小学数学《格点问题》练习题(含答案)

合集下载

四年级奥数题及答案-求格点图案面积

四年级奥数题及答案-求格点图案面积
【题目】以下这张图里的三个格点图案面积分别是多少?
【解析】
这三个图形都适合用格点面积公式计算面积：
格点多边形面积 = 内格点个数 + 边格点数÷ 2 - 1
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。

我们先来看喇叭图案：
这个图案周界上有8个格点，图内却没有格点，那么利用格点面积公式我们可以求得这个喇叭形状的面积为：0+8÷2-1=3;
接下来这只小猫的图案：
小猫图案的周界上有20个格点，而图内有2个格点，面积为：2+20÷2-1=11;
小狗图案同理：
我们可以看到小狗图案是由两个格点多边形组成，那我们可以将两个图案分开求解，先求出每个格点多边形的面积，再求出总面积。

躯干面积：0+12÷2-1=5;
尾巴面积：0+4÷2-1=1;
总面积：5+1=6。

我们在计算像小狗图案这样的有两个或以上的独立格点多边形组成的图案时，可以先求每个独立的格点多边形的面积，再进行求和计算总面积，这样可以避免数漏多个独立图形公共格点而导致计算错误。

小学四年级奥数分类专项思维练习(7)格点与面积(含答案)

小学四年级奥数专项练习（七）格点与面积（一）填空题:1.下列的图形中,三角形的面积是_________(面积单位)。

2.下列多边形的面积是_________(面积单位)。

3.求右边多边形的面积,填在相应的括号里:a=（）b=（）4.用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少?5.右图有12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米,这些点可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形?6.右图是由8个钉组成的不规则钉阵,我们依次给它们编号,分别为1,2,3,4,5,6,7,8。

这1,3,5;2,3,4;6,7,8分别在一条直线上,用皮筋去套这些钉,一共可以套出多少个三角形?（二）解答题1.下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?2．下图中有A1 A2,…,A10共10个点,以这些点为顶点,可以画多少个不同的三角形?3．在圆周上任意给定6个点,在圆内再选4个点,使得以这10个点为顶点构成尽可能多的彼此不重叠的三角形。

这些三角形最多有多少个?格点与面积（一）填空题:1.下列的图形中,三角形的面积是_________(面积单位)。

答案：8。

解析：设图形内的点为V,图形边上的点为L,则面积为L÷2-1+V。

2.下列多边形的面积是_________(面积单位)。

答案：36。

解析：可以分成一个长方形和三角形，设图形内的点为V,图形边上的点为L,则面积为L÷2-1+V。

3.求下列多边形的面积,填在相应的括号里:a=（）b=（）答案：a=10+9÷2-1 b=30+15÷2-1=13.5 =36.5解析：设图形内的点为V,图形边上的点为L,则面积为L÷2-1+V。

小学奥数格点型面积精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶⑷【考点】格点型面积【难度】2星【题型】判断【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【答案】⑴是格点多边形【例 2】如图，计算各个格点多边形的面积．⑶⑵⑴⑹⑸⑷【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 12L S N =+-例题精讲4-2-7.格点型面积图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)；图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)；图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【答案】图⑴16；图⑵15；图⑶10；图⑷15；图⑸12；图⑹18．【例 3】如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【解析】方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b )，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【答案】10【例 4】右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛【解析】扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )．【答案】4【例 5】分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【解析】利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．【巩固】求下列各个格点多边形的面积．（1）（2）（3）（4）【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)；⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)；⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【答案】⑴15；⑵ 20；⑶14；⑷17【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【解析】图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理，则1182LS N =+-=(单位面积)．【答案】18【例 7】右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．H GFED C BA【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【解析】箭形ABCDEFGH 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)．【答案】46【例 8】比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【解析】 ①的面积为：1112111313222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，②的面积也为3223⨯÷=。

小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案30格点型面积(二)

年级四年级学科奥数版本通用版课程标题格点型面积（二）上一节中，我们主要学习了正方形格点面积，这一节，我们主要学习三角形格点面积。

三角形格点面积公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有：S ＝2×N ＋L －2。

也就是说，格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与图形周界上格点数的和减去2。

例1 如下图（a ），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是正三角形。

每个小正三角形的面积均为1（面积单位），计算△ABC 的面积。

分析与解：解法一：如图（b ）所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出△ABC 的面积为10.解法二：如图（c ）所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE 中有6个小正三角形，而△ABE 的面积是平行四边形ARBE 面积的一半，即ABC S ∆＝3，平行四边形ADCH 中有4个小正三角形，而△ADC 的面积是平行四边形ADCH 面积的一半，即ADC S ∆＝2。

平行四边形FBGC 中有8个小正三角形，而△FBC 的面积是平行四边形FBGC 面积的一半，即FBC S ∆＝4。

所以三角形ABC 的面积是1＋2＋3＋4＝10（面积单位）。

解法三：因为N ＝4，L ＝4，所以S ＝2×N ＋L －2＝2×4＋4－2＝10（面积单位）。

例2 如下图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC 的面积。

分析与解：因为N＝5，L＝3，所以S＝2×N＋L－2＝2×5＋3－2＝11（面积单位）。

例3如图，如果每一个小正三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？分析与解：解法一：正三角形格点阵中多边形面积＝（2N＋L－2）个单位正三角形面积，其中N 为图形内格点数，L为图形周界上格点数。

