完全平方公式和平方差公式ppt课件
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平方差公式课件PPT
$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab - 2bc$
$(a-b+c)^2 = a^2 - b^2 + c^2 + 2(ab)c$
平方差公式的其他变种形式
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
平方差公式课件
目录
CONTENTS
• 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的推导过程 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用举例 • 平方差公式的变种 • 总结与回顾
01 平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
总结词
平方差公式是数学中一个重要的恒等 式，用于表示两个数的平方差与这两 个数之间的关系。
$(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac + bc - c^2)$
06 总结与回顾
本节课的重点回顾
01
02
03
04
平方差公式的形式和结 构
平方差公式的推导过程
平方差公式的应用范围 和条件
平方差公式的代数表示 和几何意义
本节课的难点解析
01
02
03
04
如何理解和记忆平方差公式的 形式和结构
目标
证明该公式成立
证明的步骤
01
02
03
步骤1
展开左侧，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2 + ab - ab$
步骤2
合并同类项，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$
平方差公式与完全平方公式PPT教学课件
宋陵文官石像
宋陵武将石像
宋朝设置“中书门下”
元世祖忽必烈
忽必烈建立元朝后，废除三省， 实行一省制，只设中书省。中书省的长 官为左、右丞相和平章政事，是元代的 宰相。六部也归入中书省。
丞相制度的废除
朱元璋
朱元璋明孝陵神道石兽 （位于南京）
南京皇城午朝门
南京皇城午朝门，即午门，是传达圣旨的地方，也是 对大臣施“廷杖”的地方。原有城楼已毁。
自秦始置丞相，不旋踵而亡。汉唐宋因之，虽有贤相，然其间 所用者，多有小人，专权乱政。今我朝罢丞相，设五府、六部、都察 院、通政司、大理寺等衙门，分理天下庶务，彼此颉颃，不敢相压。 事皆朝廷总之，所以稳当。以后子孙做皇帝时，并不许立丞相。
——《皇明祖训》
明朝中央集权表
明朝之中央机构分布图
明朝的内阁与清朝的军机处
总面积=a2+
ab+ab+b2.
法二 求
a
b
图1—6
公式: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2.
动脑筋 完全平方公式 的证明
想一想
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
推证 (a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2 ;
=( 4a2 – 12ab + 9b2 )
例2、利用乘法公式计算：
(1) ( x+3 ) ( x- 3 ) (x2-9 )
解：( x+3 ) ( x- 3 ) (x2-9 )
9.4-2完全平方公式(教学课件)
第一数被平方时 未添括号; 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号; 第一数与第二数乘积的2 少乘了一个2 第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ; 应改为: (2a −2• 应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1;
(2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 少了第一数与第二数乘积的 第一数与第二数乘积的2 丢了一项) 应改为: (2a 应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数平方未添括号 未添括号, 第一数与第二数乘积的2 错了符号; 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 这一项错了符号 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: −2• 应改为: (−a−1)2＝(−a)2−2•(−a )•1+12;
实践与探索 计算 (1) (x+y)2 =(x+y) (x+y) =x2+xy+xy+y2 =x2+2xy+y2 (3) (2m-n)2 =(2m-n)(2m-n) =4m2-2mn-2mn+n2 =4m2-4mn+n2 你能发现什么吗? 你能发现什么吗
(2) (4+y)2 = (4+y)(4+y) = 16+4y+4y +y2 = 16+8y +y2 (4) (2a-3)2 = (2a-3)(2a-3) = 4a2-6a-6a+9 = 4a2-12a+9
你能说明(a+b) 的正确性吗? 你能说明(a+b)2=a2+2ab+b2的正确性吗? 解: (a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 ∴ (a+b)2=a2+2ab+b2
(2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 少了第一数与第二数乘积的 第一数与第二数乘积的2 丢了一项) 应改为: (2a 应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数平方未添括号 未添括号, 第一数与第二数乘积的2 错了符号; 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 这一项错了符号 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: −2• 应改为: (−a−1)2＝(−a)2−2•(−a )•1+12;
实践与探索 计算 (1) (x+y)2 =(x+y) (x+y) =x2+xy+xy+y2 =x2+2xy+y2 (3) (2m-n)2 =(2m-n)(2m-n) =4m2-2mn-2mn+n2 =4m2-4mn+n2 你能发现什么吗? 你能发现什么吗
(2) (4+y)2 = (4+y)(4+y) = 16+4y+4y +y2 = 16+8y +y2 (4) (2a-3)2 = (2a-3)(2a-3) = 4a2-6a-6a+9 = 4a2-12a+9
你能说明(a+b) 的正确性吗? 你能说明(a+b)2=a2+2ab+b2的正确性吗? 解: (a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 ∴ (a+b)2=a2+2ab+b2
完全平方公式与平方差公式-----完全平方公式课件数学沪科版七年级下册
=2002-2×200×3+32
=10000+400+4
=40 000-1 200+9
=10 404.
