【2020年数学高考】北京师大附中2020届高三下学期第二次模拟考试 数学理
2020年6月北京市海淀区普通高中2020届高三下学期第二次高考模拟考试数学试题及答案解析
绝密★启用前北京市海淀区普通高中2020届高三毕业班下学期第二次高考模拟考试数学试题2020年6月一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）若全集U＝R，A＝{x|x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．B⊆∁U A D．∁U A⊆B2．（4分）下列函数中，值域为[0，+∞）且为偶函数的是（）A．y＝x2B．y＝|x﹣1|C．y＝cos x D．y＝lnx3．（4分）若抛物线y2＝12x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则|PF|等于（）A．4B．6C．8D．104．（4分）已知三条不同的直线l,m,n和两个不同的平面α,β,下列四个命题中正确的为（）A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若l∥m,m⊂α,则l∥αC．若l∥α,l∥β,则α∥βD．若l∥α,l⊥β,则α⊥β5．（4分）在△ABC中,若a＝7,b＝8,cos B＝,则∠A的大小为（）A．B．C．D．6．（4分）将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数g（x）的图象,则g（x）＝（）A．B．C．cos2x D．﹣cos2x7．（4分）某三棱锥的三视图如图所示,如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该三棱锥的体积为（）A．B．C．2D．48．（4分）对于非零向量,,“（+）•＝22”是“＝”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（4分）如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,点O为底面ABCD的中心,点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP,则△D1C1P面积的最大值为（）A．B．C．D．10．（4分）为了预防新型冠状病毒的传染,人员之间需要保持一米以上的安全距离．某公司会议室共有四行四列座椅,并且相邻两个座椅之间的距离超过一米,为了保证更加安全,公司规定在此会议室开会时,每一行、每一列均不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求,该会议室最多可容纳的就座人数为（）A．9B．10C．11D．12。
北京市首都师范大学附属中学2020届高三数学联考试题含解析
令 ，且 ，显然函数 在 上单调递减，
则 ,又因为 时， ，故 在 的值域为 ,
所以当 时，关于 的方程 在 没有实数根，即②错误；
对于③,先来判断充分性,当 时，可得 ，所以 ,即 ，所以 为等腰三角形,不能推出 为等边三角形，即充分性不成立；
再来判断必要性，当 为等边三角形时，可得 ，则 ,故 ,即必要性成立，故③不正确；
A。 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用指数不等式与一元二次不等式的解法化简集合 ，再利用集合交集的定义求解即可．
【详解】因为 ,
，
所以 ,
故选：B．
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且属于集合 的元素的集合.
又 ,将 代入 可得 ，解得 。
故双曲线 的离心率 。
故选：C
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义运用以及双曲线的离心率计算，需要根据题意根据抛物线的定义，确定两曲线交点的坐标，再代入双曲线求解。属于中档题。
10.函数 ，则方程 的实根个数不可能为( ）
A。 1个B。 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
8.若 (其中 ， ）的图象如图,为了得 的图象,则需将 的图象（ ）
A。 向右平移 个单位B。 向右平移 个单位
C。 向左平移 个单位D。 向左平移 个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知中函数 的图象，我们易分析出函数的周期、最值，进而求出函数 的解析式，利用三角函数图象的平移变换法则可得结果．
【解析】
【分析】
画出 图像，再数形结合分析 不可能的实根个数即可.
2020年北京市朝阳区高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
A. 〔-00, 0〕B. 〔-00, 1〕C. 〔1, +°°〕7. 在棱长为1的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E, F 分别为线段CD 和A I B I 上的动点,且满足 CE=A I F,那么四边形D I FBE 所 围成的图形〔如下图阴影局部〕分别在该正方体有公共顶 点的三个面上的正投影的面积之和〔〕D. (0, +°°)A.有最小值B.有最大值jC.为定值35 . 等差数列｛a n ｝首项为a 1,公差dwQ 那么“ a 〔,a 3, a 9成等比数列〞是“ a 1二d的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6 .函数f 〔x 〕 =：,；；］：,假设函数f 〔x 〕存在零点,那么实数a 的取值范围是〔 〕2021年北京市朝阳区高考数学二模试卷〔二〕 、选择题〔本大题共 8小题,共40.0分〕1. 集合 A={x|x>1}, B={x|x (x-2)<0},贝U AUB=( ) A. {x|x>0} B. {x|1<x< 2} C.{x|1 买v 2} D. {x|x>0且 xw 1} 2 . 复数i 〔1 + i 〕的虚部为〔 〕 A. B. 1 C. 0 3 .在数学史上,中外数学家使用不同的方法对圆周率 兀进行 了估算.根据德国数学家莱布尼茨在 1674年给出的求 兀D. -1的方法绘制的程序框图如下图. 执行该程序框图, s 的值为〔 A. 4 B. D.输出 4. 在 AABC 中,H c=4, cosC = -5,那么 b=()D.为定值28 . 在同一平面内, A 为动点,B, C 为定点,且/BAC4, 二A 却？于口,BC=1, P为BC 中点•过点p 作pQ gC 交AC 所在直线于Q ,那么;Q 在;c 方向上投影的最大值 二、填空题(本大题共 6小题,共30.0分)9 . a=log 3e, b=ln3, c=log 32,贝U a, b, c 中最小的是 .10 .点M (1, 2)在抛物线 C: y 2=2px (p>0)上,那么点M 到抛物线C 焦点的距 离是.I x - votO.* ( i = 1 + 2r,11 .圆心；｛y = 1十(.为参数)上的点P 到直线| y = —1 + (t 为参数)的距离 最小值是. f 工之L12 .实数x, y 满足 ¥=#,能说明“假设z=x+y 的最大值为4,那么x=1, y=3〞为假 [x 4- y < 4.命题的一组(x, y)值是.13 .由数字1, 2, 3, 4, 5, 6组成没有重复数字的三位数,偶数共有 个,其中 个位数字比十位数字大的偶数共有 个. 14 .如图,在平面直角坐标系xOy 中,点 O (0, 0) , M (-4, 0) , N (4, 0),P (0, -2) , Q (0, 2) , H (4, 2).线段OM 上的动点A 满足;力一%时(''(必‘))； 线段HN 上的动点B 满足j 二"N 直线PA 与直线QB 交于点L,设直线PA 的斜 ntf ni\ 7率记为k,直线QB 的斜率记为k',那么k?k'的值为;当入变化时,动点L 一定 在 (填“圆、椭圆、双曲线、抛物线〞之中的一个)上.三、解做题(本大题共 6小题,共80.0分) 15 .函数 fix) = 2sinxcosx + 入瓦,".一超.(I )求函数f (x)的最小正周期；(n )当某E [一彳,同时,求证：/(X )之一十B.C.是(某电视台举行文艺比赛, 并通过网络比照赛进行直播. 比16.赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分, 场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分. 每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后,现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分,将评分根据[7, 8) , [8, 9) , [9, 10]分组,绘成频率分布直方图如图：专家A B C D E评分9.69.59.68.99.7(I )求a的值,并用频率估计概率,估计某场外观众评分不小于9的概率；(n)从5名专家中随机选取3人,X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人,用频率估计概率, Y表示评分不小于9分的人数；试求 E (X)与E (Y)的值；(出)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数匚作为该选手的最终得分.r 4方案二：分别计算专家评分的平均数;和观众评分的平均数；,用以士作为该选手最终得分.请直接写出f与',的大小关系.频率在三^柱ABC-A i B i C i中,底面ABC是正三角形,侧棱AAUB面17.ABC. D, E分别是边BC, AC的中点,线段BC i与B i C交于点G,且AB=4, 叫=2k.(I )求证：EG//平面AB i D；(n)求证：BC i"面AB i D；(m )求二面角A-B i C-B的余弦值.18.函数f (x) = (2ax2+4x) lnx-ax2-4x (aCR,且a*O) (I )求曲线y=f(x)在点(1, f (1))处的切线方程;(n )假设函数f (x)的极小值为试求a的值.19 .椭圆C: 4 + y Z= l (a>1)的离心率为坐.(I )求椭圆C的方程；(n)设直线l过点M (1, 0)且与椭圆C相交于A, B两点.过点A作直线x=3 的垂线,垂足为D .证实直线BD过x轴上的定点.20 .对于由有限个自然数组成的集合A,定义集合S (A) ={a+b|aCA, bCA},记集合S(A)的元素个数为d (S (A)).定义变换T,变换T将集合A变换为集合T (A) =AUS (A).(I )假设A={0 , 1, 2},求S (A) , T (A);(n)假设集合A有n个元素,证实：" d (S (A) ) =2n-1〞的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为.的等差数列〞；(出)假设A?{1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}且{1 , 2, 3,…,25, 26}? T (T (A)), 求元素个数最少的集合 A.1 .答案：A解析：解：根据不等式的解法,易得 B={x|0vx 匚< 2},均召-2? 4 5 .又有 A={ x|x> 1},那么 AUB={x|x>0}. 应选：A.根据不等式的解法,B={x[0vx<2},然后根据并集的定义“由所有属于集合 A 或属于集合B 的元素所组成的集合叫做并集〞进行求解即可. 此题考查并集的运算,注意结合数轴来求解,属于容易题.2 .答案：B 解析：解：.i (1 + i) =-1 + i,. i (1 + i)的虚部为1. 应选：B.直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.此题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的根本概念,是根底题.3 .答案：C 解析：解：第一次,s=4, k=1, k>3否,第二次, 乂辐,k =2 ,k4否, 第二次,s= |+?=m ,k=3, k>3是, 程序终止,输出s=* 应选：C.根据程序框图进行模拟运算即可. 此题主要考查程序框图的识别和判断, 根据条件进行模拟运算是解决此题的关键.比拟根底.4 .答案：B 解析：【分析】由利用同角三角函数根本关系式可求 值. 此题主要考查了同角三角函数根本关系式, 础题. 【解答】解：*c=4, CORC =(, sinC=dl-co5i 々巧,,由正弦定理 岛可得：解得：b=3. 应选：B.答案与解析sinC 的值,根据正弦定理即可计算得解b 的正弦定理在解三角形中的综合应用,属于基5 .答案：C 解析：【分析】此题考查等差、等比数列的定义以及判断,涉及充分必要的定义与判断,属于根底题. 根据题意,设数列｛a n ｝的公差为d,从充分性与必要性的角度分析“ a i, a 3, a 9成等比 数列〞和“ a i =d 〞的关系,综合即可得答案. 【解答】解：根据题意,设数列｛a n ｝的公差为d,假设 a i, a 3, a 9成等比数列,那么〔a 3〕2=a i 39,即〔a i +2d 〕 2=a i • 〔a i +8d 〕,变形可得：a i =d,那么“a i, a 3, a 9成等比数列〞是“ a i =d 〞的充分条件；假设 a i =d,贝U a 3=a i +2d=3d, a 9=a i +8d=9d,贝U 有〔a 3〕2=a i a 9,贝U " a i, a 3, a 9成等比数 列〞是“ a i =d 〞的必要条件；综合可得：“ a i, a 3, a 9成等比数列〞是“ a i =d 〞的充要条件； 应选：C.6 .答案：D 解析：解：函数f 〔x 〕=：上管,函数的图象如图：函数f 〔x 〕存在零点,那么实数 a 的取值范围是： 〔.,+°°〕. 应选：D.画出函数的图象,利用数形结合推出 a 的范围即可.此题考查分段函数的应用,函数的零点的判断, 考查数形结合以及计算水平.7 .答案：DD'B'E f解后面解：依题意,设四边形D I FBE的四个顶点在后面,上面,左面的投影点分别为D', F', B', E',那么四边形D I FBE在上面,后面,左面的投影分别如上图.所以在后面的投影的面积为S后=1 M=1 ,在上面的投影面积S±=D'E' 1=DEX1 = DE,在左面的投影面积S左=B'E' 1=CEX1=CE,所以四边形D1FBE所围成的图形〔如下图阴影局部〕分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S 后+S 上+S 左=1 + DE+CE=1 + CD=2.应选：D.分别在后,上,左三个平面得到该四边形的投影,求其面积和即可.此题考查了正方体中四边形的投影问题,考查空间想象水平.属于中档题.8 .答案：C 解析：解：建立如下图的平面直角坐标系,那么〔4, 0〕, C4,0〕, P〔0,0〕,设 A 〔x, y〕,那么xv 0,设直线AB, AC的斜率分别为k b k2, 由到角公式得：G an J化简彳导:x2+ (y-,)=；,口次那么x*:,那么」苧叔V0,由;在；方向上投影的几何意义可得:.在；方向上投影为DP|二|x|, 那么H、方向上投影的最大值是降应选：C.先建系,再由到角公式得：=常二tan,化简得：x2+ (y<)=：,那么x29［那么-;今v 0,再由二在M方向上投影的几何意义可得解・此题考查了到角公式及平面向量数量积的运算,属中档题.9 .答案：c 解析：解：b=ln3>1,又2V ev 3,所以10g32V log3ev 1,即cv a< b,故a, b, c中最小的是 c.故答案为：c由对数值大小的比拟得：b=1n3>1,又2V e<3,所以10g32v1og3ev 1,即cvavb,得解.此题考查了对数值大小的比拟,属简单题.10 .答案：2解析：解：由点M (1, 2)在抛物线C: y2=2px (p>0)上,可得4=2p, p=2,抛物线C： y2=4x,焦点坐标F (1, 0),那么点M到抛物线C焦点的距离是：2,故答案为：2.由题意可知：点的坐标代入抛物线方程,求出p=2,求得焦点F (1, 0),利用直线的两点式,即可求点M到抛物线C焦点的距离.此题考查抛物线的标准方程及简单几何性质,直线的两点式方程,考查计算水平,属于根底题. 11 .答案：睥1 解析：解：由ly = 1+ 就月.得x2+(y-1)2=1,由,ly =一1 + t 得x-2y-3=0 ,,一,、一■ 一I r , r、 _ ■ - . |0"2~ 3| J-1圆心〔0, 1〕到直线x+2y+1=0的距离d=:=、后,所以所求距离的最小值为-1故答案为：.^5-1.化成直角坐标方程后用点到直线的距离,再减去半径. 此题考查了参数方程化成普通方程,属中档题.12 .答案:〔2, 2〕r x>l,解析：解：实数x, y 满足y 皂币 的可行域 以及x+y=4的直线方程如图：能说明"假设z=x+y 的最大值为4,那么x=1,y=3〞 为假命题的一组〔x, y 〕值是〔2, 2〕. 故答案为：〔2, 2〕.画出约束条件的可行域,目标函数取得最大值 的直线,然后求解即可.此题考查线性规划的简单应用,画出可行域是 解题的关键.13 .答案：60 36解析：解：根据题意, 对于第一空：分 2步分析：①要求是没有重复数字的三位偶数,其个位是 ②在剩下的5个数字中任选2个,安排在前 那么有3X20=60个符合题意的三位偶数； 对于第二空：分 3种情况讨论：①,当其个位为2时,十位数字只能是 的三位数；②,当其个位为4时,十位数字可以是 个符合题意的三位数；③,当其个位为6时,十位数字可以是5 >4=20个符合题意的三位数；那么有4+12+20=36个符合题意的三位数; 故答案为：60, 36.对于第一空：分 2步分析：①分析可得要求三位偶数的个位有 3种情况,②在剩下的 5个数字中任选2个,安排在前2个数位,由分步计数原理计算可得答案；对于第二空：按个位数字分 3种情况讨论,分别求出每种情况下的三位数的数目,由加 法原理计算可得答案.此题考查排列、组合的应用,涉及分步、分类计数原理的应用,属于根底题.解析：解：叫；「A (-4 入,0),又 P (0, -2) , .*=*$； r 二厂 _ ___ . , 2(-2) / . . , L HRB (4,2-2 k= 4^0- =-2, kk =,设 L (x, y),那么 k=\ k =^, .kk1 = 1?；〞=；, 1 / = = X,即彳-适=1 .2、4或6,有3种情况, 2个数位,有 A 52=20种情况,1,百位数字有4种情况,此时有4个符合题意 1、2、3,百位数字有4种情况,此时有 3>4=121、2、3、4、5,百位数字有4种情况,此时有14.答案：； 双曲线故答案为：:,彳先=1 .根据向量关系得到 A, B 的坐标,再根据斜率公式可得 kk'=;设P (x, y),根据斜 I 率公式可得P 点轨迹方程.此题考查了圆锥曲线的轨迹问题,属中档题. 15 .答案：解：(I) J ⑺="Ehwhh + 笈 3gA -木, =#i 也 2M + \3cosZx, =・ 证实：(II)由于第中, 即归+沁一,1, 所以f (x)在上单调递增. 当 2# + ；=—；时, J Q即工:一;,时, /.%山=一"手所以当X E 时,f W > 75.解析：(I)首先利用三角函数关系式的恒等变换, 把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的最小正周期.(n )利用函数的关系式,进一步利用函数的定义域求出函数的值域.此题考查的知识要点：三角函数关系式的变换,正弦函数的性质的应用,主要考察学生 的运算水平和转换水平,属于根底题型.16 .答案：解：(I)由图知a=0.3,某场外观众评分不小于 9的概率是1. (n ) X 的可能取值为 2, 3. P (X=2)所以X 的分布列为： X233 dP 弱3J 12 所以 E (X ) =2乂-+3XG = M .J0*J 1由题意可知,T 〜巩工］,所以E (Y)所以f (x)的最小正周期 2ltT=V =n3 / 、端 2W ； P (X =3)= np=|(m)* * * = 2 ^ x0 + 0x4 + 0x 2.= 0BC i DA'-=OxO + 〔-2〕x4+2\Nx2u2 = OBC 1 叫'所以 BC i ±DA, BCUDB i.又由于DA ADB I =D,所以BC i,平面AB i D. ............................ 〔 9分〕 (出)解：显然平面 B i CB 的一个法向量为“ =(I, 0, 0)'=0, L *呼n 8-诙平片灯=0,付1 4尸窗％ ; 0, 【电/ 4叼如ririA.设二面角A-BiC-B 的平面角为0,由图可知此二面角为锐二面角,解析：(I)证实EG/AB i.然后利用直线与平面平行的判定定理证实 EG/印面AB i D.(n )取B iC i 的中点D i,连接DD i,建立空间直角坐标系 D-xyz,通过向量的数量积证实BC i IDA, BCODB i,然后证实BC i 」平面AB i D.(出)求出平面 B i CB 的一个法向量,平面 AB i C 的一个法向量,设二面角 A-B i C-B 的平面角为0,利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可. 此题考查直线与平面垂直以及平行的判定定理的应用, 二面角的平面角的求法,考查计算水平.解析：此题考查了离散型随机变量的期望和方差,属中档题.(I )由图知a=0.3,某场外观众评分不小于 9的概率是:(n )计算概率可得分布列和期望;(m)专家评分的平均分高于观众评分的平均分,17.答案：(本小题总分值14分)(I)证实：由于E 为AC 中点,G 为B i C 中点.所以EG/AB 1. 又由于EG?平面AB i D, AB i ?平面AB i D, 所以EG/狂面AB i D. .................... ( 4分) (II )证实：取BiCi 的中点Di,连接DDi.显然DA, DC, DD i 两两互相垂直,如图,建立空间直角坐 标系D-xyz,那么 D (0,0,0),42、, 0, 0),B (0,-2,0),fl 1(O 1 -2, 2j),2. 2^2), B R G, 1, 0), C (0, 2, 0). 