海涅定理及其运用

２００６年９月保山师专学报

Ｓｅｐ．，２００６

第２５卷第５期

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＢａｏｓｈａｎＴｅａｃｈｅｒｓ′Ｃｏｌｌｅｇｅ

Ｖｏｌ．２５Ｎｏ．５

收稿日期：２００６－０７－０４

作者简介：李成林（１９６８—），男，云南曲靖人，保山师范高等专科学校数学系，讲师，硕士，研究方向为应用泛函分析和非光滑分析。

海涅定理及其运用

李成林

郑继刚

（保山师范高等专科学校数学系，云南保山

６７８０００）

摘

要：揭示了海涅定理的内涵，分别给出了不同函数极限的海涅定理，归纳总结了它的应用并举出实例。

关键词：海涅定理；极限；导数中图分类号：Ｏ１７

文献标识码：Ａ

文章编号：１００８－６５８７（２００６）０５－０５０－０３

海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。根据海涅定理，求函数极限可化为求数列极限，同样求数列极限也可转化为求函数极限。因此，函数极限的所有性质都可用数列极限的有关性质来加以证明。根据海涅定理的必要条件还可以判断函数极限是否存在。所以在求数列或函数极限时，海涅定理起着重要的作用。

１海涅定理的内涵

海涅定理是德国数学家海涅（Ｈｅｉｎｅ）给出的，应用海涅定理人们可把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又称它为归结原则。

