第4章无穷级数3-8(函数项级数幂级数收敛半径)

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幂级数的概念与幂级数的收敛半径

幂级数函数项级数、幂级数的概念幂级数的收敛性幂级数的运算和函数的性质函数项级数、幂级数的概念给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ,2()u x ,,()n u x ,,表达式1231()()()()()nn n u x u x u x u x u x ∞==+++++∑称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数, 简称(函数项)级数.例 21sin n nx n ∞=∑ 22sin 2sin sin 2x nxx n=++++对于每一个确定的值0x I ∈, 有常数项级数1201()()()()nn n u x u x u x u x ∞==++++∑若01()nn u x ∞=∑收敛, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的收敛点;若1()nn u x ∞=∑发散, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的发散点.函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为它的收敛域,发散点的全体称为它的发散域.例函数项级数21sin n nxn ∞=∑, (,)x ∀∈-∞+∞, 22sin 1nx n n≤, 211n n ∞=∑收敛, 故级数21sin n nx n ∞=∑收敛, 且它的收敛域为(,)-∞+∞.在收敛域上, 函数项级数的和是x 的函数()s x ,通常称()s x 为函数项级数的和函数.和函数的定义域就是级数的收敛域, 并写成12()()()()n s x u x u x u x =++++.级数1()n n u x ∞=∑的前n项的部分和()n s x在收敛域上有lim ()()n n s x s x →∞=.记()()()n n r x s x s x =-, 有lim ()0n n r x →∞=.特殊地,形如20102000()()()()nnnn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的函数项级数称为0()x x -的幂级数. 当00x =时,函数项级数的余项20120nnn n n a xa a x a x a x ∞==+++++∑,其中常数0a ,1a ,2a ,,n a ,称作幂级数的系数.t x x =-x取数轴上的哪些点时幂级数收敛,取哪些点时幂级数发散?幂级数的收敛性1.幂级数收敛域的结构例考察幂级数0n n x∞==∑21n x x x +++++的收敛性. 解当||1x <时, 011n n x x ∞==-∑; 当||1x ≥时, 这级数发散. 收敛域是开区间(1,1)-, 发散域是(,1]-∞-及[1,)+∞, 2111n x x x x =+++++-(11)x -<<.定理(阿贝尔(Abel)定理)如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =0(0)x ≠时收敛,则适合不等式0||||x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,则适合不等式0||||x x >的一切x 使这幂级数发散.证先设0x 是0n n n a x ∞=∑的收敛点, 即级数00n n n a x ∞=∑收敛, 0lim 0n n n a x →∞=. 存在常数M ,使0||n n a x M ≤(0,1,2,)n =.00||n n n n x a x x =⋅ 0n x M x ≤. ||n n a x 00n n n n x a x x =⋅ 当0||||x x <时01x x <, 00n n x M x ∞=∑收敛, 0n n n a x ∞=∑绝对收敛.反之, 假设幂级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,而有一点1x 适合10||||x x >使级数收敛, 则当0x x =时级数收敛, 这与定理的假设矛盾, 定理表明, 若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处收敛,则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ,幂级数都收敛;若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处发散,则对于闭区间00[||,||]x x -外的任何x ,幂级数都发散. 在某一时刻, 遇到发散点, 幂级数的收敛域有如下特征:收敛域从原点开始向两端扩张, 初始时遇到的均为收敛点, 以后的所有点均为发散点.推论如果幂级数0n nn a x ∞=∑不是仅在0x =一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个确定的正数R 存在, 使得当||x R < 时,幂级数绝对收敛;当||x R >时，幂级数发散;当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散.正数R 通常称作幂级数的收敛半径.例如, 幂级数0n n x∞=∑的收敛半径为1R =.开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间. 收敛域是 (,)R R -、[,)R R -、(,]R R -或[,]R R -之一. 若幂级数只在0x =处收敛,规定收敛半径0R =;若幂级数对一切x 都收敛,规定R =+∞,收敛域(,)-∞+∞.。

无穷级数函数项级数幂级数收敛半径

s ( x ) u 1 ( x ) u 2 ( x ) u n ( x ) (定义域是?)
函数项级数的部分和 sn ( x), ln i m sn(x)s(x) 余项 r n (x ) s (x ) s n (x ) ln i m rn(x)0
(x在收敛域上)
4. 标准幂级数收敛半径、收敛域的求法

定理2 如果幂级数anxn的所有系数 an0,
n0
设 li a n m 1 n a n
则 (1) 当0时,R1;
(2) 当0时,R ;
( 3 ) 当时 , R 0 .
证 (1)若liman1 (0)
幂级数的收敛域包括幂级数的收敛区间及端点情况.
(R,R),[R,R), (R,R], [R,R]. 规定 (1 )幂级数只在 x 0 处收敛 ,R0,
收敛域为 {0 };
(2)幂级数对一切 x都收敛 ,R, 收敛域 (, ) .
问题如何求幂级数的收敛半径?
n 0
当 x x 0 1 即 x x 01 时 , a n (x x 0 )n 发 ; 散 n 0
再讨 xx 论 01时 ,n 0an(xx0)n的敛散性.
一般幂级数收敛域的求法习例
例 3 求n1(x2n1n)n的收敛.域
例 4
当 x1时 ,n l i m sn(x)不存 . 在
xn收敛11于 x,
当x1时 .
n0 发散 ,
当x1时
2. 阿贝尔(Abel)定理