四年级高思奥数之格点与割补含答案

第19讲格点与割补内容概述明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式.典型问题兴趣篇1．图19-l中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米?2．图19-2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米?3．图19-3中每个小正方形的面积均为2平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米?4．图19-4是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为l平方厘米．三个多边形的面积分别为多少平方厘米?5．如图19-5所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米?6．图19-6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积．(单位：厘米)7．如图19-7所示，在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH的面积．8．如图19-8所示，四边形ABCD是长方形，长AD等于7厘米，宽AB等于5厘米，四边形CDEF是平行四边形．如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米?9．如图19-9所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?10．在图19-10中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积．拓展篇1. 图19-11中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为l平方厘米．这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?2. (1)图19-12中每个小正方形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?(2)图19-13中每个小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?3．图19-14中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?4．如图19-15和图19-16，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点．已知图19-15中阴影部分的面积是294平方分米．请问：图19-16中的阴影部分的面积是多少平方分米?5．如图19-17，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米?6．如图19-18所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．请问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?7．图19-19中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?8．图19-20中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，求阴影部分的面积．9．图19-21是一个边长为l米的正方形和一个等腰梯形拼成的“火炬”．梯形的上底长1.5米，A为上底的中点，B为下底的中点，线段AB恰好是梯形的高，长为0.5米，CD长为0.3米．图中阴影部分的面积是多少平方米?10．在图19-22中，每一个小正方形的面积都是1平方厘米．用粗线围成的图形面积是多少平方厘米?11．如图19-23，正方形网格的总面积等于96平方厘米，求阴影图形的面积．12．如图19-24，每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?超越篇1．图19-25中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?2．如图19-26，平面上有16个点，相邻两点间隔为1厘米．在每个点都钉上钉子，形成4行4列的正方形钉阵．现在有许多皮筋，请问：可以套出多少种不同面积的三角形?(面积相同但形状不同的三角形算一种)3．已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图19-27中不同方式切割(切割点均为等分点)，形成的阴影部分面积各是多少平方厘米?4. 图19-28为一个边长为2厘米的正方形，分别连接顶点与对应边中点．围成的阴影部分的面积为多少平方厘米?5．如图19-29所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米?(单位：厘米)6. 如图19-30所示，这个多边形六条边的长度分别是1、2、3、4、5、7．问：这个图形的面积最大可能是多少?7．如图19-31，有一个80×100的长方形网格，它的四个顶点分别为A、B、C、D．已知图中每一个小方格的面积都是l，请选出一个合适的格点P，使得三角形PAC的面积尽可能小(不能等于0)，那么这个最小的面积是多少?8．正12边形的边长为1厘米，阴影部分都是正三角形(边长也为l厘米)，如图19-32．那么空白部分面积等于多少平方厘米?第19讲格点与割补内容概述明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式.典型问题兴趣篇1．图19-l中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：4平方厘米2平方厘米8平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=0，L=10，则用粗线围成图形的面积为：（0+10÷2-1)×1=4(平方厘米) 有N=0，L=10，则用粗线围成图形的面积为：（1+4÷2-1)×1=2(平方厘米) 有N=5，L=8，则用粗线围成图形的面积为：（5+8÷2-1)×1=8(平方厘米)2．图19-2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 答案：5平方厘米5平方厘米0.5平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=4，L=4，则用粗线围成图形的面积为：（4+4÷2-1)×1=5(平方厘米) 有N=4，L=4，则用粗线围成图形的面积为：（4+4÷2-1)×1=5(平方厘米) 有N=0，L=3，则用粗线围成图形的面积为：（0+3÷2-1)×1=0.5(平方厘米)3．图19-3中每个小正方形的面积均为2平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米? 答案：19平方厘米【分析】方法：交点组成了正方形格点，正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=7，L=17，则用粗线围成图形的面积为：（7+7÷2-1)×2=19(平方厘米)4．图19-4是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为l平方厘米．三个多边形的面积分别为多少平方厘米?答案：6平方厘米6平方厘米14平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=0，L=8，所以用粗线围成的图形的面积为：(0×2+8-2)×1=6(平方厘米)．有N=2，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(2×2+4-2)×1=6(平方厘米)．有N=4，L=7，所以用粗线围成的图形的面积为：(4×2+7-2)×1=14(平方厘米)．5．如图19-5所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米?答案：20平方厘米10平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．有N=4，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(4×2+4-2)×1=10(平方厘米)．6．图19-6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积．(单位：厘米)答案：32平方厘米【分析】3×2+2×4+（5-2）×（3+1+2）=327．如图19-7所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形．EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．答案：16平方厘米【分析】先算正方形面积6×6=36 再算左上角和右下角三角形面积2×2÷2×2=4 后算左下角和右上角三角形面积4×4÷2×2=16 36-4-16=168．如图19-8所示，四边形ABCD 是长方形，长AD 等于7厘米，宽AB 等于5厘米，四边形CDEF 是平行四边形．如果BH 的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米?答案：25平方厘米【分析】 CDEF S 平行四边形=DC×BC=5×7=35，HC=BC-BH=7-3=4，所以CDH S =12×CD×HC=12×5×4=10． S 阴影=CDEF S 平行四边形-CDHS =35-10=25(平方厘米).9．如图19-9所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?答案：50平方厘米【分析】如下图，我们将大正方形中的所有图形分成A 、B 两种三角形．其中含有A 形三角形8个，B 形三角形16个，其中阴影部分含有A 形三角形4个，B形三角形8个．方形面积的12，即为所以，阴影部分面积恰好为大正12×10×10=50(平方厘米)．10．在图19-10中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积．答案：14平方厘米【分析】方法：转化为正方形格点，正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=3，L=3，则用粗线围成图形的面积为：（3+3÷2-1)×4=14(平方厘米)拓展篇1. 图19-11中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为l平方厘米．这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：7.5平方厘米 6.5平方厘米9平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=4，L=9，则用粗线围成图形的面积为：（4+9÷2-1)×1=7.5(平方厘米) 有N=3，L=9，则用粗线围成图形的面积为：（3+9÷2-1)×1=6.5(平方厘米) 有N=4，L=12，则用粗线围成图形的面积为：（4+12÷2-1)×1=9(平方厘米)2. (1)图19-12中每个小正方形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?(2)图19-13中每个小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?答案：17平方厘米56平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=3，L=13，则用粗线围成图形的面积为：（3+13÷2-1)×2=17(平方厘米) 【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=4，L=8，所以用粗线围成的图形的面积为：(4×2+8-2)×4=56(平方厘米)．3．图19-14中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?答案：14平方厘米【分析】方法：可用公式先算出整个图形的面积，在减去中间空白部分的面积。

