人教版九年级数学上册《中心对称》拓展练习

《中心对称》拓展练习
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，则EF的长为（）
A．2B．2C．D．4
2．（5分）如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（）
A．O1B．O2C．O3D．O4
3．（5分）如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（）
A．OC＝OC′B．OA＝OA′
C．BC＝B′C′D．∠ABC＝∠A′C′B′
4．（5分）已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于点O成中心对称，则AB与A′B′的关系是（）
A．相等
B．垂直
C．相等并且平行
D．相等并且平行或相等并且在同一直线上
5．（5分）若两个图形关于某点成中心对称，则以下说法正确的是（）
①这两个图形一定全等；
②对称点的连线一定经过对称中心；
③一定存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）如图，已知AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是．
7．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A关于点O中心对称，则点B的坐标为．
8．（5分）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为．
9．（5分）如图，在△ABC中，点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，若AB＝6，∠BAC＝40°，则CD的长度为，∠ACD的度数为°．
10．（5分）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AB＝4．动点P从A点出发，以每秒π个
单位的速度在⊙O上按顺时针方向运动一周．设动点P的运动时间为t秒，点C是圆周上一点，且∠AOC＝40°，当t＝秒时，点P与点C中心对称，且对称中心在直径AB上．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）△ABC中，AD⊥BC于D，tan∠B＝，tan∠C＝1，AD＝6，点E沿射线DC 方向一直运动，将点E绕点D逆时针旋转90°得到点F（F在射线DA上），点G与点E 关于点D成中心对称（点G在射线DB上），连接GE、EF、FG得到△GEF．
（1）求BC的长；
（2）在点E的运动过程中，设DE＝x，△GEF与△ABC的重叠部分面积为S，求S与x 的函数关系式．
12．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．
（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由．
（2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积．
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．
13．（10分）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的位置如图，A（0，0）、B（6，0）、D（0，4）．
（1）根据图形直接写出点C的坐标：；
（2）已知直线m经过点P（0，6）且把矩形ABCD分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线m，并求该直线m的解析式．
14．（10分）如图，正方形ABCD与正方形A′B′C′D′关于点O中心对称，若正方形ABCD的边长为1，设图形重合部分的面积为y，线段OB的长为x，求y与x之间的函数关系式．
15．（10分）如图是两个等边三角形拼成的四边形．
（1）这个图形是不是旋转对称图形？是不是中心对称图形？若是，指出对称中心．（2）若△ACD旋转后能与△ABC重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点共有几个？请一一指出．
《中心对称》拓展练习
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，则EF的长为（）
A．2B．2C．D．4
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AC平分∠BAD，求出∠ABO＝30°，求出AO，BO、DO，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，推出EF∥BD，推出EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出即可．
【解答】解：如图所示：连接BD、AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AOB＝90°，
∴AO＝AB＝×2＝1，
由勾股定理得：BO＝DO＝，
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF＝BD＝（2）＝，
故选：C．
【点评】本题考查了折叠性质，菱形性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．
2．（5分）如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（）
A．O1B．O2C．O3D．O4
【分析】连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心；
【解答】解：如图，连接HC和DE交于O1，
故选：A．
【点评】此题考查了中心对称的知识，解题的关键是了解成中心对称的两个图形的对应点的连线经过对称中心，难度不大．
3．（5分）如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（）
A．OC＝OC′B．OA＝OA′
C．BC＝B′C′D．∠ABC＝∠A′C′B′
【分析】根据中心对称的性质即可判断．