所以又由于 设平面AB i C 的一个法向量为:叼=〔x, y, z 〕,又；=(一2屈 2,.) ni L, ■ =〔.,4, -西设x=i ,贝U y =/1,上二亚,那么:a,隹两.'III所以COSfi =而・. 〔 I4 分〕但专家人数远小于观众人数, 故小于.18 .答案：(本小题总分值13分)解：(I )函数 f (x) = (2ax 2+4x) lnx-ax 2-4x (aCR,且 aw .. 由题意可知 f' (x) =4 (ax+1) lnx, xC (0, +°°).f' (1) =0, f (1) =-a-4, .•曲线y=f (x)在点(1, f (1))处的切线方程为 y=-a-4. ....... ( 3分) (n )①当av-1时,x 变化时f (x) , f (x)变化情况如下表：x ◎ 4 Tf-l 1)1 (1, +°°) f (x) -0 +0 -f (x)极小值极大值此时晨一：)②当a=-1时,f' (x) wo 在(0, +oo )上恒成立,所以f (x)在(0, +°°)单调递减. 此时f (x)无极小值,故不成立.③当-1<av .时,x 变化时f' (x) , f (x)变化情况如下表： x (0, 1) 1 J 1A+ 8)f (x) -0 + 0 -f (x)极小值/极大值解得u = -2 +避或a = -2—?3. 由于-1vav0,所以 u =④当a>0时,x 变化时f' (x) , f (x)变化情况如下表: x (0, 1) 1 (1, +°°) f (x)-+f (x)极小值解得a =—2 +小或H =一2-$3 ,故不成立. 综上所述,二-2 +祠. ............ . (13分)解析：(I )由题意可知 f (x) =4 (ax+1) lnx, xC (0, +0°) , f' (1) =0, f (1) =-a-4, 由此能求出曲线 y=f (x)在点(1, f (1))处的切线方程.(n )当av-1时,求出f]-3 =1 +力M-口)=；,解得口 = -^>-1 ,不成立；②当a=-1 f (x)在(0, +8)单调递减.f (x)无极小值;由题意可得一以一4=：,求出4=\信-2；当a>0时,极小值f (1) =-a-4.由此能求出a 的值.此题考查切线方程的求法,考查实数值的求法,考查导数性质、函数的单调性、最值等 根底知识,考查运算求解水平,考查化归与转化思想,是中档题.= 119 .答案：(I )解：由题意可得[〞 —3 解得a=J , b=1 ,\a 2 = b 2 + c 2时,f (x) w 师(0, +oo)上恒成立, 当-1vav0 时,极小值 f (1) =-a-4,所以椭圆C 的方程为；+y 2=i.(n )直线BD 恒过x 轴上的定点 N (2, 0).证实如下 (1)当直线l 斜率不存在时,直线l 的方程为x=1, 不妨设 A (1,乎),B (1, ¥), D (3,悟)此时,直线BD 的方程为：y ((x-2),所以直线BD 过点(2, 0)(2)当直线l 的斜率存在时,设 A (xi, yi) , B (x2, y2),直线AB 为y=k (x-1), D (3, yi).解析：(I )由题意列关于a, b, c 的方程组,求解可得 a, b, c 的值,那么椭圆方程可 求；(n)当直线AB 的斜率不存在时,直线 BD 过点(2, 0).当直线AB 的斜率存在时, 设直线AB 为y=k (x-i),联立方程组,消去 y 整理得：(i+3k 2) x 2-6k 2x+3k 2-3=0,利 用韦达定理、直线方程,结合条件求出直线BD 过x 轴上的定点.此题考查椭圆方程求法,考查考查两直线的交点是否为定点的判断与求法,考查椭圆、 韦达定理、根的判别式、直线方程、弦长公式等根底知识,考查推理论证水平、运算求 解水平,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.20 .答案：解：(I )假设集合 A={0 , i, 2},那么 S (A) =T (A) ={0 , i, 2, 3, 4} •….(3 分)(n )令 A={Xi, x2,…xn}.不妨设 xi 〈x2<e y xn. 充分性：设{xk}是公差为d (dWQ)的等差数列. 贝U x i +x j =x i + (i-i) d+x i + (j-i) d=2x i + (i+j-2) d (iW, j 而)且2M+jwm.所以x i +x j 共有2n-i 个不同的值.即 d (S (A) ) =2n-i. 必要性：假设 d (S (A) ) =2n-i . 由于 2x i 〈x i +x i+i v 2x i+i, ( i=i, 2,…,n-i).所以 S (A)中有 2n-i 个不同的元素：2x i, 2x 2 ,…,2x n, x i + x 2, x 2+x 3,…,x n-i +x n. 任意x i +x j (iw, j 切)的值都与上述某一项相等.又 x i +x i+i v x i +x i+2V x i+i + x i+2, 且 x i + x i+i V 2x i+i V x i+i +x i+2 , i=i , 2 , …,n-2 . 所以X i +x i+2=2x i+i ,所以{x k }是等差数列,且公差不为 0.….(8分)(出)首先证实：iCA.假设i?A, A 中的元素均大于i,从而i?S (A), 因此 i?T (A) , i?S (T (A)),故 i?T (T (A)),与{i , 2, 3,…,25, 26} ?T (T (A))矛盾,因此i CA. 设A 的元素个数为n, S (A)的元素个数至多为C ： + n,从而T (A),的元素个数至多为 C -+n+n=,f^m. * 2假设n=2,那么T (A)元素个数至多为5,从而T (T (A))的元素个数至多为亨=20, 而T (T (A))中元素至少为 26,因此n>3假设 A 有三个元素,设 A={1 , a2, a 3},且 1va 2〈a3W8,那么 1, 2, a2, a 2+1, a 3, a 3+1, 2a 2, a 2+a 3, 2a 3C T (A),, = «一1) x 2+ 所以 x i +x 2= :(1+3k 2) x 2-6k 2x+3k 2-3=0.直线 北BD: y-y i = 所以由于(x-3),令 y=0,得 x-3=故直线BD 过点(2,0). 综上所述,直线 BD 恒过x 轴上的定点(2, 0)从而1, 2, 3, 47(T (A) ) .假设a2>5, T (T (A))中比4大的最小数为32,那么5?T (T (A)),与题意矛盾,故a2<5.集合T (T (A)).中最大数为4a3,由于26CT (T (A)),故4a3> 26从而a3>7, (i)假设A={1 , a2, 7},且a2<5.此时1, 2, a2, a2+1, 7, 8, 2a2, 7+a2, 14b (A), 那么有8+14=22, 2X14=28CT (T (A)),在22 与28之间可能的数为14+2a2, 21+a2. 此时23, 24, 25, 26不能全在T (T (A)).中,不满足题意. (ii)假设A={1 , 32, 8},且32<5 此时1, 2 , 32 , 32+1, 8 , 9 , 232 , 8+ 32, 16CT (A), 那么有16+9=25 CT (T (A)),假设26 CT (T (A)),那么16+232=26 或16+ (8+32)=26, 解得32=5或32=2 .当A={1 , 2, 8}时,15, 21, 23?T (T (A)).,不满足题意.当A={1 , 2, 8}时,T (T (A) ) ={1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29, 32},满足题意.故元素个数最少的集合A为{1, 5, 8} ....................... ... ( 13分)解析：(I)根据定义直接进行计算即可(n)根据充分条件和必要条件的一结合等差数列的性质进行证实(m )首先证实：1 CA,然后根据条件分别判断A中元素情况即可得到结论.此题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用, 综合性强,难度比拟大.不太好理解.。
2020北京新高考数学高三二模汇编 04复数排列组合二项式定理
2020北京新高考数学高三二模汇编04复数排列组合二项式定理1．（海淀11）若复数(2i)(i)a -+为纯虚数，则实数a =_______.答案 12-2. （昌平2）在复平面内，复数i(i )a -对应的点的坐标为(12)-，，则实数a = （A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）2- 答案 D3. （东城11） 复数1iiz -=的共轭复数z 为_________. 答案 1i -+4.（丰台11）已知复数2i z =-，则z = ．答案5.（西城2）设复数 z =1+i,则 2z =( A)-2i ( B)2i ( C)2-2i ( D)2+2i 答案 A6.（房山11）若(i)(1i)13i m ++=+（m ∈R ），则m = ． 答案 27.（朝阳1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限 答案B8. （顺义2）在复平面内，复数()i 1i z =+对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限答案B9.（西城11）.在6(15)x +(展开式中, x 的系数为 . 答案 3010.（昌平3）在()52x -的展开式中，2x 的系数为（A ）40- （B ） 40 （C ）80- （D ）80 答案 C11.（丰台14）天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年. 答案 己卯；6012.（密云12）在61()x x+的展开式中，常数项为_______.（用数字作答）．答案 2013. （朝阳12）在61)x的展开式中，常数项为________．（用数字作答） 答案 15。
2020届北京各区高三二模数学分类汇编—直线、圆与圆锥曲线(含答案)
2020北京各区高三二模数学分类汇编—直线、圆与圆锥曲线1.（2020▪海淀二模）若抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为3，则||PF 等于（A ）4（B ）6（C ）8（D ）102．（2020▪西城高三二模）抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x =（B ）1x =-（C ）1y =（D ）1y =-3．（2020▪西城高三二模）若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（A ）(,1]-∞（B ）(,0]-∞（C ）[0,)+∞（D ）[5,)+∞4.（2020▪东城高三二模）双曲线222:1y C x b-=的渐近线与直线1x =交于,A B 两点，且4AB =，那么双曲线C的离心率为(C) 2 5.（2020▪朝阳高三二模）圆心在直线0x y -=上且与y 轴相切于点()0,1的圆的方程是（A ）22(1)1y +-=（x-1） （B ）22(1)1y ++=（x+1） （C ）22(1)2y +-=（x-1） （D ）22(1)2y ++=（x+1） 6.（2020▪朝阳高三二模）直线l 过抛物线22x y=的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点1122(,),(,).A x yB x y 若123x x +=，则弦AB 的长是 （A ）4（B ）5（C ）6 （D ）87. （2020▪西城高三（下）6月模拟）焦点在x 轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(A)24x y =(B)24y x =(C)28x y =(D)28y x =8. （2020▪西城高三（下）6月模拟）圆224210x y x y ++-+=截x 轴所得弦的长度等于(A)2(B)(C)(D)49.（2020▪昌平高三二模）已知点是双曲线的一条渐近线上一点，是双曲线的右焦点，若△的面积为，则点的横．坐标为（A ） （B ） （C ） （D ）10．（2020▪丰台高三二模）已知抛物线M :)0(22>=p py x 的焦点与双曲线13:22=-x y N 的一个焦点重合，则=p（A ）2（B ）2（C ）22（D ）411.（2020▪房山高三二模）若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线经过点(1,3)，则该双曲线的离心率为 （A ）2 （B ）3 （C ）2（D ）512.（2020▪密云高三二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为A. B. C. D.13．（2020▪密云高三二模）已知圆，若点P 在圆上，并且点P 到直线的距离为，则满足条件的点P 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．414.（2020▪海淀二模）已知双曲线E 的一条渐近线方程为y x =，且焦距大于4，则双曲线E 的标准方程可以为_______.（写出一个即可）15. （2020▪丰台高三二模）双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为_______.16．（2020▪丰台高三二模）已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则33CD =+；④白色“水滴”图形的面积是116π其中正确的有__________．17．（2020▪西城高三二模）若双曲线2221(0)16x y a a -=>经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．18.（2020▪朝阳高三二模）已知双曲线C 的焦点为12(0,2),(0,2),F F -实轴长为2，则双曲线C 的离心率是；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点，且12,FQ F Q ⊥则12QF F V 的面积为19. （2020▪西城高三（下）6月模拟）能说明“若()20m n +≠,则方程2212mn yx+=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_______ 20.（2020▪昌平高三二模）已知点在抛物线上，若以点为圆心的圆与轴和其准线都相切，则点到其顶点的距离为_______ .21.（2020▪昌平高三二模）曲线C :,点在曲线上．给出下列三个结论：①曲线关于轴对称；②曲线上的点的横坐标的取值范围是；③若,，则存在点,使△的面积大于.其中，所有正确结论的序号是________．22.（2020▪房山高三二模）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = ．23.（2020▪房山高三二模）已知抛物线C :22y x =的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，||1MF =，则点M 的横坐标是_______，△MOF （O 为坐标原点）的面积为 ． 24．（2020▪密云高三二模）抛物线过点，则抛物线的焦点坐标为_______.25.（2020▪海淀二模）（本小题共15分）已知椭圆2222:1x y W a b+=(0)a b >>过(0,1),(0,1)A B -.（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）过点A 的直线l 与椭圆W 的另一个交点为C ，直线l 交直线2y =于点M ，记直线BC ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值.26．（2020▪西城高三二模）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(,0)A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别与直线4x =交于点P ，Q ，求PFQ ∠的大小．27.（2020▪东城高三二模）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点坐标为(0,1)A -，离心率为23．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为M ，点(1,0)B ，求证：点M 不在以AB 为直径的圆上．28.（2020▪朝阳高三二模）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，且椭圆C 经过点 （I ）求椭圆C 的方程；（II ）已知过点(4,0)P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,,A B 与直线1x =交于点Q ,设,(,),AP PB AQ QB R λμλμ==∈u u u r u u u r u u u r u u u r求证：λμ+为定值.29. （2020▪西城高三（下）6月模拟）(本小题满分14分)已知椭圆()2222:10yE a b x a b+=>>经过点()0,1C ,离心率为2.O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设,A B 分别为椭圆E 的左、右顶点,D 为椭圆E 上一点(不在坐标轴上),直线CD 交x 轴于点,P Q 为直线AD 上一点,且OP OQ 4=u u u r u u u rg ,求证:,,C B Q 三点共线.30.（2020▪昌平高三二模）（本小题15分）已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点(在下方)，且．过点的直线与椭圆交于两点（不与重合）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．31. （2020▪丰台高三二模）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 4.过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==u u r u u u r u u u r u u u r,,求λμ+的取值范围.32.（2020▪房山高三二模）（本小题14分）．已知椭圆C的两个顶点分别为(2,0)B，焦点在x轴上，离心率为1A ，(2,0)2（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，点P在椭圆C上，点Q和点P关于x轴对称，直线AP与直线BQ交于点M，求证：P，M两点的横坐标之积等于4，并求OM的取值范围．33.（2020▪密云高三二模）（本小题满分14分）已知椭圆：过点，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且满足．（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由．2020北京各区高三二模数学分类汇编—直线、圆与圆锥曲线参考答案1.B2.D3.A4.D5.A6.A7.D8.B9.A 10.D 11.C 12.A 13.C;14. 15. 16. ②③④ 17. 18. ；19. 答案不唯一. 如， 20. 21. ①② 22. 3 23. ；24.25.（本小题共15分）解：（Ⅰ）由题意，2221.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩， 解得2,1.a b =⎧⎨=⎩所以椭圆W 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）由题意，直线l 不与坐标轴垂直. 设直线l 的方程为：1y kx =+（0k ≠）. 由221,4 4.y kx x y =+⎧⎨+=⎩得22(41)80k x kx ++=. 设11(,)C x y ，因为10x ≠，所以12841kx k -=+. 得21122814114141k k y kx k k k --=+=⋅+=++. 即222814(,)4141k k C k k --++.又因为(0,1)B -，所以22121411418441k k k k k k -++==--+. 由1,2.y kx y =+⎧⎨=⎩得1,2.x k y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以点M 的坐标为1(,2)k.所以22131k k k+==. 所以1213344k k k k ⋅=-⋅=-. 26．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得2a =，1c =，……………3分 从而223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=．…5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N -，(4,3)P -，(4,3)Q ，(1,0)F ，则(3,3)FP =-u u u r ，(3,3)FQ =u u u r ，故0FP FQ ⋅=u u u r u u u r ，即90PFQ ∠=o ．…………6分 当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，其中0k ≠．………………7分 联立22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=．………………8分由题意，知0∆>恒成立， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．…………9分MPAF NxyOQ直线MA 的方程为11(2)2y y x x =--．………………10分 令4x =，得1122P y y x =-，即112(4,)2y P x -．………………11分 同理可得222(4,)2y Q x -．