人教版八年级数学上册分式练习题(一)
人教版八年级数学上册分式(含知识点)
⑴边边边（ ）：三边对应相等的两个三角形全等.
⑵边角边（ ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
⑶角边角（ ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
⑷角角边（ ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
⑸斜边、直角边（ ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.
⑸多边形对角线的条数：①从 边形的一个顶点出发可以引 条对角
线，把多边形分成 个三角形.② 边形共有 条对角线.
第十二章 全等三角形
一、知识框架：
二、知识概念：
1.基本定义：
⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.
⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.
⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.
2.基本性质：
⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.
⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
第十三章 轴对称
一、知识框架：
二、知识概念：
1.基本概念：
⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，这个图形就叫做轴对称图形.
⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一
个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.
一、知识框架 ：
二、知识概念：
1.分式：形如 ， 是整式， 中含有字母且 不等于0的整式叫做分式.其中 叫做分式的分子， 叫做分式的分母.
第十五章 分式 分式方程的应用(1)—工程问题 同步练习 2022-2023人教版数学八年级上册
第13课 分式方程的应用(1)——工程问题一、知识储备工程问题：=.（ ）工作时间（ ）列分式方程解应用题的步骤：①设未知数；②列方程；③解方程；④______________；⑤作答.二、新课学习1.某化肥厂由于采取了新技术，每天比原计划多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么该化肥厂原计划每天生产化肥多少吨？2.小王做90个零件所需要的时间与小李做120个零件所用的时间相同，又知每小时小王与小李两个人共做35个机器零件.求小王、小李每小时各做多少个零件？3.某文具厂计划加工3000套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务，求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数量.4.某年，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务，间原计划每天修水渠多少米？5.张家界市为了治理城市污水污染，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量是原计划的1.2倍，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？6.某服装厂准备加工380套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高10%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？7.某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现甲礼品的单价比乙礼品多40元，并且花费600元.购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等，求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？8.某工厂计划生产120件零件，由于采用新技术，每天比原计划多生产3件，因此提前2天完成计划，设原计划每天生产x件零件，则可列方程为（）A.12012023x x-=-B.12012023x x-=-C.12012023x x-=+D.12012023x x-=+9.开学初，某文化用品商店减价促销，全场8折.用60元购买规格相同的签字笔，折价后买到的数量刚好比按原价买到的数量多3支原来每支签字笔的价格是多少元？10.一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台机器收割10hm2小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用1h，这台收割机每小时收割多少公顷小麦？11.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独做需要3个月完成，当甲队单独施工1个月后，乙队加入共同施工，又工作了半个月，总工程全部完成，求乙队单独施工需要多少个月能完成全部工程？12.某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800件投入市场，服装厂有A，B两个制衣车间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2倍，A，B两车间共同完成一半后，A车间出现故障停产，剩下全部由B车间单独完成，结果前后共用20天完成A，B两车间每天分别能加工多少件？第13课 分式方程的应用（1）——工程问题1.解：设原计划每天生产化肥x 吨.依题意，得1801203x x=+，解得6x = 经检验，6x =是方程的解.所以原计划每天生产化肥6吨. 2.解：设小王每小时做零件x 个，小李每小时做零件()35x -个.依题意，列方程9012035x x=-，解得15x =. 经检验，15x =是方程的解.所以小王每小时做零件15个，小李每小时做零件20个.3.解：设原计划每天加工这种画图工具x 套.依题意，列方程3000300041.2x x -=，解得125x =.经检验，125x =是方程的解.所以原计划每天加工这种画图工具125套.4.解：设原计划每天修水渠x 米.依题意36003600201.8x x⋅=，解得80x =. 经检验，80x =是方程的解，所以原计划每天修水渠80米.5.解：设原计划每天铺设管道x 米.依题意，有120300120271.2x x-+=，解得10x =， 经检验，10x =是方程的解，所以原计划每天铺设管道10米.6.解：设计划每天加工服装x 套.依题意，有16038016018(110%)x x -+=+，解得20x =， 经检验，20x =是方程的解，所以计划每天加工服装20套.7.解：设甲礼品单价为x 元，则之礼品单价为()40x -元.依题意，有60036040x x =-，解得 100x =，经检验， 100x =是方程的解，所以甲礼品单价为100元，乙礼品单价为60元.8.C9.解：设原来每支签字笔的价格是x 元.依题意，有606030.8x x-=，解得5x =， 经检验，5x =是方程的解，所以原来每支签字笔的价格是5元.10.解：设这台收割机每小时收割x 公顷小麦，依题意有，10010101150x x÷-=，解得5x =， 经检验，5x =是方程的解，所以这台收割机每小时收割5公顷小麦.11.解：设乙队单独施工需要x 个月能完成全部工程.依题意，有111111332x ⎛⎫⨯++⨯= ⎪⎝⎭，解得1x =.经检验，1x =是方程的解，所以乙队单独施工需要1个月能完成全部工程.12.解：设B 车间每天能加工x 件，则A 车间每天加工的数量是1.2x 件.依题意，44004400201.2x x x+=+，解得320x =， 经检验，320x =是方程的解，所以A 车间每天能加工384件，B 车间每天能加工320件。
人教版八年级数学上册 分式运算 分式方程同步练习题(附答案)
人教版八年级数学上册分式运算分式方程练习题一、单选题1.当分式31x -有意义时,字母x 应满足( ) A.1x ≠-B.0x =C.1x ≠D.0x ≠ 2.若分式2a a b+中的a b ,的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值( ) A.是原来的20倍 B.是原来的10倍 C.是原来的110 D.不变3.如果1m n +=，那么代数式()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为( ) A.3-B.1-C.1D.3 4.如果2220m m +-=，那么代数式2442m m m m m +⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭的值是( ) A.-2 B.-1 C.2 D.35.计算2222ab ab a b a b-÷-+的结果是( ) A.22ab b -+ B.2b a b -+ C.22ab b -- D.2b a b-- 6.在分式2222424312,,,412y x x x xy y a ab a x x y ab b +--++-+-中，是最简分式的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.若分式22969x x x -++的值为0，则x 的值为( ) A.3 B.3± C.9 D.9±8.计算2422a a a a a a -⎛⎫-⋅ ⎪-+⎝⎭的结果是( ) A.4- B.4 C.2a D.2a -9.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是( )A.只有乙B.甲和丁C.乙和丙D.乙和丁 10.计算2235325953x x x x x ÷⋅--+的结果为( ) A.223x B.2(53)3x + C.253x x - D.2159x x - 11.计算2n n m m m ⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭的结果是( ) A.1m -- B. 1m -+ C. mn m -- D.mn n -- 12.计算2221121a a a a a a --⋅+-+结果是( ) A.1a B.a C.11a a +- D.11a a -+ 13.计算222105a b a b ab a b +⋅-的结果为( ) A.2a b - B.a a b - C.b a b - D.2a a b- 14.计算3362b a b a-⋅的结果为( ) A.223a bB.223a b -C.229a b -D.229a b 15.把分式2112,,2(2)(3)(3)x x x x --++通分，下列结论不正确的是( ) A.最简公分母是2(2)(3)x x -+ B.221(3)2(2)(3)x x x x +=--+C.213(2)(3)(2)(3)x x x x x +=-+-+D.22222(3)(2)(3)x x x x -=+-+ 16.化简分式222()x y y x --的结果是( ) A.1- B.1 C.x y y x +- D.x y x y+- 二、计算题17.计算:1.2222255343x y m n xym mn xy n÷ 2.222132(1)441x x x x x x x-++÷+++- 18.先化简，再求值:2221211x x x x x x--+÷+-，其中2x =-. 三、填空题19.计算293242a a a a-+÷--的结果为_________. 20.如果23a b =，那么22242a b a ab --的值是____________. 21.如果2220m m +-=，那么244()2m m m m m ++⋅+的值是 . 参考答案1.答案：C解析：当10x -≠时，分式有意义。
八年级数学人教版上册同步练习分式的基本性质(解析版)