【解答】解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确；
成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确．
故选：D．
【点评】本题考查成中心对称两个图形的性质：对应点的连线被对称中心平分；成中心对称图形的两个图形是全等形．
4．（5分）已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于点O成中心对称，则AB与A′B′的关系是（）
A．相等
B．垂直
C．相等并且平行
D．相等并且平行或相等并且在同一直线上
【分析】根据中心对称的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于点O成中心对称，
∴AB与A′B′的关系是相等并且平行或相等并且在同一直线上，
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称的图形性质，得出对应边是解题关键．
5．（5分）若两个图形关于某点成中心对称，则以下说法正确的是（）
①这两个图形一定全等；
②对称点的连线一定经过对称中心；
③一定存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】根据中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分进行分析即可．【解答】解：①这两个图形一定全等，说法正确；
②对称点的连线一定经过对称中心，说法正确；
③一定存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合，说法错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称，关键是掌握中心对称的性质．
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）如图，已知AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是．
【分析】直接利用中心对称的性质得出DC，DE的长，进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴DC＝AC＝1，DE＝AB＝3，
∴在Rt△EDA中，AE的长是：＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了中心对称以及勾股定理，正确得出DC，DE的长是解题关键．7．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A关于点O中心对称，则点B的坐标为（2，﹣1）．
【分析】根据中心对称定义结合坐标系确定B点位置即可．
【解答】解：∵A（﹣2，1），点B与点A关于点O中心对称，
∴点B的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点评】此题主要考查了中心对称，关键是掌握把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
8．（5分）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为cm2．
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n﹣1阴影部分的和．
【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝cm2．
故答案为：cm2．
【点评】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
9．（5分）如图，在△ABC中，点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，若AB＝6，∠BAC＝40°，则CD的长度为6，∠ACD的度数为40°．
【分析】直接利用中心对称图形的性质得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出答案．【解答】解：∵点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC＝6，AB∥DC，
∴∠BAC＝∠ACD＝40°．
故答案为：6，40．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确得出四边形ABCD是平行四边形是解题关键．
10．（5分）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AB＝4．动点P从A点出发，以每秒π个单位的速度在⊙O上按顺时针方向运动一周．设动点P的运动时间为t秒，点C是圆周上一点，且∠AOC＝40°，当t＝或或或秒时，点P与点C中心对称，
且对称中心在直径AB上．
【分析】根据中心对称的定义，可得P点的位置，根据弧长公式，可得，根据路程除以速度等于时间，可得答案．
【解答】解：如图，
当∠AOP1＝40°时，P1与C1对称，＝4π×＝，t＝÷π＝；
当∠AOP2＝140°时，P2与C1对称，＝4π×＝π，t＝÷π＝；
当∠AOP3＝220°时，P3与C2对称，＝4π×＝，t＝÷π＝；
当∠AOP4＝320°时，P4与C1对称，＝4π×＝π，t＝÷π＝；
故答案为：或或或．
【点评】本题考查了中心对称，利用中心对称得出P点的位置是解题关键，又利用了弧长公式，要分类讨论，以防遗漏．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）△ABC中，AD⊥BC于D，tan∠B＝，tan∠C＝1，AD＝6，点E沿射线DC 方向一直运动，将点E绕点D逆时针旋转90°得到点F（F在射线DA上），点G与点E 关于点D成中心对称（点G在射线DB上），连接GE、EF、FG得到△GEF．
（1）求BC的长；
（2）在点E的运动过程中，设DE＝x，△GEF与△ABC的重叠部分面积为S，求S与x 的函数关系式．
【分析】（1）解直角三角形求出BD，CD即可解决问题；
（2）分三种情形：①如图1中，当0＜x≤6时，重叠部分是△EFG．②如图2中，当6＜x＜12时，重叠部分是五边形ACGM．③当x≥12时，重叠部分是△ABC．分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵tan∠B＝，tan∠C＝1，AD＝6，