=38 809.
例5
计算：(x + y + z)2.
解：原式 = [x + (y + z)]2
= x2 + 2x(y + z) + (y + z)2
= x2 + 2xy + 2xz + y2 + 2yz + z2
=16x²+20xy+20xy+25y²
=16x²+40xy+25y².
−
1
)(
2
− )
1
= ²
4
−
1
2
1
2
1
= ²
4
− + ².
−
²
+
例2.若x2+(m-3)x+16是完全平方式,则m的值为( C )
A.11或-7
B.13或-7
C.11或-5
D.13或-5
解析：x2+(m-3)x+16可以写成x2+(m-3)x+4²或x2+(m-3)x+(-4)²的情势.
(a - b)² = a² - 2 a b + b²
=9a²-12ab+4b².
例1 用完全平方公式计算:
(1)(2x-3)2;
解：(1)(2x-3)(2x-3)
=4x²-6x-6x+9
=4x²-12x+9.
(2)(4x+5y)2;
沪科版数学七年级下完全平方公式与平方差公式(第1课时,完全平方公式)课件
+(
=
)2
（4）原式=（2a）2-2·2a·5+52
2
y +y+
=4a2-20a+25
注意每一项系数
例2.运用完全平方公式计算:
（1）(-2s+t)2
解:
（2） (-2x-1)2
（1）(-2s+t)2= (t-2s)²
= t² -2·2s·t +(2s)2
=t2-4st+4s2
=(2x+1)2
2
2
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放
( a b) a 2ab b
2
2
2
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不
丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；
巩固练习
（1） ( 2a
3)
2
（2）
1
(3
t)2
3
（3）
(b 3)
思考： （1）完全平方展开有几项？
2
（4）
( 2 a 3 y ) 2
（5）
(0.5m 0.2n) 2
（6）
(1 3x)(3x 1)
（2）每一项的符号特征？
相信你能行
课堂练习：
1、计算：
(1)(a
2
1 2
沪科版数学七年级下
8.3完全平方公式与平方差公式
第一课时
完全平方公式
知识回顾
1、多项式乘以多项式的 根据是什么？
——分配率
2、如何进行多项式与多项式乘法运算？
(m+b)(n+a)= mn
+ ma + bn + ba
完全平方公式与平方差公式(第1课时)-2022-2023学年七年级数学下册教材配套教学课件(沪科版)
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， ∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y， ∴m＋1＝±60， ∴m＝59或－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的 符号，避免漏解．
二 完全平方公式的运用
思考：怎样计算1022,992更简便呢？
完全平方公式：
(a＋b)2=a2 ＋ 2ab + b2
(a－b)2=a2－ 2ab + b2
语言表述：两数和（差）的平方，等于它 们的平方和加上（减去）它们乘积的两倍.
公式的结构特征：
首平方，尾平方，首尾二倍在中央，符号 看前方.
【例2】用完全平方公式计算：
（1）(5＋3p)2；
（2） (2x－7y)2； （3） (－2a－5)2.
用语言叙述为：两项和的平方,等于这两个项的平 方和加上它们的积的2倍.
9.4 乘法公式（1）——完全平方公式
议一议
【例1】计算：(a－b)2．
解：(a－b)2 ＝ [a+(－b)]2
＝ a 2 + 2 a (－b) + (－b) 2 ＝a2－ 2ab＋ b2.
(a－b)2=a2－2ab＋b2
也称为完全平方公式.
公式特征： 1.积为二次三项式； 2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同. 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
想一想: 你能根据图1和图2中的面积解释完全平方公式吗?ba ab 图1b ab a 图2
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的 符号，避免漏解．
二 完全平方公式的运用
思考：怎样计算1022,992更简便呢？
完全平方公式：
(a＋b)2=a2 ＋ 2ab + b2
(a－b)2=a2－ 2ab + b2
语言表述：两数和（差）的平方，等于它 们的平方和加上（减去）它们乘积的两倍.
公式的结构特征：
首平方，尾平方，首尾二倍在中央，符号 看前方.