小学数学《格点与面积》练习题(含答案)

小学数学《格点与面积》练习题（含答案）内容概述同学们，一看这个题目，你一定会有许多疑问：什么是格点?格点与面积之间又有什么关系等等．这一节我们就来探讨这些问题。

在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧！正方形格点问题正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.【例1】判断下列图形哪些是格点多边形？【例2】如右图，计算各个格点多边形的面积.分析：本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.【例3】如右图（a），计算这个格点多边形的面积.【例4】（1998年新加坡小学数学奥林匹克竞赛）右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例5】分别计算右图中两个格点多边形的面积。

【例6】用N表示多边形内部格点， L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积,填写下表：图形图形内的格点数（N）边界上的格点数（L）面积（S）例2图4例3例4例5（1）【例7】本讲开始提到的图“乡村小屋”的面积是多少？【例8】 (保良局亚洲区城市小学数学竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例9】右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?【例10】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少?面积等于2平方厘米的三角形有多少个？三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.【例11】如右图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角形ABC的面积.【例12】如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.【例13】把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果大三角形的面积是128,求图中粗线所围成的三角形的面积.【例14】（第五届“华杯赛”）正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?练习一1.求下列各个格点多边形的面积.2. 右图是一个8 12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.3.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.4.右图有12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米,这些点可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形?5.将图中的图形分割成面积相等的三块.正方形格点问题正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.【例15】判断下列图形哪些是格点多边形？分析：根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线，顶点要在格点上！所以只有（1）是格点多边形。

