MBA联考数学-实数的概念、性质和运算(四)
实数的概念性质和运算
第一章实数的概念、性质和运算【考试大纲内容精要解析】第一节“条件充分性判断”——解题策略与应试技巧MBA联考综合能力考试中，数学部分有问题求解和条件充分性判断两大题型。
内容涉及实数的概念、性质和运算，整式和分式，方程和不等式，数列，排列组合与概率论初步，平面几何与解析几何初步等数学基础知识。
从大纲要求上看，条件充分性判断题主要考查考生对数学的基本概念、基本方法的熟练掌握程度，并能够迅速准确地判断题干中陈述的结论可否由条件（1）或（2）推出。
因而考生在备考时应对于充分条件的有关概念、联考题型的结构及其逻辑关系以及解题策略和应试技巧等有一个全面的理解和把握。
以下我们就从这几个方面并结合联考真题进行分析：一、充分条件的有关概念1、四种命题及其关系：原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ【注】：互为逆否的两组命题等价（即同真同假）2、充分条件、必要条件)，称p是q的充分条件，q是p的必要条件若p，则q（即p q充分条件：有之则必然，无之未必不然必要条件：有之未必然，无之则必不然【注】：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.具体判断时:注意两点：（1）分清条件与结论——抓“主语”（2）推导方向对于具体问题可以有以下情况：（1）充分不必要(2) 必要不充分（3）充分而且必要（充要）（4）既不充分也不必要3、MBA 联考中，只要求判定“充分性”——有之则必然（1）若p 是q 的充分条件，也说：p 具备了使q 成立的充分性；（2）若p 不是q 的充分条件，即 p q ⇒，也即：p 不具备使q 成立的充分性。
由于在MBA 联考中，只要求对条件充分性进行判断，故实际上只需考虑“p q ⇒”与“p q ⇒”两种类型的命题真假。
解题关键——“有之则必然，无之未必不然”，重点在前一句。
例1：x,y 是实数，︱x ︱+︱y ︱=︱x －y ∣(1)x ＞0, y ＜0 (2) x ＜0, y ＞0【解题分析】：（1）“有之” x ＞0,y ＜0“则” ︱x ︱+︱y ︱=x －y︱x －y ∣= x －y (∵x －y ＞0)“必然”︱x ︱+︱y ︱=︱x －y ∣故条件（1）充分（2）“有之” x ＜0,y ＞0“则” ︱x ︱+︱y ︱＝﹣x ＋y︱x －y ∣＝﹣x ＋y (∵x －y ＜0）“必然”︱x ︱+︱y ︱=︱x －y ∣故条件（2）也充分注：对“无之未必不然”可以这样理解。
实数知识点总结
实数知识点总结一、实数的定义实数是可以在数轴上表示的数，包括有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，而无理数则不能表示为两个整数之比。
二、实数的分类1. 有理数a. 整数：正整数、负整数和零。
b. 分数：可以表示为两个整数之比的数，包括有限小数和无限循环小数。
2. 无理数a. 非循环小数：无法表示为分数的小数，其小数部分无限且不重复。
b. 根号开不尽的数：如根号2、根号3等。
3. 特殊实数a. 圆周率πb. 自然对数的底数e三、实数的性质1. 有序性：实数具有大小顺序，可以比较大小。
2. 封闭性：实数集合在加法、减法、乘法和除法（除以非零实数）下是封闭的。
3. 完备性：任何实数序列都有极限，即任何实数序列都收敛于某个实数。
四、实数的运算1. 加法a. 同号相加，结果的符号与原数相同。
b. 异号相加，结果的符号取决于绝对值较大的数。
c. 任何实数与零相加等于原数。
2. 减法a. 减去一个数等于加上这个数的相反数。
3. 乘法a. 正数乘以正数得正数，负数乘以负数得正数。
b. 正数乘以负数得负数，负数乘以正数得负数。
c. 任何实数与零相乘等于零。
4. 除法a. 除以一个非零实数，等于乘以这个数的倒数。
b. 零除以任何非零实数等于零。
五、实数的绝对值和倒数1. 绝对值：一个实数的绝对值是它与零之间的距离，用符号| |表示。
2. 倒数：一个非零实数的倒数是1除以这个数。
六、实数的平方和平方根1. 平方：一个实数的平方是它自身乘以自身。
2. 平方根：一个正实数的平方根是满足平方等于该实数的数。
七、实数的对数1. 对数定义：如果 \(a^x = b\)，那么 \(x\) 叫做以 \(a\) 为底\(b\) 的对数，记作 \(x = \log_a b\)。
2. 常用对数：以10为底的对数称为常用对数，记作 \(\log b\) 或\(\log_{10} b\)。
3. 自然对数：以 \(e\) 为底的对数称为自然对数，记作 \(\ln b\)。
实数知识点
实数知识点实数是数学中重要的概念之一，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
本文将从实数的概念、性质、分类以及实数在数学和实际生活中的应用等方面进行详细介绍。
一、实数的概念及性质实数是数学中最基本的数集之一，包括有理数和无理数。
它们可以用数轴来表示，数轴上的每个点都对应着一个实数。
实数具有以下性质：1. 实数的有序性：对于实数集中的任意两个数a、b，必定存在三种关系：a＜b，a＝b或a＞b。
这个性质使得实数可以进行大小比较。
2. 实数的稠密性：对于任意两个实数a、b (a＜b)，必定存在一个实数c (a＜c＜b)，即实数集中不存在空隙。
这个性质可以用来证明实数集的连续性。
3. 实数的无穷性：实数集是无界的，即没有最大和最小值。
无论给定多大或多小的数，总可以找到比它更大或更小的数。
4. 实数的完备性：实数集中满足某个性质的数列必定收敛于一个实数。
这个性质使得实数集可以用来描述物理量的测量结果。
二、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。
1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和有限小数。
有理数可以表示为无限循环小数，例如1/3＝0.3333...。
2. 无理数：无理数是不能表示为两个整数的比值的数，无理数的小数表示无限不循环。
常见的无理数有开方数（如√2）和圆周率π。
无理数在数轴上是无限不重复的。
三、实数的应用实数在数学中有着广泛的应用，同时也贯穿于实际生活的各个领域。
1. 几何学：实数可以用来度量和描述几何图形的属性，例如线段的长度、角的度数等。
实数的大小和比较关系可以帮助我们确定图形的大小和位置。
2. 物理学：实数可以用来表示物理量的不同数值，例如速度、质量和能量等。
实数的运算规律可以帮助我们进行物理量的计算和分析。
3. 经济学：实数可以用来表示货币的数额、价格的变动等经济指标。