………………12分所以112(3,)2y FP x =-u u u r ，222(3,)2y FQ x =-u u u r ．因为121249(2)(2)y y FP FQ x x ⋅=+--u u u r u u u r212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x --=+--2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x -++=+-++ 22222222241284(1)434394121644343k k k k k k kk k --+++=+--+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k --++=+--++0=， 所以90PFQ ∠=o ．综上，90PFQ ∠=o .………………14分 27.（本小题14分）（Ⅰ）解：由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+,1,23,222b a ca c b解得⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,2c b a所以椭圆C 的方程为1422=+y x ．………………………………4分（Ⅱ）证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，),(00y x M ．由221,4(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(4+1)8440k x k x k -+-=，所以22222(8)4(41)(44)4816k k k k ∆=--⨯+-=+. 所以当k 为任何实数时，都有0∆>． 所以2122841k x x k +=+，2122444+1k x x k -=．因为线段PQ 的中点为M , 所以212024241x x k x k +==+，002(1)41-=-=+k y k x k , 因为(1,0)B , 所以00(,1)AM x y =+uuu r，00(1,)BM x y =-uuur ．所以2200000000(1)(1)=AM BM x x y y x x y y ⋅=-++-++uuu r uuur2222222244=()()41414141k k k k k k k k ---++++++322243=41k k k k ---+（） 222(431)=41k k k k -+++（）22237[4()]816=41k k k -+++（）.又因为0k ≠，2374()0816k ++>， 所以0AM BM ⋅≠uuu r uuu r，所以点M 不在以AB 为直径的圆上．………………………………14分 28.（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意可知222222,121,⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩a b c a b c a 得22=b ，24=a ．所以椭圆C 的方程为22142+=x y ．……………5分 （Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)=-y k x ． 由(4),10=-⎧⎨-=⎩y k x x 得1,3.=⎧⎨=-⎩x y k 所以(1,3)-Q k ． 由22(4),24=-⎧⎨+=⎩y k x x y 得222(4)4+-=x kx k . 整理得2222(12)16(324)0+-+-=k x k x k .由2222(16)4(12)(324)0∆=--+->k k k，得<<k ．设直线l 与椭圆C 的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则21221612+=+k x x k ，212232412-=+k x x k .因为λ=u u u r u u u r AP PB ，μ=u u u r u u u r AQ QB 且11(4,)=--u u u r AP x y ，22(4,)=-u u u r PB x y ，11(1,3)=---u u u r AQ x k y ，22(1,3)=-+u u u r QB x y k ， 所以111212222241(4)(1)(1)(4)41(4)(1)λμ----+--+=+=----x x x x x x x x x x1212225()28(4)(1)+--=--x x x x x x . 因为22121222163245()285281212-+--=⨯-⨯-++k k x x x x k k22228064881612-+--=+k k k k 0=，所以0λμ+=.……………14分29．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得，.………………2分又因为，………………3分 所以，.故椭圆的方程为.………………5分（Ⅱ），.设，则.………………6分所以直线的方程为，………………7分令，得点的坐标为.………………8分设，由，得（显然）.……9分 直线的方程为，………………10分将代入，得，即. ………………11分故直线的斜率存在，且……12分.…………13分又因为直线的斜率，所以，即三点共线.………………14分30.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意得解得…………….3分即椭圆的方程为．…………….5分（Ⅱ）法一由题意，直线的斜率存在.当时，直线的方程为.代入椭圆方程有.则.所以所以…………….8分当时，则直线的方程为．由，得.…………….9分设，，则．…………10分又，所以，.…………….11分因为即直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．…………….15分法二设直线的斜率为，则直线的方程为．…………….6分由，得.…………….7分设，，则．…………….9分又，所以，.…………….11分因为即直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．…………….15分31.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1x y C a b +=经过点(10)A ,，所以21a =解得1a =.由△AOB的面积为4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=．………3分（Ⅱ)设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,． 联立22211x y y kx +==+⎧⎨⎩，消y 整理可得：22(21)410k x kx +++=．因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以22164(21)0k k ∆=-+>，解得212k >．因为0k >，所以k的取值范围是)2+∞．………7分 （Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,1122()()M x y N x y ,,,,所以直线AM 的方程是：11(1)1y y x x =--. 令0x =，解得111y y x -=-.所以点S 的坐标为11(0)1y x --,. 同理可得：点T 的坐标为22(0)1y x --,. 所以11(01)1y PS x -=--u u r ,,22(01)1y PT x -=--u u u r ,,(01)PO =-u u u r,. 由,,μλ== 可得：12121111y y x x λμ---=--=---,， 所以111111111y kx x x λ+=+=+--． 同理22111kx x μ+=+-．由（Ⅱ)得121222412121kx x x x k k +=-=++,， 所以121211211kx kx x x λμ+++=++--()121212122(1)()221kx x k x x x x x x +-+-=+-++22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1)2(1)121kk k k k kk k k k k k k k k k k ⋅+---++=+--+++-+-+=++++-+=++=-++g所以λμ+的范围是2)．………14分32.（本小题14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>. 依题意，2a =，12c a =.得1c =，2223b a c =-=.所以，椭圆C 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）依题意，可设(,)P m n （22m -<<且0m ≠），则(,)Q m n -. 点P 在椭圆C 上，则22143m n +=， AP 的斜率为12n k m =+，直线AP 方程为(2)2n y x m =++， BQ 的斜率为12n k m -=-，直线BQ 的方程为(2)2n y x m -=--. 设(,)M x y ，由(2)2(2)2n y x m n y x m ⎧=+⎪⎪+⎨-⎪=-⎪-⎩ 得42x m ny m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M 的坐标为42(,)n m m. 所以P ，M 的横坐标之积等于44m m⋅=. OM ==== 由204m <<， 所以，OM 的取值范围是()2,+∞.33.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：根据题意得解得所以椭圆的方程为，离心率．（Ⅱ）解：方法一因为直线不与轴垂直，所以直线的斜率不为．设直线的方程为：，联立方程化简得．显然点在椭圆的内部，所以．设，，则，．又因为，所以，．所以=0所以，即是定值．方法二（1）当直线垂直于轴时解得与的坐标为．由点，易证．（2）当直线斜率存在时设直线的方程为：，联立方程化简得．显然点在椭圆的内部，所以．设，，则，．又因为，所以，．所以=0所以，即是定值．。
2020年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2020年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则∁U（M∪P）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}2．数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，则a3的值为（）A．5 B．6 C．7 D．83．若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣14．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（）A．﹣B．C．﹣D．5．在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A．[6，4+4]B．[4，8]C．[4，8]D．[6，12]8．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=．10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为．11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E．若∠BAC=80°，则∠BED=．12．若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是．13．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．16．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）11 10 15 A4A5B型数量（台）10 12 13 B4B5C型数量（台）15 8 12 C4C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C 型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= [x1﹣）2+（x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．18．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）19．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：＜．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n ≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．2020年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则∁U（M∪P）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出M∪P，从而求出其补集即可．【解答】解：M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，∴M∪P={x|x≤1或x≥2}，∁U（M∪P）={x|1＜x＜2}，故选：A．2．数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，则a3的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】数列递推式．【分析】由题意可得a n+1=a n，分别代值计算即可．【解答】解：数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，∴a n+1=a n，∴a2=a1=2×2=4，∴a3=×a2=×4=6，故选：B．3．若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【考点】参数方程化成普通方程．【分析】由题意可得：，解得a即可得出．【解答】解：∵，解得a=﹣1．故选：D．4．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角三角函数得到sinA，sinB的值；然后将其代入两角和与差的正弦函数中求值即可．【解答】解：∵0＜A＜π，0＜B＜π，cosA=，cosB=，∴sinA=，sinB=，∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．故选：B．5．在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二项式系数的性质．【分析】通过二项式定理，写出（x+a）5（其中a≠0）的展开式中通项T k+1=x5﹣k a k，利用x2的系数与x3的系数相同可得到关于a的方程，进而计算可得结论．【解答】解：在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，通项T k+1=x5﹣k a k，∵x2的系数与x3的系数相同，∴a3=a2，又∵a≠0，∴a=1，故选：C．6．函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用导数求出函数的最大值，即可判断出零点的个数．【解答】解：f′（x）=﹣1=，∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=0﹣1+1=0，因此函数f（x）有且仅有一个零点1．故选：A．7．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A．[6，4+4]B．[4，8]C．[4，8]D．[6，12]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可过D作AB的垂线，且垂足为E，这样可分别以EB，ED为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件即可求出A，B，D的坐标，从而可以得出直线AD的方程为，从而可设，且﹣2≤x≤0，从而可以求出向量的坐标，从而得出，而配方即可求出函数y=16（x2+2x+4）在[﹣2，0]上的值域，即得出的取值范围，从而得出的取值范围．【解答】解：如图，过D作AB的垂线，垂足为E，分别以EB，ED为x，y轴，建立平面直角坐标系；根据条件可得，AE=2，EB=6，DE=；∴；∴直线AD方程为：；∴设，（﹣2≤x≤0）；∴，；∴；∴=16（x2+2x+4）=16（x+1）2+48；∵﹣2≤x≤0；∴48≤16（x+1）2+48≤64；即；∴；∴的范围为．故选：C．8．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】直线与圆的位置关系．【分析】①当a≥1时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论①正确；②当a≥1时，反证法可得结论②错误；③由三角形的面积公式可得S△COD=sin∠AOC≤，可得结论③正确．【解答】解：①当a≥1时，把x=0代入直线方程可得y=a，把y=0代入直线方程可得x=，∴S△AOB=×a×=，故结论①正确；②当a≥1时，|AB|=，故|AB|2=a2+，直线l可化为a2x+y﹣a=0，圆心O到l的距离d===，故|CD|2=4（1﹣d2）=4[1﹣（a2+）]，假设|AB|＜|CD|，则|AB|2＜|CD|2，即a2+＜4（1﹣），整理可得（a2+）2﹣4（a2+）+4＜0，即（a2+﹣2）2＜0，显然矛盾，故结论②错误；S△COD=|OA||OC|sin∠AOC=sin∠AOC≤，故∃a≥1，使得S△COD＜，结论③正确．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的代数运算性质，求出a的值即可．【解答】解：∵=1﹣i，∴a+i=∴a=﹣i=﹣i=1．故答案为：1．10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为58．【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距，求出在6﹣10小时外的频率；利用频率和为1，求出在6﹣10小时内的频率；利用频数等于频率乘以样本容量，求出这100名同学中学习时间在6﹣10小时内的同学的人数．【解答】解：由频率分布直方图知：（0.04+0.12+a+b+0.05）×2=1，∴a+b=0.29，∴参加实践活动时间在6﹣10小时内的频率为0.29×2=0.58，∴这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为100×0.58=58．故答案为：5811．如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E．若∠BAC=80°，则∠BED=60°．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由弦切角定理可得∠EBC=∠A，再由圆的圆周角定理，可得∠BCE=∠A，在△BCE中，运用三角形的内角和定理，计算即可得到所求值．【解答】解：由BE为圆的切线，由弦切角定理可得∠EBC=∠A=80°，由D是劣弧的中点，可得∠BCE=∠A=40°，在△BCE中，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠BCE=180°﹣80°﹣40°=60°．故答案为：60°．12．若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是[，1]．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由点到直线的距离公式求出原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，结合的几何意义得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，由图可知的最小值为|OA|=1，最大值为|OB|=2，∴原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是[，1]．故答案为：[，1]．13．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为4．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，从而得出结论．【解答】解：①若只有A、B两点在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=1，sinω•≠0，则，即，求得ω无解．②若只有点A（，），C（，0）在函数f（x）=sin（ωx）的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=0，sin（ω•）≠1，故有，即，求得ω的最小值为4．③若只有点B（，1）、C（，0）在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sinω•≠，sinω=1，sinω=0，故有，即，求得ω的最小正值为10，综上可得，ω的最小正值为4，故答案为：4．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【解答】解：连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE A1C，QF A1C，RG A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h=PE=A1C=．