15.1.2分式的基本性质一、单选题1．下列约分计算结果正确的是 （ ）A ．22a b a b a b+=++ B ．a m m a n n +=+ C ．1a b a b -+=-- D ．632a a a= 【答案】C 【分析】利用因式分解，确定分子，分母的公因式，后约分化简，计算即可．【详解】∵22a b +与a +b 没有公因式， ∴22a b a b++无法计算， ∴22a b a b a b+=++的计算是错误的， ∴选项A 不符合题意；∵a +m 与a +n 没有公因式， ∴++a m a n 无法计算， ∴a m m a n n+=+的计算是错误的； ∴选项B 不符合题意；∵-a +b = -(a +b )与a +b 的公因式是a +b ， ∴()1a b a b a b a b-+--==---， ∴选项C 符合题意； ∵642a a a=， ∴632a a a=的计算是错误的； ∴选项D 不符合题意；故选C ．【点评】本题考查了分式的化简，同底数幂的除法，熟练掌握化简计算的要领是解题的关键．2．下列分式中，属于最简分式的个数是（ ）①42x ，②221x x +，③211x x --，④11x x --，⑤22y x x y -+，⑥2222x y x y xy++． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据最简分式的定义判断即可． 【详解】①422x x =，③21111x x x -=-+，④111x x -=--，⑤22y x y x x y-=-+，可约分，不是最简分式； ②221x x +，⑥2222x y x y xy++分子分母没有公因式，是最简分式，一共有二个； 故选：B ．【点评】本题考查了最简分式，解题关键是明确最简分式的定义，准确判断分子分母是否含有公因式． 3．下列命题中的真命题是（ ）A ．多项式x 2－6x ＋9是完全平方式B ．若∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5，则△ABC 是直角三角形C ．分式211x x +-是最简分式 D ．命题“对顶角相等”的逆命题是真命题【答案】A【分析】根据完全平方公式、直角三角形性质、分式化简、和对顶角相等的逆命题进行判断即可．【详解】∵x 2－6x ＋9=（x －3）2，故A 选项是真命题；∵∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5，∴∠A =45°，∠B =60°，∠C =75°，故B 选项是假命题； ∵21111x x x +=--，故C 选项是假命题； “对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故D 选项是假命题；故选：A【点评】本题考查了分式的性质、完全平方公式、直角三角形性质、逆命题，解题关键是熟练掌握相关知识，准确进行判断．4．化简211x x --的结果是（ ） A ．11x -+ B ．11x - C ．11x + D ．11x-【答案】A【分析】分母因式分解，再约分即可． 【详解】2111(1)(1)11x x x x x x --==-+-+-， 故选：A ．【点评】本题考查了分式的约分，解题关键是把多项式因式分解，然后熟练运用分式基本性质进行约分． 5．若把x ，y 的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A ．()22x y x + B ．xy x y + C ．22x y ++ D ．22x y -- 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【详解】A 、()22224x y x +=()22x y x +，故A 的值保持不变． B 、42=22xy xy x y x y++，故B 的值不能保持不变． C 、221=221x x y y ++++，故C 的值不能保持不变． D 、221=221x x y y ----，故D 的值不能保持不变． 故选：A ．【点评】本题考查了分式，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．6．下列关于分式2x x+的各种说法中，错误的是（ ）． A ．当0x =时，分式无意义 B ．当2x >-时，分式的值为负数C ．当2x <-时，分式的值为正数D ．当2x =-时，分式的值为0 【答案】B【分析】根据分式的定义和性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】当0x =时，分式无意义，选项A 正确；当2x >-时，分式的值可能为负数，可能为正数，故选项B 错误；当2x <-时，20x +<，分式的值为正数，选项C 正确；当2x =-时，20x +=，分式的值为0，选项D 正确；故选：B ．【点评】本题考查了分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式的性质，从而完成求解．7．下列命题中，属于真命题的是（ ）A ．如果0ab =，那么0a =B ．253x x x -是最简分式C ．直角三角形的两个锐角互余D ．不是对顶角的两个角不相等【答案】C【分析】根据有理数的乘法、最简分式的化简、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可．【详解】A. 如果 ab=0，那么a=0或b=0或a 、b 同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意； B. ()2555==333x x x x x x x ---，故253x x x-不是最简分式，本选项说法是假命题，不符合题意； C. 直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；D. 不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉教材中的性质定理．8．若a b ，则下列分式化简中，正确的是（ ） A ．22a a b b+=+ B ．22a a b b -=- C ．33a a b b = D ．22a a b b = 【答案】C【分析】根据ab ，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题； 【详解】∵ab A 、22a a b b+≠+ ，故该选项错误； B 、22a a b b-≠- ，故该选项错误； C 、33a a b b= ，故该选项正确； D 、22a a b b≠ ，故该选项错误； 故选：C ．【点评】本题考查了分式的混合运算，解题时需要熟练掌握分式的性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键；二、填空题目9．已知a 、b 、c 、d 、e 、f 都为正数，12 bcdef a =，14 acdef b =，18 abdef c =，2 abcef d=，4 abcdf e=，8 abcde f =，则222222a b c d e f +++++=________． 【答案】1198【分析】根据等式性质及分式性质进行计算即可求得结果． 【详解】由12 bcdef a =，14 acdef b =，18 abdef c =，2 abcef d =，4 abcdf e=，8 abcde f =，可将每个等式的左右两边相乘得： ()51abcdef abcdef =，∴1abcdef =，2112bcdef a a a a ⋅==⋅， ∴22a =，同理可得：24b =，28c =，212d =，214e =，218f =， ∴2222221198a b c d e f +++++=； 故答案为1198． 【点评】本题主要考查等式性质及分式性质，熟练掌握等式性质及分式性质是解题的关键． 10．已知114y x -=，则分式2322x xy y x xy y+---的值为______． 【答案】112 【分析】先根据题意得出x-y=4xy ，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果． 【详解】∵114y x-=，∴x-y=4xy ，∴原式=2()383112422x y xy xy xy x y xy xy xy -++==---， 故答案为：112 ． 【点评】此题考查分式的基本性质，正确对已知式子进行化简，约分，正确进行变形是关键．11．已知2310x x --=，求4231x x x x ++=-__________． 【答案】4 【分析】将分式整理成()()2222131x x x x -+-，根据2310x x --=可得213x x -=，代入分式并约分即可求解．【详解】∵2310x x --=，∴213x x -=∴4231x x x x++- ()()2222131x x x x -+=- ()223343x x x x+==⋅， 故答案为：4． 【点评】本题考查分式的性质，将分式整理成()()2222131x x x x -+-的形式是解题的关键． 12．将分式132132a b a b +-的分子、分母各项系数化为整数，其结果为_______________． 【答案】6243a b a b+- 【分析】根据分式的基本性质，分子分母都乘以最小公倍数6，分式的值不变，并且其分子、分母各项系数化为整数．【详解】1623214332a b a b a ba b ++=--． 故答案为：6243a b a b+-． 【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．三、解答题13．我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：11211x x x x +-+=--=1211x x x -+-- =1+21x -． （1）请写出分式的基本性质 ；（2）下列分式中，属于真分式的是 ；A ．21x x -B ．11x x -+C ．﹣321x -D ．2211x x +- （3）将假分式231m m ++，化成整式和真分式的形式． 【答案】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变；（2）C ；（3）231m m ++=m ﹣1+41m + 【分析】（1）根据分式的基本性质回答即可；（2）根据分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式进行判断即可；（3）先把23m +转化为214m -+得到22314111m m m m m +-=++++，其中前面一个分式约分后化为整式，后面一个是真分式．【详解】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变．（2）根据题意得：选项C 的分子次数是0，分母次数是1，分子的次数小于分母的次数是真分式．而其他选项是分子的次数均不小于分母的次数的分式，故AB D 选项是假分式，故选：C ．（3）∵22231441411111m m m m m m m m +-+-=+=++++++=m ﹣1+41m +， ∴故答案为：m ﹣1+41m +． 【点评】本题考察了分式的基本性质以及未知数的次数问题，解答本题的关键是熟悉掌握未知数次数的判断以及分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变．14．约分（1）1232632418a x y a x； （2）ma mb mc a b c+-+-； （3）2222444a ab b a b-+-． 【答案】（1）6243a y ；（2）m ；（3）22a b a b-+ 【分析】（1）约去分子分母的公因式636a x 即可得到结果；（2）将分子进行因式分解，约去公因式（a b c +-）即可得到结果；（3）首先把分子分母分解因式，然后再约掉分子分母的公因式即可．【详解】（1）1232632418a x y a x＝6362636463a x a y a x ⨯ ＝6243a y ； （2）ma mb mc a b c+-+- ＝()m a b c a b c +-+- ＝m ；（3）2222444a ab b a b-+-＝2(2)(2)(2)a b a b a b -+- ＝22a b a b-+． 【点评】此题主要考查了分式的约分，关键是正确确定分子分母的公因式．15．先约分，再求值：32322444a ab a a b ab--+ 其中12,2a b ==-. 【答案】2123a b a b +-， 【分析】先把分式的分子分母分解因式，约分后把a 、b 的值代入即可求出答案．【详解】原式=2222444a a b a a ab b （）（）--+ =2(2)(2)(2)a a b a b a a b +-- =22a b a b +- 当122a b ==-，时 原式=2121-+=13． 【点评】本题考查了分式的约分，解题的关键是熟练进行分式的约分，本题属于基础题型．16．已知32(1)(1)11x A B x x x x -=++--+，求A 、B 的值. 【答案】A=12， B=52 【分析】先对等式右边通分，再利用分式相等的条件列出关于A 、B 的方程组，解之即可求出A 、B 的值. 【详解】∵()()()()(1)(1)()111111A B A x B x A B x A B x x x x x x ++-++-+==-++-+- , 又∵()()321111A B x x x x x -+=-++-， ∴()()()()()321111A B x A B x x x x x ++--=+-+-，∴32A B A B +=⎧⎨-=-⎩ ， 解得1252A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴A =12， B =52. 【点评】本题考查了分式的基本性质.利用分式的基本性质进行通分，再利用系数对应法列出方程组是解题的关键.17．若分式,A B 的和化简后是整式，则称,A B 是一对整合分式．（1）判断22244x x x ---与22x x -是否是一对整合分式，并说明理由； （2）已知分式M ，N 是一对整合分式，2a b M a b-=+，直接写出两个符合题意的分式N ． 【答案】（1）是一对整合分式，理由见解析；（2）答案不唯一，如1224,b a a b N N a b a b -+==++． 【分析】（1）根据整合分式的定义即可求出答案．（2）根据整合分式的定义以及分式的运算法则即可求出答案．【详解】（1）是一对整合分式，理由如下： ∵2222222424(2)424x x x x x x x x x x x ----+++==---， 满足一对整合分式的定义，22244x x x --∴-与22x x -是一对整合分式． （2）答案不唯一，如1224,b a a b N N a b a b-+==++． 【点评】本题考查了分式的加减法，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．18．