高斯小学奥数四年级下册含答案第04讲_格点图形面积计算

第四讲格点图形面积计算在平面几何知识中，面积计算是最重要的组成部分之一．我们已经学过了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形面积公式，你还记得这些公式吗？这一讲我们将学习格点图形的面积．用线段连结格点围成的封闭图形称之为格点图形．虽然我们已经学习了基本直线形的面积公式，然而大多数的格点图形都无法直接计算面积，需要我们通过这节课的探索学习去找到方法．常见的格点有正方形格点和三角形格点．例题1图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？「分析」这几个多边形都不规则，我们能不能把它们切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？或者给它们添补一些规则的小块，使得它们变成规则可求的大图形．练习1图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别是多少平方厘米？通过例1中的第1小题我们学会了将大块不规则图形“分割”成许多规则的图形，这种方法称为“分割法”；但是不一定每个图形都很容易分割，第2小题我们学会了把不好算的图形“添补”成规则的大图形，计算时用大图形的面积减去空白部分的面积，这种方法称为“添补法”．分割法，正所谓“大事化小”，把不规则的大图形化为规则的小图形．添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算．使用割、补法的时候，一般应该从图形的顶点出发，尽量沿着格线划分，以便与小方格的面积找到联系或者利用垂直等性质．接下来我们用分割、添补的方法计算一下三角形格点图形的面积．例题2下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米．那么这五个图形的面积分别为多少平方厘米？「分析」前三个图是可以直接计算的，④、⑤是无法直接计算的，试着用分割、添补的方法解决吧！我们发现：如果一个三角形的两边都沿三角形格线方向，并且分别是最短线段的m 倍和n 倍，那么这个三角形的面积就是最小等边三角形面积的m n 倍．练习2下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米．那么这四个图形的面积分别为多少平方厘米？要计算格点图形的面积，我们只需要应用合适的方法，数一下要求的图形占了几个单位面积即可．当单位面积不为1时，我们就要格外小心了，千万不能在数完后再乘单位面积！对于复杂的格点图形，使用割补法一定能计算面积．但是割补法有时显得有些繁琐，有没有更简单明了的方法呢？那么我们接下来看一个简单快捷的方法．例如，我们要计算如下图的格点多边形的面积（假设最小的正方形面积是1）．我们可以用割补的方法求出图形的面积，现在还有另一种方法，从格点数入手．围成阴影部分的边线，经过了一些格点．这些边界上的格点叫做边界格点，一共有12个；格点图形还完全盖住了一些格点，这些图形内部的格点叫做内部格点，一共有1个．一般的，在最小正方形面积为1的正方形网格中，我们有：这样，按公式计算：122116÷+-=，我们就得出图中阴影部分的面积了．例题3 如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，求阴影部分的面积？「分析」尝试着用格点图形面积公式计算一下把！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢？练习3如图，每一个最小正方形的面积都是2，阴影部分的面积是多少？类似地，在最小正三角形面积为1的三角形网格中，三角形格点图形也有面积计算公式：仔细比较这两个公式，可以发现：三角形格点的公式正好是正方形格点公式的2倍．大家想一下，为什么是这样呢？例题4如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」尝试着用格点图形面积公式计算一下把！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢？练习4如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？例题5如图，每一个最小正方形的面积都是3平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢？例题6（1）左图中每个最小正三角形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？（2）右图中每个最小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？「分析」试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢？对于大部分格点图形而言，分割法和添补法都可以用来求面积．对于特殊的格点图形，如果不易分割，可以试试添补；如果不易添补，可以试试分割．如果用分割法和添补法都不易解决，那么格点公式就派上用场了！在使用格点公式时，有以下几点需要注意：（1）注意是正方形格点还是三角形格点；（2）按照顺序来数边界格点和内部格点；（3）用格点公式计算出来的不是面积，而是最小的正方形或正三角形的面积的倍数．看似这一讲的题目不是很难，怎么保证计算的准确性呢？如果你用分割法计算面积，不妨再用添补法验算一下．如果你用割补法计算面积，不妨再用格点公式算一算．用不同方法得到的都是同样的结果，基本上就不会出错了．课堂内外几何的起源古埃及人聚居在尼罗河附近，以在河边的农田耕作为生．可是尼罗河每隔一段时间会泛滥，河水涌上岸，把河边的农田淹没，冲毁农田的边界．所以，每次河水泛滥后，埃及人都要重新划分农田的范围和界限．埃及人在划分土地时，发现很多不同形状的农田，都可以分割为几块较细小的三角形农田，例：1块长方形农田2块大小相同的三角形农田1块梯形农田3块三角形农田这些不同形状的农田，其实就是不同的几何图形；把农田分割为几块较细小的农田，即是把几何图形分割．原来古埃及人是研究几何图形的先锋呢！作业1. 如图，每相邻两个格点的距离都是1，那么两个阴影图形的面积分别是________、________．2. 下图中三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为1，图中两个图形的面积分别是________、________．3. 如图，最小正三角形的面积是4平方厘米，那么阴影部分的面积是________平方厘米．4. 右图中，每个最小正方形面积为2，则图中阴影部分的面积是________．5. 下图三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为2，图形的面积是_________．第四讲格点图形面积计算1. 例题1答案：7平方厘米；5平方厘米；11平方厘米详解：如图所示，用分割法、添补法．三个图形的面积分别是：4111127⨯+⨯+⨯=平方厘米； 4⨯⨯÷32⨯⨯÷2. 例题2答案：6；12；4；7；9详解：①：326⨯=平方厘米；②：4312⨯=平方厘米；③：224⨯=平方厘米；3. 例题3答案：6.5平方厘米详解：内部格点：3个，边界格点：9个．面积=3921 6.5+÷-=平方厘米．4. 例题4答案：34平方厘米详解：内部格点：7个；边界格点：22个．面积：7222234⨯+-=平方厘米．5.例题5答案：19.5平方厘米；31.5平方厘米④： ⑤： 121212+17⨯+⨯+⨯= 或：441313137⨯-⨯-⨯-⨯= 2339⨯+= 或：441212139⨯-⨯-⨯-⨯=详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：7个．面积：()7241319.5÷+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：8个；边界格点：7个．面积：()7281331.5÷+-⨯=平方厘米．6. 例题6答案：28平方厘米；56平方厘米详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：8个．面积：()4282228⨯+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：3个；边界格点：10个．面积：()32102456⨯+-⨯=平方厘米．7. 练习1答案：3平方厘米；10平方厘米详解：如图，分别用分割法、添补法．8. 练习2答案：12；20；5；18 详解：①：3412⨯=平方厘米； ②：直接数，每层4个，共5层，4520⨯=9. 练习3答案：13 简答：内部格点：1个，边界格点：13个．面积=()11321213+÷-⨯=．10. 练习4答案：17平方厘米简答：内部格点：1个；边界格点：17个．面积：1217217⨯+-=平方厘米． ③： ④：1112125⨯+⨯+⨯= 122312818⨯+⨯+⨯+=11.作业1答案：6；6.5简答：可用分割或添补法完成．12.作业2答案：7；12简答：使用割补法分别计算．13.作业3答案：56简答：大正三角形的面积是254100⨯=平方厘米，利用添补法可得．14.作业4答案：29简答：综合利用分割法与添补法．也可以用正方形格点图形面积公式计算．注意每个最小正方形面积是2．15.作业5答案：44简答：综合利用分割法与添补法．也可以用三角形格点图形面积公式计算．注意每个最小正三角形面积是2．。

