 11 1 2 + a21x2x1 + a22x2 +⋯+ a2nx2xn
北京工业大学《线性代数》课件-第六章 二次型
定义：如果对称矩阵A合同于一个对角阵，则
称这个对角阵是A的合同标准形． 问题：由定理可知，将一个二次型化为标准 形，关键是要找到可逆替换，如何找?
3
二．化二次型为标准形的方法 1．配方法 ⑴ 二次型 含有变量的平方项 例1 用配方法化二次型 (P193---例6.5.1)
为实二次型. 如：
f ( x1, x2 ) x12 2x1 x2 3x22 是二元实二次型．
f ( x1 , x2 , x3 ) ix12 2 x22 3 x1 x2 7 x2 x3
是三元复二次型．
f ( x, y) x 2 xy 3 y2 5x 1 不是二次型．
4
二.二次型的矩阵形表示
( x1 x2 x3 )2 ( x2 2 x3 )2 5 x32.
5
令
y1 y2 y3
x1
x2 x2 2
x3 x3 x3
,
则有 f y12 y22 5 y32 ,
所作的可逆替换是
x1 x2 x3
1 0 0
1 1 0
1 1
2 1
y1 y2 y3
即
x1 x2
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形，并求出可逆线性替换．
4
解：用配方法把变量x1, x2, x3 逐个配成完全平方 的形式：
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
,
X
x1 x2 xn
,
5
则二次型可以写成：
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX ⑵
线性代数第6章二次型
3 2 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 4 1 25
> > A:=matrix([[1,-1,1],[-1,-3,-3],[1,3,4]]);C:=matrix([[1,1/2,-3/2],[0,1/2,1/2],[0,0,1]]);CTAC:=multiply(transpose(C),A, C);
1 1 2 3 2 1 1 2 0 0 1 1 1 1 1 0 1 3 3 0 2 2 1 3 4 1 0 0 0 2
1 2 1 2 0
3 2 1 2 1
1 0 0 0 0 1 0 0 B. 3
20
§2 化二次型为标准形
一 、用配方法化任意二次型为标准形 二、用正交替换化实系数二次型为标准形
21
一 、用配方法化任意二次型为标准形 2 2 p p 配方法 2 x px q x q . 2 4
2 1 2 2 2 3
则得 f y y 4 y . 反解
x3 y3 , x2 (1/ 2) y2 (1/ 2) y3 , x1 y1 x2 x3 y1 (1/ 2) y2 (1/ 2) y3 y3 y1 (1/ 2) y2 (3 / 2) y3 .
2 n 2 n1
2an1n xn1 xn
5
把二次型写成矩阵形式
a1n x1 a11 a12 a a a x 21 22 2 n 2 f ( x1 , , xn ) ( x1 , , xn ) . ann xn a n1 a n 2 an x1 a11 a12 x a a a 2 21 2 2n X ,A , ann xn a n1 a 2 T f ( X ) X AX . A称为二次型的矩阵.二次型和其矩阵一一对应 6 矩阵A的秩称为二次型的秩.
线性代数教学课件第六章二次型第一节二次型及其矩阵
a1n
a2n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
则上述二次型可以用矩阵形式表示为
f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax ,
A称为二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵.
8
f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax ,
A称为二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵.
x2
,(Cy,)xT nA)(
xT Ax
Cy ) yT
，得 ( C T AC
)y
yT By
,
其中 B C T AC . 由于 A 是实对称阵，则 B CT AC 也是实对称阵，
于是 yT By 是一个以 y1 , y2 ,, yn 为变量的实二次型.
由于C是可逆矩阵，所以A和B秩相等,从而两个
(1)求二次型的矩阵A以及A秩;
(2)设二次型 g( x1, x2 ) f ( x1, x2 ,0,0), 求二次型 g的矩阵B.
解 (1)
1 2 1 0
2
A
2 1
2 0
0 0 3
0 3 .
2
0
0 0
10
1 2 1 0 1 2 1 0
2
2
A
2 1
2 0
0 0 3
0 2 0
B
1 2
2 0
.