故答案为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）将f（），f（）求出大小后比较即可．（2）将f（x）化简，由此得到最大值．【解答】解：（1）f（）=﹣，f（）=﹣，∵﹣＞﹣，∴f（）＞f（），（2）∵f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．=﹣2sinx﹣1+2sin2x，=2（sinx﹣）2﹣，∴函数f（x）的最大值为3．16．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）11 10 15 A4A5B型数量（台）10 12 13 B4B5C型数量（台）15 8 12 C4C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C 型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= [x1﹣）2+（x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．【考点】极差、方差与标准差．【分析】（1）根据平均数公式计算即可，（2）根据方差的定义可得S2= [2（c4﹣）+]，根据二次函数性质求出c4=7或c4=8时，S2取得最小值，（3）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，求出P，列出分布表，求出数学期望．【解答】解：（1）A型空调前三周的平均周销售量=（11+10+15）=12台，（2）因为C型空调平均周销量为10台，所以c4+c5=10×15﹣15﹣8﹣12=15，又S2= [（15﹣10）2+（8﹣10）2+（12﹣10）2+（c4﹣10）2+（c5﹣10）2]，化简得到S2= [2（c4﹣）+]，因为c4∈N，所以c4=7或c4=8时，S2取得最小值，此时C5=8或C5=7，（3）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，P（X=0）=×=，P（X=1）=×+×=，P（X=2）=×=，随机变量的X的分布列，X 0 1 2P随机变量的期望E（X）=0×+1×+2×=．17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结NG，EN，则可证四边形ENGH是平行四边形，于是GH∥EN，于是GH ∥平面DEM；（2）取CD的中点P，连结PH，则可证明PH⊥平面MEF，以H为原点建立坐标系，求出和的坐标，通过计算=0得出EM⊥CN；（3）求出和平面NFC的法向量，则直线GH与平面NFC所成角的正弦值为|cos＜＞|，从而得出所求线面角的大小．【解答】证明：（1）连结NG，EN，∵N，G分别是MD，MC的中点，∴NG∥CD，NG=CD．∵H是EF的中点，EF∥CD，EF=CD，∴EH∥CD，EH=CD，∴NG∥EH，NG=EH，∴四边形ENGH是平行四边形，∴GH∥EN，又GH⊄平面DEM，EN⊂平面DEM，∴GH∥平面DEM．（2）∵ME=EF=MF，∴△MEF是等边三角形，∴MH⊥EF，取CD的中点P，连结PH，则PH∥DE，∵DE⊥ME，DE⊥EF，ME∩EF=E，∴DE⊥平面MEF，∴PH⊥平面MEF．以H为原点，以HM，HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则E（0，﹣1，0），M（，0，0），C（0，1，2），N（，﹣，1）．∴=（，1，0），=（﹣，，1）．∴=+1×+0×1=0．∴．∴EM⊥NC．（3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（，，1），∴=（，，1），=（0，0，2），=（﹣，，1），设平面NFC的法向量为=（x，y，z），则，即．令y=1得=（，1，0），∴cos＜＞==．∴直线GH与平面NFC所成角的正弦值为，∴直线GH与平面NFC所成角为．18．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=1时，f（x）=e x（x2+x+1），求出其导数，利用导数即可解出单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，即x2+ax+a≤e a﹣x，在[a，+∞）上有解，构造两个函数r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，研究两个函数的在[a，+∞）上的单调性，即可转化出关于a的不等式，从而求得a的范围；（3）由f（x）的导数f′（x）=e x（x+2）（x+a），当a≠﹣2时，函数y=f′（x）的图象与x 轴有两个交点，故f（x）图象上存在两条互相垂直的切线．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=e x（x2+x+1），则f′（x）=e x（x2+3x+2），令f′（x）＞0得x＞﹣1或x＜﹣2；令f′（x）＜0得﹣2＜x＜﹣1．∴函数f（x）的单调增区间（﹣∞，﹣2）与（﹣1，+∞），单调递减区间是（﹣2，﹣1）；（2）f（x）≤e a，即e x（x2+ax+a）≤e a，可变为x2+ax+a≤e a﹣x，令r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，当a＞0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为负，故r（x）在[a，+∞）上增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，则只须r（a）≤t（a），即2a2+a≤1，解得﹣1≤a≤，故0＜a≤；当a≤0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为正，故r（x）在[a，+∞）上先减后增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，只须r（﹣）≤t（﹣），即﹣+a≤e，当a≤0时，﹣+a≤e显然成立．综上知，a≤即为符合条件的实数a的取值范围；（3）a的取值范围是{a|a≠2，a∈R}．19．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：＜．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由B的坐标，可得A的坐标，又|BC|=2，可得D的坐标（3，2），运用直线的斜率公式，即可得到所求值；（Ⅱ）法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），运用三角形的面积公式可得S1=|m|，将直线方程和抛物线的方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围；法二：设直线AD的方程为y=kx+m，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式可得三角形的面积S1=|m|，梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由B（1，0），可得A（1，y1），代入y2=4x，得到y1=2，又|BC|=2，则x2﹣x1=2，可得x2=3，代入y2=4x，得到y2=2，则；（Ⅱ）证法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），则．由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，所以，又，又注意到，所以k＞0，m＞0，所以==，因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1，所以．证法二：设直线AD的方程为y=kx+m．由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，所以，，点O到直线AD的距离为，所以，又，又注意到，所以k＞0，m＞0，所以，因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1，所以．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n ≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据好子集的定义直接写出Z，W，（2）若S为Ωn的一个好子集，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），进行判断证明即可．（3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）Z=（1，0，0），W=（1，1，1），…2分（Ⅱ）对于X⊆Ω，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），显然X′∈Ωn，∀X，Y，X′，对于任意的i∈{1，2，…，n}，x i，y i，1﹣x i不可能都为1，可得X，X′不可能都在好子集S中…4分又因为取定X，则X′一定存在且唯一，而且X≠X′，且由X的定义知道，∀X，Y∈Ω，X′=Y′⇔X=Y…6分这样，集合S中元素的个数一定小于或等于集合Ωn中元素个数的一半，而集合Ωn中元素个数为2n，所以S中元素个数不超过2n﹣1；…8分（Ⅲ）∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}，．∀Y={y1，y2，…，y i，…，y n}∈Ωn，定义元素X，Y的乘积为：XY={x1y1，x2y2，…，x i y i，…，x n y n}，显然XY∈Ωn，．我们证明：“对任意的X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈S，都有XY∈S．”假设存在X，Y∈S，使得XY∉S，则由（Ⅱ）知，（XY）′={1﹣x1y1，1﹣x2y2，…，1﹣x i y i，…1﹣x n﹣1y n﹣1，1﹣x n y n}∈S，此时，对于任意的k∈{1，2，…n}，x k，y k，1﹣x k y k不可能同时为1，矛盾，所以XS∈S．因为S中只有2n﹣1个元素，我们记Z={z1，z2，…，z i，…，z n}为S中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道={z1，z2，…，z i，…，z n}∈S，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设z k=1，根据Z的定义，可以知道S中所有元素的k坐标分量都为1 …11分下面再证明k的唯一性：若还有z t=1，即S中所有元素的t坐标分量都为1，所以此时集合S中元素个数至多为2n﹣2个，矛盾．所以结论成立…13分2020年9月3日。
2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟数学试卷(北京学校联考)-学生用卷
2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟数学试卷（北京学校联考）-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第1题4分的虚部为（）．已知复数z=3−4i（i是虚数单位），则复数z1+iA. −12iB. 12C. 12iD. −122、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第2题4分已知集合P={x∣1<3x⩽9}，Q={x∈Z∣y=ln(−2x2+7x)}，则P∩Q=（）．A. {1}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2,3}3、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第3题4分，则函数的奇偶性为（）．已知函数f(x)=√9−x2|6−x|−6A. 既是奇函数也是偶函数B. 既不是奇函数也不是偶函数C. 是奇函数不是偶函数D. 是偶函数不是奇函数4、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第4题4分在平行四边形ABCD 中，AD =2，∠BAD =60°，E 为CD 的中点．若AC →⋅BE →=3，则AB 的长为（ ）．A. 12B. 1C. 2D. 35、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第5题4分已知f ′(x )为f (x )的导函数，若f (x )=lnx 2，且b ∫1x 3b 1dx =2f ′(a )+12b −1，则a +b 的最小值为（ ）．A. 4√2B. 2√2C. 92+2√2D. 926、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第6题4分已知x ，y 都是实数，命题p ：|x |<3；命题q ：x 2−2x −3<0，则p 是q 的（ ）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件7、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第7题4分若变量x ，y 满足条件{y ⩾0x +2y ⩾1x +4y ⩽3，则z =(x +1)2+y 2的最小值是（ ）．A. 1B. 2C. √55D. 458、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第8题4分若f (x )=Asin(ωx +φ)其中(A >0,|φ|<π2)的图象如图，为了得到g(x)=sin(2x −π3)的图象，则需将f (x )的图象（ ）．A. 向右平移π6个单位B. 向右平移π3个单位C. 向左平移π6个单位D. 向左平移π3个单位9、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第9题4分已知双曲线C 2：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个顶点是抛物线C 1：y 2=2x 的焦点F ，两条曲线的一个交点为M ，|MF |=32，则双曲线C 2的离心率是（ ）． A. √173B. 2√63C. √333D. √210、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第10题4分函数f(x)={log5(1−x)(x<1)−(x−2)2+2(x⩾1)，则方程f(|x|)=a(a∈R)实根个数不可能为（）．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第11题5分若奇函数f(x)定义域为R，f(x+2)=−f(x)且f(−1)=6，则f(2017)=．12、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第12题5分若(ax2+√x )5的展开式中常数是−80，则实数a=．13、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第13题5分某程序框图如图所示，当输出y的值为−8时，则输出x的值为．14、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第14题5分已知c→，d→为单位向量，且夹角为60°，若a→=c→+3d→，b→=2c→，则b→在a→方向上的投影为．15、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第15题5分给出以下四个结论：①函数f(x)=2x−1x+1的对称中心是(−1,2)；②若关于x的方程x−1x+k=0在x∈(0,1)没有实数根，则k的取值范围是k⩾2；③在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的充分不必要条件；④若f(x)=sin(2x−π3)的图象向右平移φ(φ>0)个单位后为奇函数，则φ最小值是π12．其中正确的结论是．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第16题−cos2x+√3sinxcosx．已知函数f(x)=12(1) 求f(x)单调递增区间．(2) △ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足b2+c2−a2>√3bc，求f(A)的取值范围．17、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第17题某商场进行抽奖促销活动，抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有“A”“B”“C”“D”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“D”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“A”“B”“C”“D”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“A”“B”“C”“D”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“A”“B”“C”三个字的球为三等奖．(1) 求分别获得一、二、三等奖的概率；(2) 设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第18题2018年四川成都武侯区成都市第七中学高三一模理科第18题12分在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥，且PB=√10．(1) 求证：BD⊥平面POA．(2) 求二面角B−AP−O的余弦值．19、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第19题2017~2018学年9月福建漳州华安县华安县第一中学高三上学期月考文科第17题12分已知等比数列{a n}的公比为q(q≠1)，等差数列{b n}的公差也为q，且a1+2a2=3a3．(1) 求q的值．(2) 若数列{b n}的首项为2，其前n项和为T n，当n⩾2时，试比较b n与T n的大小．20、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第20题2017~2018学年1月山东济南历下区山东省济南第一中学高三上学期月考文科第20题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(−2,−1)，离心率为√22．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．(1) 求椭圆C的方程．(2) 试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．21、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三下学期高考模拟（北京学校联考）第21题已知函数f(x)=xlnx，g(x)=−x2+ax−3．(1) 求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值．(2) 若存在x0∈[1e,e]（e是自然对数的底数，e=2.71828⋯），使不等式2f(x0)⩾g(x0)成立，求实数a的取值范围．1 、【答案】 C;2 、【答案】 B;3 、【答案】 C;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 B;9 、【答案】 C;10 、【答案】 A;11 、【答案】 −6;12 、【答案】 −16;13 、【答案】 16;14 、【答案】 5√1313; 15 、【答案】 ①;16 、【答案】 (1) [−π6+kπ,π3+kπ](k ∈Z)． ;(2) (−12,12)．;17 、【答案】 (1) 一等奖1256；二等奖5256；三等奖964． ;(2) 分布列为E(ξ)=17564． ;18 、【答案】 (1) 证明见解析． ;(2) √3913．;19 、【答案】 (1) q=−13．;(2) 当2⩽n<14时，T n>b n；当n=14时，T n=b n；当n>14时，T n<b n．;20 、【答案】 (1) x26+y23=1．;(2) 直线PQ的斜率是定值；证明见解析．;21 、【答案】 (1) 当t<1e 时，f(x)min=−1e．当t⩾1e时，f(x)min=tlnt．;(2) a⩽−2+1e+3e．;。
2020 年北京师大附中高三临模测试数学试卷
中的常数项为________．（用数字作答）
2020 年北京师大附中高三临模测试数学试卷 第 2 页 （共 5 页）
（13）某四棱锥的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1 ，则该四棱锥的侧面中锐角三角形的 个数为________．
（15）颗粒物过滤效率
是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为
=
Cout − Cin Cout
100% ，其中 Cout
表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind. / L ），Cin 表示经口罩过滤后，单位体积气体中含
有的颗粒物数量（单位： ind. / L ）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率
④ f (x) = tan x ．
其中，在其定义域上具有性质 m 的函数的序号是
（A）①③ （C）②③
（B） ①④ （D） ②④
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，共 25 分.