已知430,4520,x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩0xyz ≠． （1）用含z 的代数式表示x ，y ；（2）求222232x xy z x y+++的值． 【答案】（1）13x z =，23y z =；（2）165． 【分析】（1）根据加减消元法解关于x 、y 的方程组即可（2）将（1）中的结果代入分式中进行运算即可【详解】（1）430,4520,x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩①② ①4⨯-②得21140y z -=，解得23y z =． 把23y z =代入①，得24303x z z +⨯-=， 解得13x z =． （2）2222222211232321633351233z z z z x xy z x y z z ⎛⎫⨯+⨯⨯+ ⎪++⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点评】本题考查了用加减法解方程组的特殊解法，把x 、y 看作未知数解方程组是解题的关键19．一个矩形的面积为223()x y -，如果它的一边为()x y +，求这个矩形的周长．【答案】这个矩形的周长为：84x y -【分析】根据整式的除法运算法则与合并同类项法则，即可求解．【详解】∵矩形的一边长为()x y +，面积为223()x y -， ∴矩形的另一边长为：223()3()()x y x y x y -=-+ ∴该矩形的周长为：2[()3()]x y x y ++-2(42)x y =-84x y =-．答：这个矩形的周长为：84x y -．【点评】本题主要考查整式的除法法则与加法法则，掌握因式分解与合并同类项法则，是解题的关键． 20．阅读理解：对于二次三项式a 2+2ab+b 2，能直接用完全平方公式进行因式分解，得到结果为（a+b ）2．而对于二次三项式a 2+4ab ﹣5b 2，就不能直接用完全平方公式了，但我们可采用下述方法：a2+4ab﹣5b2＝a2+4ab+4b2﹣4b2﹣5b2＝（a+2b）2﹣9b2，＝（a+2b﹣3b）（a+2b+3b）＝（a﹣b）（a+5b）．像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．解决问趣：（1）请利用上述方法将二次三项式a2+6ab+8b2分解因式；（2）如图，边长为a的正方形纸片1张，边长为b的正方形纸片8张，长为a，宽为b的长方形纸片6张，这些纸片可以拼成一个不重叠，无空隙的长方形图案，请画出示意图；（3）已知x＞0，且x≠2，试比较分式2244812x xx x++++与22428xx x-+-的大小．【答案】（1）（a+2b）（a+4b）；（2）见解析；（3）222244428812 x x xx x x x-++>+-++【分析】（1）根据题目的引导，先分组，后运用公式法对原式进行因式分解；（2）根据第一问的因式分解结果，对图形进行排列即可；（3）对两个分式的分子和分母分别进行因式分解，然后对分式进行化简并比较大小.【详解】（1）原式＝a2+6ab+9a2﹣b2＝（a+3b）2﹣b2＝（a+3b﹣b）（a+3b+b）＝（a+2b）（a+4b）；（2）如图：（3）224(2)(2)(2)28(4)(2)(4)x x x xx x x x x-+-+==+-+-+；22244(2)(2)812(2)(6)(6)x x x xx x x x x++++==+++++；∵x＞0，∴x+4＜x+6，∴222244428812 x x xx x x x-++>+-++.【点评】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解化简分式，根据分母大，分数值反而小来比较大小是解题的关键.祝福语祝你考试成功!。
新人教版八年级(上)数学第十五章分式知识点和典型例习题
新人教版八年级(上)数学第十五章分式知识点和典型例习题新人教版八年级(上)数学第十五章分式知识点和典型练习【知识网络】【思维方式】1。
转变观念转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．2．建模思想本章中常用的数学方法包括：因式分解、一般除法、除法归约、分母去除等。
运用数学知识解决实际问题时，首先要建立简单的数学模型，通过数学模型解决实际问题，并经历了“实际问题-分数阶方程模型-求解-解释解的合理性”的数学过程，了解分数阶方程的模型思想对培养解决实际问题的数学建模思想具有重要意义。
3.类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一课分数运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分数运算相关的算法3分数的减少和评估（一般分数和减少）4幂算法【主要公式】1.同分母加减法则:bcb?ca?a?a?a?0?2.不同分母的加减法则：ba?dc?bcac?daac?bc?daac?a?0,c?0?;3.分式的乘法与除法:ba?dc?bdac,ba?cbdbdd?a?c?ac4.同基幂的加减算法：实际上，它是将相似的5项同基幂的乘法和除法合并；A.m●an=am+n;am÷an=am－n6.产品和功率的功率：（AB）=ambn，（上午)Nm=amn7.负指数幂：a-p=1apa0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式（a+b）（a-b）=a2-b2；（a±b）2=a2±2ab+b2（一）、分式定义及有关题型问题类型1：测试分数的定义1【例1】下列代数式中：x?,12x?y,a?bx2?y2x?ya?b,x?y,x?y，是分式的有：.问题类型2：检查分数的有意义条件【例2】当x有何值时，下列分式有意义（1）x?4x?4（2）3x26?x1x2?2（3）x2?1（4）|x|?3（5）x?1问题类型3：检查分数值为0的条件【例3】当x取何值时，下列分式的值为0.（1）x?1x|?23x?3（2）|x2?4（3）x2？2倍？x2？5倍？六题型四：考查分式的值为正、负的条件[例4]（1）当x是什么值时，分数48?x为正；（2）当x为何值时，分式5.x3？（x？1）2为负；（3）当x为何值时，分式十、二x?3是一种非负数练习：1．当x取何值时，下列分式有意义：（1）16|x|?3（2）3?x1(x?1)2?1（3）1.1x2。
八年级数学上册_分式方程应用题_专项练习
八年级数学分式方程应用题（一）1、重量相同的两种商品，分别价值900元和1500元,已知第一种商品每千克的价值比第二种少300元,分别求这两种商品每千克的价值。
2、某客车从甲地到乙地走全长480Km的高速公路，从乙地到甲地走全长600Km的普通公路。
又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
3、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。
已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。
4、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一台乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。
乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？5、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。
求A、B每小时各做多少个零件。
6、某甲有25元，这些钱是甲、乙两人总数的20%。
乙有多少钱？7、某甲有钱400元，某乙有钱150元，若乙将一部分钱给甲，此时乙的钱是甲的钱的10%，问乙应把多少钱给甲？8、我部队到某桥头狙击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。
9、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
10、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。
求先遣队和大队的速度各是多少？11、某人现在平均每天比原计划多加工33个零件，已知现在加工3300个零件所需的时间和原计划加工2310个零件的时间相同，问现在平均每天加工多少个零件。
12、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。
人教版八年级数学上册 分式混合运算(习题及答案)
÷ x + 2 - ⎪ ． 解：原式 = - ÷例 2：先化简 ⎢⎡ x ( x + 1) + x ⎥ ÷ 解：原式 = ⋅例题示范例 1：混合运算： 分式混合运算（习题）4 - x ⎛ 12 ⎫x - 2 ⎝ x - 2 ⎭【过程书写】x - 4 x 2 - 4 - 12x - 2 x - 2 x - 4 x 2 - 16 =- ÷x - 2 x - 2 x - 4 x - 2 =- ⋅x - 2 ( x + 4)( x - 4)=-1x + 4⎤ 2 x⎣ x - 1 ⎦ 1 - x，然后在 -2 ≤ x ≤ 2 的范围内选取一个你认为合适的整数 x 代入求值．【过程书写】x 2 + x + x 2 - x 1 - x x - 1 2 x2 x 2 1 - x = ⋅x - 1 2 x = - x∵ -2 ≤ x ≤ 2 ，且 x 为整数∴使原式有意义的 x 的值为-2，-1 或 2 当 x =2 时，原式=-2（2） - 1⎪ ÷ （3）⎪（4） y - 1 - y - 1 ⎭ y 2 + y巩固练习1. 计算：（1）1 - x - y x 2 - y 2÷x + 2 y x 2 + 4 x y + 4 y 2；⎛ a ⎫ ⎝ a - 1 ⎭ a 1 2 - 2a + 1；⎛ 2 ⎝ a 2 - b 2 - 1 ⎫ a ÷ a 2 - ab ⎭ a + b；⎛ 8 ⎫ y 2 - 6 y + 9 ⎪ ÷ ⎝；（5） ÷ - ⎪ ； （6） ÷ -1⎪ ；x ⎪ ⎪ ； 3 - x ⎛ 5 ⎫ x - 2 ⎛ -5 ⎫ ÷ - x - 3 ⎪ ； ÷ x + 2 -（10） ( x 2 - 1) - - 1⎪ ； 1a 2 - 2ab + b 2 ⎛ 1 1 ⎫ x 2 - 4x + 4 ⎛ 2 ⎫ 2a - 2b ⎝ b a ⎭ ⎝ x ⎭（7） ⎛ ⎝ 3x + 4 2 ⎫ x + 2 - ÷ x 2 - 1 x - 1 ⎭ x 2- 2 x + 1；（8） （9） 2 x - 4 ⎝ x - 2 ⎭ 2 x - 6 ⎝ x - 3 ⎭⎛ 1 ⎫ ⎝ x - 1 x + 1 ⎭（11） - ÷ - - ⎪ ． ⎝ x + y x - y ⎭ x 2- 3xy ⎝x y ⎭ （1）先化简，再求值： 1 - ⎪÷（2）先化简，再求值： + ÷ x 2 - y 2 y 2 - x 2 ⎭ x 2 y - xy 2⎛ 2 1 ⎫ x 2 - y 2 ⎛ 1 1 ⎫ ⎪ ⋅2. 化简求值：⎛ ⎝ 1 ⎫ x 2 + 2x + 1 x + 2 ⎭ x + 2，其中 x = 3 -1．⎛ 5x + 3 y 2 x ⎫ 1 ⎪ ⎝x = 3 + 2 ， y = 3 - 2 ．，其中（3）先化简 ⎛ + 1⎪ ÷ （4）已知 A = ．x + 1 ⎫ x 2 + x 2 - 2 x +⎝ x - 1 ⎭ x 2 - 2 x + 1 x 2 - 1，然后在 -2 ≤ x ≤ 2的范围内选取一个合适的整数 x 代入求值．x 2 + 2 x + 1 x -x 2 - 1 x - 1①化简 A ； ⎧ x -1≥ 0②当 x 满足不等式组 ⎨ ，且 x 为整数时，求 A 的值．⎩ x - 3 < 0x 2 + 3 B ． x 2 + 1 D． 2ab 中的分子、分母的值同时扩大为原来的 2 倍，则分式的值（ab 中 a ，b 的值都扩大为原来的 2 倍，则分式的值（x 2 + y 2 中 x ，y 的值都扩大为原来的 2 倍，则分式的值（( x - 2)( x + 3) = x + 3，则 A =_______，B =_______．3. 不改变分式13x - y2 的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（ ）1 3 x2 + 1A ． 6 x - yC ． 3x - 3 y 18 x - 3 y2 x 2 + 6 18 x -3 y2 x 2 + 34. 把分式 a - 3bA ．不变B ．扩大为原来的 2 倍C ．扩大为原来的 4 倍D ．缩小为原来的 12）5. 把分式 3a - 4bA ．不变B ．扩大为原来的 2 倍C ．扩大为原来的 4 倍D ．缩小为原来的 126. 把分式 2 xyA ．不变B ．扩大为原来的 2 倍C ．扩大为原来的 4 倍D ．缩小为原来的 12））7. 已知 4 x + 7A x - 2 + B2.（1）原式=1，当x=3-1时，原式=【参考答案】巩固练习1.（1）-yx+y （2）a-1（3）1 a2（4）y(y+1)(y2-2y-7) (y-1)(y-3)2（5）ab 2（6）-x+2（7）x-1 x+1（8）-（9）-1 2x+6 1 2x+4（10）-x2+3（11）-yx+y3x+13（2）原式=3xy，当x=3+2，y=3-2时，原式=3（3）原式=2x-4x+1，当x=2时，原式=0（4）①1x-1；②13. 4. 5. 6. 7.BADA 3，1。
人教版八年级数学上册 第 15 章《分式》 单元测试题(配套练习附答案)
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
当x=1时，原式= ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的化简求值.