实数的运算可以用于货币的兑换和经济指标的计算。
4. 统计学：实数可以用来表示数据的测量结果，例如年龄、身高、体重等。
数学分析(考研必看)
数学分析第一章实数集与函数§1.实数一、 实数及其性质1. 实数的定义：实数，是有理数和无理数的总称。
2. 实数的六大性质：①（四则运算封闭性）：实数集R 对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算封闭，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数。
②（有序性）：实数集是有序的，即任意两个实数a, b 必满足以下三种关系之一：a<b 、a=b 、a>b 。
③（传递性）：实数的大小关系具有传递性，即若a>b, b>c 则a>c 。
④（阿基米德性）：实数具有阿基米德性，即对任何a, b ∈R, 若b>a>0,则存在正整数na>b.⑤(稠密性)：实数集R 具有稠密性，即任意两个不相等的实数之间必有另外一个实数，且既有有理数也有无理数。
⑥实数集R 与数轴上点一一对应。
二、 绝对值与不等式1. 实数绝对值的性质： ①0;00a a a a =-≥==当且仅当时有 ②-a a a ≤≤ ③;a h h a h a h h a h <<=>-<<≤<=>-≤≤ ④a b a b a b -≤±≤+三角不等式⑤ab a b = ⑥(0)a a b b b=≠ §2数集·确界原理一、 区间与邻域1. 有限区间：开区间：{}x a x b <<记作(),a b ；闭区间：{}x a x b ≤≤记作[],a b ；半开半闭区间：{}x a x b ≤<记作[),a b ，{}x a x b <≤记作(],a b无限区间：(]{},a x a -∞=≤，(){},a x x a -∞=≤，(){},a x x a +∞=>，(){},x x R -∞+∞=-∞<<+∞=2. 邻域：设a R ∈,0>,满足绝对值不等式x a -<的全体实数x 的集合称为点a 的邻域，记作();U a 或写作()U a ，即有(){}();,U a x x a a a =-<=-+。
关于实数的知识点总结
关于实数的知识点总结一、基本概念1.1 实数的定义实数是一切有理数和无理数的总称。
有理数指整数和分数的集合，无理数指不能表示为分数形式的数。
实数包括了整数、有理数和无理数三种类型的数。
1.2 实数的表示实数可以用十进制、分数、无限不循环小数等形式表示。
其中，十进制形式是常见的实数表示形式，可以直观地表示出实数的大小。
1.3 实数的性质实数具有加法、减法、乘法、除法等运算性质，满足交换律、结合律、分配律等基本性质。
此外，实数还满足最大值和最小值的性质，即任何有上界的非空有限实数集合必有上确界，并且同样地有下确界。
二、实数的子集2.1 有理数集有理数包括整数和分数，其中整数是不含小数部分的数，分数是两个整数的比，可以用分数形式表示。
2.2 无理数集无理数是不能表示为有理数的数，其十进制表示形式为无限不循环小数。
无理数包括了无限多的十进制无限不循环小数，如$\sqrt{2}$、$\pi$等。
2.3 实数集实数集是有理数和无理数的总称，它包括了一切可以表示为十进制数的数。
三、实数的运算3.1 加法和减法实数的加法和减法满足交换律和结合律，对任意两个实数a和b，有a+b=b+a，a-b≠b-a。
3.2 乘法和除法实数的乘法和除法满足交换律和结合律，对任意两个实数a和b，有a×b=b×a，a/b≠b/a。
3.3 幂运算实数的幂运算是指a的n次方，其中a是实数，n是自然数。
幂运算的性质包括a的m 次方与a的n次方的乘积等。
3.4 开方实数的开方是指对任意非负实数a，存在唯一的非负实数b，使得b的平方等于a。
开方的性质包括平方根存在性和唯一性等。
四、实数的序关系4.1 实数的大小比较实数之间可以进行大小比较，对于任意两个实数a和b，有a<b、a>b或a=b中的一种关系。
4.2 实数的绝对值实数a的绝对值是指a到原点的距离，用|a|表示。
如果a≥0，则|a|=a；如果a<0，则|a|=-a。
实数的概念定义是什么及运算
实数的概念定义是什么及运算实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
下面是店铺给大家整理的实数的概念简介，希望能帮到大家!实数的概念实数由有理数和无理数组成，其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。
数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。
本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
实数的运算定理1、加法：(1)同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加;(2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
可使用加法交换律、结合律。
2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3、乘法：(1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。
(2)n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0;若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正;当负因数为奇数个时，积为负。
(3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
4、除法：(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
(2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。
(3)0除以任何数都等于0，0不能做被除数。
5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。
6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的'运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。
无论何种运算，都要注意先定符号后运算。
实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0。
mba数学基础阶段讲义