【例2】用完全平方公式计算：
（1）(5＋3p)2；
（2） (2x－7y)2； （3） (－2a－5)2.
用语言叙述为：两项和的平方,等于这两个项的平 方和加上它们的积的2倍.
9.4 乘法公式（1）——完全平方公式
议一议
【例1】计算：(a－b)2．
解：(a－b)2 ＝ [a+(－b)]2
＝ a 2 + 2 a (－b) + (－b) 2 ＝a2－ 2ab＋ b2.
(a－b)2=a2－2ab＋b2
也称为完全平方公式.
公式特征： 1.积为二次三项式； 2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同. 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
想一想: 你能根据图1和图2中的面积解释完全平方公式吗?ba ab 图1b ab a 图2
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
平方差公式和完全平方公式复习和拓展08431ppt课件
.
3.在横线上添上适当的代数式，使等 式成立
(1)a2 b2 (ab)2 _2_a_b__ (2)a2 b2 (ab)2 _2_ab___ (3)(ab)2 (ab)2 _4_a_b____
.
4.公式变形的应用：(a+b)2 = a2+b2+2ab (a-b)2 = a2+b2-2ab
（ 1） 已 知 a b 1, ab 2,
边成立。
(1) (2)
((4 xm _2_ b12a__ 2 _2 )_1x2)m 6 2b a x4m (2__ ba14 __ 2 __)_
(3)
1
(6 _a _0_.5b)2
a 326a6b_14 b_2 _
_
(4) (7xy)24x92(1_4x_ y _y2 _)
.
4、计算
1997 1992719981996
(2)(x－2y)(x+2y);
x2 4y2
(3)(－m+n)(－m－n).
m2 .
n2
完全平方公式:
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)2 = a2-2ab+b2
首平方， 尾平方， 2倍乘积在中央
.
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
1 1 a a2
a2
2 1 a2
a12 a
a2
2a
11 aa2
a2
1 2a2
.
能力提高
5. x
1 x
m, 则x 2
1 x2
_m__2_;2
3.在横线上添上适当的代数式，使等 式成立
(1)a2 b2 (ab)2 _2_a_b__ (2)a2 b2 (ab)2 _2_ab___ (3)(ab)2 (ab)2 _4_a_b____
.
4.公式变形的应用：(a+b)2 = a2+b2+2ab (a-b)2 = a2+b2-2ab
（ 1） 已 知 a b 1, ab 2,
边成立。
(1) (2)
((4 xm _2_ b12a__ 2 _2 )_1x2)m 6 2b a x4m (2__ ba14 __ 2 __)_
(3)
1
(6 _a _0_.5b)2
a 326a6b_14 b_2 _
_
(4) (7xy)24x92(1_4x_ y _y2 _)
.
4、计算
1997 1992719981996
(2)(x－2y)(x+2y);
x2 4y2
(3)(－m+n)(－m－n).
m2 .
n2
完全平方公式:
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)2 = a2-2ab+b2
首平方， 尾平方， 2倍乘积在中央
.
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
1 1 a a2
a2
2 1 a2
a12 a
a2
2a
11 aa2
a2
1 2a2
.
能力提高
5. x
1 x
m, 则x 2
1 x2
_m__2_;2
【数学课件】平方差公式与完全平方公式(一)
(a b)(a b) a2 b2
练一练 (a b)(a b) a2 b2
阅读算式，按要求填写下面的表格
算式
与平方差 公式中a 对应的项
与平方差
公式中b
对应的项
写成“a2-b2”
的形式
(x+5)(x-5)
x
(2-3x)(2+3x)
2
5
x2 52
3x 22 3x2
(2) (3 x)(3 x) 9 x2 32 x2
(3) (2m n)(2m n) 4m2 n2
(2m)2 n2
比较等号两边的式子，等号 的左边有什么特征？等号的 右边有什么特征？
大胆猜想
(a b)(a b) __a_2___b__2 __ 平
方
差
两数和 两数差 两数平方差
公 式
两数和与这两数差的积等 于这两数的平方差
概括总结
平方差公式 (a b)(a b) a2 b2
公式中的字母的意义很 广泛,可以代表常数,单项 式或多项式
平方差公式的特征： （1）等号左边是两个 数(字母)的和乘以这两 个数(字母)的差. （2）等号右边是这两 个数(字母)的平方差.