19.开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用30元钱购买钢笔的数量是小亮用25元钱购买笔记本数量的2倍，已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价格少2元
11.当a=______时， 的值为零．
【答案】﹣1．
【解析】
【分析】
根据分式的值为零的条件列式计算即可．
【详解】由题意得：a2﹣1=0，a﹣1≠0，
解得：a=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子为0；②分母不为0．这两个条件缺一不可．
（1）求每支钢笔和每本笔记本各是多少元；
（2）学校运动会后，班主任再次购买上述价格的钢笔和笔记本共50件作为奖品，奖励给校运动会中表现突出的同学，总费用不超过200元．请问至少要买多少支钢笔？
【答案】（1）每支钢笔3元，每本笔记本5元；（2）至少要买25支钢笔．
【解析】
【分析】
（1）根据小芳用30元钱购买钢笔的数量是小亮用25元钱购买笔记本数量的2倍，已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价铬少2元，可以得到相应的方程，解方程即可求得每支钢笔和每本笔记本各是多少元；
2018-2019年人教版八年级数学上册 第 15 章《分式》经典题型单元测试题
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（每小题3分，共10小题）
1.若把 变形为 ，则下列方法正确的是
A.分子与分母同时乘 B.分子与分母同时除以
最新人教版八年级上册数学《分式》计算题专项练习(含答案)
人教版八年级上册数学《分式》计算题专项练习学校：班级：姓名：得分：1．计算：÷（﹣1）2．化简：（﹣）÷．3．化简：•．4．化简（1﹣）•．5．化简：÷﹣6．化简：÷（1﹣）．7．化简：．8．计算÷（）．9．化简：1+÷．10．先化简，再求值：•﹣，其中x=2．11．先化简，再求值•+．（其中x=1，y=2）12．先化简，再求值：，其中x=2．13．先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣．14．先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x=．15．先化简，再求值：（1+）÷．其中x=3．16．化简分式（+）÷，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．17．先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），并从﹣1，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值．18．先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中|x|=2．19．先化简，再求值：（+）÷，且x为满足﹣3＜x＜2的整数．20．先化简（﹣）÷，再从﹣2，﹣1，0，1，2中选一个你认为合适的数作为x的值代入求值．21．先化简，再求值：﹣÷，其中a=﹣1．22．先化简÷（a﹣2+），然后从﹣2，﹣1，1，2四个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值．人教版八年级上册数学《分式》计算题专项练习参考答案与试题解析1．【解答】解：原式=÷（﹣）=÷=•=．2.【解答】解：原式=[﹣]÷=÷=•=．3．【解答】解：原式=•=．4．【解答】解：（1﹣）•==．5．【解答】解：原式=•﹣=﹣=6．【解答】解：÷（1﹣）===．7．【解答】解：原式=÷（﹣）=÷=•=．8．【解答】解：原式=÷=•=﹣（a+b）=﹣a﹣b．9．【解答】解：原式=1+•=1+=+=．10．【解答】解：原式=•﹣=﹣=﹣=，当x=2时，原式==．11．【解答】解：当x=1，y=2时，原式=•+=+==﹣312．【解答】解：原式=把x=2代入得：原式=13．【解答】解：原式=•=，当x=﹣时，原式=2．14．【解答】解：（x﹣）÷====x﹣2，当x=时，原式=﹣2=﹣．15．【解答】解：（1+）÷=×=x+2．当x=3时，原式=3+2=5．16．【解答】解：原式=[﹣]÷=（﹣）•=•=a+3，∵a≠﹣3、2、3，∴a=4或a=5，则a=4时，原式=7，a=5时，原式=8．17．【解答】解：原式=÷（﹣）=÷=•=，∵a≠﹣1且a≠0且a≠2，∴a=1，则原式==﹣1．18．【解答】解：÷（﹣x﹣2）====，∵|x|=2，x﹣2≠0，解得，x=﹣2，∴原式=．19．【解答】解：原式=[+]÷=（+）•x=x﹣1+x﹣2=2x﹣3由于x≠0且x≠1且x≠﹣2所以x=﹣1 原式=﹣2﹣3=﹣5 20．【解答】解：原式=[﹣]÷=•=，∵x≠±1且x≠﹣2，∴x只能取0或2，当x=0时，原式=﹣1．21．【解答】解：原式====当a=﹣1时，原式=22．【解答】解：原式=•=当a=2时，原式==3．。
人教版 八年级数学上册 分式及分式方程 例题同步练习测试题
分式及分式方程1.分式的概念：一般地，形如B A 的式子叫做分式，其中A 和B 均为整式，B 中含有字母。
分式BA 是否有意义的识别方法： 分式无意义的条件：；分式值为1的条件：；分式有意义的条件：；分式值为-1的条件：；分式为零的条件：；2.分式的基本性质：分式的分子与分母都，分式的值不变。
（1）分式的分子与分母都乘以（或除以）的整式不能等于零．（2）要充分理解基本性质中的“都”和“同”这两个字的含义，避免犯只乘分子或分母一项的错误．（3）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中，分式的值不变．（4）因为分数线在分式中具有括号的作用，当分子或分母为多项式，要把它看作一个整体变号时，将多项式的各项都改变符号．3.约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
分式约分的步骤：先，再。
（1）如果分式的分子、分母是单项式，约去分子、分母的系数的最大公约数和相同因式的最低次幂．（2）如果分式的分子与分母都是多项式时，可先把分子、分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．（3）当分式的分子或分母的系数是负数时，应先把负号提到分式的前边．最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
（既约分式）分子、分母都是乘积形式时，才能约分．4.通分：（1）分式通分的意义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
（2）通分的关键是确定几个分式的公分母。
（3）取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母，叫做最简公分母。
确定公分母时应注意：系数取，字母因式取。
5.分式的运算：分式的乘法公式：分式的除法公式：异分母分式的加减法法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减.用式子表示为：b a ±d c =bdbc ad . 6.分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.解分式方程步骤：(1)去分母：将 抓化为(2)(3)増根：在方程变形时，产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的増根。
(完整版)八年级数学上册分式加减运算计算题练习(含答案)
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八年级数学上册 分式加减运算 计算题练习1、化简:．2、化简：。
)2(2222abb a b a b a ++÷--421444122++--+-x x x x x 3、化简：。
4、化简:。
a a a a 21222-÷-+a a ---1115、化简:。
6、化简：. 22222(n m mnm m n mn m --⋅++1224422-+÷--x x x x 7、化简：。
8、化简：。
)111(111(2+-÷-+a a 1)12111(2-÷+-+-+x xx x x x 9、化简:. 10、化简：.a a a a a -+-÷--2244)111(144)14(2-+-÷---x x x x x x 11、化简：。
12、化简：．962966322--+++⋅+a a a a a a 112222+---x xx x x 13、化简：. 14、化简:。
1231621222+-+÷-+-+x x x x x x x 12)121(22+-+÷-+x x xx x 15、化简：． 16、化简:。
人教版数学八年级上册《分式》单元测试题(附答案)
点睛：分式有意义： ，分式无意义： ，分式值为0： ，是分式部分易混的3类题型.
3.化简： ÷ =_____．
【答案】m
【解析】
解：原式= • =m．故答案为m．
4.若分式 无意义，且 =0，那么 =_____．
【答案】﹣
【解析】
【分析】
首先根据分式有意义的条件，以及分式的值为零的条件，分别求出a、b的值各是多少；然后应用代入法，求出 的值是多少即可．
A.甲比乙便宜B.乙比甲便宜
C.甲与乙相同D.由m的值确定
17.小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为( )
A. + ＝ B. ﹣Fra bibliotek＝=2019．
故答案为2019．
【点睛】此题主要考查了分式求值问题，要熟练掌握，求分式的值可以直接代入、计算．如果给出的分式可以化简，要先化简再求值．
7.方程 =2﹣ 的增根是_____
【答案】x=3
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先让最简公分母x-3=0，得到增根x=3．
一．填空题（共7小题）
1.计算： __．
【答案】
【解析】
【分析】
原式利用同分母分式的减法法则计算即可求出值．
【详解】原式= .