第一章实数的概念性质和运算（甲）内容要点一、充分条件定义：如果条件A成立，那么就可以推出结论B成立。
即A⇒B，这时我们就说A是B的充分条件。
例如：A为x>0, B为x2 >0.由x>0⇒x2>0 A是B的充分条件.MBA联考数学中有一类题目叫做“充分性判断题”：本题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论.（而不必考试条件是否必要）在这类题目中有五个选项，规定为（A）条件（1）充分，但条件（2）不充分；（B）条件（2）充分，但条件（1）不充分；（C）条件（1）和（2）单独都不充分，但联合起来充分；（D）条件（1）充分，条件（2）也充分；（E）条件（1）和（2）单独都不充分，联合起来也不充分.二、实数1、数的概念和性质（1）自然数N、整数Z、分数mn（百分数%）（2）数的整除：设∀a,b∈Z 且b≠0若∃P∈Z使得a=pb成立，则称b能整除a，或a能被b整除，记作b︱a,此时我们把b叫做a因数，把a叫做b的倍数。
定理（带余除法），设a,b∈Z,且b>0,则∃P，r∈Z使得a=bP+r，0≤r<b成立，而且P、r都是惟一的，P叫做a被b除所得的不完全商，r叫做a被b除所得到的余数.(3)质数与合数质数：如果一个大于1的整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（或素数）.例如：2、3、5、7、、、.合数：一个大于1的正整数，除了能被1和本身整除外，还能被其他正整数整除.这样的正整数叫做合数.例如：4、6、9、、、.(4)有理数与无理数有理数，整数、有限小数和无限循环小数，统称为有理数.无理数；无限不循环小数叫做无理数.（5）实数；有理数和无理数统称为实数，实数集用R表示.2、实数的基本性质：（1）实数与数轴上的点一一对应.（2）∀a，b∈R，则在a<b，a=b,a>b中只有一个关系成立.（3）∀a∈R,则a2≥0.3、实数的运算.实数的加、减、乘除四则运算符合加法和乘法运算的交换律，结合律和分配律。
MBA、MPA考研数学学习资料之整数、有理数、实数
算术·带余除法
【例】当整数������被6除时，其余数为2，则下列哪一项是6的倍数？
【例】已知两个正整数的最大公约数为6，最小公倍数为90，则 满足这个条件的正整数有（ ）对？
A.1
B.2
选B
C.3
D.4
E.5
算术·最大公因数/最小公倍数
【例】从1到120的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数 有多少个（ ）
A.64
B.48
选C
C.56
D.5
E.8
算术·最大公因数/最小公倍数
【例】两个正整数������和������的最大公约数是4，最小公倍数是20， 则 ������ ������ + 3ห้องสมุดไป่ตู้����������� + 1 =（ ）
算术·质数与合数
������ = 1，则它只有一个正因数 若������是 ≥ 2的整数，则������至少有两个正因数
设������是 ≥ 2的正整数，若������只有两个正因数，我们则称������为 质数/素数。 设是 ≥ 2的正整数，若������至少有三个正因数，我们则称������为 合数。
������ ÷ ������ ������ = ������������ + ������
������ = 0 整除
定义、判定
质数与合数 最大公因数 最小公倍数
mba数学基础知识点整理汇总-整洁无水印
第一章：实 数一、数的分类：0⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩正整数自然数整数有理数负整数实数正分数分数负分数无理数（无限不循环小数）二、质数：大于1的正整数，如果除了1和自身，没有其他约数的数就称为质数或素数，否则就称为合数。
则：最小的质数为2，最小的合数为4，1既不是质数也不是合数。
常见的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、21、23、29等。
三、奇数偶数运算性质：奇数±奇数=偶数， 奇数±偶数=奇数， 偶数±偶数=偶数； 奇数×奇数=奇数， 奇数×偶数=偶数， 偶数×偶数=偶数。
四、正整数除法中的商数与余数：设正整数n 被正整数除的商数为，余数为r ，则可以表示为 ：m s n ms r=+（和为自然数，）.特例，能被整除是指s r 0r m ≤<n m 0r =. 性质：能被2整除的数：个位数字为0，2，4，6，8能被3整除的数：各位数字之和必能被3整除能被4整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被4整除 能被5整除的数：个位数字为0或5能被6整除的数：同时满足能被2和3整除的条件 能被10整除的数：个位数字为0五、绝对值定义：实数a 的绝对值定义为：,(0)||,(0)a a a a a ≥⎧=⎨−<⎩【性质】（1）0x ≥，0x x +≥，0x x −≥.（2）x x =⇔0x ≥； ⇔0x ≤.（3）x x >⇔0x <；x x >−⇔0x >.（4）三角不等式：||||x y −≤x y x y +≤+；x x =−00特别的：a 、||||||x y x y xy +=+⇒≥b 、|| ||||x y x y xy −=+⇒≤c 、x y x y +≤−⇔0xy ≤.d 、||x a ≤（）的解为0a >a x a −≤≤；||x a >的解为x a <−或x a >.e 、||x b a −≤（）的解为0a >b a x a b −≤≤+；||x b a −>的解为x b a <−或x a b>+六、算术平均值：给定n 个数，，…，，称1a 2a n a 1211nn i i a a a a a n n=++⋅⋅⋅+==∑为这个数的算术平均值。
实数及其相关知识点总结
实数及其相关知识点总结实数是数学中最基本的一类数，它包括有理数和无理数。
它们可以用来描述现实世界中的各种量、度、数值等情况。
在数学中，实数是一种被广泛应用的数学概念，在各个数学领域中都有重要的地位。
一、实数的概念及表示1. 实数的概念实数是指包括有理数和无理数在内的一类数，它们可以用来度量各种量和数值，是数学中最基本的数。
实数有两个特点：一是可以按照大小次序进行排列，二是实数之间的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。
2. 实数的表示实数可以用小数、分数、根式、无理数、无穷小数等形式来表达，例如π是一个无理数，表达为π=3.1415926...。
二、实数的分类实数可以根据有理数和无理数的不同来进行分类。