问：矩阵B 与矩阵A 有什么关系？
12
二、 关系式
（线性替
换）定 义
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x2c21y1 c22 y2 c2n yn
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn xn
第六章 二次型
第六章 二次型·矩阵的合同§1 二次型和它的标准形二次型是二次曲线和二次曲面概念的推广。
如22341x xy y -+= 代表平面内的一条二次曲线；22244841x y z xy xz yz ++---= 代表三维空间内的一张二次曲面。
它们都有一个共同的特点: 就是除了常数项外，其余各 项的次数都是2，都是二次项。
一般地，将变元的个数从2个、3个推广到n 个就有1. 二次型的定义 系数在数域K 中取值的n 个变元12,,,n x x x 的一个二次齐次多项式，称为数域K 上的一个元二次型。
它的一般形式是2121111212131311(,,,)222n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++2222223232222.n n nn n a x a x x a x x a x ++++++ （1）2. 二次型的矩阵 （1）式可以写成如下形式 2121111212131311(,,,)n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++22121222232322n n a x x a x a x x a x x ++++++2112233n n n n n n nn n a x x a x x a x x a x +++++11nnij i j i j a x x ===∑∑，（2）其中 ,1,.ji ij a a i j n =≤≤把（2）式中的系数排成一个n 阶矩阵A （注意ji ij a a =）：1112112222122n n nsn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 称A 为二次型1211(,,,)nnn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的矩阵。
二次型的矩阵是一个对称矩阵，它由二次型唯一决定：它的主对角元依次是22212,,,n x x x 的系数；它的(,)i j 元素是i j x x 的系数的一半，其中i j ≠。
《线性代数》第六章二次型(1)
9
( 3) f ( x1 ,, xn ) x1 x2 x2 x3 xn1 xn
解：A 0 1 2 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0
f x1 , x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
都为二次型；
2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 4 x2 4 x3
为二次型的标准形。
4
取 aij a ji
则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
1 2 3 2
0 3 2 0
2 2 (2) f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x12 2 x2 7 x4 2 x1 x2 2 x2 x3 4 x3 x4
解：
1 1 A 0 0
1 2 1 0
0 1 0 2
0 0 2 7
则线性变换（2）可记作：
X CY
12
则称线性变换（2）是非退化线性变换 若C 是可逆矩阵，
若C 是正交矩阵， 则称线性变换（2）是正交线性变换
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换 使二次型只含平方项. 即二次型
f X T AX
i , j 1
a
n
ij
xi x j
经过可逆线性变换 X CY 使得
2 2 2 f k1 y1 k2 y2 kn yn
这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型
13
3. 矩阵的合同
第六章二次型
第六章二次型6.1二次型的概念及其标准型 6.1.1二次型的概念n n(1)含有n个变量X1,X2,…，X n的二次齐次多项式：f(X1,X2,…，X n )=2送a j X j X j，7 y其中a j =aji，则称为n元二次型.⑵二次型的矩阵形式为f(X1,X2,…，X n )=X T A X，其中X =(X1,X2,…,X n J , A是n阶实对称矩阵.⑶ 矩阵A的秩r(A称为二次型f的秩，记作r(f ).6.1.2二次型的标准形(1)标准形的概念如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项 XjXjU H j)的系数全为零，即:T 2 2 2f(X1,X2,…，X n )=x Ax^dx + d2X2 屮…+d n X n，其中 dj(i=O,1,…，n)为实数,则称这样的二次型为标准形.