（11）已知平面向量 a = (m,3) ， b = (1, m) ，若 a b ，则 m = ________．
2020 年北京师大附中高三临模测试 数学试卷
考 1． 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分； 生 须 2． 考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效. 知 3． 考试结束后，请尽快将答题纸上传至智学网平台.
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，共 40 分. 在各小题列出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请选出符合要求 的选项．
北京北师大附属中学中学部2020年高三数学理联考试题含解析
北京北师大附属中学中学部2020年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 数列为等差数列，为等比数列，，则A． B． C． D．参考答案：D略2. 若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（）A. B. C.D.参考答案：D略3. 满足，且的集合的个数是（）A．1 B．2 C．3D．4参考答案：B4. 已知集合，，则（）A．B．C．D．参考答案：B5. 函数的最大值为 ( )A. B. C. D.参考答案：C,所以函数的最大值为，选C.6. 函数的定义域是（）A． B． C． D．参考答案：D7. 方程x2+x﹣1=0的解可视为函数y=x+与函数y=的图象交点的横坐标，若x4+ax﹣4=0的各实根x1、x2、…、x k（k≤4）所对应的点（x i，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同一侧，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）B．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）C．（6，+∞）D．（﹣6，6）参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】原方程等价于x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标：分a＞0与a＜0讨论，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：方程的根显然x≠0，原方程等价于x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标；而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．若交点（x i，）（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x3与y=交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；所以结合图象可得：或解得a＞6或a＜﹣6，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，∞），故选：B8. 已知函数是偶函数，且，当时，，则方程在区间上的解的个数是（）A．8 B．9 C．10 D．11参考答案：B9. 函数的图像可由的图像向右平移A．个单位 B．个单位 C．个单位 D．个单位参考答案：D略10. 某程序框图如图所示，其中，若输出的，则判断框内应填入的条件为（）A．n＜2017 B．n≤2017C．n＞2017 D．n≥2017参考答案：A【考点】程序框图．【分析】由输出的S的值，可得n的值为2016时，满足判断框内的条件，当n的值为2017时，不满足判断框内的条件，退出循环，从而得解．【解答】解：由S=++…+=（1﹣）+（）+…（﹣）=1﹣==，解得：n=2016，可得n的值为2016时，满足判断框内的条件，当n的值为2017时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值．故判断框内应填入的条件为n＜2017？故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设是定义在R上的偶函数，且对于恒有，已知当时，则（1）的周期是2；（2）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）的最大值是1，最小值是0；（4）当时，其中正确的命题的序号是 .参考答案：（1）（2）（4）12. 设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为__________.参考答案：4略13. 函数的图像在点处的切线斜率为______.参考答案：6【分析】先求得导函数，令求得切线的斜率.【详解】依题意，故，也即切线的斜率为.【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查切线斜率的求法，属于基础题.14. 的展开式中含项的系数为．参考答案：1815. 设函数则方程有实数解的个数为．参考答案：16. 已知函数是定义在上的减函数，函数的图象关于点对称. 若对任意的，不等式恒成立，的最小值是（）A、0B、1C、2D、3参考答案：C略17. 抛物线及其在点和点处的切线所围成图形的面积为参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020 年北京师大附中高三临模测试数学答案
uuur 3) ， BD = (-4,-4,0) ．
设平面
ADE
的一个法向量为
n
=
(x,
y,
z)
，则
ìïïíïïïînn××
uuur AuuDur AE
= 0, = 0.
即
ìïïíïïî--44
x x
= +
0, y+
3z = 0.
令 y 3 ，则 x 0 ， z 1，于是 n = (0, 3,-1) ．
2020 年北京师大附中高三临模测试 数学试卷参考答案
一、选择题,本大题共 10 小题，共 40 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C A D B C D D A
二、填空题，本大题共 6 小题，共 30 分.
11. 3
12. 满足 a b 0 ，15a6 即可
13. 1
如图建立空间直角坐标系 O - xyz ，
因为 AD = 4 ， DE = EF = 2 ，且 ÐEDC = π ，所以 3
DO =1 ， OE = 3 。 则 A(4,-1,0) ， B(4,3,0) ，
C(0,3,0) ， D(0,-1,0) ， E(0,0,
uuur
uuur
3) ， 所以 AD = (-4,0,0) ， AE = (-4,1,
AQ (1 x1, 3k y1) ， QB (x2 1, y2 3k ) ，
所以 4 x1 1 x1 (4 x1)(x2 1) (1 x1)(x2 4)
x2 4 x2 1
(x2 4)(x2 1)
5(x1 x2 ) 2x1x2 8 . (x2 4)(x2 1)
因为 5(x1
2020年北京北师大二附属中学高三数学理测试题含解析
2020年北京北师大二附属中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. ,,则时的值是( )A. B. 或 C. 或 D. 或参考答案：D略2. 向等腰直角三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为参考答案：D3. 已知集合A={x∈Z|x（x﹣3）≤0}，B={x|lnx＜1}，则A∩B=（）A．{0，1，2} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{2，3}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围，确定出整数解得到A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：0≤x≤3，x∈Z，即A={0，1，2，3}，由B中不等式变形得：lnx＜lne，解得：0＜x＜e，即B=（0，e），则A∩B={1，2}．故选：C．4. 下列双曲线中与椭圆有相同焦点的是( )A．B．C．D．参考答案：B考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的方程算出椭圆的焦点为（，0），再算出A、B、C、D各项中的双曲线的焦点坐标，进行对照即可得到正确的选项．解答：解：椭圆中，a2=4，b2=1∴c==，得椭圆的焦点为（，0）双曲线的焦点为（，0），不符合题意；双曲线的焦点为（0，），不符合题意；双曲线的焦点为（，0），不符合题意；∴只有B选项：双曲线的焦点为（，0）符合题意故选：B点评：本题给出椭圆方程，求与圆焦点相同的双曲线，着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5. 如图中的阴影部分由底为，高为的等腰三角形及高为和的两矩形所构成．设函数是图中阴影部分介于平行线及轴之间的那一部分的面积，则函数的图象大致为参考答案：C6. 设集合,，则等于（）A．B．C．D．参考答案：B,，所以，答案选B.7. 设i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限参考答案：D8. 已知，，则（）A．1 B． C． D．参考答案：C本题主要考查平面向量的线性运算和向量的模.,=====,故选C.9. 已知定义在R上的函数，若函数恰好有6个零点，则a有取值范围是A. B.C. D.参考答案：C考点：函数的零点．【名师点睛】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力.将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力.是提高题.10. 设函数的最小正周期为，且，则（）A．在单调递减 B．在单调递减C．在单调递增 D．在单调递增参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则常数p的值等于．参考答案：4略12.的展开式中的系数为；参考答案：略13. 设O为坐标原点，抛物线的准线为，焦点为F，过F斜率为的直线与抛物线C相交于A,B两点，直线AO与相交于D,若，则______.参考答案：略14. 下列五个函数中：①；②；③；④；⑤，当时，使恒成立的函数是________（将正确的序号都填上）.参考答案：【知识点】指数与指数函数对数与对数函数B6 B7【答案解析】②③要使当0＜x1＜x2＜1时，使f( )＞恒成立，可得对任意两点A（x1，f（x1）），B （x2，f（x2）），曲线f（x）在A，B两点横坐标的中点的纵坐标，大于A、B两点的纵坐标的一般，也就是说f（x）的图象“上凸”可以画出①②③④⑤的图象进行判断：在0＜x1＜x2＜1上为上凸的图象：可以看见②③的图象是上凸的，对于⑤可以进行研究：y=cos2x，周期T=π，要求在0＜x1＜x2＜1上是上凸的，如上图：在（，1）上是下凹的，在（0，）上是上凸的，故⑤错误；综上：②③是使f()＞恒成立的函数，故答案为②③；【思路点拨】因为f( )＞恒成立，表示连接两点A（x1，f（x1）），B （x2，f（x2））的线段的中点纵坐标小于f（x）在曲线AB中点（），f()的纵坐标，也就是说f（x）的图象“上凸”．所以只需判断哪个函数的图象“上凸”即可．15. 如图，边长为2的正三角形ABC放置在平面直角坐标系xOy中，AC在x轴上，顶点B与y轴上的定点P重合．将正三角形ABC沿x轴正方向滚动，即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC滚动到△A1B1C1时，顶点B 运动轨迹的长度为；在滚动过程中，的最大值为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意便可知道，点B 的轨迹为两个圆心角都为的圆弧和一个点，这样即可求出点B 的轨迹长度，分别求出点B 在滚动前后的纵坐标的最大值，并求出P （），这样即可求出的最大值．【解答】解：根据题意知，点B的轨迹为两个圆心角为所对的圆弧和一个点；且圆弧的半径为2；∴顶点B运动轨迹的长度为；，设B（x，y）；①没滚动前点B坐标；∴；②第一次滚动后B点纵坐标y≤2；∴；③第二次滚动后B点坐标（3，0）；∴；④第三次滚动后B点纵坐标y≤2；∴；∴的最大值为．故答案为：．16. 已知函数的最小正周期为π，且对任意的实数x 都成立，则ω的值为__；的最大值为___．参考答案：2【分析】由余弦函数最小正周期公式可得，由于对任意的实数都成立等价于，由三角函数值即可出，得到的最大值。
2020届北京各区高三二模数学分类汇编—函数与导数(含答案)
2020北京各区高三二模数学分类汇编—函数与导数1.（2020▪海淀二模）下列函数中，值域为[0,)+∞且为偶函数的是（A ）2y x = （B ）|1|y x =- （C ）cos y x =（D ）ln y x =2．（2020▪西城高三二模）下列函数中，值域为R 且区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）y x x = （C ）1y x -=（D）y =3．（2020▪西城高三二模）设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（A ）a c b >>（B ）a b c >>（C ）b c a >>（D ）b a c >>4．（2020▪西城高三二模）设函数()(1)e x f x x =-．若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a的取值范围是（A ）(0,e]（B ）2(0,e ]（C ）2e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（D ）2e 11,2⎛⎤+ ⎥⎝⎦5.（2020▪东城高三二模）已知三个函数33,3,log xy x y y x ===，则(A)定义域都为R (B)值域都为R (C)在其定义域上都是增函数 (D)都是奇函数 6. （2020▪东城高三二模）已知函数()log a f x x b =+的 图象如图所示，那么函数()xg x a b =+的图象可能为(A) （B ） （C ） （D ）7．（2020▪密云高三二模）在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为A. B. C. D.8. （2020▪密云高三二模）已知，则下列各不等式中一定成立的是A ．B ．C ．D ．9.（2020▪密云高三二模）已知函数满足，且，则A ．16B ．8C ．4D ． 210.（2020▪朝阳高三二模）函数ln ()1xf x x =-的定义域为 （A ）∞（0，+） （B ）⋃∞（0，1）（1，+） （C ）∞[0，+）（D ）⋃∞[0，1）（1，+）11.（2020▪朝阳高三二模）若,,a b c R ∈且a b c >>，则下列不等式一定成立的是(A)22ac bc > (B)222a b c >> (C)2a c b +>(D)a c b c ->-12.（2020▪朝阳高三二模）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m （m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：①()3;f x x =②()3xf x =③3()log f x x =④()tan f x x =其中，在其定义域上具有性质m ψ的函数的序号是 （A ）①③（B ）①④（C ）②③（D ）②④13. （2020▪西城高三（下）6月模拟）函数()1f x x x=-是 (A)奇函数,且值域为()0,+∞(B)奇函数,且值域为R (C)偶函数,且值域为()0,+∞(D)偶函数,且值域为R14. （2020▪西城高三（下）6月模拟）设,,a b c 为非零实数,且a b c >>,则(A)a b b c ->-(B)111a b c<<(C)2a b c +>(D)以上三个选项都不对15.（2020▪昌平高三二模）设，则（A ）（B ）（C ）（D ）16.（2020▪昌平高三二模）点在函数的图象上.若满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则实数的值为（A ） （B ） （C ） （D ）17.（2020▪丰台高三二模）函数()f x =的定义域为（A ）(02), （B ）[02],（C ）(0)(2)-∞+∞,, （D ）(0][2)-∞+∞,,18．（2020▪丰台高三二模）已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()f x（A ）是奇函数，且在定义域上是增函数 （B ）是奇函数，且在定义域上是减函数 （C ）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数 （D ）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数19.（2020▪房山高三二模）函数2()e x f x x =-的零点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）320.（2020▪房山高三二模）已知函数()lg |1|lg |1|f x x x =++-，则()f x（A ）是奇函数，且在(1,)+∞上是增函数 （B ）是奇函数，且在(1,)+∞上是减函数 （C ）是偶函数，且在(1,)+∞上是增函数（D ）是偶函数，且在(1,)+∞上是减函数 21. （2020▪密云高三二模）已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①对任意的 ，且 ，都有 ；② ； ③ 是偶函数；若 ，，，则 ，， 的大小关系正确的是A ．B ．C ．D ．22.（2020▪东城高三二模） 函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的最小正周期是T ，已知,[0,],4()=,(,],242⎧∈⎪⎪⎨⎪-∈⎪⎩T x x f x T T T x x ()()()g x f x a a R =+∈. 给出下列四个判断： ①对于给定的正整数n ，存在∈a R ，使得1()()0ni i T i Tg f n n=⋅⋅=∑成立; ②当=4Ta 时，对于给定的正整数n ，存在(1)∈≠k k R ，使得1()()0ni i T i T g k f n n =⋅⋅=∑成立; ③当=4Ta k(∈k Z )时，函数()()g x f x +既有对称轴又有对称中心; ④当=4T a k(∈k Z )时，()()g x f x +的值只有0或4T . 其中正确判断的有(A)1个(B)2个(C) 3个(D)4个23.（2020▪房山高三二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ，空气的温度是0C θ，经过t分钟后物体的温度C θ可由公式010()e ktθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80C 的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40C ，则k 约等于（参考数据：ln3 1.099≈）（A ）0.6 （B ）0.5 （C ）0.4 （D ）0.324.