海涅定理

ｌｉｍｘ→ｘ０

ｆ（ｘ）＝Ａ!任意数列｛ｘｎ｝，ｘｎ≠ｘ０，

且ｌｉｍｎ→∞

ｘｎ＝ｘ０，有ｌｉｍｎ→∞

ｆ（ｘｎ）＝Ａ。

两点说明：（１）根据海涅定理的充分性，可以把数列极限转化成函数极限，但要注意，数列｛ｘｎ｝是任意的。例如，取ｘｎ＝２ｎ，ｌｉｍｎ→∞

ｘｎ＝＋∞，有ｌｉｍｎ→∞

（－１）ｘ２ｎ

＝１，

但ｌｉｍｘ→∞

（－１）ｘ

不存在。（２）若可找到一个以ｘ０为极限

的数列｛ｘｎ｝，使ｌｉｍｎ→∞

ｆ（ｘｎ）不存在，或找到两个都以ｘ０为

极限的数列｛ｘ＇ｎ｝与｛ｘ＂ｎ｝，使ｌｉｍｎ→∞

ｆ（ｘ＇ｎ）与ｌｉｍｎ→∞

ｆ（ｘ＂ｎ）都存在

而不相等，则ｌｉｍｘ→ｘ０

ｆ（ｘ）不存在。

对于下列三种函数极限，分别有其如下的海涅

定理

ｌｉｍｘ→∞

ｆ（ｘ）＝Ａ!对任意数列｛ｘｎ｝，且ｌｉｍｎ→∞

ｘｎ＝＋∞，

有ｌｉｍｎ→∞

ｆ（ｘｎ）＝Ａ

ｌｉｍｘ→ａ＋

ｆ（ｘ）＝Ａ!对任意数列｛ｘｎ｝和任意!＞０，存在

Ｎ＞０，当ｎ＞Ｎ时，有ｘｎ＜ａ＜ｘｎ＋!，且ｌｉｍｎ→∞

ｆ（ｘｎ）＝Ａ

ｌｉｍｘ→ａ＋

ｆ（ｘ）＝Ａ!对于任意数列｛ｘｎ｝和任意!＞０，存在

，当Ｎ＞０，当ｎ＞Ｎ时，有ｘｎ－!＜ａ＜ｘｎ，且ｌｉｍｎ→∞

ｆ（ｘｎ）＝Ａ．

２海涅定理的应用

海涅定理的应用非常广泛，主要用于求函数和

数列的极限，归纳起来主要有以下几方面。

２．１判断函数极限

利用海涅定理，可以判断一个函数的极限不存在。

例１证明极限ｌｉｍｘ→０

ｃｏｓ１ｘ

不存在。

证明：设ｘ＇ｎ１

２ｎπ

＝，ｘ＂ｎ＝

１

ｎπ＋π

２

（ｎ＝１，２，…），则

ＨｅｉｎｅＴｈｅｏｒｅｍａｎｄＩｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ

ＬｉＣｈｅｎｇ－ｌｉｎ；ＺｈｅｎｇＪｉ－ｇａｎｇ

（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＢａｏｓｈａｎＴｅａｃｈｅｒＣｏｌｌｅｇｅ，Ｂａｏｓｈａｎ，Ｙｕｎｎａｎ６７８０００）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｉｓｐａｐｅｒｉｓｉｎｔｅｎｄｅｄｔｏｇｉｖｅａｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆＨｅｉｎｅｔｈｅｏｒｅｍｉｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎｓｌｉｍｉｔｓａｎｄｓｕｍｍａｒｉｚｅｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｈｒｏｕｇｈｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｎｇｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｈｅｉｎｅｔｈｅｏｒｅｍ；Ｌｉｍｉｔ；Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ

显然有ｘ＇ｎ→０，ｘ＂ｎ→０（ｎ→∞），而ｃｏｓ１

ｘ＇ｎ

＝１→０

（ｎ→∞），ｃｏｓ１

ｘ＂ｎ

＝１→０（ｎ→∞），因此由海涅定理

知ｌｉｍ

ｘ→０ｃｏｓ１

ｘ

不存在。

例２设ｌｉｍ

ｘ→ａｆ（ｘ）＝Ａ，ｌｉｍ

ｕ→ａ

ｇ（ｕ）＝Ｂ，复合函数ｇ［ｆ（ｘ）］在

ａ是否有极限ｌｉｍ

ｘ→ａ

ｇ［ｆ（ｘ）］＝Ｂ？

答：不一定，例如，设

ｕ＝ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎ１

ｘ，ｇ（ｕ）＝

ｕ，ｕ≠０

１，ｕ＝

!

０

有ｌｉｍ

ｘ→０ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ

ｘ→０

ｓｉｎ１

ｘ

＝０，ｌｉｍ

ｕ→０

ｇ（ｕ）＝０．

由复合函数的定义，显然有

ｇ［ｆ（ｘ）］＝

ｘｓｉｎ１

ｘ

，当ｘ≠１

ｋπ

１，当ｘ＝１

ｋπ

"

$

$

$

$$

#

$

$

$

$$

%

，ｋ＝±１，±２，…

取ｘｋ＝１

ｋπ，ｙｋ＝１

２ｋπ＋π

２

，有

ｌｉｍｋ→∞ｇ［ｆ（ｘｋ）］＝１，ｌｉｍ

ｋ→∞

ｇ［ｆ（ｙｋ）］＝０．

根据海涅定理，复合函数ｇ［ｆ（ｘｋ）］在ｘ＝０不存在极限，更不能在ｘ＝０收敛于０．

２．２证明函数极限的性质

利用海涅定理，可以把函数极限的问题转化为数列极限，再根据数列极限的性质，可证明相应的函数极限性质。

例３若&ｘ∈Ｕ０（ａ），有ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ）≤ｈ（ｘ），且

ｌｉｍｘ→ａｆ（ｘ）＝ｌｉｍ

ｘ→ａ

ｈ（ｘ）＝ｂ，则ｌｉｍ

ｘ→ａ

ｇ（ｘ）＝ｂ．

证明：已知ｌｉｍ

ｘ→ａｆ（ｘ）＝ｌｉｍ

ｘ→ａ

ｈ（ｘ）＝ｂ，根据海涅定理

的必要条件Ｕ０（ａ）内任意数｛ａｎ｝，ａｎ≠ａ，且ｌｉｍ

ｎ→∞

ａｎ＝ａ，有

ｌｉｍｘ→∞ｆ（ａｎ）＝ｌｉｍ

ｎ→∞

ｈ（ａｎ）＝ｂ，

又已知&ｎ∈Ｎ，有ｆ（ａｎ）≤ｇ（ａｎ）≤ｈ（ａｎ），由数列的

两边夹法则，有ｌｉｍ

ｎ→∞

ｇ（ａｎ）＝ｂ，再根据海涅定理的充分

条件，有ｌｉｍ

ｘ→ａ

ｇ（ｘ）＝ｂ。

例４对&ε＞０，(Ａ＞０，&ｘ′＞Ａ与&ｘ″＞Ａ有

ｆ（ｘ′）－ｆ（ｘ″）＜ε，则极限ｌｉｍ

ｘ→＋∞

ｆ（ｘ）存在。

证明：有数列｛ｘｎ｝，且ｘｎ→＋∞（ｎ→∞），即Ａ＞０，(Ｎ１∈Ｎ，&ｎ＞Ｎ１)ｘｎ＞Ａ。由已知条件，&ｎ＞Ｎ１与&ｍ＞Ｎ１)ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｘｍ）＜ε．