1. 有理数有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括正整数、负整数、零、分数（有理数本质上是一个整数和一个非零整数的比值）。
有理数之间的加减乘除运算结果仍然为有理数。
2. 无理数无理数是不能表示为两个整数之比的数，包括根式、圆周率π、自然对数e等。
无理数的小数部分是无限不循环的。
三、实数的运算实数之间的加减乘除运算是实数运算的基本规则。
在进行实数运算时，需要注意以下几点：1. 实数的加法和减法实数的加法和减法要求实数为同号时，两数的绝对值相加，符号不变；异号时，两数的绝对值相减，结果符号取绝对值大的数的符号。
2. 实数的乘法和除法实数的乘法和除法满足交换律、结合律和分配律。
当实数相乘时，同号得正，异号得负；当实数相除时，被除数不能为0，且除零法则成立。
3. 实数的乘方与开方实数的乘方和开方是实数运算的重要部分，它们满足一些特殊的运算规律，比如相同底数的指数相加、相同底数不同指数的指数相减、开方运算等。
四、实数的性质1. 实数的代数性质实数具有封闭性、结合律、交换律、分配律、恒等律和互补律等性质，这些性质对于实数的运算都有重要的作用。
2. 实数的有序性实数集具有良序性，对于任意两个实数a和b，可以确定它们的大小关系，即a=b、a>b 或a<b，这种大小关系称为实数的大小次序。
管理类联考数学——实数、整式与分式、方程、函数与不等式、应用题、数列、几何部分及数据分析
管理类联考数学管理类联考数学目录第一章实数的运算和性质 (1)第二章整式与分式 (3)第三章方程、函数与不等式 (5)第四章应用题 (9)第五章数列 (11)第六章几何部分 (12)第七章数据分析 (15)第一章 实数的运算和性质一、实数的运算1.分类实数的四则运算：满足加法和乘法运算的交换律、结合律和分配律。
还可定义实数的乘方和开方运算。
（1）乘方运算：， 当。
负实数的奇次幂为负数，负实数的偶次幂为正数。
（2）开方运算：在实数范围内，负实数无偶次方根；0的偶次方根是0；正实数的偶次方根有两个，且互为相反数。
2.运算技巧：（1）分母有理化：（2）裂项相消法：二、实数的整除能被2整除的数： 个位为偶数，0，2，4，6，8. 能被3整除的数： 各位数字之和必能被3整除. 能被5整除的数： 个位为0或5.能被9整除的数： 各位数字之和必能被9整除. 能被10整除的数：个位必为0.三、奇数与偶数奇数±奇数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数±偶数=偶数； 奇数⨯奇数=奇数；奇数⨯偶数=偶数；偶数⨯偶数=偶数；注意：关于奇偶数运算的问题通常从“有偶数参加的乘法一定等于偶数”这个角度入手.四、质数与合数1.质数：只有1和它本身两个因数的正整数叫做质数（也称素数）.例：2,3,5，7，11,13,17,19··· 合数：除了1和它本身外，还有其他因数的正整数叫做合数.例：4,6,8，9，10,12,14,15···2.性质：（1）质数、合数的研究范围是正整数，所以1既不是质数也不是合数； （2）2是唯一的偶质数； （3）4是最小的合数.（4）注意：除了2，其他质数都是奇数，所以关于质数、合数运算的问题一定跟2有关，例：a 、b 都是质数，且b a +是奇数，那么可以知道a 和b 有一个是2.五、倍数与约数1.倍数、约数：当a 能被b 整除时，则a 为b 的倍数，b 为a 的约数.2.公因数与最大公因数：如果整数b 既是整数a 的因数，同时也是整数c 的因数，则称b 为a 和c 的公因数.公因数中最大的一个称作这两个数的最大公因数.（公因数只有1的两个数称为：互质，如3和5） 3.公倍数与最小公倍数：如果整数b 能被整数a 整除，同时也能被整数c 整除，则称b 为a 和c 的公倍数.公倍数中最小的一个称作这两个数的最小公倍数.,,(),(),()nm mnm nm n n n n n m n mn n n a a aa a aa ab a b a a a b b+−⋅===⋅==0101,nna a a a −≠==时， ,n m=====ma4.定理：两个整数的乘积等于两数的最大公因数和最小公倍数的乘积.5.最大公因数和最小公倍数的求法——短除法.例：求42与48的最大公因数和最小公倍数：先找42与48的公因数2，商为21、24；再找21和24的公因数3，商为7、8；由于7和8互质，则短除法结束.在短除法结束后，左侧的2×3就是最大公因数，左侧和下方数相乘2×3×7×8=就是最小公倍数.六、平均数（1）算术平均值： n 个实数的算术平均值为 。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中最基本的概念之一。
简单来说，实数就是有理数和无理数的统称。
有理数，包括整数和分数。
整数如－3、0、5 等，分数如 1/2、－3/4 等。
这些数都可以表示为两个整数的比值。
而无理数，则是无限不循环小数，比如圆周率π约等于 31415926，以及根号 2 约等于 14142135实数的概念让我们能够描述和处理各种数量关系，无论是在日常生活中的测量、计算，还是在科学研究中的复杂运算，实数都扮演着至关重要的角色。
二、实数的性质1、有序性实数具有有序性，即任意两个实数 a 和 b，要么 a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b。
例如，3 ＜ 5，－25 ＞－3 等。
这种有序性让我们能够比较数的大小，从而进行排序和选择。
2、稠密性实数是稠密的，这意味着在任意两个不相等的实数之间，总是存在着无穷多个其他实数。
比如在 1 和 2 之间，有 11、12、125 等等无数个实数。
3、四则运算封闭性实数对四则运算（加、减、乘、除，除数不为 0）是封闭的。
也就是说，两个实数进行四则运算的结果仍然是实数。
例如，3 ＋ 5 ＝ 8，6 25 ＝ 35，4 × 2 ＝ 8，8 ÷ 2 ＝ 4 等。
三、实数的表示方法1、小数表示实数可以用小数来表示。
有限小数，如 025、314 等，能准确地表示为有理数。
无限循环小数，如 0333（1/3），也是有理数。
无限不循环小数，如π、根号 2 等，则是无理数。
2、数轴表示我们可以用数轴来直观地表示实数。
数轴上的每一个点都对应着一个唯一的实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。
例如，0 对应的点在数轴的正中间，正数在 0 的右边，负数在 0 的左边。
四、实数的运算1、加法实数的加法遵循交换律和结合律。
交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a例如，2 ＋ 3 ＝ 3 ＋ 2 ＝ 5结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)例如，（1 ＋ 2) ＋ 3 ＝ 1 ＋（2 ＋ 3) ＝ 62、减法减法是加法的逆运算。