（2020▪海淀二模）已知函数1,0,()|ln |,0.ax x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩给出下列三个结论：① 当2a =-时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞； ② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0a ≠，则b ∃∈R ，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-.其中，所有正确结论的序号是_______.25.（2020▪东城高三二模） 配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件.由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n 天的需求，称n 为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大).配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）.在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n 为_______.26.（2020▪朝阳高三二模）颗粒物过滤效率η是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为100%out inoutC C C η-=⨯其中out C 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：./),ind L in C 表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：./),ind L 某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示，图中点ij A 的横坐标表示第i 种口罩第j 次测试时out C 的值，纵坐标表示第i 种口罩第j 次测试时in C 的值（i=1,2,j=1,2,3,4）该研究小组得到以下结论:①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高; ②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高;④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低. 其中，所有正确结论的序号是.注:本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.27.（2020▪西城高三（下）6月模拟）已知函数()f x 的定义域为R ,满足()()22f x f x +=,且当(]0,2x ∈时,()23x f x =-.有以下三个结论: ①()112f -=-②当1142a ⎥∈⎛⎤ ⎝⎦，时,方程()f x a =在区间[]4,4-上有三个不同的实根;③函数()f x 有无穷多个零点,且存在一个零点b Z ∈. 其中,所有正确结论的序号是.28.（2020▪房山高三二模）对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,,22,.a b a b a b b a a b -⎧*=⎨-<⎩≥给出下列三个结论：①存在实数a ，b ，c 使得a b b c c a *+**≥成立； ②函数()sin cos f x x x =*的值域为[0,2]； ③不等式2(1)1x x *-*≤的解集是[1,)+∞． 其中正确结论的序号是________．29.（2020▪昌平高三二模） 已知，则的最小值为_________ .30.（2020▪海淀二模）（本小题共14分）已知函数()e (sin cos )x f x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求证：曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线.31．（2020▪西城高三二模）（本小题满分15分）设函数()e cos x f x a x =+，其中a ∈R ． （Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围．32.（2020▪东城高三二模）（本小题15分）已知()sin ()xf x e x ax a =++∈R .（Ⅰ）当2a =-时，求证：()f x 在(0)-∞，上单调递减； （Ⅱ）若对任意0x ≥，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若()f x 有最小值，请直接给出实数a 的取值范围.33.（2020▪朝阳高三二模）(本小题15分)已知函数()()2f x sinx xcosx ax a R =--∈.(I)若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为1. (i)求a 的值;(ii)证明:函数()f x 在区间(0)π，内有唯一极值点; (II)当1a ≤时，证明对任意()0()0x f x π∈>，，.34. （2020▪西城高三（下）6月模拟）(本小题满分15分)设函数()f x axlnx =,其中a R ∈.曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()3,2. (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)求函数()f x 的极值;(Ⅲ)证明:()2xxf x ee>-35.（2020▪昌平高三二模）（本小题14分）已知函数 （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（II ）求函数的单调区间； （III ）当时，比较与的大小.36.（2020▪丰台高三二模）（本小题共15分）已知函数1()e xx f x +=.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，21()12f x x >-+；（Ⅲ）当0x >时，若曲线()y f x =在曲线21y ax =+的上方，求实数a 的取值范围.37.（2020▪房山高三二模）（本小题15分）已知函数cos ()e1sin xx f x x=++． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程； （Ⅲ）求证：当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥．38.（2020▪密云高三二模）（本小题满分14分）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）设函数 ，试判断函数是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． （Ⅲ）当时，写出与的大小关系．2020北京各区高三二模数学分类汇编—函数与导数参考答案1.A2.B3.B4.D5.C6.B7.B8.D9.B 10.B 11.D 12.A 13.B 14.C 15.B 16.C 17.C 18.B 19.B 20.C 21.D 22.C 23.D 24. ②③ 25.5 26. ②④ 27. ① ② 28. ①③ 29.5 30.（本小题共14分）解：（Ⅰ）()e (sin cos )+e (cos sin )x xf x x x x x '=+-2e cos x x =.令()0,f x '>得22()22k x k k πππ-<<π+∈Z . 所以()f x 的单调递增区间为(2,2)22k k πππ-π+()k ∈Z .（Ⅱ）证明：要证曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线，即证方程'()2f x =在区间(0,)2π上有且只有一个解.令()f x '2e cos 2x x ==，得e cos 1x x =.设c (1)e os xg x x =-，则()e cos e sin sin()4x x x g x x x x π'=-=-.当(0,)2x π∈时，令()0g x '=，得4x π=.当x 变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表：所以()g x 在(0,)4上单调增，在(,)42上单调减. 因为0(0)g =,所以当(0,]4x π∈时，()0g x >； 又1(0)2g π=-<，所以当(,)42x ππ∈时，()g x 有且只有一个零点. 所以当(0,)2x π∈时，c (1)e os x g x x =-有且只有一个零点. 即方程2()f x '=，(0,)2x π∈有且只有一个解. 所以曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线. 31．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)f f -=，即ππe 1e 1a a --=-，………………2分解得0a =.验证知0a =符合题意.………………4分（Ⅱ）()e sin x f x x '=-.………………6分由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈-，………………7分则()e sin 0x f x x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数. 故()(0)2f x f >=，即()2f x >.………………9分（Ⅲ）由()e cos 0x f x a x =+=，得cos e xx a =-. 设函数cos ()e xx h x =-，[0,π]x ∈，………………10分 则sin cos ()e xx x h x +'=.………………11分令()0h x '=，得3π4x =. 随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,)4上单调递增，在(,π)4上单调递减.………………13分又因为(0)1h =-，π(π)e h -=，3π43π()4h -=， 所以当3ππ4[e ,)2a --∈时，方程cos e x x a =-在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为3ππ4[e ,)2--.………………15分 32.（本小题15分）（Ⅰ）解：'()cos xf x e x a =++,对于2a =-，当0x <时，1,cos 1x e x <≤，所以'()cos 20x f x e x =+-<.所以()f x 在(),0-∞上单调递减.………………………………4分（Ⅱ）解：当0x =时，()11f x =≥，对于R ∈a ，命题成立，当0x >时，设()cos =++x g x e x a ，则'()sin x g x e x =-.因为1,sin 1>≤x e x ，所以'()sin 11=0x g x e x =->-，()g x 在()0,+∞上单调递增.又(0)2=+g a ，所以()2>+g x a .所以'()f x 在()0,+∞上单调递增，且'()2>+f x a .① 当2a ≥-时，'()0>f x ，所以()f x 在()0,+∞上单调递增.因为(0)1f =，所以()1>f x 恒成立.② 当2a <-时，'(0)20f a =+<，因为'()f x 在[0,)+∞上单调递增，又当ln(2)=-x a 时，'()2cos 2cos 0=-+++=+>f x a x a x ，所以存在0(0,)x ∈+∞，对于0(0,)∈x x ，'()0f x <恒成立.所以()f x 在()00,x 上单调递减，所以当0(0,)∈x x 时，()(0)1<=f x f ，不合题意.综上，当2a ≥-时，对于0x ≥，()1f x ≥恒成立.………………………………13分（Ⅲ）解：0a <.………………………………15分33.（本小题15分）解：（Ⅰ）（ⅰ）因为()2sin cos =--f x x x x ax ，所以()2cos (cos sin )cos sin '=---=+-f x x x x x a x x x a ．因为曲线()=y f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为1，所以(0)1'=f ，即11-=a ，故0=a ．经检验，符合题意．……………4分（ⅱ)由（ⅰ）可知()2sin cos =-f x x x x ，()cos sin '=+f x x x x ．设()()'=g x f x ，则()cos '=g x x x ．令()0'=g x ，又)π(0,∈x ，得2π=x ． 当(0,)2π∈x 时，()0'>g x ；当π(,π)2∈x 时，()0'<g x ， 所以()g x 在π(0,)2内单调递增，在π(,π)2内单调递减． 又(0)1=g ，ππ()22=g ，(π)1=-g ， 因此，当π(0,]2∈x 时，()(0)0>>g x g ，即()0'>f x ，此时()f x 在区间π(0,]2上无极值点； 当π(,π)2∈x 时，()0=g x 有唯一解0x ，即()0'=f x 有唯一解0x ， 且易知当0π(,)2∈x x 时，()0'>f x ，当0(,π)∈x x 时，()0'<f x ， 故此时()f x 在区间π(,π)2内有唯一极大值点0x ． 综上可知，函数()f x 在区间(0,π)内有唯一极值点．……………10分（Ⅱ）因为()cos sin '=+-f x x x x a ，设()()'=h x f x ，则()cos '=h x x x ．令()0'=h x ，又(0,π)∈x ，得π2=x ．且当π(0,)2∈x 时，()0'>h x ；当π(,π)2∈x 时，()0'<h x ， 所以()'f x 在π(0,)2内单调递增，在π(,π)2内单调递减． 当1≤a 时，(0)10'=-≥f a ，()022ππ'=->f a ，()1'π=--f a ． （1）当()10'π=--≥f a ，即1≤-a 时，()0'≥f x ．此时函数()f x 在(0,π)内单调递增，()(0)0>=f x f ；（2）当()10'π=--<f a ，即11-<≤a 时，因为(0)10'=-≥f a ，()022ππ'=->f a ，所以，在π(0,)2内()0'≥f x 恒成立，而在区间π(,π)2内()'f x 有且只有一个零点，记为1x ， 则函数()f x 在1(0,)x 内单调递增，在1(,π)x 内单调递减．又因为(0)0=f ，()(1)0π=-π≥f a ，所以此时()0>f x ．由（1）（2）可知，当1≤a 时，对任意(0,π)∈x ，总有()0>f x ．……………15分34．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由，得，………………2分 则，. 所以曲线在点处的切线为.………………4分 将点代入切线方程，得.………………5分 （Ⅱ）由题意，得，. 令，得.………………7分随着变化，与的变化情况如下表所示： 0 ↘ ↗所以函数在上单调递减，在上单调递增.………………9分 所以函数存在极小值，且极小值为；函数不存在极大值. ………………10分（Ⅲ）“”等价于“”.………………11分 由（Ⅱ），得（当且仅当时等号成立）.①所以.故只要证明即可（需验证等号不同时成立）.………………12分设，，则.………………13分因为当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以（当且仅当时等号成立）.②因为①②两个不等式中的等号不同时成立，所以当时，.………………15分35.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当时，因为，…………….1分所以.…………….2分所以曲线在点处的切线方程为.…………….4分（II）定义域为.因为①当时，恒成立.所以函数在上单调递增.…………….5分②当时，恒成立.所以函数在上单调递增.…………….6分③当时，令，则或.…………….7分所以当时，或；当时，.…………….8分所以函数在和上单调递增，在上单调递减.…………….9分综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.（III）法一：由（Ⅱ）可知，（1）当时，函数在上单调递增；所以当时，因为，所以.…………….10分（2）当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.①当，即时，.所以当时，函数在上单调递减，上单调递增，所以.…………….11分②当，即时，.由上可知，因为，设.因为，所以在上单调递增.所以.所以所以.…………….13分③当，即时，.因为函数在上单调递减，所以当时，.所以.综上可知，当时，.…………….14分（III）法二：因为，①当时，因为，所以.所以.……………10分②当时，因为，所以.所以..11分设.因为，所以当时，或，当时，.…………….12分所以在上单调递减，在上单调递增.……………13分所以.所以当时，.…………….14分36.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为1()e xxf x+=，定义域R，所以'()e x xf x =-.令'()0f x =，解得0x =.随x 的变化，'()f x 和()f x 的情况如下：由表可知函数()f x 在0x =时取得极大值(0)1f =，无极小值.………5分 （Ⅱ）令22111()()11(0)2e 2x x g xf x x x x +=+-=+->， 1e 1'()=(1)()e e e x x x x xg x x x x --+=-=.由0x >得，于是，故函数是上的增函数. 所以当时，，即.………9分 （Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，满足题意.令， . 当时，若，，则在上是减函数.所以时，，不合题意.e 10x->'()0g x >()g x [0)∞,+(0)x ∈∞,+()(0)0g x g >=21()12f x x >-+12a ≤-221()121f x x ax >-+≥+221()()11ex x h x f x ax ax +=--=--1'()2(2)e e x x x x ax x a h =--=-+102a -<<1(0ln())2x a ∈-，'()0h x <()h x 1[0ln()]2a -，1(0ln())2x a ∈-，()(0)0h x h <=当时，则在上是减函数，所以，不合题意.综上所述，实数的取值范围.………15分 37.（本小题15分）解：（Ⅰ）由sin 1x ≠-，得π2π()2x k k ≠-+∈Z 所以()f x 的定义域为π{|2π()}2x x k k ≠-+∈Z （Ⅱ）0cos 0(0)e 21sin 0f =+=+ 22sin (1sin )cos 1()e e (1sin )1sin x x x x x f x x x-+-'=+=-+++（π2π()2x k k ≠-+∈Z ） (0)0f '=所以，曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为2y = （Ⅲ）法一：由1()e 1sin x f x x'=-++， 令1()e 1sin x g x x =-++，则2cos ()e (1sin )x x g x x '=++ 当ππ(,)22x ∈-时，()0g x '>，则()g x 在ππ(,)22-上单调递增，且(0)0g = 所以当π(,0)2x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当π(0,)2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()f x 的极小值为(0)2f = 所以，当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥ 0a ≥'()0h x <()h x (0)∞,+()(0)0h x h <=a 1(]2-∞-,法二：1()e 1sin x f x x'=-++ 当0x =时，01(0)e 01sin 0f '=-+=+； 当(,0)2x π∈-时，sin (1,0),x ∈-1sin (0,1),x +∈11(1,),(,1),1sin 1sin x x -∈+∞∈-∞-++ 2e (e ,1)x π-∈，所以当(,0)2x π∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当(0,)2x π∈时，sin (0,1),x ∈11111sin (1,2),(,1),(1,),1sin 21sin 2x x x -+∈∈∈--++ 2e (1,e )x π∈，所以当(0,)2x π∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 的极小值为(0)2f = 所以，当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥ 38.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当时，，所以，因此．又因为，所以切点为． 所以切线方程为． （Ⅱ）解：．所以．因为，所以． （1）当，即时 因为，所以，故．此时函数在上单调递增．所以函数不存在最小值．（2）当，即时令，因为，所以．与在上的变化情况如下：−0 +所以当时，有极小值，也是最小值，并且．综上所述，当时，函数不存在最小值；当时，函数有最小值．（Ⅲ）解：当时，．。