故答案为:x-1.
【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2.若分式 的值为0，则x、y需要满足的条件为_____．
八年级数学上册《第十五章-分式》同步练习题含答案(人教版)
八年级数学上册《第十五章 分式》同步练习题含答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________知识点：一、分式1、分式的概念一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子BA 就叫做分式。
其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算法则;;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯ );()(为整数n ba b a n nn = ;cb ac b c a ±=± bdbc ad d c b a ±=± 二、分式方程1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
练习题一、单选题1．化简22x y y x x y+--的结果为（ ） A ．﹣x ﹣y B ．y ﹣x C ．x ﹣y D ．x+y2．把分式x x y+（x ≠0，y ≠0）中的分子、分母的x 、y 同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A ．扩大为原来的2倍B ．扩大为原来的4倍C ．缩小为原来的12D ．不改变 3．小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了14，设公共汽车的平均速度为x 千米/时，则下面列出的方程中正确的是（ ） A ．4020x +=34×40x B ．40x =34×4020x + C ．4020x ++14=40x D ．40x =4020x +-144．分式方程21124x x x -=--去分母后的结果正确的是（ ） A ．x 2﹣4﹣1＝1B ．x 2+2x ﹣（x 2﹣4）＝1C ．x+2﹣x 2﹣4＝1D ．x+2﹣1＝1 5．已知1a +12b =3，则代数式254436a ab b ab a b-+--的值为（ ） A ．3 B ．-2 C ．13- D ．12- 6．关于x 的方程31133x a x x-=---有增根，则a 的值是（ ） A ．3 B ．8 C ．8- D ．14-7．若关于x 的分式方程2311x m x x-=--的解为正数，则m 的取值范围是（ ）． A ．m<－2且3m ≠- B ．m<2且3m ≠-C ．m>－3且2m ≠-D ．m>－3且2m ≠8．已知1112x y z +=+，1113y z x +=+与1114z x y +=+，则234x y z++的值为（ ） A ．1B ．32C ．2D ．52二、填空题 9．当x= 时，分式 225x x -+ 的值为0．10．小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍．设骑自行车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为11．某药品原来每盒p 元，现在每盒提高3元，用200元买这种药品现在比原来少买 盒．12．若关于x 的分式方程23m x x +- ﹣1= 2x无解，则m 的值 13．若x + 1x =3，则 21x x x ++ 的值是 ． 14．若关于x 的分式方程 2-1--1k x x x = 的解为正数，则满足条件的非负整数K 的值为 . 三、计算题15．解方程：12133x x x-+=--16．化简：212111a a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭.17．先化简2344111a a a a a -+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，然后从22a -≤≤的范围内选择一个合适的整数作为a 的值代入求值．18．某公司开发生产的1200件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品．公司派出相关人员分别到这两间工厂了解生产情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天比甲工厂多加工20件．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？19．为了深入贯彻习总书记关于“双减”工作的重要指示，增强学生的体质，济南市某中学决定购买一些篮球和足球来促进学生的体育锻炼，已知每个篮球的售价比每个足球的售价单价多20元，并且花费6000元购买篮球的数量是花费3200元购买足球数量的1.25倍．（1）求篮球和足球的单价分别是多少元？（2）根据学校的实际需求，需要一次性购买篮球和足球共200个，并且要求购买篮球和足球的总费用不超过9600元，那么学校最少购入多少个足球？参考答案：1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】C9．【答案】210．【答案】5x ﹣52x =1611．【答案】26003p p+ 12．【答案】﹣32 或﹣ 12 13．【答案】1414．【答案】015．【答案】解：等式两边同时乘以 3x - 原方程可化为： 123x x --=-解得 1x =经检验 1x = 是原方程的解.16．【答案】解：原式211112a a a a a++--=⋅- 2(1)(1)12a a a a a+-=⋅- 1a =+. 17．【答案】解：2344111a a a a a -+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭＝()()231111(2)a a a a a --++⋅+- =()()22211(2)a a a a a +-+-⋅+- =22a a +-- 当a ＝0时，原式＝1．18．【答案】解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天能加工x+20件新产品，根据题意得：1200x ﹣120020x +=10解得：x=40或x=﹣60（不合题意舍去）经检验：x=40是所列方程的解．乙工厂每天加工零件为：40+20=60（件）．答：甲工厂每天能加工40件新产品，乙工厂每天能加工60件新产品．19．【答案】（1）解：设每个足球的售价为x 元，则每个篮球的售价为()20x +元 由题意得600032001.2520x x =⨯+ 解得40x =经检验40x =是所列方程解且正确∴2060x +=答：每个足球售价为40元，则每个篮球售价为60元；（2）解：设购入m 个足球，则购入()200m -个篮球．由题意得()40602009600m m +-≤解得120m ≥答：学校最少购入120个足球。
人教版八年级数学上册《分式方程实际应用》专项练习题-附含答案
人教版八年级数学上册《分式方程实际应用》专项练习题-附含答案 类型一、销售利润问题例1．某公司推出一款桔子味饮料和一款荔枝味饮料 桔子味饮料每瓶售价是荔枝味饮料每瓶售价的54倍．4月份桔子味饮料和荔枝味饮料总销售60000瓶 桔子味饮科销售额为250000元 荔枝味饮料销售额为280000元．(1)求每瓶桔子味饮料和每瓶荔枝味饮料的售价？(2)五一期间 该公司提供这两款饮料12000瓶促销活动 考虑荔枝味饮料比较受欢迎 因此要求荔枝味饮料的销量不少于桔子味饮料销量的32；不多于枯子味饮料的2倍．桔子味饮料每瓶7折销售 荔枝味饮料每瓶降价2元销售 问：该公司销售多少瓶荔枝味饮料使得总销售额最大？最大销售额是多少元？【答案】(1)每瓶桔子味饮料的售价为10元 每瓶荔枝味饮料的售价为8元；(2)当m ＝7200时 销售额最大 w 最大值是76800元【解析】(1)解：设每瓶荔枝味饮料的售价为x 元 则每瓶桔子味饮料的售价为54x 元 依题意 得：2500002800006000054x x += 解得：x ＝8 经检验 x ＝8是原方程的解 且符合题意 ∴54x ＝10（元） 答：每瓶桔子味饮料的售价为10元 每瓶荔枝味饮料的售价为8元．(2)解：设销售荔枝味饮料m 瓶则销售桔子味饮料（12000﹣m ）瓶 依题意 得：3(12000)22(1200)m m m m ⎧≥-⎪⎨⎪≤-⎩ 解得：7200≤m ≤8000 设总销售额w 元 则100.7(12000)684000w m m m ⨯⨯-+-+＝＝ ∴w 是m 的一次函数 且k ＝﹣1＜0 ∴当m ＝7200时 销售额最大 w 最大值是76800元【变式训练1】某超市销售A 、B 两款保温杯 已知B 款保温杯的销售单价比A 款保温杯多10元 用600元购买B 款保温杯的数量与用480元购买A 款保温杯的数量相同．(1)A 、B 两款保温杯销售单价各是多少元？(2)由于需求量大 A B 两款保温杯很快售完 该超市计划再次购进这两款保温杯共120个 且A 款保温杯的数量不少于B 款保温杯数量的一半 若两款保温杯的销售单价均不变 进价均为30元/个 应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大 最大利润是多少元？【答案】(1)A 款保温杯销售单价为40元 B 款保温杯销售单价为50元(2)购进A 款40个 B 款80个能使销售利润最大 最大利润2000元【解析】(1)解：设A 款销售单价为x 元 则B 款销售单价为（10x +）元 根据题意得：60048010x x=+ 解得40x = 经检验 40x =是原方程的解且符合题意 ∴10401050x +=+=答：A 款保温杯销售单价为40元 B 款保温杯销售单价为50元；(2)解：设购进A 款保温杯m 个 则购进B 款保温杯（120－m ）个 总利润为W 元 ∴1201202m m -≤≤ ∴40120m ≤≤ 根据题意得：()()()40305030120102400W m m m =-+--=-+∴100-<∴W 随m 的增大而减小∴40m =时 W 最大 且2000W =最大值 此时1201204080m -=-=答：购进A 款40个 B 款80个能使销售利润最大 最大利润2000元【变式训练2】国家推行“节能减排 低碳经济”政策后 低排量的汽车比较畅销 某汽车经销商购进A B 两种型号的低排量汽车 其中A 型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同．(1)求A B 两种型号汽车的进货单价；(2)销售过程中发现：A 型汽车的每周销售量yA （台）与售价xA （万元台）满足函数关系yA ＝﹣xA +18；B 型汽车的每周销售量yB （台）与售价xB （万元/台）满足函数关系yB ＝﹣xB +14．若A 型汽车的售价比B 型汽车的售价高1万元/台 设每周销售这两种车的总利润为w 万元．①当A 型汽车的利润不低于B 型汽车的利润 求B 型汽车的最低售价？②求当B 型号的汽车售价为多少时 每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？【答案】(1)A 种型号汽车的进货单价为10万元、B 两种型号汽车的进货单价为8万元(2)①B 型汽车的最低售价为414万元/台 ②A 、B 两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时 每周销售这两种汽车的总利润最大 最大利润是23万元【解析】(1)解：设B 型汽车的进货单价为x 万元 根据题意 得：502x +＝40x 解得x ＝8 经检验x ＝8是原分式方程的根 8+2＝10（万元）答：A 种型号汽车的进货单价为10万元、B 两种型号汽车的进货单价为8万元；(2)设B 型号的汽车售价为t 万元/台 则A 型汽车的售价为（t +1）万元/台①根据题意 得：（t +1﹣10）[﹣（t +1）+18]≥（t ﹣8）（﹣t +14） 解得：t ≥414 ∴t 的最小值为414 即B 型汽车的最低售价为414万元/台 答：B 型汽车的最低售价为414万元/台； ②根据题意 得：w ＝（t +1﹣10）[﹣（t +1）+18]+（t ﹣8）（﹣t +14）＝﹣2t 2+48t ﹣265＝﹣2（t ﹣12）2+23∴﹣2＜0 当t ＝12时 w 有最大值为23．