(2)标准形的惯性指数在标准形中，正平方项的个数P称为正惯性指数；负平方项的个数q称为负惯性指数.(3)二次型的标准形转化任意的n元二次型x T Ax都可以通过坐标变换X = Cy ( C 是可逆矩阵)化为标准形，即：X T Ax^=Cy(Cy T A(Cy )= y T(C T AC k = y T A y =4』1+d2y2 中…^皿.注：特别地，存在正交矩阵C，二次型x T Ax可以通过正交变换x=Cy化为标准形，即：X T A X —(Cy T A(Cy )= yTQ’AC k = y T A y =人％+入2y2 屮"+几Pn，其中2,…入为矩阵A的特征值.6.1.3惯性定理实二次型的标准形中，非零平方项的个数是唯一确定的，它等于这个二次型矩阵 的秩；正平方项的个数（正惯性指数）或负平方项的个数（正惯性指数）也是唯一确 定的，即：实二次型的标准形的正负惯性指数与所选取的坐标变换无关 . 【例6.1】寻找适合的旋转变换，将椭圆5洛2-4x 4X 2 +5X 22 =48化为标准形式■解：根据题意有二次型矩阵为A =[: ：2 由于"E -A 卜y ；5 、2J=（几-3皿—7）=0，所以特征值为几1=3，心=7,2 A — 5 I所以得到特征向量为 旳=（1,1T ,单位化为必得到标准形为3y^ + 7y^ =48.2 2【例 6.2 】化二次型 f (x 1,x 2,X 3 )=2x 1 +x 2 -472 -4X 2X 3 为标准形. 解：方法1:正交变换法A 的特征值入 1 =4，S =1，為=-2，相应的单位特征向量为口1二丄心-?」『,3“知如宀中2,2）】对于几=3，由 |3E _Ax=0，|3E -A =|r-2 I 22 1~「-2 I = I -2」〔0 21 0」，对于入=7，由7E — A X = 0，7E - A J 2 口 [2 2 2」[0口 2 21，■ 0」，所以得到特征向量为。
二次型
形如 f=d1y12+d2y22+…+dryr2 (r≤n) 的二次型称为标准形 标准形。 的二次型称为标准形。 若对n阶方阵 和 ，存在可逆阵P, 若对 阶方阵A和B，存在可逆阵 阶方阵 合同。 使 PTAP=B，则称 与B合同。 ，则称A与 合同 定理1 合同矩阵秩相等。 定理 合同矩阵秩相等。
则
f = u12+…+ up2- up+12-…- ur2
称其为f的规范形，是唯一的。 称其为 的规范形，是唯一的。
二次型§ 惯性定理（ 第六章 二次型§3 惯性定理（续1） ）
元实二次型 定义 设f=XTAX 为n元实二次型 ，若对 元实 任意n维非零列向量 维非零列向量X，均有X 任意 维非零列向量 ，均有 TAX>0,则称 则称 f=XTAX为正定二次型，A为正定矩阵。 为正定二次型， 为正定矩阵。 定理4 阶实对称矩阵， 定理 设A为n阶实对称矩阵，则下列 为 阶实对称矩阵 命题等价： 命题等价： ①f=XTAX正定； 正定； 正定 的正惯性指数为n ② f=XTAX 的正惯性指数为 ； 存在可逆阵P, ③存在可逆阵 使A=PTP; 个特征值全大于0。 ④A的n个特征值全大于 。 的 个特征值全大于
第六章 二次型 §2 化二次型为标准形
定理2 定理 对n元二次型 f=XTAX，存在正交变换 元 ，存在正交变换X=QY, 化为标准形 使f化为标准形。 化为标准形。 证明： 为实对称阵 为实对称阵， 存在正交 正交阵 使 证明：A为实对称阵，∴存在正交阵Q,使 Q-1AQ= Λ ，即QTAQ= Λ ， 0 λ1 Λ= ... 0 λn 令X=QY，则 f=XTAX=YTQTAQY=YT ΛY ， = λ 1y12+ λ 2y22+…+ λ nyn2 为标准形。 的特征值) 为标准形。(λi为A的特征值 的特征值 推论：对实二次型 推论：对实二次型 f=XTAX，存在可逆线性变换 ，存在可逆线性变换X=PY, 化为标准形 使f化为标准形 1y12+d2y22+…+ dnyn2 化为标准形:d (di未必是 的特征值 未必是A的特征值 的特征值)
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于是正交变换为:
x1 1 x2 1 x3 1 x4 1
2 1 2 1 2 2
2 2 0 1 0 1
y1 0 1 2 y 0 1 2 2 2 1 2 y 3 2 1 2 y 4
从而得A的特征值: 1=–3, 2=3=4=1. 当1=–3时, 解方程组(A+3E)x=0, 得基础解系:
1 1 1 1 1 1 1, 单位化即得 p1 1. 2 1 1 当2=3=4=1时, 解方程组(A–E)x=0, 可得正交的 基础解系: 1 0 1 1 0 1 2 0 , 3 1 , 2 1 , 0 1 1 单位化即得: 1 2 1 2 0 1 2 0 p2 1 2 , p3 1 2 , p4 1 2 . 0 1 2 1 2 0
2. 求A的特征值. 17 2 2 | A E | 2 14 4 = (–18)2 (–9) 2 4 14 从而得A的特征值: 1=9, 2=3=18. 3. 求特征向量. 将1=9代入(A–E)x=0得基础解系: 1=(1, 2, 2)T. 将2=3=18代入(A–E)x=0得基础解系: 2=(–2, 1, 0)T, 3=(–2, 0, 1)T.