北京市西城区2020届高三数学第二次模拟考试理科试题
北京市西城区 2020年抽样测试高三数学试卷（理科） 2020.5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A 、B 满足A B A =I ，那么下列各式中一定成立的是（ ） A. AB B. B AC. A B B=U D. A B A =U2. 在复平面内，满足条件(1+z ⋅i)=2的复数z 对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 设向量a =(1, x -1)，b =(x +1,3)，则“x =2”是“a //b ”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 已知一个平面a ，那么对于空间内的任意一条直线a ，在平面a 内一定存在一条直线b ，使得a 与b （ ）A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直题号分数一 二三总分1516171819205. 已知函数()sin f x x =，()f x ¢为()f x 的导函数，那么（ ） A. 将()f x 的图象向左平移2p个单位可以得到()f x '的图象 B. 将()f x 的图象向右平移2p个单位可以得到()f x '的图象C. 将()f x 的图象向左平移p 个单位可以得到()f x '的图象D. 将()f x 的图象向右平移p 个单位可以得到()f x '的图象6. 如果数列{}(R)n n a a Î对任意*,N m n Î满足m n m n a a a +=?，且38a =，那么10a 等于( ) A.1024 B. 512 C. 510 D. 2567. 设斜率为1的直线l 与椭圆22:142x y C +=相交于不同的两点A 、B ，则使||AB 为整数的直线l 共有（ ）A.4条B. 5条C. 6条D. 7条8. 根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α（20πα≤≤）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α的大小以及何时改变方向不定. 如右图. 假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 的面积（单位：平方米）等于（ ） A. 100p B. 100200p - C. 400100p - D. 200北京市西城区 2020年抽样测试高三数学试卷（理科） 2020.5第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 . 9. 函数ln(1)y x =-的反函数是___________.10. 设(2,2),(0,4)AB AC ==uu u r uu u r，则ABC V 的内角A =___________.11. 若291()ax x-的展开式中常数项为84，则a =___________，其展开式中二项式系数之和为_________. (用数字作答)12 设P 为曲线1cos (2sin x y q q q ì=-+ïïíï=+ïî为参数)上任意一点，(3,5)A ，则||PA 的最小值为______________. 13. 已知一个球的表面积为144p ，球面上有P 、Q 、R 三点，且每两点间的球面距离均为3p ，那么此球的半径r =___________，球心到平面PQR 的距离为__________.14. 已知集合{1,2,3,4}A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，i i f ≠)(. 设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任意一个排列，定义数表12341234()()()()a a a a f a f a f a f a ⎛⎫⎪⎝⎭，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为_________.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分12分）已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的值域和最小正周期； （Ⅱ）设(0,)a p Î，且()1f α=，求α的值.16.（本小题满分12分）甲，乙两人射击，每次射击击中目标的概率分别是11,34. 现两人玩射击游戏，规则如下：若某人某次射击击中目标，则由他继续射击，否则由对方接替射击. 甲、乙两人共射击3次，且第一次由甲开始射击. 假设每人每次射击击中目标与否均互不影响. (Ⅰ) 求3次射击的人依次是甲、甲、乙的概率；(Ⅱ) 若射击击中目标一次得1分，否则得0分(含未射击). 用ξ表示乙的总得分，求ξ的分布列和数学期望.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,1,2AB BC AB BC AA ^===，D 是AA 1的中点. (Ⅰ) 求异面直线11AC 与1B D 所成角的大小； (Ⅱ) 求二面角C-B 1D-B 的大小；(Ⅲ) 在B 1C 上是否存在一点E ，使得//DE 平面ABC ? 若存在，求出1B EEC的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分14分）设a ∈R，函数1,0,())1,0.a x x f x x a x ⎧-+<⎪=--> (Ⅰ) 当a =2时，试确定函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 若对任何x ∈R ，且0x ≠，都有()1f x x >-，求a 的取值范围.C BC 1 B 1A A 1D已知AOB V 的顶点A 在射线:(0)l y x =>上， A , B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足||||3AM MB ?. 当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W . (Ⅰ) 求轨迹W 的方程；(Ⅱ)设P (-1,0)，Q (2,0)，求证：2MQP MPQ ??.20.（本小题满分14分）已知f 是直角坐标平面xOy 到自身的一个映射，点P 在映射f 下的象为点Q ，记作()Q f P =. 设1P 11(,)x y ，2132(),()P f P P f P ==,1,(),n n P f P -=L L . 如果存在一个圆，使所有的点*(,)(N )n n n P x y n Î都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点(,)n n n P x y 的一个收敛圆. 特别地，当11()P f P =时，则称点1P 为映射f 下的不动点. (Ⅰ) 若点(,)P x y 在映射f 下的象为点(2,1)Q x y -.○1 求映射f 下不动点的坐标；○2 若1P 的坐标为(1,2)，判断点*(,)(N )n n n P x y n Î是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由. (Ⅱ) 若点(,)P x y 在映射f 下的象为点(1,)22x y x yQ +-+,1P (2,3). 求证：点*(,)(N )n n n P x y n Î存在一.北京市西城区 2020年抽样测试参考答案高三数学试卷（理科） 2020.5一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. e 1(R)x y x =+? 10. 45o 11. 1，512 12. 4 13. 6， 14. 216 注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：()cos (sin cos )1f x x x x =-+2sin cos cos 1x x x =?+11cos2sin 2122x x +=-+ ---------------------------2分11(sin 2cos2)22x x =-+1)42x p =-+， ---------------------------4分 因为1sin(2)14xp-??(其中x ÎR )，1)42x p ?+?， 即函数()f x的值域为11[]22-+. ---------------------------6分函数()f x 的最小正周期为22T pp ==. ---------------------------8分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得1())1242f p a a =-+=，所以sin(2)42p a -=----------------------------9分因为0<<a p ，所以72444p p pa -<-<， ----------------------------10分 所以32,24444p p p pa a -=-=或， 所以 ,42p pa a ==或. ---------------------------12分16.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：记 “3次射击的人依次是甲、甲、乙” 为事件A . ---------------------------1分由题意，得事件A 的概率122()339P A =?； ---------------------------5分 （Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0,1,2， ---------------------------6分11123237(0)++33334349P x ==创创=； 12121313(1)+33434472P x ==创创=； 2111(2)=34424P x ==创.所以，x 的分布列为：---------------------------10分x 的数学期望7131190129722472E x =???. ---------------------------12分 17.（本小题满分14分）方法一：（Ⅰ）解：如图，设F 为BB 1的中点，连接AF ，CF ， Q 直三棱柱111ABC A B C -，且D 是AA 1的中点， 111//,//AF B DAC AC\，CAF \?为异面直线11AC 与1BD 所成的角或其补角. -----------2分 在Rt ABF V 中，BF AB ^，AB =1，BF =1，AF \=CF =在ABC V 中，,1,AB BC AB BC ^==Q AC \=在ACF V 中，AC AF CF ==Q ，60CAF\?o，C G BC 1 B 1AA 1 DEF\异面直线11AC 与1B D 所成的角为60o. ----------------------------4分（Ⅱ）解：Q 直三棱柱111ABC A B C -，1B B BC \^， 又1,AB BC AB BB B ^=I ，BC \^平面1ABB D . ---------------------------5分如图，连接BD ，在1BB D V 中，112BD B D BB ===Q ，22211BD B D BB \+=，即1BD B D ^，BD Q 是CD 在平面1ABB D 内的射影，1CD B D \^，CDB \?为二面角C -B 1D -B 的平面角. ---------------------------7分在BCD V 中, 90CBD?o , BC=1, BD =tan BC CDBBD \?=,\二面角C -B 1D -B 的大小为arctan---------------------------9分 （Ⅲ）答：在B 1C 上存在一点E ，使得//DE 平面ABC ，此时11B EEC=.----------------------10分 以下给出证明过程.证明：如图，设E 为B 1C 的中点，G 为BC 的中点，连接EG ，AG ，ED ， 在1BCB V 中，1,BG GC B E EC ==Q ，1//EG BB \，且112EG BB =， 又1//AD BB ，且112AD BB =，//,EG AD EG AD \=， \四边形ADEG 为平行四边形，//DE AG \， ---------------------------12分 又AG Ì平面ABC ，DE Ë平面ABC ，\//DE 平面ABC . ---------------------------14分 方法二：（Ⅰ）如图，以B 为原点，BC 、BA 、BB 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，则111(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2),(1,0,2),(0,1,2),(0,1,1)B C A B C A D ，111(1,1,0),(0,1,1)AC B D =-=-uuu u r uuu rQ , ---------------------------2分 1111111111cos ,2||||AC B D AC B D AC B D ×\<>==-×uuu u r uuu ruuu u r uuu r uuu u r uuu r ， \异面直线11AC 与1B D 所成的角为60o. ---------------------------4分（Ⅱ）解：Q 直三棱柱111ABC A B C -，1B B BC \^， 又1,AB BC AB BB B ^=I ，BC \^平面1ABB D . ---------------------------5分如图，连接BD ，在1BB D V 中，112BD B D BB ===Q ，22211BD B D BB \+=，即1BD B D ^，BD Q 是CD 在平面1ABB D 内的射影，1CD B D \^，CDB \?为二面角C -B 1D -B 的平面角. ---------------------------7分(1,1,1),(0,1,1)DC DB =--=--uuu r uu u rQ ，cos ||||DC DB CDBDC DB ×\?=×uuu r uu u r uuu r uu u r \二面角C -B 1D -B 的大小为 -----------------------------9分 （Ⅲ）同方法一. ---------------------------14分 18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当0x <时，1()2f x x=-+， 因为21()0f x x ¢=>， 所以()f x 在(,0)-?上为增函数； ---------------------------3分 当0x >时，()2)1f x x =--，1()f x ¢=， ---------------------------4分 由()0f x ¢>，解得23x >，由()0f x ¢<，解得203x <<，所以()f x 在2(,)3+?上为增函数，在2(0,)3上为减函数.综上，()f x 增区间为(,0)-?和2(,)3+?，减区间为2(0,)3. ---------------------------7分（Ⅱ）解：当0x <时，由()1f x x >-，得11a x x -+>-，即 11a x x>+-， 设 1()1g x x x=+-，所以1()[()()]113g x x x=--+--≤-=-（当且仅当1x =-时取等号）， 所以当1x =-时，()g x 有最大值3-， 因为对任何0x <，不等式11a x x>+-恒成立， 所以 3a >-； ---------------------------10分当0x >时，由()1f x x >-)11x a x -->-，即a x <-，设()h x x =-，则211())24h x x =--，12，即14x =时，()h x 有最小值14-，因为对任何0x >，不等式a x <-恒成立，所以 14a <-. --------------------------13分 综上，实数a 的取值范围为134a -<<-. ---------------------------14分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为A , B 两点关于x 轴对称，所以AB 边所在直线与y 轴平行.设M (x , y )，由题意，得(),(,)A x B x -， ----------------------------2分所以||,||AM y MB y =-=，因为||||3AM MB ?，所以)()3y y -⨯+=，即2213y x -=， ----------------------------5分所以点M 的轨迹W 的方程为221(0)3y x x -=>. -----------------------------6分（Ⅱ）证明：设000(,)(0)M x y x >，因为曲线221(0)3y x x -=>关于x 轴对称，所以只要证明“点M 在x 轴上方及x 轴上时，2MQP MPQ ∠=∠”成立即可. 以下给出“当00y ≥时，2MQP MPQ ∠=∠” 的证明过程.因为点M 在221(0)3y x x -=>上，所以01x ≥.