答：A 、B 两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时 每周销售这两种汽车的总利润最大 最大利润是23万元．【变式训练3】某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元 空调的销售价为每台1750元 每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元 商场用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）现在商场准备一次购进这两种家电共100台 设购进电冰箱x 台 这100台家电的销售总利润y 元 要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍 且购进电冰箱不多于40台 请确定获利最大的方案以及最大利润．（3）实际进货时 厂家对电冰箱出厂价下调(0100)k k <<元 若商店保持这两种家电的售价不变 请你根据以上信息及（2）中条件 设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．【答案】（1）每台空调的进价为1600元 则每台电冰箱的进价为2000元；（2）当购进电冰箱34台 空调66台获利最大 最大利润为13300元；（3）当50100k <<时 购进电冰箱40台 空调60台销售总利润最大；当50k =时 15000y = 各种方案利润相同；当050k <<时 购进电冰箱34台 空调66台销售总利润最大【解析】解：()1设每台空调的进价为x 元 则每台电冰箱的进价为()400x +元 根据题意得：8000064000400x x=+ 解得：1600x = 经检验 1600x =是原方程的解 且符合题意 40016004002000x +=+=答：每台空调的进价为1600元 则每台电冰箱的进价为2000元．()2设购进电冰箱x 台 这100台家电的销售总利润为y 元则()()()21002000175016001005015000y x x x =-+--=-+根据题意得：100240x x x -≤⎧⎨≤⎩ 解得：133403x ≤≤ x 为正整数 34x ∴= 35 36 37 38 39 40 ∴合理的方案共有7种即①电冰箱34台 空调66台；②电冰箱35台 空调65台；③电冰箱36台 空调64台； ④电冰箱37台 空调63台；⑤电冰箱38台 空调62台；⑥电冰箱39台 空调61台；⑦电冰箱40台 空调60台；5015000y x =-+ 500k =-< y ∴随x 的增大而减小∴当34x =时 y 有最大值 最大值为：50341500013300(-⨯+=元)答：当购进电冰箱34台 空调66台获利最大 最大利润为13300元．()3当厂家对电冰箱出厂价下调(0100)k k <<元 若商店保持这两种家电的售价不变则利润()()()()21002000175016001005015000y k x x k x =-++--=-+当500k -> 即50100k <<时 y 随x 的增大而增大 133403x ≤≤ ∴当40x =时 这100台家电销售总利润最大 即购进电冰箱40台 空调60台； 当50k =时 15000y = 各种方案利润相同；当500k -< 即050k <<时 y 随x 的增大而减小 133403x ≤≤ ∴当34x =时 这100台家电销售总利润最大 即购进电冰箱34台 空调66台； 答：当50100k <<时 购进电冰箱40台 空调60台销售总利润最大；当50k =时 15000y = 各种方案利润相同；当050k <<时 购进电冰箱34台 空调66台销售总利润最大．【变式训练4】为迎接“五一”小长假购物高潮 某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫 其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元 且不超过34700元 问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下 专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动 决定对甲种衬衫每件优惠a 元(6080)a <<出售 乙种衬衫售价不变 那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？【答案】（1）甲种衬衫每件进价100元 乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当6070a <<时 应购进甲种衬衫110件 乙种衬衫190件；当70a =时 所有方案获利都一样；当7080a <<时 购进甲种衬衫100件 乙种衬衫200件．【详解】解：（1）依题意得：3000270010m m =- 整理 得：3000(10)2700m m -= 解得：100m = 经检验 100m =是原方程的根 答：甲种衬衫每件进价100元 乙种衬衫每件进价90元； （2）设购进甲种衬衫x 件 乙种衬衫(300)x -件根据题意得：(260100)(18090)(300)34000(260100)(18090)(300)34700x x x x -+--⎧⎨-+--⎩ 解得：100110x x 为整数 110100111-+= 答：共有11种进货方案；（3）设总利润为w 则(260100)(18090)(300)(70)27000(100110)w a x x a x x =--+--=-+①当6070a <<时 700a -> w 随x 的增大而增大 ∴当110x =时 w 最大此时应购进甲种衬衫110件 乙种衬衫190件；②当70a =时 700a -= 27000w =（2）中所有方案获利都一样；③当7080a <<时 700a -< w 随x 的增大而减小 ∴当100x =时 w 最大此时应购进甲种衬衫100件 乙种衬衫200件．综上：当6070a <<时 应购进甲种衬衫110件 乙种衬衫190件；当70a =时 （2）中所有方案获利都一样；当7080a <<时 购进甲种衬衫100件 乙种衬衫200件．类型二、方案问题例．某商店决定购进A 、B 两种纪念品．已知每件A 种纪念品的价格比每件B 种纪念品的价格多5元 用800元购进A 种纪念品的数量与用400元购进B 种纪念品的数量相同．（1）求购进A 、B 两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件 考虑市场需求和资金周转 用于购买这100件纪念品的资金不少于800元 且不超过850元 那么该商店共有几种进货方案？（3）已知商家出售一件A 种纪念品可获利m 元 出售一件B 种纪念品可获利（6﹣m ）元 试问在（2）的条件下 商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）【答案】（1）购进A 种纪念品每件需要10元 B 种纪念品每件需要5元；（2）共有11种进货方案；（3）当3m ≥；A 种70件 B 种30件时可获利最多；当03m << A 种60件 B 种40件时可获利最多【详解】解：（1）设购进A 种纪念品每件价格为m 元 B 种纪念币每件价格为5m -元 根据题意可知： 8004005m m =- 解得：10m = 55m -=． 答：购进A 种纪念品每件需要10元 B 种纪念品每件需要5元．（2）设购进A 种纪念品x 件 则购进B 种纪念品100x -件 根据题意可得：800105(100)850x x ≤+⨯-≤ 解得：6070≤≤x x 只能取正整数 60,61,,70x ∴=⋅⋅⋅ 共有11种情况故该商店共有11种进货方案分别为：A 种70件 B 种30件；A 种69件 B 种31件；A 种68件 B 种32件；A 种67件 B 种33件；A 种66件 B 种34件；A 种65件 B 种35件；A 种64件 B 种36件；A 种63件 B 种37件；A 种62件 B 种38件；A 种61件 B 种39件；A 种60件 B 种40件． （3）销售总利润为(100)(6)(26)600100W mx x m m x m =+--=-+-商家出售的纪念品均不低于成本价 0m ∴>根据一次函数的性质 当260m -≥时 即3m ≥W 随着x 增大而增大当70x =时 W 取到最大值；即方案为：A 种70件 B 种30件时可获利最多；当260m -<时 即03m << W 随着x 增大而减小当60x =时 W 取到最大值；即方案为：A 种60件 B 种40件时可获利最多．【变式训练1】为切实做好疫情防控工作 开学前夕 我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只 每盒水银体温计有10支 每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计 且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m 盒（m 为正整数） 则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m 的代数式表示．（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后 超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买 共支付总费用w 元；①当总费用不超过1800元时 求m 的取值范围；并求w 关于m 的函数关系式．②若该校有900名学生 按（2）中的配套方案购买 求所需总费用为多少元？【答案】（1）每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；（2）购买水银体温计5m 盒能和口罩刚好配套；（3）①w ＝450(4)360360(4)m m m m ≤⎧⎨+>⎩；②购买口罩和水银体温计各18盒、90盒 所需总费用为6840元【解析】解：（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格分别是x 元 (150)x -元根据题意 得1200300150x x =- 解得200x = 经检验 200x =是原方程的解15050x ∴-= 答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；（2）设购买水银体温计y 盒能和口罩刚好配套根据题意 得100210m y =⨯ 则5y m =答：购买水银体温计5m 盒能和口罩刚好配套；（3）①由题意得：2005051800m m +⨯4501800m ∴ 4m ∴ 此时 450w m =；若4m > 则1800(4501800)0.8360360w m m =+-⨯=+ 综上所述：450(4)360360(4)m m w m m ⎧=⎨+>⎩； ②若该校九年级有900名学生 需要购买口罩：90021800⨯=（支)水银体温计：9001900⨯=（支)此时180010018m =÷=（盒) 51890y =⨯=（盒) 则360183606840w =⨯+=（元)．答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒 所需总费用为6840元．【变式训练2】某超市准备购进甲、乙两种牛奶进行销售 若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元 其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件多少元？（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件 两种牛奶的总数不超过95件 该商场甲种牛奶的销售价格为49元 乙种牛奶的销售价格为每件55元 则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后 可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元 请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？