∴CD＝AD＝6，BD＝2AD＝12，
∴BC＝BD+CD＝18．
（2）①如图1中，当0＜x≤6时，重叠部分是△EFG，S＝×2x×x＝x2．
②如图2中，当6＜x＜12时，重叠部分是五边形ACGM．
作BK∥GF交DF的延长线于K，作MH⊥BC于H．易知：AB＝6，DB＝DK＝12，∵FM∥BK，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝（x﹣6），
∵MH∥AD，
∴＝，
∴＝，
∴MH＝﹣x，
∴S＝S△ABC﹣S△BMG＝×6×18﹣×（12﹣x）×（﹣x）＝﹣x2+x+．
③当x≥12时，重叠部分是△ABC，S＝54，
综上所述，S＝．
【点评】本题考查旋转变换，中心对称，解直角三角形，平行线的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．12．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．
（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由．
（2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积．
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．
【分析】（1）根据中心对称的性质可得AC＝CD，BC＝CE，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形ABDE是平行四边形，再根据平行四边形的对边互相平
行且相等解答；
（2）根据平行四边形的性质，对角线把四边形分成面积相等的四个部分解答；
（3）∠ACB＝60°．先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AC＝BC，然后求出AD＝BE，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明．
【解答】解：（1）∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴AC＝CD，BC＝CE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE与BD平行且相等；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形，
∴S△ABC＝S△BCD＝S△CDE＝S△ACE，
∵△ABC的面积为5cm2，
∴四边形ABDE的面积＝4×5＝20cm2；
（3）∠ACB＝60°时，四边形ABDE为矩形．
理由如下：∵AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AD＝2AC，BE＝2BC，
∴AD＝BE，
∴四边形ABDE为矩形．
【点评】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定，熟记各性质与判定方法是解题的关键．
13．（10分）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的位置如图，A（0，0）、B（6，0）、D（0，4）．
（1）根据图形直接写出点C的坐标：（6，4）；
（2）已知直线m经过点P（0，6）且把矩形ABCD分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线m，并求该直线m的解析式．
【分析】（1）根据点B、D的坐标求出点C的横坐标与纵坐标，然后写出即可；
（2）连接OC、BD得到矩形的中心，然后根据平分矩形面积的直线必过中心作出直线m 即可，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．
【解答】解：（1）∵B（6，0）、D（0，4），
∴点C的横坐标是6，纵坐标是4，
∴点C的坐标为（6，4）；
故答案为：（6，4）；
（2）直线m如图所示，
对角线OC、BD的交点坐标为（3，2），
设直线m的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则，
解得，
所以，直线m的解析式为y＝﹣x+6．
【点评】本题考查了中心对称，矩形的性质，待定系数法求一次函数解析式，熟记过矩形的中心的直线把矩形的面积分成面积相等的两份是解题的关键．
14．（10分）如图，正方形ABCD与正方形A′B′C′D′关于点O中心对称，若正方形ABCD的边长为1，设图形重合部分的面积为y，线段OB的长为x，求y与x之间的函数
关系式．
【分析】首先设AD与C′D′交于点F，CD与A′D交于点E，由正方形ABCD与正方形A′B′C′D′关于点O中心对称，易得四边形DED′F是正方形，又由正方形ABCD的边长为1，即可求得BD的长，继而求得OD、DE的长，则可求得y与x之间的函数关系式．
【解答】解：如图，设AD与C′D′交于点F，CD与A′D交于点E，
∵正方形ABCD与正方形A′B′C′D′关于点O中心对称，
∴四边形DED′F是正方形，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴BD＝＝，
∵OB＝x，
∴OD＝BD﹣OB＝﹣x，
∴DE＝＝（﹣x）＝2﹣x，
∴y＝S正方形DED′F＝DE2＝（2﹣x）2．
∴y与x之间的函数关系式为：y＝（2﹣x）2．
【点评】此题考查了中心对称的性质与正方形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
15．（10分）如图是两个等边三角形拼成的四边形．
（1）这个图形是不是旋转对称图形？是不是中心对称图形？若是，指出对称中心．（2）若△ACD旋转后能与△ABC重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点共
有几个？请一一指出．
【分析】（1）根据旋转对称图形的定义得出即可；
（2）利用△ACD旋转后能与△ABC重合，结合图形得出旋转中心．
【解答】解：（1）这个图形是旋转对称图形，对称中心为AC的中点；
（2）3个，旋转中心可以为：点A，点C，AC的中点．
【点评】此题主要考查了旋转对称图形的定义，正确根据旋转的性质得出旋转中心是解题关键．。