四年级奥数题：格点与面积习题及答案

九、格点与面积(B)年级______班_____ 姓名 _____得分_____ 一、填空题:1.右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).2.右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).3.在一个9⨯6的长方形内,有一个凸四边形ABCD(如右图).用毕克定理先求出它的面积来,再用拼割方法计算它的面积,看两者是否一致.4.右图中每个小正方形的面积都是4平方厘米,求图中阴影部分的面积.5.右图是一个10⨯10的正方形,求正方形内的四边形ABCD的面积.6.右图是一个8⨯12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.7.右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?8.右图是一个5⨯5的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所用图形的面积1是多少平方厘米？9.右图中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影部分的面积是多少平方分米?10.右图中每个小平行四边形的面积是1个面积单位,求阴影部分的面积.二、解答题:1.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算ABC∆的面积.2.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形DEFG的面积.3.把等边三角形ABC每边六等分,组成如右图的三角形网.若图中每个小三角形的面积均为12cm,试求图中三角形DEF的面积.4.把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果每个小三角形的面积都是1,求图中粗线所围成的三角形的面积.———————————————答案——————————————————————一、填空题:1. 5.5面积单位.分析:解答这类问题可直接套用毕克定理:格点面积=内部格点数+周界上格点数÷2-1.注意:一是毕克定理只对格点凸多边形适用,二是在数格点时要细心.解: 5+3÷2-1=5.5(面积单位).2. 5+5÷2-1=6.5(面积单位).3. 27.5面积单位.解: ①由毕克定理得:25+7÷2-1=27.5(面积单位).②用拼割方法得:ABCD的面积=长方形EFGH的面积-四角上的四个三角形的面积 =9⨯6-(6⨯2÷2+3⨯3÷2+4⨯3÷2+4⨯5÷2)=54-(6+4.5+6+10)=27.5(面积单位).4. 48平方厘米.解: ①内部格点数为: 9个;②周界上格点数为: 8个;③阴影部分的面积是: 4⨯(9+8÷2-1)=48(平方厘米).5. 30面积单位.解: 因为ABCD不是凸四边形,所以如在原题图上取格点E,则三角形BCE及四边形AECD都是凸的图形,故:S=(4+6÷2-1)+(21+8÷2-1)ABCD=6+24=30(面积单位).6. 46面积单位.解: 因为ABCDEFGH不是凸多边形,所以,连结GC、MN,则ABH∆、矩形GCNM、三角形MFE、EDN都是凸的图形.故箭形ABCDEFGH的面积=(8+10÷2-1)+4⨯8+(4÷2-1)⨯2=12+32+2=46(面积单位).7. 67.5面积单位.解: 图形内部格点数为59,图形周界上格点数为19.所以图形的面积为:59+19÷2-1=67.5(面积单位).8. 23.5(平方厘米).分析与解: 这是一个5⨯5的方格纸,共有25个格点.现在要围成一个面积最大的图形,根据格点面积公式,要使图形面积最大,必须使图形包含的内部格点数和周界上格点数尽可能多.由方格纸可知,内部格点数最多为4⨯4=16,周界上格点数最多为5⨯4=20.但是,当周界上格点数为最多时,不符合题中“任意3个格点不在一条直线上”的条件,因此,适当调整图上7个格点的位置,如右上图所示,就得到了面积最大的图形.所围成图形的最大面积为: 16+17÷2-1=23.5(平方厘米).9. 8.5平方分米.解:图形内部格点数为7,图形周界上格点数为 5.阴影部分的面积为:7+5÷2-1=8.5(平方分米).10. 18.5面积单位.解: 图形内部格点数为16,图形周界上格点数为7.图形的面积为: 16+7÷2-1=18.5(面积单位).二、解答题:1. 10面积单位.分析: 由“∵”和“∴”重合两点可拼为平行四边形 ,可以推出如下计算这类格点面积的公式:图形面积=(内部格点数+周界上格点数÷2-1)⨯2.解: 图形内部格点数为4,图形周界上格点数为4.ABC S ∆=(4+4÷2-1)⨯2=10(面积单位).2. 12面积单位.解: DEFG S 四边形=(5+4÷2-1)⨯2=12(面积单位).3. 11面积单位.解: 图形内部格点数为5,图形周界上格点数为3. DEF S ∆=(5+3÷2-1)⨯2=11(2cm ).4. 26面积单位.解: 图形内部格点数为12,图形周界上格点数为4. 图形的面积为: (12+4÷2-1)⨯2=26(面积单位).。