根据数列柯西收敛准则，数列｛ｆ（ｘｎ）｝收敛，设

ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘｎ）＝ｂ

即&ε＞０，(Ｎ２∈Ｎ，&ｎ＞Ｎ２)ｆ（ｘｎ）－ｂ＜ε．

下面证明，对任意数列｛ｙｎ｝，ｙｎ→＋∞（ｎ→∞）都

有ｌｉｍ

ｎ→∞

ｆ（ｙｎ）＝ｂ。

已知ｙｎ→＋∞（ｎ→∞），即

Ａ＞０，(Ｎ３∈Ｎ，&ｎ＞Ｎ３)ｙｎ＞Ａ．

取Ｎ＝ｍａｘ｛Ｎ１，Ｎ２，Ｎ３｝，&ｎ＞Ｎ)ｘｎ＞Ａ与ｙｎ＞Ａ．由

已知条件，有ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）＜ε．于是，&ｎ＞Ｎ)

ｆ（ｙｎ）－ｂ≤ｆ（ｙｎ）－ｆ（ｘｎ）＋ｆ（ｘｎ）－ｂ＜ε＋ε＝２ε

即ｌｉｍ

ｎ→∞

ｆ（ｙｎ）＝ｂ

根据海涅定理，有ｌｉｍ

ｘ→＋∞

ｆ（ｘ）＝ｂ．

２．３求函数极限

已知函数的极限存在，要求函数极限时，只要

取一个特殊的数列则可求得函数极限。

例５已知ｌｉｍ

ｘ→０

ｘｓｉｎ１

ｘ

存在，求此极限。

解：根据海涅定理，取ｘｎ＝１

ｎπ

（ｎ＝１，２，…），则

ｌｉｍ

ｘ→０

ｘｓｉｎ１

ｘ

＝０。

２．４求数列极限

在求数列极限比较困难的情况下，可先考察与

之相对应的函数极限，利用函数性质及海涅定理可

求出数列极限。

例６求数列极限ｌｉｍ

ｎ→０

（１＋１

ｎ

＋１

ｎ２

）ｎ．

解：先求相应的函数极限ｌｉｍ

ｎ→＋∞

（１＋１

ｘ

＋１

ｘ２

）ｘ．取

对数得ｌｉｍ

ｘ→∞

（１＋１

ｘ

＋１

ｘ２

）ｘ＝ｅ

ｌｎ（１＋１

ｘ

＋１

ｘ２

）ｘ

，而

ｌｉｍ

ｘ→∞

ｌｎ（１＋１

ｘ

＋１

ｘ２

）ｘ＝１，所以由海涅定理可得

ｌｉｍ

ｎ→＋∞

（１＋１

ｎ

＋１

ｎ２

）ｎ＝ｌｉｍ

ｘ→∞

（１＋１

ｘ

＋１

ｘ２

）ｘ＝ｅ．

２．５判断函数在某点的可导性

应用海涅定理，可求得函数差商的极限，从而

可判断函数在某点的可导性．

例７证明函数ｆ（ｘ）＝ｘ２Ｄ（ｘ）（其中Ｄ（ｘ）为

Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ函数）在原点可导，而在其它点处不可导。

证明：因为ｌｉｍ

ｘ→０

ｆ（ｘ）－ｆ（０）

ｘ－０

＝０＝ｆ＇（０），因此ｆ（ｘ）

在原点可导。当ｘ０≠０时，设｛ｘｎ｝是大于且趋于ｘ０的

有理数，｛ｘ＇ｎ｝是大于且趋于ｘ０的无理数列。于是当

ｘ０为无理数时，ｌｉｍ

ｎ→∞

ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｘ０）

ｘｎ－ｘ０

＝ｌｉｍ

ｎ→∞

ｘｎ２

ｘｎ－ｘ０

＝∞，但ｌｉｍ

ｎ→∞

ｆ（ｘ＇ｎ）－ｆ（ｘ０）

ｘ＇ｎ－ｘ０

＝０，由海涅定理知ｆ（ｘ）在无理点ｘ０不可

第５期·５１·

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