快速计算: 例2 用平方差公式计算: (1) 103×97 =(100+3)(100- 3)=100²- 3²
=10000-9=9991
(2)59.8×60.2=(60- 0.2)(60+0.2)
=60²- 0.2² =3600-0.04 =3599.96
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
注：必须符合平方差 公式特征的代数式才能
沪科版数学七下8.3完全平方公式与平方差公式(共2课时)精品课件
(2) ( m + 2 )2 = ( m + 2 )( m + 2 ) = m2 + 4m + 4 . (3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = p2－2p + 1 .
(4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = m2－4m + 4 .
根据上面的规律，你能直接写出下面式子的答案吗？ (a＋b)2 = a2 + 2ab + b2 .
完全平方公式的运用
思考：怎样计算 1022，992 更简便呢？
(1) 1022；
(2) 992.
解：原式 = (100 + 2)2 解：原式 = (100－1)2
= 10000 + 400 + 4
= 10000 － 200 + 1
= 10404.
= 9801.
例4 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值.
b
直接求：总面积 = (a + b)(a + b)
间接求：总面积 = a2 + ab + ab + b2 a
(a + bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 = a2 + 2ab + b2
a
新课讲授
完全平方公式 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = p2 + 2p + 1 .
沪科版数学七下课件
第8章 整式乘法与因式分解
8.3 完全平方公式与平方差公式
(共2课时)
沪科版数学七下课件
第1课时 完全平方公式
(4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = m2－4m + 4 .
根据上面的规律，你能直接写出下面式子的答案吗？ (a＋b)2 = a2 + 2ab + b2 .
完全平方公式的运用
思考：怎样计算 1022，992 更简便呢？
(1) 1022；
(2) 992.
解：原式 = (100 + 2)2 解：原式 = (100－1)2
= 10000 + 400 + 4
= 10000 － 200 + 1
= 10404.
= 9801.
例4 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值.
b
直接求：总面积 = (a + b)(a + b)
间接求：总面积 = a2 + ab + ab + b2 a
(a + bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 = a2 + 2ab + b2
a
新课讲授
完全平方公式 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = p2 + 2p + 1 .
沪科版数学七下课件
第8章 整式乘法与因式分解
8.3 完全平方公式与平方差公式
(共2课时)
沪科版数学七下课件
第1课时 完全平方公式
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3 完全平方公式推论与证明
3 完全平方公式推论与证明
3 完全平方公式推论与证明（公式特点）
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
积为二次三项式。
另一项是两数的两倍， 且与乘式中间的符号相连
积中两项为 两数的平方和
a、b可代表数字、 单项式、多项式
3 平方差公式推论与证明
同样一块边长为a试验田、如果一边 长增加b，一边长减少b，可否表示出 其面积 ？
S总=（a+b）（a-b） =a2-ab+ab-b2 =a2-b2
4 应用总结
解题步骤分3步
准确计算
代准数式
记清公式
5 总结回顾
1 2 3 4 5
完全平方公式与平方差公式的推导 完全平方公式与平方差公式的差异 两公式的结果差异
2 例题导入
2 例题导入
一边长为a米的正方形试验田，因 需要将其边长增加b米。形成四块 试验田，以种植不同的新品种。问 现在正方形试验田的总面积是多少？ 能否用不同的形式表示出其总面积？
2 例题导入
直接求：
S总=(a+b)2
猜想？
(a-b)2=a2-2ab+b2
间接求：
S总=a2+ab+ab+b2 结论：
(a+b)2=S总=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
3 推论与证明
3 完全平方公式推论与证明
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
能用多项式的乘法法则证明其成立吗？
推证 (a+b)2=（a+b）（a+b）
=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
(a-b)2=（a-b）（a-b） =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
平方差和完全平方公式
参评教师：唐烨宇
CONTENTS
1 课题简介
2 例题引入
3
推导及证明
4 应用
5 总结回顾
1 课题简介
1 课题简介
情感目标
渗透建模识、解决问 题的能力和创新能力
过程与方法 1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感 和推理能力； 2．重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理 的思考和表达能力；
计算过程中各项雨露均沾，不抛弃不忘记
相亲相爱一家人——整体平方注意括号的使用
家庭作业：点拨训练第一课时
感谢聆听
参评教师：唐烨宇
知识与技能
1．理解公式的推导过程，了解公式的几何背景 2．会应用公式进行简单的计算
1 课题简介
1．体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质； 2．会运用公式进行简单的计算
1．完全平方公式的推导及其几何解释； 2．完全平方公式结构特点及其应用； 3．从广泛意义上理解公式中的字母含义，判明 要计算的代数式是哪两数的和（差）的平方．