取aji = aij , 则 2aij xi xj = aij xi xj + aji xjxi , 于是 f(x1, x2, · · · , xn)=a11x12+a12x1x2 +· · · +a1nx1xn +a21x2x2 + a22x22+· · · +a2nx2xn +· · ·· · · +an1xnx1+an2xnx2+ · · · +ann xn2
1 1 1 1 1 , | A E | ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 把二, 三, 四行分别减去第一行, 有 1 1 1 1 2 | A E | ( 1) 0 1 2 0 2 1 2 0 0 0 1 1 2 2 ( 1) 2 1 2 3 2 ( 1) ( 2 3) ( 3) ( 1) .
例3: 求一个正交变换x=Py, 把二次型 f =2x1x2+2x1x3–2x1x4–2x2x3+2x2x4+2x3x4 化为标准形. 解: 二次型的矩阵为 0 1 1 1 1 0 1 1 A , 1 1 0 1 1 1 1 0 A的特征多项式为 1 1 1 1 1 1 | A E | . 1 1 1 1 1 1 计算特征多项式: 把二, 三, 四列都加到第一列上, 有
a ij x i x j a ij x i x j .
i , j 1 j 1i 1
n
n n
2. 用矩阵表示 f(x1, x2, · · · , xn)=x1(a11x1+a12x2 +· · · +a1nxn) +x2(a21x2+a22x2+· · · +a2nxn) +· · · +xn(an1x1+an2x2+ · · · +ann xn)
1 3 p1 将其单位化得 q1 || p || 1 3 . 1 3 1 1 2 1 6 p2 p2 1 2 , q3 p3 1 6 , || p2 || 0 || p3 || 2 6 正交变换为: 1 1 1 3 2 6 x u 1 1 1 y v , w 3 2 6 z 1 2 0 3 6 f = 9u2 +4v2. 化二次型为 可知 f (x, y, z) = 36 为椭圆柱面方程.
一、二次型及其标准形的概念
§6.1 二次型及其标准形 5.5
定义: 含有n个变量x1, x2, · · · , xn的二次齐次函数 f(x1, x2, · · · , xn) = a11x12+a22x22+· · · +annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+· · · +2an-1,nxn-1xn 称为二次型. 当aij 是复数时, 称 f 为复二次型. 当aij 是实数时, 称 f 为实二次型. 只含有平方项的二次型 f(x1, x2, · · · , xn) = k1y12+k2y22+· · · +knyn2 称为二次型的标准形(或法式). 例如: f(x1, x2, · · · , xn) = 2x12+4x22+5x32–4x1x2; f(x1, x2, · · · , xn) = x1x2+x1x3+x2x3 都为二次型.
思考题:
求一正交变换, 将二次型 f(x, y, z)=5x2+5y2+3z2–2xy+6xz–6yz 化为标准型, 并指出f (x, y, z)=36表示何种二次曲面.
