高考一轮数列复习教案

第一节数列的概念与简单表示法基础知识梳理：

1. 数列的定义、分类与通项公式

⑴数列的定义：

①数列：按照___________ 排列的一列数.

②数列的项：数列中的________________ .

(2)数列的分类：

⑶数列的通项公式：如果数列｛a n｝的第n项与____ 之间的关系可以用一个式子来表示，

那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

2. 数列的递推公式：如果已知数列｛a n｝的首项(或前几项),且任一项a n与它的前一项a n-

I(n > 2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式.

1•数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.

2•易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.

［试一试］

1. ________________________________________________________________ 已知数列｛a n｝的前4项为1,3,7,15,写出数列｛a n｝的一个通项公式为 _______________ .

2 3n-1n为偶数，

2. 已知数列｛a n｝的通项公式是a n = 八灯

则*4 a3= .

2n —5n为奇数，

1. 辨明数列与函数的关系：数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.

［练一练］

1若数列｛a n ｝的前n 项和S = n 2— 10n(n = 1,2,3,…)则此数列的通项公式为a n

2. _______________________________________________________________ 已知数列｛a n ｝的通项公式为a n = pn + q ，且&= 2，*4=孑，则a 8= _____________________ .

1. 下列公式可作为数列｛a n ｝ ： 1,2,1,2,1,2…的通项公式的是( )

—1n + 1

. n n — 1n —1+ 3 A . a n = 1 B . a n = 2 C . a n = 2— si ng D . a n = 2

2. 根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：

1 1 1 1

⑴4,6,8,10 …；⑵—1X 2，2X 3，— 3X 4，4X 5，…;

(3)a , b ，a ，b ，a ，b ,…(其中 a ，b 为实数)；(4)9,99,999,9 999,….

［类题通法］ 用观察法求数列的通项公式的技巧

(1) 根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与

n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公 式来求.对于正负符号变化，可用(一1)n 或(—1)n +

1来调整. (2) 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到 一般”的思想.

［典例］已知下面数列｛a n ｝的前n 项和S n ，求｛a n ｝的通项公式：

(1) S n = 2n 2— 3n ; (2)S n = 3n + b.

［类题通法］

已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：

(1)先利用a 1 = S 1求出a 1 ；

⑵用n — 1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n = S n — S n -〔(n 》2)便可求出当n 》2 时a n 的表达式；

⑶对n = 1时的结果进行检验，看是否符合 n >2时a n 的表达式，如果符合，贝U 可以把 数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分

n = 1与n 》2两段来写.

2.明确an 与S 的关系：a n =

S i n = 1, S n — S n -1 n 》2.

2 1.数列1，3, 3

5,

4

7,

5

9,…的一个通项公式a n是(

A.2n+B£ D n

D.2 n+ 3

2.数列｛a n｝的前n项积为n2,那么当

A. 2n—1

B. n2n > 2 时，a n=(

n+ 12

C.n+"

［针对训练］已知各项均为正数的数列｛a n｝的前n项和满足S n>1 ,且6S n= (a n+ 1)(a n+

2), n € N*，求｛a n｝的通项公式.

角度一形如a n+1 = a n f(n)，求a n

1. (2012大纲全国卷)已知数列｛a n｝中，a1= 1,前n项和S n= fpa n.

(1)求a2，a3 ；⑵求｛a n｝的通项公式. 角度二形如a n+1= a n+ f(n)，求a n

2. 已知a1 = 2，a n+1 = a n+ 3n + 2，求a n.

角度三形如a n+1 = Aa n + B(A M 0且A M 1)，求a n

3. 已知数列｛a n｝满足a1 = 1，a n+1= 3a n+ 2，求a n

［类题通法］

由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n+1 = a n + f(n)或a n+1 = f(n) a n，贝U可

以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三)转化为特殊数列求通项.

［课堂练通考点］