【答案】（1）甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；（2）商场购进甲种牛奶64件 乙种牛奶23件；或商场购进甲种牛奶67件 乙种牛奶24件；或商场购进甲种牛奶70件 乙种牛奶25件；【详解】（1）设甲种牛奶进价为x 元 则乙种牛奶进价为：()5+x 元根据题意 得：901005x x =+ ∴45x = 当45x =时 0x ≠ 且50x +≠∴45x =是方程901005x x =+的解 ∴550x += ∴甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；（2）设该商场购进乙种牛奶数量为m 件 则该商场购进甲种牛奶数量为()35m -件∴两种牛奶的总数不超过95件 ∴3595m m -+≤ ∴25m ≤∴销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元 ∴()()()3549455550371m m --+-≥∴17391m ≥ ∴23m ≥ ∴2325m ≤≤∴商场购进甲种牛奶64件 乙种牛奶23件；或商场购进甲种牛奶67件 乙种牛奶24件；或商场购进甲种牛奶70件 乙种牛奶25件．【变式训练3】某公司经销甲种产品 受国际经济形势的影响 价格不断下降．预计今年的售价比去年同期每件降价1000元 如果售出相同数量的产品 去年销售额为10万元 今年销售额只有8万元．（1）今年这种产品每件售价多少元？（2）为了增加收入 公司决定再经销另一种类似产品乙 已知产品甲每件进价为3500元；产品乙每件进价为3000元 售价3600元 公司预计用不多于5万元且不少于4.9万元的资金购进这两种产品共15件 分别列出具体方案 并说明哪种方案获利更高．【答案】（1）今年这种产品每件售价为4000元；（2）有三种方案：方案①：甲产品进货8件 乙产品进货7件；方案②：甲产品进货9件 乙产品进货6件；方案③：甲产品进货10件 乙产品进货5件；方案①的利润更高．【详解】解：()1设今年这种产品每件售价为x 元 依题意得：10000080000x 1000x=+ 解得：x 4000=． 经检验：x 4000=是原分式方程的解．答：今年这种产品每件售价为4000元．()2设甲产品进货a 件 则乙产品进货()15a -件．依题意得：()()3500a 300015a 500003500a 300015a 49000⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩解得：8a 10≤≤因此有三种方案：方案①：甲产品进货8件 乙产品进货7件；方案②：甲产品进货9件 乙产品进货6件；方案③：甲产品进货10件 乙产品进货5件.方案①利润：()()4000350083600300078200-⨯+-⨯=方案②利润：()()4000350093600300068100-⨯+-⨯=方案③利润：()()40003500103600300058000-⨯+-⨯=820081008000>>∴方案①的利润更高.类型三、工程问题例．为稳步推进5G 网络建设 深化共建共享 现有甲、乙两个工程队参与5G 基站建设工程．（1）已知乙队的工作效率是甲队的1.5倍 如果两队单独施工完成该项工程 甲队比乙队多用20天 求乙队单独施工 需要多少天才能完成该项工程？（2）当甲队施工20天完成5G 基站建设工程的13时 乙队加入该工程 结果比甲队单独施工提前25天完成了剩余的工程．①求乙队单独施工 需要多少天才能完成该项工程？②若乙队参与该项工程施工的时间不超过12天 求甲队从开始施工到完成该工程至少需要多少天？【答案】（1）乙队单独施工 需要40天才能完成该项工程．（2）①36天 ②至少40天【详解】解：（1）设乙队单独施工 需要x 天才能完成该项工程 题意 得1.5120x x=+ 解方程 得40x = 经检验 40x =是原分式方程的解 且符合题意．答：乙队单独施工 需要40天才能完成该项工程．（2）①由题意得 甲队单独施工20天完成该项工程的13 所以甲队单独施工60天完成该项工程. 甲队单独施工完成剩余23的工程的时间为602040-=（天） 于是甲、乙两队共同施工的时间为402515-=（天）．设乙队单独施工需要y 天才能完成该项工程则11215603y ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭解方程 得36y . 经检验 36y 是原分式方程的解 且符合题意．答：若乙队单独施工 需要36天才能完成该项工程．②设甲队从开始施工到完成该工程需要z 天依题意列不等式 得1216036z -≤ 解得：40.z ≥【变式训练1】某工程公司承包了修筑一段塌方道路的工程 并派旗下第五、六两个施工队前去修筑 要求在规定时间内完成．（1）已知第五施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天 第六施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天 如果第五、六施工队先合作20天 剩下的由第五施工队单独施工 则要误期2天完成那么规定时间是多少天？（2）实际上 在第五、六施工队合作完成这项工程的56时 公司又承包了更大的工程 需要调走一个施工队．你认为留下哪个施工队继续施工能按时完成剩下的工程？【答案】（1）规定的时间是28天；（2）留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程 见解析．【详解】解：（1）设规定的时间是x 天 根据题意 得22013212x x x ++=++ 解得28x = 经检验 28x =是原分式方程的解且符合实际意义．答：规定的时间是28天；（2）设第五、六施工队合作完成这项工程的56用了y 天 根据题意 得115283228126y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭ 解得20y = 由第五、六施工队单独完成剩下的工程 所需的时间分别为：5111062832⎛⎫-÷= ⎪+⎝⎭（天） 51216628123⎛⎫-÷= ⎪+⎝⎭（天） 因为2220103028,206262833+=>+=< 所以留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程．答：留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程．【变式训练1】某校利用暑假进行田径场的改造维修 项目承包单位派遣一号施工队进场施工 计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后 承包单位接到通知 有一大型活动要在该田径场举行 要求比原计划提前8天完成整个工程 于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程 结果按通知要求如期完成整个工程．（1）若二号施工队单独施工 完成整个工程需要多少天？（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工 完成整个工程需要多少天？【答案】（1）若由二号施工队单独施工 完成整个工期需要45天；（2）若由一、二号施工队同时进场施工 完成整个工程需要18天【详解】（1）设二号施工队单独施工需要x 天 根据题意得：30830810130x---+= 解得：45x = 经检验 45x =是原分式方程的解∴若由二号施工队单独施工 完成整个工期需要45天；（2）一号、二号施工队同时进场施工需要的天数为x 天 根据题意得：1113045x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴18x =∴若由一、二号施工队同时进场施工 完成整个工程需要18天．【变式训练2】2019年 在新泰市美丽乡村建设中 甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千米 其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米．（1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；（2）甲、乙两个工程队同时开始施工 甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要 甲工程队在完成所承担的13施工任务后 通过技术改进使工作效率比原来提高了15．设乙工程队平均每天施工a 米 若甲、乙两队同时完成施工任务 求乙工程队平均每天施工的米数a 和施工的天数．【答案】（1）道路硬化里程数为5.4千米 道路拓宽里程数为3.2千米；（2）乙工程队平均每天施工20米 施工的天数为160天【详解】解：（1）设道路拓宽里程数为x 千米 则道路硬化里程数为(21)x -千米依题意 得：(21)8.6x x +-= 解得： 3.2x =21 5.4x -=∴．答：道路硬化里程数为5.4千米 道路拓宽里程数为3.2千米．（2）设乙工程队平均每天施工a 米 则甲工程队技术改进前每天施工(10)a +米 技术改进后每天施工点6(10)5a +米 依题意 得：乙工程队施工天数为3200a 天 甲工程队技术改造前施工天数为：15400180031010a a ⨯=++天 技术改造后施工天数为：15400(1)30003610(10)5a a ⨯-=++天． 依题意 得：3200180030001010a a a =+++ 解得：20a = 经检验 20a =是原方程的解 且符合题意3200a∴160=． 答：乙工程队平均每天施工20米 施工的天数为160天．【变式训练3】某市为了做好“全国文明城市”验收工作 计划对市区S 米长的道路进行改造 现安排甲、乙两个工程队进行施工．（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米 求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．（2）若甲工程队每天可以改造a 米道路 乙工程队每天可以改造b 米道路 （其中a b ）．现在有两种施工改造方案： 方案一：前12S 米的道路由甲工程队改造 后12S 米的道路由乙工程队改造； 方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造 后一半时间由乙工程队改造．根据上述描述 请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米 乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米 则甲工程队每天道路的长度为()30x +米根据题意 得：36030030x x=+ 解得：150x = 检验 当150x =时 ()300x x +≠ ∴原分式方程的解为：150x = 30180x +=答：甲工程队每天道路的长度为180米 乙工程队每天道路的长度为150米；（2）设方案一所用时间为：111()222s s a b s t a b ab+=+= 方案二所用时间为2t 则221122t a t b s += 22s t a b =+ ∴22()22()a b a b S S S ab a b ab a b +--=++ ∴a b 00a b >>，∴()20a b -> ∴202a b S S ab a b+->+ 即：12t t > ∴方案二所用的时间少．【变式训练4】2008年5月12日 四川省发生8.0级地震 某市派出两个抢险救灾工程队赶到汶川支援 甲工程队承担了2400米道路抢修任务 乙工程队比甲工程队多承担了600米的道路抢修任务 甲工程队施工速度比乙工程队每小时少修40米 结果两工程队同时完成任务．问甲、乙两工程队每小时各抢修道路多少米．（1）设乙工程队每小时抢修道路x 米 则用含x 的式子表示：甲工程队每小时抢修道路 米 甲工程队完成承担的抢修任务所需时间为 小时 乙工程队完成承担的抢修任务所需时间为 小时． （2）列出方程 完成本题解答．【答案】（1）（x ﹣40）；240040x -；3000x ；（2）甲工程队每小时抢修道路160米 乙工程队每小时抢修道路200米【详解】（1）设乙工程队每小时抢修道路x 米 则甲工程队每小时抢修道路（x ﹣40）米 甲工程队完成承担的抢修任务所需时间为240040x -小时 乙工程队完成承担的抢修任务所需时间为2400600x ＝3000x 小时． 故答案为：（x ﹣40）；240040x -；3000x ． （2）依题意 得：240040x -＝3000x 解得：x ＝200经检验 x ＝200是原方程的解 且符合题意∴x ﹣40＝160．答：甲工程队每小时抢修道路160米 乙工程队每小时抢修道路200米．。