小学数学四年级格点与面积 PPT+作业+答案

不规则图形0×2-2=8（平方厘米）整体：36+8=44（平方厘米）
例7 如图：用9 个钉子钉成相互间隔为1 厘米的正方形方阵。如果用一
根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，那么在这样得到的三角形中，面积是1 平方厘米的三角形有多少个？面积是2 平方厘米的三角形有多少个？
【分析】分别数出边界个点数和内部各点数，再利用格点面积公式求。
边界格点数：34个，内部各点数：20个
面积：34÷2+20-1=36（平方厘米）
例2 在下图中，每个小方格的面积都是2 平方厘米，那么格点多边
形的面积是多少平方厘米？
【分析】通过题意发现，单位小正方形的面积变为了2平方厘米，在运用格点公式时，也要整体扩大2倍。
边界个点数：14个，内部格点数：14个
面积：14÷2+14-1=20（平方厘米）
例3 在下图中，每个小方格的边长都是1 厘米，那么阴影部分的面
积是多少平方厘米？
【分析】直接求阴影部分的面积较麻烦，可通过割补法分别求出整体和空白部分的面积后再求阴影部分面积。其中，空白部分可通过多边形格点面积公式求。
【分析】求三角形格点多边形面积，分别数出边界个点数和内部各点数，再利用公式求。
边界格点数：10个，内部格点数：12个
面积：10+12×2-2=30（平方厘米）
【小结】三角形格点多边形面积可通过数出边界格点数、内部格点数来求，注意与正方形格点多边形面积公式区分。
练习5
如图：任意相邻的三个点呈“∵”或“∴”所组成的三角形都是面积为1 的等边三角形，计算△ ABC 的面积。
整体：6×6=36（平方厘米）空白：边界个点数：12个，内部格点数：9个

小学数学四年级格点与面积教案例题+练习+作业+答案

格点与面积知识点总结1：正方形格点多边形面积公式2：三角形格点多边形面积公式3：割补法求不规则多边形面积【例题精讲】例1在下面的正方形网格中，每个小正方形的面积都是1平方厘米。

请据此计算下面两个图形的面积。

【答案】13平方厘米和15平方厘米。

正方形格点多边形的面积=边界格点数÷2+内部格点数-1（1）边界格点数：20个，内部格点数：4个，面积：20÷2+4-113（平方厘米）（2）边界格点数：14个，内部格点数：9个，面积：14÷2+9-1=15（平方厘米）【例题小结】对比已学割补法与格点面积的优势，引导学生掌握更高效的方法。

练1在下面的正方形网格中，每个小正方形的面积都是1平方厘米。

网格中多边形的面积是多少平方厘米？【答案】36平方厘米【解析】边界格点数是34个，内部格点数是20个，因此面积是34÷2+20-1=36平方厘米。

例2在下图中，每个小方格的面积都是2平方厘米，那么格点多边形的面积是多少平方厘米？【答案】13平方厘米正方形格点多边形的面积=边界格点数÷2+内部格点数-1边界格点数：7 个，内部格点数：4 个面积：（7÷2+4-1）×2=13（平方厘米）【例题小结】单位小正方形面积是几，利用格点公式求出的面积也要扩大几倍。

练2小新将某市的地图轮廓绘制到了网格上，且每相邻的四个点围成的正方形的面积都是1平方厘米。

请帮小新计算出该市在地图上的面积。

【答案】20平方厘米【解析】边界格点数是14个，内部格点数是14个，因此面积是14÷2+14−1=20（平方厘米）。

例3在下图中，每个小方格的边长都是1厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】22平方厘米。

割补方法：整体－空白整体：6×6=36（平方厘米）空白：正方形格点多边形的面积=边界格点数÷2+内部格点数-112÷2+9－1=14（平方厘米）阴影：36-14=22（平方厘米）【例题小结】阴影部分面积=整体-空白练3在下图中，每个小正方形的边长都是1厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】14平方厘米【解析】可以将阴影部分面积和十字形的空白部分看做一个整体，面积是：8÷2+21－1=24（平方厘米），十字形的空白部分的面积是12÷2+5－1=10（平方厘米），因此阴影部分面积是24-10=14（平方厘米）。