当x 0=2时，由点M 在W 上，得点(2,3)M ，此时,||3,||3MQ PQ MQ PQ ⊥==， 所以,42MPQ MQP ππ∠=∠=，则2MQP MPQ ∠=∠； --------------------------8分当02x ¹时，直线PM 、QM 的斜率分别为0000,12PM QM y y k k x x ==+-， 因为0001,2,0x x y ≥≠≥，所以0001PM y k x =≥+，且0011PM yk x =≠+，又tan PM MPQ k ∠=，所以(0,)2MPQ π∠∈，且4MPQ π∠≠，所以22tan tan 21(tan )MPQ MPQ MPQ ∠∠=-∠00002220000212(1)(1)1()1y x y x yx y x ⨯++==+--+，---------------10分 因为点M 在W 上，所以220013y x -=，即22033y x =-， 所以tan 2MPQ ∠000220002(1)(1)(33)2y x y x x x +==-+---，因为tan QM MQP k ∠=-，所以tan tan 2MQP MPQ ∠=∠， -----------------------------12分 在MPQ ∆中，因为(0,)2MPQ π∠∈，且4MPQ π∠≠，(0,)MQP π∠∈，所以2MQP MPQ ∠=∠. 综上，得当00y ≥时，2MQP MPQ ∠=∠.所以对于轨迹W 的任意一点M ，2MQP MPQ ∠=∠成立. -----------------------------14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）○1解：设不动点的坐标为000(,)P x y ， 由题意，得000021x x y y ì=ïïíï=-ïî，解得0010,2x y ==，所以映射f 下不动点为01(0,)2P . ---------------------------2分 ○2结论：点(,)nnnP x y 不存在一个半径为3的收敛圆. 证明：由1(1,2)P ，得234(2,1),(4,2),(8,1)P P P --，所以14||6PP =，则点14,P P 不可能在同一个半径为3的圆内， 所以点(,)n n n P x y (n ÎN *)不存在一个半径为3的收敛圆. --------------------------5分（Ⅱ）证明：由1(2,3)P ，得271(,)22P -. 由1()n n P f P +=，得11122n n n n n n x y x x y y ++ì+ïï=+ïïíï-ï=ïïïî， ---------------------------7分 所以11111,1n n n n n n x y x x y y +++++=+-=+，由21()n n P f P ++=，得112112122n n n n n n x y x x y y ++++++ì+ïï=+ïïïíï-ï=ïïïî， 所以221311,2222n n n n x x y y ++=+=+， ---------------------------9分 即22113(3),1(1)22n n n n x x y y ++-=--=-，由1230,30x x -??，得30n x -?，同理10n y -?，所以223111,3212n n n n x y x y ++--==--，所以数列212{3},{3}(n n x x n ---?N *)都是公比为12的等比数列，首项分别为 12131,32x x -=--=，所以112121113(),3()222n n n n x x ----=--=?， 同理可得1121213112(),1()222n n n n y y ----=?=-?. ---------------------------12分 所以对任意n ÎN *，|3|1,|1|2n n x y -??，设(3,1)A ，则||n AP =所以||n AP £故所有的点*(N )n P n Î都在以(3,1)A即点(,)n n n P x y 的收敛圆. -------------------------14分。
2020年北京师范大学附属高级中学高三数学理模拟试卷含解析
2020年北京师范大学附属高级中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数的周期为4，且当时，其中．若方程恰有5个实数解，则的取值范围为 ( )A． B． C． D．参考答案：B【知识点】函数与方程解析：因为当x∈(-1,1)时，将函数化为方程，为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当x∈(1,3)的图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得，令，则由，得t＞15,所以，又m＞0，得，同样由与第三个椭圆无交点，△＜0，得，综上可知，所以选B.【思路点拨】一般遇到方程的根的个数或函数的图像的交点个数问题，通常利用数形结合进行解答.2. 设F1，F2是椭圆E的两个焦点，P为椭圆E上的点，以PF1为直径的圆经过F2,若不等式则椭圆E的离心率为( )A．B． C. D．参考答案：D3. 设点P是曲线上的任意一点，P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A．B．C．D．参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角．【专题】计算题．【分析】求出曲线解析式的导函数，根据完全平方式大于等于0求出导函数的最小值，由曲线在P点切线的斜率为导函数的值，且直线的斜率等于其倾斜角的正切值，从而得到tanα的范围，由α的范围，求出α的范围即可．【解答】解：∵y′=3x2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又∵0≤α≤π，∴0≤α＜或．则角α的取值范围是[0，）∪[，π）．故选C．【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用切线的斜率与倾斜角之间的关系k=tanα进行求解．4. 公差不为0的等差数列{}的前21项的和等于前8项的和．若，则k＝( )A．20 B．21 C．22 D．23参考答案：C5. 设，，，则（）A. B. C. D.参考答案：A略6. 已知向量a =（x，1），b =（3，6），a b，则实数的值为（）A． B． C．D．参考答案：B7. 已知复数z满足(i是虚数单位)，则( )A．B．C．D．参考答案：A8. 已知定义在上的偶函数的导函数为，对定义域内的任意x，都有成立，则使得成立的x的取值范围为（）（A）（B）(－2,0)∪(0,2)（C）(－∞,－2)∪(2,+∞)（D）(－∞,－2)∪(0,2)参考答案：C9. 已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则（）A. 27B.3C. 或3D.1或27参考答案：A10. 已知直线与圆：相交于A，B两点（O为坐标原点），则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A易知斜边上的高为,则由点到直线距离公式得，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故选.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数有下列4个命题：①若，则的图象关于直线对称；②与的图象关于直线对称；③若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；④若为奇函数，且，则的图象关于直线对称.其中正确的命题为________参考答案：①②③④12. 在中，“ ”是“ ”▲的条件．参考答案：【知识点】充分条件、必要条件A2【答案解析】充要条件 若sinA ＞sinB 成立，由正弦定理 =2R ，所以a ＞b ，所以A ＞B ．反之，若A ＞B 成立，所以a ＞b ，因为a=2RsinA ，b=2RsinB ，所以sinA ＞sinB ， 所以sinA ＞sinB 是A ＞B 的充要条件．故答案为：充要条件．【思路点拨】由正弦定理知，由sinA ＞sinB ，知a ＞b ，所以A ＞B ，反之亦然，故可得结论．13. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为_____．参考答案：【分析】根据三视图还原几何体，设球心为，根据外接球的性质可知，与和正方形中心的连线分别与两个平面垂直，从而可得到四边形为矩形，求得和后，利用勾股定理可求得外接球半径.【详解】由三视图还原几何体如下图所示：设中心为，正方形中心为，外接球球心为则平面，平面，为中点四边形为矩形，外接球的半径：本题正确结果：【点睛】本题考查多面体外接球半径的求解，关键是能够根据球的性质确定球心的位置，从而根据长度关系利用勾股定理求得结果.14. 的展开式中，含项的系数为 （用数字作答）参考答案：15. 已知函数，给出下列五个说法： ①；②若，则；③在区间上单调递增； ④将函数的图象向右平移个单位可得到的图象；⑤的图象关于点成中心对称．其中正确说法的序号是 .参考答案：①④16. 若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知数列满足，现给出以下命题：①若，则可以取3个不同的值②若，则数列是周期为的数列③且，存在，是周期为的数列④且，数列是周期数列。
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师大附中2020届高三第二次模拟卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2020·江西联考]设集合，，则（）A．B．C．D．2．[2020·马鞍山期末]已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（）A．30 B．31 C．32 D．333．[2020·菏泽联考]设，满足约束条件，则的最大值为（）4．[2020·渭南质检]一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．B．C．D．5．[2020·桂林联考]已知各项都为正数的等比数列，满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（）A．2 B．C．D．16．[2020·濮阳一模]函数的图象大致为（）A．B．C．D．7．[2020·郴州一中]已知函数的图象经过点和，当时，方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是（）A． B．C．D．8．[2020·厦门期末]习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．下图是求大衍数列前项和的程序框图．执行该程序框图，输入，则输出的（）A．44 B．68 C．100 D．1409．[2020·福州期末]设数列的前项和为，，且．若，则的最大值为（）A．51 B．52 C．53 D．5410．[2020·玉林联考]若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“开心数”．例如：32是“开心数”．因不产生进位现象；23不是“开心数”，因产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（）A．9 B．10 C．11 D．1211．[2020·商丘模拟]已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于原点对称，则的取值范围是（）A．B．C． D．12．[2020·通州期末]如图，各棱长均为的正三棱柱，，分别为线段，上的动点，若点，所在直线与平面不相交，点为中点，则点的轨迹的长度是（）A．B． C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2020·南通调研]已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部为_________．14．[2020·临川一中]已知圆过点，，，则圆的圆心到直线：的距离为__________．15．[2020·嘉兴期末]在锐角中，内角，，所对的边分别是，，，若，则的取值范围是________．16．[2020·吕梁一模]已知抛物线的焦点为，点长为，若，则_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2020·辽师附中]已知，，设函数．（1）求函数的单调增区间；（2）设的内角，，所对的边分别为，，，且，，成等比数列，求的取值范围．18．[2020·衡水金卷]“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2020年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．19．[2020·宁德一模]如图，矩形中，，，点是上的动点．现将矩形沿着对角线折成二面角，使得．（1）求证：当时，；（2）试求的长，使得二面角的大小为．20．[2020·沧州质检]对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为．利用此结论解答下列问题．点是椭圆上的点，并且椭圆在点处的切线斜率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点在直线上，经过点的直线，与椭圆相切，切点分别为，．求证：直线必经过一定点．21．[2020·湖北联考]已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，函数有两个零点，且．求证：．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．[2020·广元一模]选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值．23．[2020·会宁一中]选修4—5:不等式选讲已知，．（1）求的最小值（2）证明：．理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】由题意得，∴．选A．2．【答案】B【解析】阅读茎叶图可知乙组的中位数为：，结合题意可知：甲组的中位数为33，即，则甲组数据的平均数为：．本题选择B选项．3．【答案】C【解析】所以，过时，取得最大值为12．故选C．4．【答案】B【解析】根据题意得到原图是底面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥，故得到体积为：．故答案为：B．5．【答案】B【解析】正项等比数列满足：，可得，即，，，，，，，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故选B．6．【答案】C【解析】，所以函数是偶函数，关于轴对称，排除A、D，当时，，排除B，故选C．7．【答案】D【解析】因为点在函数图象上，，，，又点在函数图象上，，，，，，当方程有两个不等的实根时，已知函数的图象与直线有两个不同，由图象可知，，故选D．8．【答案】C【解析】第1次运行，，，，不符合，继续运行；第2次运行，，不符合，继续运行；第3次运行，，不符合，继续运行；第4次运行，，不符合，继续运行；第5次运行，，不符合，继续运行；第6次运行，，不符合，继续运行；第7次运行，，不符合，继续运行；第8次运行，，符合，退出运行，输出；故选C．9．【答案】A【解析】若为偶数，则，，，所以这样的偶数不存在，若为奇数，则，若，则当时成立，若，则当不成立，故选A．10．【答案】D【解析】根据题意个位数需要满足要求：∵，即，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足：，∴，∴十位可以取0，1，2，3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4=12个．故选：D．11．【答案】D【解析】函数的图象与函数的图象关于原点对称，若函数（）的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于原点对称，则函数（）的图象与函数的图象有交点，即方程（）有解，即（）有解，令，则，当时，，当时，，故当时，取最小值3，由，，故当时，取最大值，故，故选：D．12．【答案】B【解析】由题意，点，所在直线与平面不相交，则平面，过作交于，过作，连结，得，，，则平面平面，则∥平面，因为为线段上的动点，所以这样的有无数条，其中中点的轨迹的长度等于底面正的高，故选B．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】，所以复数的实部为．14．【答案】【解析】由题知，圆心坐标为，则．15．【答案】【解析】因为，所以，，，因为锐角，所以，，，，，．16．【答案】1【解析】将点坐标代入抛物线方程得，解得，即，，由于为圆的半径，而，所以，，故，即，两边平方化简得，解得，故，．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．【答案】（1），；（2）．【解析】（1），·····3分令，则，，所以函数单调递增区间为，．·······6分（2）由可知（当且仅当时取等号），·······8分所以，，，综上的取值范围为．·······12分18．【答案】（1）（2）（3）的分布列为∴．【解析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．·······3分（2）①∵服从正态分布，且，，∴，∴落在内的概率是．·······3分②根据题意得，；；；；．·······11分∴的分布列为∴．·······12分19．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】解:（1）连结，．在矩形中，,，,．在中，∵,，∵，，即．·······2分又在中，，∴在中，,,·······4分又,∴平面．·······5分∴．·······6分（2）解：在矩形中，过作于，并延长交于．沿着对角线翻折后，由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，平面,为平面的一个法向量．·······7分设平面的法向量为，，，，由得取则，，．·······9分即,．·······11分当时，二面角的大小是．·······12分20．【答案】（1）（2）直线必经过一定点【解析】（1）∵椭圆在点处的切线方程为，其斜率为，∴．·······1分又点在椭圆上，∴．·······2分解得，．∴椭圆的方程为；·······4分（2）设，，，则切线，切线．·······6分∵都经过点，∴，．即直线的方程为．·······7分又，·······8分∴，即．·······10分令得∴直线必经过一定点．·······12分21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）·······1分①当时，在上单调递增；·······2分②当时，在上单调递增，在上单调递减····4分（2）当时，，由已知得：，，·······5分两式相减得：，，，，·······8分令，设，，在上单调递增，，即，又，，·······12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）将方程消去参数得，∴曲线的普通方程为，·······12分将，代入上式可得，∴曲线的极坐标方程为：．·······5分（2）设两点的极坐标方程分别为，，由消去得，·······7分根据题意可得，是方程的两根，∴，，∴．·······10分23．【答案】（1）3；（2）证明见解析．【解析】（1）因为，，所以,即，当且仅当时等号成立，此时取得最小值3．·······5分（2）．·······10分。