高中数学：第三章《导数及其应用》复习课件

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2 2 g (1) 0, 1 2 0, 4 所以 解之得 m 又 m 0 所以 m m 3 g (1) 0. 1 0.
4 4 m 0 .即 m 的取值范围为 , 0 . 3 3
（五）函数的最大值与最小值：
f x 3ax2 2bx c ,所以
m 3 m 3 3 2 a , b m, c 2m . f x x x 2mx , 由 3 2 3 2 m 3 f 1 5 ,即 2m 5 ,得 m 6 . 两年北京导 3 2
所以 a 2, b 9, c 12 .
f ( x) ax bx cx 在 点 x0 处 取 得极大值 5 ,其导函数 y f ( x) 的图 象经过点 (1,0) , (2, 0) ,如图所示.求: （Ⅰ） x0 的值; （Ⅱ） a, b, c 的值.
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y
O Ⅰ ）由图象可知 ,在 ,1 上 f x 0 , 在 1, 2 上
x 0
x
3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意 义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线 y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝f ’(x0)．所以曲线 y＝ f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 yy0=f ’(x0)· (x－x0)． 4．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t
x 0
x
（一）导数的概念：
1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量
x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)， 若极限 lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) 存在，则此极限称为
x 0
x
x 0
x
f(x)在点x=x0处的导数，记为f ’(x0)，或y|x x ；
3a 2b c 0, 得 12 a 4b c 0, 解得 a 2, b 9, c 12 . a b c 5.
解法二: （Ⅰ）同解法一. （ Ⅱ ） 设 f x m x 1 x 2 mx2 3mx 2m , 又
割 线 T 切 线 x
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定理 一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；
2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） 在这个区间(a,b)内单调递减。
y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x)
f '(x)<0
上取一点P(x0，y0)，点Q(x0+△x，y0+△y)
是曲线C上与点P临近的一点，做割线PQ， 当点Q沿曲线C无限地趋近点P时，割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置PT，我们就 把直线PT叫做曲线C的在点P处的切线。
此时割线PT斜率的极限就是曲线C在点P处的切线的斜率， 用极限运算的表达式来写出，即 k=tanα= lim f ( x0 x) f ( x0 )
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m, n R, m 0 ，
（I）求 m 与 n 的关系表达式； （II）求 f ( x ) 的单调区间； （ III）当 x 1,1 时 ,函数 y f ( x) 的图象上任意一 点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围.
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
解 :(I) f ( x) 3mx2 6(m 1) x n 因为 x 1 是函数 f ( x ) 的 一 个极值 点 , 所以 f (1) 0 , 即 3m 6(m 1) n 0 ， 所以
1 7.若f(x)=logax，则f(x)= xlna 1 ' 8.若f(x)=lnx，则f(x)= x
'
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导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
返回
当点Q沿着曲线无限接近点 P即Δx→0时,割线PQ如果有一 y 个极限位置PT.则我们把直线 PT称为曲线在点P处的切线.
y=f Q (x)
设切线的倾斜角为α,那 P 么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的 o 切线的斜率. f ( x0 x) f ( x0 ) y ' lim 即: k切线 f ( x0 ) lim x 0 x x 0 x
2, 2 上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值．
(Ⅱ)当 x 2, 2 时
x
f x
2
2, 1

1
1, 2

2
0
极小
f x
2a
22 a
因为 f 2 2 a , f 2 22 a ,所以 f 2 f 2 .
1．定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区 间(或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数 值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小
值记为m.
2．存在性：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)在[a，b]上必 有最大值与最小值． 3．求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最 值求法：
的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数，
即v(t)=s’(t).
基本初等函数的导数公式
' 1.若f(x)=c，则f(x)=0 ' n-1 2.若f(x)=x n，则f(x)=nx (n R) ' 3.若f(x)=sinx，则f(x)=cosx ' 4.若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx ' x 5.若f(x)=ax，则f(x)=a ln a ' x 6.若f(x)=ex，则f(x)=e
f x 0 ,在 2, 上 f x 0 , 故 f x 在 x 1 处取得极
大值,所以 x0 1 .
（Ⅱ）f x 3ax2 2bx c ,由 f 1 0, f 2 0, f 1 5 ,
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
因为在 1,3 上 f x 0 ,所以 f x 在 1, 2 上单调递增， 又由于 f x 在 2, 1 上单调递减，因此 f 2 和 f 1 分别 是 f x 在 区 间 2, 2 上 的 最 大 值 和 最 小 值 , 于 是 有
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
22 a 20 ,解得 a 2 ．
故 f x x3 3x2 9x 2 ,因此 f 1 1 3 9 2 7 , 即函数 f x 在区间 2, 2 上的最小值为 7 ．
例 7 （ 06 北 京 16 ） 已 知 函 数
0
2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导， 就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每一个 确定的x0值，都相对应着一个确定的导数f ’(x0)，这样在开区 间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内 的导函数．简称导数．记作f ’(x)或y’. 即f ’(x)=y’= lim f ( x x) f ( x)
① 求出f(x)在(a，b)内的极值；
② 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是 最大值，较小的一个是最小值.
【函数的极值和最值问题】
例 6(05 北京 15)已知函数 f x x 3x 9x a .
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（Ⅰ）求 f x 的单调递减区间； （Ⅱ） 若 f x 在区间 2, 2 上的最大值为 20,求它在该 区间上的最小值．
o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f ( x)为常数. 返回
函数的极值 1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0， 在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值 2) 如果 a 是 f’(x)=0 的一个根，并且在 a 的左侧附近 f’(x)<0 ，在 a 右侧附近 f’(x)>0 ，那么是 f(a) 函数 f(x)的一个极小值. 注：导数等于零的点不一定是极值点． 函数的最大（小）值与导数
在 (1, ) 上单调递减.
（III）由已知得 f ( x) 3m ，即 mx2 2(m 1) x 2 0 .又 m 0 所
2 2 2 2 2 以 x (m 1) x 0 ,即 x ( m 1) x 0, x 1,1 ① m m m m 1 2 2 设 g ( x) x 2(1 ) x ,其函数开口向上 ,由题意知①式恒成立 , m m
解： （Ⅰ）f x 3x2 6x 9 .令 f x 0 ,解得 x 1 或
x 3 ,所以函数 f x 的单调递减区间为 , 1 , 3, ．
例 6(05 北京 15)已知函数 f x x3 3x2 9x a . （ Ⅰ ）求 f x 的单调递减区间； （ Ⅱ ）若 f x 在区间