实数的知识点全总结
实数的知识点全总结一、实数的定义实数是指包括有理数和无理数在内的所有实际存在的数。
有理数是可以表示为两个整数的比的数，而无理数是不能表示为两个整数的比的数。
例如，根号2就是一个无理数，它不能被表示为两个整数的比。
实数的定义是数学上一个很基础的定义，但是实数的性质和运算规则却有很多深刻的内容，需要深入研究和探讨。
二、实数的性质1. 实数的闭包性：任意两个实数相加、相减、相乘得到的仍然是一个实数，这就是实数的闭包性。
实数集合对于加法和乘法是封闭的，这也是实数集合与有理数集合的一个重要区别。
2. 实数的稠密性：实数集合是一个稠密集合，任意两个实数之间都存在有理数，也存在无理数。
这就意味着实数集合是一个非常密集的数学概念，包含了所有可能的数。
3. 实数的有序性：实数集合是一个有序集合，任意两个实数都可以进行比较大小。
这是实数集合与无理数集合的一个重要区别，也是实数集合在数学分析中应用广泛的一个性质。
4. 实数的无限性：实数集合是一个无限集合，它包括了所有可能的有理数和无理数。
实数集合的无限性是数学中一个非常重要的概念，它在分析、代数、几何等不同领域都有重要的应用。
5. 实数的稳定性：实数集合是一个稳定的数学概念，它对于加法、乘法、取绝对值等运算都是稳定的。
这也是实数集合与有理数集合的一个重要区别，有理数集合在进行除法运算时往往会出现不稳定的情况。
三、实数的运算规则1. 实数的加法：对于任意两个实数a和b，它们的和a+b也是一个实数。
加法满足交换律、结合律和分配律等运算规则。
2. 实数的减法：对于任意两个实数a和b，它们的差a-b也是一个实数。
减法是加法的逆运算，减法也满足交换律和结合律。
3. 实数的乘法：对于任意两个实数a和b，它们的积ab也是一个实数。
乘法满足交换律、结合律和分配律等运算规则。
4. 实数的除法：对于任意两个实数a和b，如果b不等于0，那么它们的商a/b也是一个实数。
实数的除法是乘法的逆运算，除法满足交换律和结合律。
实数章节知识点总结
实数章节知识点总结一、实数的基本概念1. 实数的定义实数是所有有理数和无理数的集合，用R表示，即R={x|x是有理数或无理数}。
2. 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。
（1）有理数是可以表示为分数形式的数，包括正整数、负整数、零、分数等。
有理数的集合用Q表示，即Q={x|x=m/n，m和n为整数，且n≠0}。
（2）无理数是不能表示为分数形式的数，并且无限不循环小数。
无理数的集合用R-Q表示，即R-Q={x|x不是有理数}。
3. 实数的表示实数可以用小数、分数、根式等形式表示，例如：π，e，√2等就是无理数的例子。
二、实数的性质1. 有理数的性质（1）有理数的四则运算有理数的加减乘除运算仍然是有理数，即有理数集合对于加减乘除封闭。
（2）有理数的比较对于任意两个有理数a和b，有以下性质：① 若a>b，则a+c>b+c（c为任意有理数）② 若a>b且c>0，则ac>bc③ 若a>b且c<0，则ac<bc2. 实数的性质（1）实数集合的稠密性实数集合中的有理数和无理数是密集分布的，即任意两个实数之间都存在无限多的有理数和无理数。
（2）实数的有序性任意两个实数a和b，必属于下列三种关系中的一种：① a=b② a<b③ a>b（3）实数的加法封闭性和乘法封闭性任意两个实数的和、差、积仍然是实数。
三、实数的运算规则1. 实数的加法和减法（1）同号相加：两个正数相加，结果仍为正数；两个负数相加，结果仍为负数。
（2）异号相加：一个正数与一个负数相加，结果的绝对值为它们的差，符号取绝对值较大的数的符号。
2. 实数的乘法和除法（1）同号相乘：两个正数相乘，结果为正数；两个负数相乘，结果为正数。
（2）异号相乘：一个正数与一个负数相乘，结果为负数。
（3）除法：除数不为0时，实数的除法遵循乘法的性质。
3. 实数的乘方和开方实数的n次乘方和n次开方都有以下规律：（1）同号实数的n次乘方是正数，异号实数的n次乘方是负数。
MBA联考综合能力数学(实数的性质及运算;绝对值、根式、完全平方
MBA联考综合能力数学（实数的性质及运算；绝对值、根式、完全平方式）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析) 题型有：1. 问题求解 2. 条件充分性判断问题求解本大题共15小题，每小题3分，共45分。
下列每题给出的五个选项中，只有一项是符合试题要求的。
1．[2014年12月]设m，n是小于20的质数，满足条件｜m一n｜=2的{m，n}共有( )。
A．2组B．3组C．4组D．5组E．6组正确答案：C解析：20以内的质数是2，3，5，7，11，13，17，19，其中｜3—5｜=2，｜5—7｜=2，｜11—13｜=2，｜17一19｜=2，所以满足要求的{m，n}有4组，选择C选项。
知识模块：实数的性质及运算2．[2014年1月]若几个质数(素数)的乘积为770，则它们的和为( )。
A．85B．84C．28D．26E．25正确答案：E解析：因为已知若干质数的乘积为770，因此将770分解质因数可得770=2×5×7×11，显然2、5、7、11均为质数，故它们的和为2+5+7+11=25，故选E。
知识模块：实数的性质及运算3．[2011年1月]设a、b、c是小于12的三个不同的质数(素数)，且｜a一b｜+｜b一c｜+｜c—a｜=8，则a+b+c=( )。
A．10B．12C．14D．15E．19正确答案：D解析：小于12的质数有2，3，5，7，11，则由｜a—b｜+｜b—c｜+｜c一a｜=8，且如果这三个数中有11的话，11与其他任意两数差的绝对值相加，结果必然大于8，与已知相矛盾；同时，也不可能有2这个数．因为两两差的绝对值显然不等于8，所以a、b、c这三个数为3、5、7，则a+b+c=3+5+7=15。
因此选D。
知识模块：实数的性质及运算4．[2010年1月]三名小孩中有一名学龄前儿童(年龄不足6岁)，他们的年龄都是质数(素数)，且依次相差6岁．他们的年龄之和为( )。
A．21B．27C．33D．39E．51正确答案：C解析：比6小的质数只有2、3、5，依次相差6岁，由于2、3两质数分别加上6之后为8，9，不再是质数，而只有当最小的年龄为5岁才满足题意，则三个小孩年龄分别为5、11、17，则5+11+17=33。
MBA联考数学知识点汇总
<1> 韦达定理:设 x1, x2 是方 ax2 bx c 0 (a 0, 0)
的两个根，则
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
.