思考题解答
5 1 3 二次型的矩阵为: A 1 5 3 , 3 3 3 求得特征多项式为: | A–E | = –(4–)(9–). 于是A的特征值为: 1 = 9, 2 = 4, 3 = 0. 对应特征向量为: 1 1 1 1 , p2 1 , p3 1 . p1 1 0 2
解:由 f =x12+2x22–3x32+4 x1x2–6x2x3, 得 a11=1, a22=2, a33=–3, a12=a21=2, a13=a31=0, a23=a32=–3. 0 1 2 所以 A 2 2 3 . 0 3 3
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 将二次型表示成矩阵形式 f = xTAx, 求出A; 2. 求出A的所有特征值1, 2, · · · , n ; 3. 求出对应特征值i 的正交单位化的特征向量组, 从而有正交规范向量组 1, 2, · · · , n ; 4. 记P=(1, 2, · · · , n ), 作正交变换x=Py, 则得 f 的 标准形: f = 1y12+2y22+· · · +nyn2 . 例2: 将二次型 f =17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8x2x3 通过正交变换x=Py化成标准形. 解: 1. 写出对应的二次型矩阵. 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14
若记
a11 a12 a A 21 a 22 a n1 a n 2
a1 n a 2 n , a nn
x1 x x 2 , xn
则二次型可记作 f = xTAx, 其中A为对称矩阵.
三、二次型的矩阵-2.5 0 2.5 5
2
-2.5 -5
0 -2
0 -2 -4 2 0 2 4
-2
在o-xyz坐标系中的图形
在o-uvw坐标系中的图形
§5.6 配方法化二次型为标准形
5.6 一、拉格朗日配方法的具体步骤
用正交变换化二次型为标准形, 其特点是保持几 何形状不变. 问题: 有没有其它方法, 也可以把二次型化为标准 形? 问题的回答是肯定的. 下面介绍一种行之有效的 方法——拉格朗日配方法. 拉格朗日配方法的步骤 1. 若二次型含有xi 的平方项, 则先把含有xi的乘积 项集中, 然后配方, 再对其余的变量同样进行, 直到都 配成平方项为止, 经过非退化线性变换, 就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项, 但是aij0 ( i j ), 则 先作可逆线性变换:
在二次型的矩阵表示中, 任给一个二次型, 就唯一 地确定一个对称矩阵; 反之, 任给一个对称矩阵, 也可 唯一地确定一个二次型. 这样, 二次型与对称矩阵之间 存在一一对应的关系． 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵, f 叫做对称矩阵 A的二次型, 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩. 例1: 写出二次型 f =x12+2x22–3x32+4 x1x2–6x2x3 的矩阵.
f(x1, x2, · · · , xn)=x12+4x22+4x32 为二次型的标准形.
二、二次型的表示方法
1. 用和号表示 对二次型 f(x1, x2, · · · , xn)=a11x12+a22x22+· · · +annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+· · · +2an-1 nxn-1xn
a11 x1 a12 x 2 a1n x n a x a x 22 2 2n n ( x1 , x 2 ,, x n ) a 21 x1 a x a x a n1 x1 n2 2 nn n a11 a12 a1n x1 a a a 2n x2 x1 , x 2 ,, x n 21 22 a x a a n1 n 2 nn n
将特征向量正交规范化: [ 2 , 3 ] 2, 取 1 = 1, 2 = 2, 3 3 [ 2 , 2 ] 得正交向量组 1 =(1/2, 1, 1)T, 2 =(–2, 1, 0)T, 2 =(–2/5, –4/5, 1)T.
i i 1, 2, 3, 将正交向量组单位化, 令 i || i || 2 5 2 45 1 3 得 1 2 3 , 2 1 5 , 3 4 45 . 0 5 45 2 3 4. 作正交变换 1 3 2 5 2 45 令 P (1 , 2 , 3 ) 2 3 1 5 4 45 . 2 3 0 5 45 于是所求正交变换为: 1 3 2 5 2 45 y1 x1 x 2 3 1 5 4 45 y , 2 2 y 2 3 0 5 45 x3 3 f = 9y12 + 18y22 +18y32 . 且有