小学四年级奥数第9课格点与面积试题附答案-精品

小学四年级上册数学奥数知识点讲解第9课《格点与面积》试题附答案第十一讲格点与面积请看下图，这是两个画在方格纸中的多边形，图（a）的多边形的所有顶点都在方格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图（b）中的多边形的顶点至少有一个顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.（比如A点）像图（a）这样的多边形，我们称它为格点多边形.什么是格点？平常我们用的方格纸的方格（每个小方格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两条平行线的距离都是相等的（通常规定是1个单位），在这样的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图（b）这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形.例1如下图，计算下列各个格点多边形的面积.例2如下图（a）,计算这个格点多边形的面积.(b)例如下页图，计算图（A）与图（B）的面积.㈤CB)目形露f需u列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与例如下图，将图中有关数据填入下表:S N S-N U2U2-6-)19.51511 4.5 5.51S N L S-N U2U2-(S-H)例本讲开始提到的多边形如右图面积是多少？用上述公式很快就可以求出T.例.如下页图（a ）,有21个点，每相邻三个点成”或“・・.”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角.形ABC 的面积.答案例1如下图，计算下列各个格点多边形的面积.分析本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.(a)(b)⑶(6)解：第Q）图是正方形，边长是4,所以面积是4X416（面积单位）.第（2）图是矩形，长是5,宽是3,所以面积是5X3=15（面积单位）.第（3）图是三角形，底是5,高是4,所以面积是5X4+2=10（面积单位）.第（4）图是平行四边形，底是5,高是3,所以面积是5X3=15（面积单位）.第（5）图是直角梯形，上底是3,下底是5,高是3,所以面积是（3+5）X 3+2=12（面积单位）.第（6）图是模形，上底是3,下底是6,高是4,所以面积是（3+6）X4+ 2=18（面积单位）.例2如下图（a）,计算这个格点多边形的面积.分析这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下图（b）,这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积.解：矩形面积是6X4=24.直角三角形I的面积是：6X2+2=6.直角三角形H的面积是：4X2+2=4,直角三角形HI的面积是：4义2+2二4.所求三角形的面积是：24-（6+4+4）=10（面积单位）.例如下页图，计算图（A ）与图（B ）的面积.解：用切割方法（如下图所示）.图（A ）面积为：4X1+4X2+2=8（面积单位）. 图（B ）面积为：3X1+2+2X2+（1+2）X2+2+2X1+2=8（面积单位）.从计算上我们看到图A 与图B 面积相等.除此之外，它们还有另两个共是图A 与图B 周界上的格点数相等，都是8个.二是它们所包含在图形内的格点数也相等，都是5个.这个结论给了我们一个启发：难道两个图形如果周界上的格点数相同.图形内所包含的格点数也相同，就一定能断定这两个图形面积相等吗？为此让我们做进一步的探索.例如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数.说明: 同特点: 解：列表如下:我们对表内数据分析发现：任何一个格点多边形的面积都等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数.如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了.这就是说：图形内的格点数与它周界上的格点数的一半的和（N+L/2）与它的面积S的差永远恰好是1.例如下图，将图中有关数据填入下表：L/2 L/2-(S-N)以后，在我们求格点多边形面积时，可以直接应用公式：S=N+L/2-1这个公式表示：格点多边形的面积等于图形内的格点数加上周界上的格点数的一半减1.的，作为数学公式还款进行严格的东明.他限于同学们的知识水电这个证明不在此进行了.例本讲开始提到的多边形如右图面积是多少？用上述公式很快就可以求出T.解：图形内部格点数N=21.图形周界上的格点数L=9.图形面积S=N+L/2-19=2-=21+4.5-1=24.5（面积单位）.以上我们所研究的格点多边形都是属于正方形格点问题.也就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.下面我们进行另外一种格点多边形的研究，即三角形格点问题.所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“二”或所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1,以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.例.如下页图（a ）,有21个点，每相邻三个点成“二”或所形成的三角形都是等边三角形.计算三角.形ABC 的面积.解法1：如图（b ）所示，在AABC 内连接相邻的三个点成ADEF,再连接 DC.EA 、FB 后是AABC 可看成是由ADEF 分别延长FD 、DE 、EF 边一倍、一倍、二倍而成的，不难得到SZXACD=2,SZXAEB=3,SAFBC=4,所以S △=1+2+3+4=10 （面积单位）.解法2：如下图（c ）所示，作辅助线把图I<IIIll 7分别移拼到 I 、II 、III 的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出△ABC 的面积为 10.解法3：如上图（d ）所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE 中有6个小正三角形，而AABE 的面积是平行四边形ARBE 面积的一半，即SZXABE 二3,平行四边形 ADCH 中有4个小正三角形，而△ADC 的面积是平行四边形ADCH 面积的一半，BPSA ADC 二2,平行四边形FBGC 中有8个小正三角形，而AFBC 的面积是平行四边形FBGC 的一半，即：(a)(b)(O(D)SAFBC=4.所以三角形ABC的面积是1+2+3+4=10（面积单位）.关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么：S=2XN+L-2,就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2.例如例8中，N=4,L=4；所以S=2XN+L-2=2X4+4-2=10（面积单位）.习题十一1.求下列各个格点多边形的面积.2,求下列格点多边形的面积（每相邻三个点.”或”成面积为1的等边三角形）.四年级奥数上册：第十一讲格点与面积习题解答习题十一解答1.①：L=12；N=10,S=N+L/2-l=l0+6-1=15（面积单位）.②N=16,・・・S=N+L/2-1=16+5-1=20（面积单位）.③;L=6,N=12,/.S=N+L/2-l=l2+3-1=14（面积单位）.©VL=10；N=13,/.S=N+L/2-l=l34-5-1=17（面积单位）.2.Q'/L=7；N=7,・•・S=2XN+L-2=2X7+7-2=19（面积单位）.②1L=5；N=8,・•・S=2XN+L-2=2X8+5-2=19（面积单位）.（3）,/L=6；③8,・•・S=2XN+L-2=2乂8+6—2=20（面积单位）.④二L二%N=8；/.S=2XN+L-2=2X8+7-2=21（面积单位）.附：奥数技巧分享分享四个奥数小技巧。