<2> 韦达定理的扩展及其应用
利用韦达定理可以求出关于两个根的对称轮换式的数值.
①
1 1 x1 x2 . ② x1 x2 x1x2
x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 .
第四章 数列、等差数列、等比数列
一、数列的概念: 数列通项公式 an 与前 n 项和 Sn 的关系解题：
前 n 项和： Sn a1 a2 a3 an .
前 n 项和与通项公式 an 的关系:
an
S1(n 1) Sn Sn1(n
2)
.
二、等差数列:
1。通项公式: an a1 （n 1）d (d为常数, n N )
2.等比定理:
a c e a c e a（b d f 0） b d f bd f b
3. 增减性: 当 a 0,b 0, m 0 时
<1> 若 0 a 1 ，则 a m a .(记住此结论)
b
bm b
<2> 若 a 1 ， 则 a m a .
b
bm b
四、算术平均值、几何平均值 <1> 定理及性质:
当 x1, x2 ,, xn 为 n 个正实数时，它们的算术平均值不小于
它们的几何平均值，即
x1
x2
... n
xn
n
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MBA联考数学-实数的概念、性质和运算(四)(总分：132.00，做题时间：90分钟)一、问题求解(总题数：25，分数：75.00)1.某老人旅行团游览A，B，C三个景点，有1人因病三景点全未去，三景点全都游览有1人，游览两景点的有15人。
游览A景点和游览B景点的人数之和为29人，游览A景点和游览C景点的人数之和为25人，游览B景点和游览C景点的人数之和为20人，那么该老人旅行团的人数为( )．(A) 30 (B) 28 (C) 25 (D) 22 (E) 21A.B.C.D.E. √2.已知|a|=5，|b|=7，ab＜0，则|a-b|=( )．(A) 2 (B) -2 (C) 12d(D) -12 (E) 以上结果均不正确A.B.C. √D.E.3.一批奖金分给技术改革小组的甲、乙、丙、丁四人，其中数恰是甲、乙奖金差的3倍，已知分给丁的奖金为200元，则这批奖金数为( )元．(A) 1500 (B) 2000 (C) 2500 (D) 3000 (E) 3500A.B.C.D. √E.4.如果方程|x|=ax+1有一个负根，那么a的取值范围是( )．(A) a＜1 (B) a=1 (C) a＞-1(D) a＜-1 (E) 以上结果均不正确A.B.C. √D.E.由x＜0，-x=ax+1，a＞-1.故选(C) .另解，画出y=|x|与y=ax+1的图像，如图1-9所示．只要直线y=ax+1的斜率a大于直线y=1-x的斜率-1，两个函数图像就有在y轴左方的交点．因此a＞-1．5.不等式1＜|2x+1|≤3的解为( )．(A) -2＜x＜2 (B) 0＜x＜1 (C) -2≤x＜-1(D) 0＜x≤1 (E) -2≤x＜-1或0＜x≤1A.B.C.D.E. √由绝对值的几何意义，原式可表示为-3≤2x+1＜-1或1＜2x+1≤3，即-4≤2x＜-2或0＜2x≤2，从而有-2≤x＜-1或0＜x≤1．故选(E)．6.|2x-11|=|x-3|+|x-8|的解为( )．(A) 3＜x＜8 (B) x≤3 (C) x≥8(D) x＜3或x＞8 (E) x≤3或x≥8A.B.C.D.E. √|(x-3)+(x-8)|≤|x-3|+|x-8|，但|2x-11|=|(x-3)+(x-8)=|x-3|+|x-8|，从而有(x-3)(x-8)≥0，x≤3或x≥8．故选(E)．7.商店本月的计划销售额为40万元，由于开展了促销活动，上半月完成了计划的60%，若全月要超额完成计划的25%，则下半月应完成的销售额为( )万元．(A) 22 (B) 24 (C) 26 (D) 28 (E) 30A.B.C. √D.E.8.三个质数之积恰好等于它们和的5倍，则这三个质数之和为( )．(A) 1l (B) 12 (C) 13 (D) 14 (E) 15A.B.C.D. √E.设这三个质数为x，y，z，由题设xyz=5(x+y+z)，所以x，y，z中必有一个为5，不妨设z=5，则xy=x+y+5x-1是6的正约数，x-1可取1，2，3，6，从而因此，x=2，y=7，z=5三质数之和为14，故取(D) .9.一批图书放在两个书柜中，其中第一柜占55%，若从第一柜中取出15本放入第二柜内，则两书柜的书各占这批图书的50%，这批图书共有( )本．(A) 20O (B) 260 (C) 300 (D) 360 (E) 600A.B.C. √D.E.10.( )．(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 不存在A.B.C.D. √E.上面不等式中等号成立的条件为当0≤x≤1时，y取最小值6．故选(D)．11.有某种农药桶，倒出8 L后，用水填满，然后又倒出4 L，再用水填满，此时测得桶中农药和水之比是18:7，则桶的容积为( )I．．(A) 35 (B) 40 (C) 45 (D) 50 (E) 54A.B. √C.D.E.设桶的容积为z L，则第一次倒后农药有(x-8)L，溶液x L，浓度为；第二次倒农药有，溶液仍是xL，浓度为.由于农药和水之比为18:7，可知农药与溶液之比为18:(18+7)=18:25．从而有7x2-300x+800=0．解得x=40舍)，故选(B)．12.甲、乙、丙三名工人加工完一批零件，甲工人完成了总件数的34%，乙、丙两工人完成的件数之比是6:5，已知丙工人完成了45件，则甲工人完成了( )件．(A) 48 (B) 51 (C) 60 (D) 63 (E) 132A.B. √C.D.E.乙、丙两工人共完成总件数的66%，由他们完成件数之比是6:5可知丙工人完成30%，三人共完成件数为件，甲工人完成了150×34%=51件．故选(B)．13.已知A股股票上涨的O．