人教版八年级上册数学《分式》计算题专项练习(含答案)汇编
人教版八年级上册数学《分式》计算题专项练习学校：班级：姓名：得分：1．计算：÷（﹣1）2．化简：（﹣）÷．3．化简：•．4．化简（1﹣）•．5．化简：÷﹣6．化简：÷（1﹣）．7．化简：．8．计算÷（）．9．化简：1+÷．10．先化简，再求值：•﹣，其中x=2．11．先化简，再求值•+．（其中x=1，y=2）12．先化简，再求值：，其中x=2．13．先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣．14．先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x=．15．先化简，再求值：（1+）÷．其中x=3．16．化简分式（+）÷，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．17．先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），并从﹣1，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值．18．先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中|x|=2．19．先化简，再求值：（+）÷，且x为满足﹣3＜x＜2的整数．20．先化简（﹣）÷，再从﹣2，﹣1，0，1，2中选一个你认为合适的数作为x的值代入求值．21．先化简，再求值：﹣÷，其中a=﹣1．22．先化简÷（a﹣2+），然后从﹣2，﹣1，1，2四个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值．人教版八年级上册数学《分式》计算题专项练习参考答案与试题解析1．【解答】解：原式=÷（﹣）=÷=•=．2.【解答】解：原式=[﹣]÷=÷=•=．3．【解答】解：原式=•=．4．【解答】解：（1﹣）•==．5．【解答】解：原式=•﹣=﹣=6．【解答】解：÷（1﹣）===．7．【解答】解：原式=÷（﹣）=÷=•=．8．【解答】解：原式=÷=•=﹣（a+b）=﹣a﹣b．9．【解答】解：原式=1+•=1+=+=．10．【解答】解：原式=•﹣=﹣=﹣=，当x=2时，原式==．11．【解答】解：当x=1，y=2时，原式=•+=+==﹣312．【解答】解：原式=把x=2代入得：原式=13．【解答】解：原式=•=，当x=﹣时，原式=2．14．【解答】解：（x﹣）÷====x﹣2，当x=时，原式=﹣2=﹣．15．【解答】解：（1+）÷=×=x+2．当x=3时，原式=3+2=5．16．【解答】解：原式=[﹣]÷=（﹣）•=•=a+3，∵a≠﹣3、2、3，∴a=4或a=5，则a=4时，原式=7，a=5时，原式=8．17．【解答】解：原式=÷（﹣）=÷=•=，∵a≠﹣1且a≠0且a≠2，∴a=1，则原式==﹣1．18．【解答】解：÷（﹣x﹣2）====，∵|x|=2，x﹣2≠0，解得，x=﹣2，∴原式=．19．【解答】解：原式=[+]÷=（+）•x=x﹣1+x﹣2=2x﹣3由于x≠0且x≠1且x≠﹣2所以x=﹣1 原式=﹣2﹣3=﹣5 20．【解答】解：原式=[﹣]÷=•=，∵x≠±1且x≠﹣2，∴x只能取0或2，当x=0时，原式=﹣1．21．【解答】解：原式====当a=﹣1时，原式=22．【解答】解：原式=•=当a=2时，原式==3．。
人教版八年级数学上册分式练习题(一)
分式（一）一、选择题1、在x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、ma 1+中分式的个数有( ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个2、要使分式1(1)(2)x x x ++-有意义，则x 应满足 （ ） A ．x≠-1 B ．x≠2 C ．x≠±1 D ．x≠-1且x≠23、下列约分正确的是（ ）A 、326x x x =；B 、0=++y x y x ；C 、x xy x y x 12=++；D 、214222=y x xy 4、如果把分式yx xy +中的x 和y 都扩大2倍，则分式的值（ ） A 、扩大4倍； B 、扩大2倍； C 、不变； D 缩小2倍5、化简2293m m m --的结果是（ ） A 、3+m m B 、3+-m m C 、3-m m D 、mm -3 6、下列分式中,最简分式是 （ ） A.a b b a -- B.22x y x y ++ C.242x x -- D.4422+++a a a 7、根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）8、对分式2y x ，23x y ，14xy 通分时， 最简公分母是（ ） A ．24x 2y 2 B ．1222y x C ．242xy D ．122xyb a a--b a a --b a a +b a a --b a a +-9、下列式子（1）y x y x y x -=--122；（2）ca b a a c a b --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）yx y x y x y x +-=--+-中正确个数有 （ ） A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个10、x -y （x≠y ）的倒数的相反数 （ ）A ．-1x y +B ．y x --1C ．y x -1D ．yx --1 二、填空题11、当x 时，分式51-x 有意义. 12、当x 时，分式11x 2+-x 的值为零。
人教版八年级数学分式方程练习题
10、市政工程公司修建一段6000米长的河岸，修了30天后，从有关部门获知汛期将提前，公司决定增派施工人员以加快进度，工效比原来提高了20%，工程恰好比原计划提前5天完工.求该公司完成这项工程实际的天数.
11、如图，直线 交x轴、y轴于A、B两点.
⑴求S⊿AOB；
⑵在AO上取一点C，使AC=BO，过C作CD⊥AO，且CD=4，连AD，求证：AD=BC；
数学练习
1、解分式方程 会产生增根，求m的值.
2、已知有理数x满足方程 ，求 的值.
3、若关于x的 无解，求a的值.
4、已知a、b、c、d为正整数，且 ， ，求 的值.
5、若关于x的方程 有增根，求k的值.
6、解方程：
7、关于x的方程 的解为x1=c，x2=- ，用这个结论方程：
8、某商店经销一种商品，由于进货价降低了6.4%，使得利润率提高了8%，那么原来经销这种商品的利润率是多少？
⑶在y轴上取一点E（0，-1），连AE，与BC的延长线交于F，求∠BFE的度数.
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分式（一）
一、选择题
1、在x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、m
a 1+中分式的个数有( ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
2、要使分式1(1)(2)
x x x ++-有意义，则x 应满足 （ ） A ．x≠-1 B ．x≠2 C ．x≠±1 D ．x≠-1且x≠2
3、下列约分正确的是（ ）
A 、326x x x =；
B 、0=++y x y x ；
C 、x xy x y x 12=++；
D 、2
14222=y x xy 4、如果把分式y
x xy +中的x 和y 都扩大2倍，则分式的值（ ） A 、扩大4倍； B 、扩大2倍； C 、不变； D 缩小2倍
5、化简2
293m m m --的结果是（ ） A 、3+m m B 、3+-m m C 、3-m m D 、m
m -3 6、下列分式中,最简分式是 （ ） A.a b b a -- B.22x y x y ++ C.242x x -- D.4
422+++a a a 7、根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
8、对分式2y x ，23x y ，14xy 通分时， 最简公分母是（ ） A ．24x 2y 2 B ．1222y x C ．242xy D ．122xy
b a a
--b a a --b a a +b a a --b a a +-
9、下列式子（1）y x y x y x -=--122；（2）c
a b a a c a b --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）y
x y x y x y x +-=--+-中正确个数有 （ ） A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个
10、x -y （x≠y ）的倒数的相反数 （ ）
A ．-1x y +
B ．y x --1
C ．y x -1
D ．y
x --1 二、填空题
11、当x 时，分式5
1-x 有意义. 12、当x 时，分式1
1x 2+-x 的值为零。
13、1
x-y 当x=,y=1时，分式的值为2xy-1
_________________ 14、计算：y x y x y x ⎛⎫÷⋅- ⎪⎝⎭
=___________________ 15、用科学计数法表示：0.000302 =__________.
16、如果
32=b a ，那么=+b
a a ____ 。
17、若54145=----x x x 有增根，则增根为___________。
18、20080-22+113-⎛⎫ ⎪⎝⎭
=_______________.
19、方程x
x 527=-的解是 。
20、某工厂库存原材料x 吨，原计划每天用a 吨，若现在每天少用b 吨，则可以多用
天。
三、解答题
21、计算题
(1)1
12
---a a a (2) x
x x x x x +-÷-+-2221112
（3）222)11(11-+⋅-÷--a a a a a a a （4）.1
21)11(2+-÷--a a a a
22、先化简，再求值：11112-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+
x x x ，其中：x=-2
23、解方程
（1）233x x =- （2）()()3
1121
x x x x =--+-
24、某中学162班和163班的学生去河边抬砂到校园内铺路，经统计发现：162班比163班每小时多抬30kg，162班抬900kg所用的时间和163班抬600kg所用的时间相等，两个班长每小时分别抬多少砂？
25、已知y=
1
23
x
x
-
-
，x取哪些值时：
（1）y的值是零；（2）分式无意义；（3）y的值是正数；（4）y的值是负数．
【变式训练】
1.下列有理式中是分式的有
(1)－3x ；(2)y x ；(3)22732xy y x -；(4)－x 8
1；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7)－π-12m ； (8)5.023+m ； 2.（1）当a 时，分式
321+-a a 有意义； （2）当_____时,分式4
312-+x x 无意义； （3）当______时,分式6
8-x x 有意义； （4）当_______时,分式5
34-+x x 的值为1； （5）当______时,分式5
1+-x 的值为正； （6）当______时分式1
42+-x 的值为负. （7）分式36
122--x x 有意义，则x （8）当x = 3时，分式b
x a x +-无意义，则b ______ （9）当x __________时分式x
x 2121-+有意义； （10）当x =__________时，分式22943
x x x --+的值为0； （11）当x ______时,分式
11
x x +-有意义； 3.计算 （1）y
x x x y xy x 22+⋅+ （2）)11(2)2(y x y x xy y x y y x x +÷+⋅+++。