多元线性回归讲解学习

简要回答题：

1. 在多元线性回归分析中，F检验和t检验有何不同？

答案：

在多元线性回归中，由于有多个自变量，F检验与t检验不是等价的。

F检验主要是检验因变量同多个自变量的整体线性关系是否显著，在k个自变量中，只要有一个自变量同因变量的线性关系显著，F检验就显著，但这不一定意味着每个自变量同因变量的关系都显著。检验则是对每个回归系数分别进行单独的检验，以判断每个自变量对因变量的影响是否显著。

知识点：多元线性回归

难易度：1

2. 在多元线性回归分析中，如果某个回归系数的t检验不显著，是否就意味着这个自变量与因变量之间的线性回归不显著？为什么？当出现这种情况时应如何处理？

答案：

（1）在多元线性回归分析中，当t检验表明某个回归系数不显著时，也不能断定这个自变量与因变量之间线性关系就不显著。因为当多个自变量之间彼此显著相关时，就可能造成某个或某些回归系数通不过检验，这种情况称为模型中存在多重共线性。

（2）当模型中存在多重共线性时，应对自变量有所选择。变量选择的方法主要有向前选择、向后剔除和逐步回归等。

知识点：多元线性回归

难易度：2

计算分析题：

1. 一家餐饮连锁店拥有多家分店。管理者认为，营业额的多少与各分店的营业面积和服务人员的多少有一定关系，并试图建立一个回归模型，通过营业面积和服务人员的多少来预测营业额。为此，收集到10家分店的营业额（万元）、营业面积（平方米）和服务人员数（人）的数据。经回归得到下面的有关结果（a=0.05）。

回归统计

Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差

0.9147 0.8366 0.7899 60.7063

方差分析

df SS MS F Significance F

回归 2 132093.199 66046.600 17.922 0.002

残差7 25796.801 3685.257

总计9 157890.000

参数估计和检验

Coefficients 标准误差t Stat P-value

Intercept -115.288 110.568 -1.043 0.332

X Variable 1 0.578 0.503 1.149 0.288

X Variable 2 3.935 0.699 5.628 0.001

（1）指出上述回归中的因变量和自变量。

（2）写出多元线性回归方程。

（3）分析回归方程的拟合优度。

（4）对回归模型的线性关系进行显著性检验。

答案：

（1）自变量是营业面积和销售人员数，因变量是营业额。

（2）多元线性回归方程为：。

（3）判定系数，表明在营业额的总变差中，有83.66%可由营业额与营业面积和服务人

员数之间的线性关系来解释，说明回归方程的拟合程度较高。估计标准误差，表示用营业面积和服务人员数来预测营业额时，平均的预测误差为60.7036万元。

（4）从方差分析表可以看出，，营业额与营业面积和服务人员

数之间的线性模型是显著的。

知识点：多元线性回归

难易度：2

2. 机抽取的15家超市，对它们销售的同类产品集到销售价格、购进价格和销售费用的有关数据（单位：元）。设销售价格为y、购进价格为、销售费用为，经回归得到下面的有关结果（a=0.05）：

方差分析

df SS MS F Significance F

回归 2 61514.17 30757.09 12.88 0.0010

残差12 28646.76 2387.23

总计14 90160.93

参数估计和检验

Coefficients 标准误差 t Stat P-value

Intercept 637.07 112.63 5.66 0.0001

X Variable 1 0.18 0.08 2.33 0.0380

X Variable 2 1.59 0.34 4.71 0.0005

（1）写出多元线性回归方程，并解释各回归系数的实际意义。

（2）计算判定系数，并解释其实际意义。

（3）计算估计标准误差，并解释其意义。

（4）根据上述结果，你认为用购进价格和销售费用来预测销售价格是否都有用？请说明理由。

答案：

（1）多元线性回归方程为：。偏回归系数表示：在销售费用

不变的条件下，购进价格每增加1元，销售价格平均增加0.18元；偏回归系数表示：在购进价格不变的条件下，销售费用每增加1元，销售价格平均增加1.59元。

（2）判定系数，表明在销售价格总变差中，有68.23%可由销售价格与购进价格和销售费用之间的线性关系来解释，说明回归方程的拟合程度一般。

（3）估计标准误差，表示用购进价格和销售费用来预测

销售价格时，平均的预测误差为48.86元。

（4）都有用。因为两个回归系数检验的值均小于0.05，都是显著的。

知识点：多元线性回归

难易度：3

3. 经济和管理专业的学生在学习统计学课程之前，通常已经学过概率统计课程。经验表明，统计学考试成绩的高低与概率统计的考试成绩密切相关，而且与期末复习时间的多少也有很强的关系。根据随机抽取的15名学生的一个样本，得到统计学考试分数、概率统计的考试分数和期末统计学的复习

时间（单位：小时）数据，经回归得到下面的有关结果（a=0.05）：

方差分析

df SS MS F Significance F

回归 2 A B D 0.01

残差12 418.46 C

总计14 900.86

参数估计和检验

Coefficients 标准误差t Stat P-value

Intercept -15.533 33.695 -0.461 0.653

X Variable 1 0.703 0.203 3.465 0.005

X Variable 2 1.710 0.676 2.527 0.027

（1）计算出方差分析表中A、B、C、D单元格的数值。

（2）计算判定系数，并解释其实际意义。

（3）计算估计标准误差，并解释其意义。

答案：

（1）A=900.86-418.46=482.40；B=482.40÷2=241.20；C=418.46÷12=34.87；D=241.20÷34.87=6.92。

（2）判定系数，表明在统计学考试成绩的总变差中，有53.55%可由统

计学考试成绩与概率统计成绩和期末复习时间之间的线性关系来解释，说明回归方程的拟合程度一般。

（3）估计标准误差，表示概率统计成绩和期末复习时间来

预测统计学成绩时，平均的预测误差为5.905分。

知识点：多元线性回归

难易度：3

4. 国家统计局定期公布各类价格指数。为了预测居民消费价格指数，收集到2002年～2006年间的几种主要价格指数，包括商品零售价格指数、工业品出厂价格指数，原材料、燃料、动力购进价格指数，固定资产投资价格指数等，这些指数都是以上年为100而计算百分比数字。以居民消费价格指数为因

变量，自变量分别为商品零售价格指数（），工业品出厂价格指数（），原材料、燃料、动力购进价格指数（），固定资产投资价格指数（）。经回归得到下面的有关结果（a=0.05）：

Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差

0.9980 0.9961 0.9945 0.5636

df SS MS F Significance F

回归 4 804.25 201.06 632.99 5.64E-12

残差10 3.18 0.32

总计14 807.43

Coefficients 标准误差t Stat P-value