16元相当于该股票原价的16%，B股股票上涨的1.68元也相当于原价的16%，则这两种股票原价相差( )元．(A) 8 (B) 9.5 (C) 10 (D) 10.5 (E) 11A.B. √C.D.E.14.一本书内有三篇文章，第一篇文章的页数分别是第二篇页数和第三篇页数的2倍和3倍，已知第三篇比第二篇少10页，则这本书共有( )．(A) 100页 (B) 105页 (C) 110页(D) 120页 (E) 以上结果均不正确A.B.C. √D.E.15.4筐还多24斤，其余部分收完后刚好又装满了8筐，菜园共收获了白菜( )斤．(A) 381 (B) 382 (C) 383(D) 384 (E) 385A.B.C.D. √E.16.装配一台机器需要甲、乙、丙三种部件各一件，现库中存有这三种部件共270件，分别用甲、乙、丙库存数的配了若干台机器，那么原来库中存有甲种部件( )．(A) 80件 (B) 90件 (C) 100件(D) 110件 (E) 以上结果均不正确A.B.C. √D.E.设分别存有甲、乙、丙部件各为x，y，z件，则x=100.故选(C) .17.x是( ).(A) 4 (B) 0 (C) 4或0(D) 1 (E) 以上结果均不正确A.B.C. √D.E.|x-2|=2，x=0或x=4．故选(C)．18.甲、乙两辆汽车速度之比是11:9，两辆汽车分别从A，B两地相向而行．若甲出发后1h，乙才出发，6h 后途中相遇；若两车同时出发，经过6h 30min，仍未相遇且相距5km，则甲车速度为( )km/h．(A) 55 (B) 50 (C) 45 (D) 40 (E) 35A. √B.C.D.E.设乙汽车速度为x km/h．又设A，B两地相距s km，则有解得x=45，甲车速度为55 km/h，故选(A)．19.2007年，我国甲省人口是全国人口的c%，其生产总值占国内生产总值的d%；乙省人口是全国人口的e%，其生产总值占国内生产总值的f%，则2007年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是( )．以上结果均不正确A.B.C.D. √E.设全国人口数为u，国内生产总值为v，则甲省人口为cu%，生产总值为dv%，人均生产总值为生；乙省人口为eu%，生产总值为fv%，人均生产总值为．因此，甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比为．故选(D)．20.若|x|＜|y|，|x|＜|y|，则下列各式中一定成立的是( )．(A) |x|-|x|＜0 (B) |x|+|z|＜|y|(C) |x-z|＜2|y| (D) |x-z|＜|y|(E) |y|+|z|＜|x+y|A.B.C. √D.E.21.某单位有职工40人，其中参加计算机考核的有31人，参加外语考核的有20人，有8人没有参加任何一种考核，则同时参加两项考核的职工有( )．(A) 10人 (B) 13人 (C) 15人(D) 19人 (E) 以上结果均不正确A.B.C.D. √E.如图1-8所示，其中A={参加计算机考核}，B={参加外语考核}．A∩B={同时参加两项考核)．故选(D)．22.一公司向银行借款34间应得( )．(A) 4万元 (B) 8万元 (C) 12万元(D) 18万元 (E) 20万元A.B.C.D. √E.23.容器内装满铁质或木质的黑球与白球，其中30%是黑球，60%的白球是铁质的，则容器中木质白球的百分比是( )．(A) 28% (B) 30% (C) 40% (D) 42% (E) 70%A. √B.C.D.E.白球占1-30%=70%，白球中铁质的占白球的60%，木质的占白球的1-60%=40%，因而木质白球占整体的70%×40%=28%，故选(A)．24.个人所得税是工资加奖金总和的30%，如果一个人的个人所得税为6810元，奖金为3200元，则他的工资为( )元．(A) 12 000 (B) 15 900 (C) 19 500 (D) 25 900 (E) 62 000A.B.C. √D.E.25.某商店将每套服装按原价格提高50%后再作7折“优惠”的广告宣传，这样每售出一套服装可获利625元，已知每套服装的成本是2000元，该店按“优惠价”售出一套服装比按原价( )．(A) 多赚100元 (B) 少赚100元 (C) 多赚125元(D) 少赚125元 (E) 多赚155元A.B.C. √D.E.设原价为a元，售价元，按题意，，解得a=2500．原利润为2500-2000=500(元)，按“优惠价”每套服装多赚625-500=125(元)，故选(C)．二、条件充分性判断(总题数：1，分数：57.00)A．条件(1)充分，但条件(2)不充分．B．条件(2)充分，但条件(1)不充分．C．条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分．D．条件(1)充分，条件(2)也充分．E．条件(1)和(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分．（分数：57.00）(1).自然数n的各位数字之积为6．(1)n是除以5余3，且除以7余2的最小自然数；(2)n是形如24m(m是正整数)的最小自然数．__________________________________________________________________________________________正确答案：((D)．)条件(1)中，n=5a+3=7b+2，其中a，b∈N，5a=76-1，a=，要使a∈N，2b-1=5c，其中c∈N，要使b∈N，c+1=2d，其中d∈N．从而b=2(2d-1)+d=5d-2，取b-3，n=23，2×3=6．条件(1)充分．条件(2)中，n=24m，当m=1，n最小为24=16，1×6=6．条件(2)也充分，故选(D)．(2).x101+y101可取两个不同的值．(1)实数x，y满足条件(x+y)99=-1；(2)实数x，y满足条件(x-y)100=1．