七上数学第四讲 绝对值提高讲义

第四讲 绝对值及有理数的大小比较（拓展）

【学习目标】

1．借助数轴理解绝对值的概念，知道|a|的绝对值的含义；

2．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较有理数的大小；

3．理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题．

【要点梳理】

要点一、绝对值

1．定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|.

要点诠释：

（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．

（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．

2．性质：

（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．

（2）互为相反数的两个数的绝对值相等.

（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．

要点二、有理数的大小比较

1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．

2．法则比较法：

两数同号

同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号

正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0

负数与0：负数小于0

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．

3． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．

4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b

<，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．

5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．

【典型例题】

类型一、绝对值的概念

1．如果|x|＝6，|y|＝4，且x ＜y ．试求x 、y 的值．

举一反三：

【变式】（2015•毕节市）下列说法正确的是（）

A. 一个数的绝对值一定比0大

B. 一个数的相反数一定比它本身小

C. 绝对值等于它本身的数一定是正数

D. 最小的正整数是1

类型二、含有字母的绝对值的化简

2．（2016春•都匀市校级月考）若﹣1＜x＜4，则|x+1|﹣|x﹣4|= ．

举一反三：

【变式】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：

化简：

类型三、绝对值非负性的应用

3．已知a、b为有理数，且满足：1

2

，则a=_______，b=________．

举一反三：

【变式】已知b为正整数，且a、b满足，求的值．

类型四、有理数的大小比较

4．比较下列每组数的大小：

(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)

4

5

-与

3

4

--；(4)π-与| 3.14|

--．

【巩固练习】

一、选择题

1．（2016•日照）以下选项中比|﹣|小的数是（）

A．1 B．2 C． D.

2．在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（）．A．①② B．②③ C．③④ D．②④

3．满足|x|＝-x的数有( )．

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

4.（2015•黄石模拟）若|x ﹣5|=5﹣x ，下列不等式成立的是（ ） A. x ﹣5＞0 B. x ﹣5＜0 C. x ﹣5≥0 D. x ﹣5≤0

5．a 、b 为有理数，且a ＞0、b ＜0，|b|＞a ，则a 、b 、-a 、-b 的大小顺序是( )．

A ．b ＜-a ＜a ＜-b

B ．-a ＜b ＜a ＜-b

C ．-b ＜a ＜-a ＜b

D ．-a ＜a ＜-b ＜b

6．下列推理：①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a≠b，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a≠b．其中正确的个数为( )．

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

二、填空题

7．数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n ,

则3____m n -=．

8．（2015秋•张掖校级期中）如果|a ﹣2|+|b+1|=0，那么a+b 等于 ．

9.（2015•重庆校级模拟）若a ＞3，则|6﹣2a|= （用含a 的代数式表示）．

10．绝对值不大于11的整数有 个．

11．式子|2x-1|+2取最小值时，x 等于 ．

12．若1a a

=-，则a 0；若a ≥a ，则a ． 三、解答题

13．若|x|=3，|y|=2，且|x-y|=y-x ，求x+y 的值．

14．（2014秋•天水期末）如图，数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、b 、c ．

则：a ﹣b 0，a+c 0，b ﹣c 0．（用＜或＞或=号填空）

你能把|a ﹣b|﹣|a+c|+|b ﹣c|化简吗？能的话，求出最后结果．

15．阅读下面的材料：

点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为∣AB∣，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1-1-1,∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a -b∣；当A 、B 两点都不在原点时:

①如图1-1-2，点A 、B 都在原点的右边:

∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b -a=∣a -b∣；

②如图1-1-3，点A 、B 都在原点的左边:

∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a ）=∣a -b∣；

③如图1-1-4，点A 、B 在原点的两边:

∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b ）=∣a -b∣，

综上，数轴上A 、B 两点之间的距离∣AB∣=∣a -b∣．

回答下列问题:

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；

②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是________，如果∣AB∣=2，那么x 为__________． ③当代数式∣x+1∣+∣x -2∣取最小值时，相应的x 的取值范围是______________．