六年级下册数学试题-竞赛专题练习：格点与割补（含答案）全国通用

六年级下册数学试题-竞赛专题练习：格点与割补（含答案）全国通用⑹在 ABCD 长方形中， O 是长方形的中心， BC 长20 厘米， AB 长12 厘米， DE = 4AE ，CF = 3DF ，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？格点与割补练习题3. 一．夯实基础：E1. A如图，计算这个格点多边形的面积．D IFIIIBIIC(a )(b )(c )O2.如图，计算各个格点多边形的面积．⑴⑵⑶ ⑷5. 如图是一个漂亮礼盒的平面图，已知相邻两个格点距离为1，请求出礼盒平面图的面积。

C二．拓展提高：6. 右图是一个8 12 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．HFADB7. 求格点中“乡村小屋”的面积是多少？分别计算图中两个格点多边形的面积．（1）（2）GE4.9. 图中有21 个点，其中相邻三点所形成的等边三角形的面积为1 ，试计算四边形的面积。

三. 超常挑战10. 如图，一个面积为 2009 平方厘米的长方形，被分割成了一个长方形、两个等腰直角三角形、三个梯形．已知除了阴影长方形外，其它的五块面积都相等，且 B 是 AC 的中点；那么阴影长方形的面积是多少厘米．BCA11. 如图，三角形 ABC 和 DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中 DF 长9 厘米，CF长3 厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ADECBFB8. 如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1 的等边三角形，计算 ABC 的面积．ACO12. 如图涂阴影部分的小正六角星形面积是 16 平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？13. 如图，六边形 ABCDEF 为正六边形，P 为对角线CF 上一点，若 PBC 、PEF 的面积为3与4 ，则正六边形 ABCDEF 的面积多少？14. 如图，ABCD 是边长为8 厘米的正方形，梯形 AEBD 的对角线相交于O ，三角形 AOE 的面积比三角形 BOD 的面积小16 平方厘米，则梯形 AEBD 的面积是多少平方厘米？ADEB C四．杯赛演练：15. (“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)下图是一个方格网，计算阴影部分的面积．1 cm1 cm2利用“扩展法”或者“割补法”我们都可以简单的得到⑴、⑵的面积分别为9 和10 5. 对两个三角形进行拓展计算：左边三角形的面积= 4? 4 -1? 2 ÷ 2 - 4? 3 ÷ 2 - 4? 2 ÷ 2 = 54. 答案：1. 方法一(扩展法)：这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法。

六年级下册数学试题-竞赛专题练习：格点与割补(含答案)全国通用

⑸ ⑹在 ABCD 长方形中， O 是长方形的中心， BC 长20 厘米， AB 长12 厘米， DE = 4AE ，CF = 3DF ，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？格点与割补练习题3. 一．夯实基础：E1. A如图，计算这个格点多边形的面积．D IFIIIBIIC(a )(b )(c )O2.如图，计算各个格点多边形的面积．⑴⑵⑶ ⑷5. 如图是一个漂亮礼盒的平面图，已知相邻两个格点距离为 1，请求出礼盒平面图的面积。

C 二．拓展提高：6. 右图是一个8 12 面积单位的图形．求矩形内的箭形 ABCDEFGH 的面积．HFADB7. 求格点中“乡村小屋”的面积是多少？分别计算图中两个格点多边形的面积．（1）（2）GE4.9. 图中有21 个点，其中相邻三点所形成的等边三角形的面积为1 ，试计算四边形的面积。

三. 超常挑战10. 如图，一个面积为 2009 平方厘米的长方形，被分割成了一个长方形、两个等腰直角三角形、三个梯形．已知除了阴影长方形外，其它的五块面积都相等，且 B 是 AC 的中点；那么阴影长方形的面积是多少厘米．BCA11. 如图，三角形 ABC 和 DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中 DF 长9 厘米，CF长3 厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ADECBFB8. 如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1 的等边三角形，计算 ABC 的面积．ACO12. 如图涂阴影部分的小正六角星形面积是 16 平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？13. 如图，六边形 ABCDEF 为正六边形，P 为对角线CF 上一点，若 PBC 、PEF 的面积为3与4 ，则正六边形 ABCDEF 的面积多少？14. 如图，ABCD 是边长为8 厘米的正方形，梯形 AEBD 的对角线相交于O ，三角形 AOE 的面积比三角形 BOD 的面积小16 平方厘米，则梯形 AEBD 的面积是多少平方厘米？ADEB C四．杯赛演练：15. (“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)下图是一个方格网，计算阴影部分的面积．1 cm1 cm2利用“扩展法”或者“割补法”我们都可以简单的得到⑴、⑵的面积分别为9 和10 5. 对两个三角形进行拓展计算：左边三角形的面积= 4⨯ 4 -1⨯ 2 ÷ 2 - 4⨯ 3 ÷ 2 - 4⨯ 2 ÷ 2 = 54. 答案：1. 方法一(扩展法)：这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法。