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((E)．)条件(1)中，令x101+y101可取-1，1+(-2)101，2+(-3)101，即x101+y101可至少取三个不同值，条件(1)不充分．条件(2)中，令即有x101+y101至少可取三个不同值1，2101+1，3101+2101，条件(2)也不充分．将条件(1)和条件(2)联合起来，此时x101+y101=-1，即只取一个值，联合起来也不充分．故选(E)．(3).[*](1)[*](2)[*]__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((B)．)条件(1)中，条件(1)不充分．条件(2)中，条件(2)充分，故选(B)．(4).甲、乙、丙三个实数，甲比丙小．(1)甲与乙的比是2:3，乙与丙的比是8:7;(2)丙是甲、乙差的120%．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((E)．)条件(1)中，甲:乙=2:3=16:24，乙:丙=8:7=24:21，甲:乙:丙=16:24:21，令甲取-16，丙取-21，不满足甲比丙小，条件(1)不充分．条件(2)中，令甲取10，乙取20，甲乙差为-10，丙取-12，甲比丙大，条件(2)也不充分．条件(1)、条件(2)联合起来，由条件(1)可设甲、乙、丙分别为16k，24k，21k，由条件(2)，21k=(16k-24k)×12%=-9.6k，k=0，x=y=z=0．联合起来也不充分，故选(E)．(5).[*](1)a＞0，b＜0； (2)a＜0，B＞0．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((B)．)(2)充分，条件(1)不充分．故选(B)．(6).|x2-y2-2x-2y=4|+(2x-y-7)2=0．(1)x=3，y=-1； (2)[*]__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((D)．)由非负数性质，有将y=2x-7代入二次方程中：x2-(2x-7)2-2x-2(2x-7)-4=0，从而可知条件(1)、条件(2)单独都充分．故选(D)．(7).|x-1|-|2x+4|＞1．(1)-4＜x＜-1； (2)-3＜x＜-2．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((B)．)以绝对值中代数式的零点x=-2与x=1将数轴分为三段：从而不等式的解为-4＜x＜(1)不充分，条件(2)充分．故选(B)．(8).[*](1)-2＜x＜1； (2)-2≤x≤1．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((A)．)(1)充分，条件(2)不充分．故选(A)．(9).m除10k的余数为1．(1)[*]是既约分数；(2)[*]可以化为小数部分为一个循环节有k位数字的纯循环小数．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((C)．)条件(1)m除10k余数为0，条件(1)不充分．条件(2)中，令(C)．(10).不等式|1-x|+|1+x|＞a对于任意实数x都成立．(1)a∈(-∞，2)； (2)a=2．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((A)．)令f(x)=|1-x|+|1+x|=|x-1|+|x+1|，由绝对值的几何意义可知f(x)最小值为2，从而使不等式|1-x|+|1+x|＞a对任意实数z都成立，只要a＜2，因而条件(1)充分，条件(2)不充分．故选(A)．(11).x，y∈R，满足|x|(x-y)＞-x|x-y|．(1)x＞0； (2)x＞y．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((C)．)由于|x|(x-y)|=|-x|x-y||，因而因此，只有条件(1)、条件(2)联合起来才充分，而条件(1)、条件(2)单独都不充分．故选(C)．(12).a+2，b-3，c+6与8的算术平均值为7．(1)a，b，c三个数的算术平均值为5；(2)a，6，c三个数的算术平均值为7．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((A)．)，a+b+c=15．因此，条件(1)充分，条件(2)不充分，故选(A)．(13).|5-x|+|3-x|＜a的解集非空．(1)a=2； (2)a＞2．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((B)．)令f(x)=|5-x|+|3-x|=|x-5|+|x-3|，由绝对值几何意义可知f(x)的最小值为2，要使|5-x|+|3-x|＜a有解，只有a＞2．因此条件(2)充分，条件(1)不充分，故选(B)．(14).能求每支健齿灵牙膏上涨了百分之几．(1)每支健齿灵牙膏上涨了0.5元；(2)每支健齿灵牙膏上涨为7元．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((C)．)条件(1)只有涨幅，条件(2)只有现价，都无法求出牙膏上涨率，即条件(1)、条件(2)单独都不充分．将条件(1)、条件(2)联合起来，设上涨百分率为x，则6.5(1+x)=7，从而可求出牙膏上涨的百分率x，因此条件(1)、条件(2)联合起来充分．故选(C)．(15).用[*]表示十位数字是n，个位数字是6的两位数，则有[*]=(a+1):(b+1)成立．(1)[*]是3的倍数； (2)[*]是9的倍数．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((B)．)条件(1)中，=2:3,从而条件(1)不充分。