(1)如果级数 anxn在xx0(x00)处收敛,则
n0
它在满足不等式xx0的一切 x 处绝对收敛;

第四章第二节幂级数

可沿K内曲线逐项积分,且收敛注1 (4.5)可沿内曲线逐项积分且收敛可沿内曲线C逐项积分半径与(4.5) 相同相同. 半径与即
或∫
∫
C
z a
f ( z )dz = ∑ cn ∫ ( z − a ) n dz , C ⊂ {z : z − a < R} .
n =0
∞
∞
C
cn f (ζ )dζ = ∑ ( z − a ) n +1 . n= 0 n + 1
证明设z是圆K内任一点,
因为级数∑ cn ( z1 − a ) 收敛,
n
∞
a•
所以 lim cn ( z1 − a ) = 0,
n n →∞
n =0
•z
•z1
从而它的通项序列必有界, 即有正数M,使从而它的通项序列必有界即有正数使
cn ( z1 − a) < M , (n = 1,2,L)
n
(3) 既存在使级数发散的复数, 也存在使级数收敛的复数.
y
设 z = z1 时, 级数收敛;
收敛圆
z2
•
z = z2 时, 级数发散.
a•
收敛半径
R • z1.
如图: 如图幂级数
cn ( z − a ) n ∑
n =0 ∞
x
的收敛范围是以点a为中心的圆域.
cn ( z − a )n 的收敛范围是何区域问题1: 问题幂级数 ∑ 的收敛范围是何区域?
n →∞
或lim n cn = l , (Cauchy-Hadamart)
n →∞
则幂级数∑ cn ( z − a ) 的收敛半径
n
∞

第4章无穷级数内容小结

(x

x0
)n

为 f x 在点 x0 处的泰勒级数.
当泰勒公式
5
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x

x0
)
2

f
(n) (x0 n!
)
(
x

x0
)n
Rn (x)
中的余项 Rn (x) 0(n ) 时，泰勒级数收敛于 f (x) ，即
n1
i 1

为级数 un 的部分和. n1

若
lim
n
sn
s 存在，则称级数 un 收敛， s 称为级数 un 的和，记作 un
n1
n1
n1
s，

此时称 rn s sn 为级数 un 的余项. n1

收敛的充分必要条件：
un
n1
收敛
n
（或为），

则当 1时， un 收敛；当 1（或）时， un 发散；当 1时， un 的敛
n1
n1
n1
散性不能肯定.

④根值审敛法（柯西判别法）
设
n1
un
是正项级数，若
lim
n
n
un
（或为），

则当 1时， un 收敛；当 1（或）时， un 发散；当 1时， un 的敛散
原级数有相同的收敛半径 R . 但在收敛区间的端点 x R 处收敛性可能改变.

(完整版)无穷级数整理

无穷级数整理一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么（i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么（i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域（1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和（1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立）若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分：（1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；；（4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22；（5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。

第四节幂级数

lim
n
an1 xn1 an xn
l x
则由比值判别法有
13
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(1)若l x 1,
即 x 1 (l 0), l
an xn 则绝对收敛;
n0
(2)若l x 1,即xFra bibliotek1 (l
0),
l
an xn 发散;
n0
(3)若l x 1,
即 x 1 (l 0), l
2
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一. 函数项级数的概念
设 un ( x) (n 1, 2 , ) 为定义在区间 I 上的函数, 称
un ( x) u1( x) u2( x) un( x)
n1
为定义在区间 I 上的函数项级数 .
对 x0 I , 若常数项级数 un ( x0 ) 收敛, x0 称为其收 n1
我们称这种函数项级数为幂级数.
7
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二.幂级数及其收敛性
形如 an xn a0 a1 x an xn
(9.4.1)
n0
与 an ( x x0 )n a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n
n0
(9.4.2)
的级数, 分别称为x的幂级数与(x - x0)的幂级数. 其中
S '( x) ( an xn ) (an xn ) nan xn1
n0
n0
n0
(3) 设幂级数 an xn 的和函数为S( x), 收敛半径为R, 则S(x) n0
在 (R, R) 内可积, 且
x s( x)dx
0
x 0
an xndx
n0

优选无穷级数函数项级数幂级数收敛半径

n0
几何说明
收敛区域
o
• • •• • • ••• • •
发散区域 R
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数Βιβλιοθήκη 上都收敛,则必有一个完全确定的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
令 X x x0, 则可将(2)化为(1)的标准形式
an (x x0)n an X n
n0
n0
注1 因经变换后, 幂级数(1)与(2)可相互转化, 故下面主要讨论形式(1)的幂级数.
类似地，有幂级数的收敛域，和函数的定义。
例 1 讨论 xn的敛散性.
解
sn(
x)
n0
1
x
x2
x n1
(2) 如果级数 an x n 在 x x0处发散,则它在满
n0
足不等式 x x0 的一切x 处发散.
证
(1)
an x0n收敛,
lim
n
an
x0n
0,
n0
M , 使得 an x0n M (n 0,1,2,)
an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
M
x x0
n
当 x 1时,
x0
等比级数
M
x
n
收敛,
n0 x0
an
xn 收敛,
即级数 anxn绝对收敛;
n0
n0
(2)反设有一点 x1适合 x1 x0 使级数收敛,

无穷级数(幂级数)

( 2 ) ∑ ( − nx ) ;
n
∞
∵ ρ = lim n a n = lim n = +∞ , ∴ R = 0,
n→ ∞
n =1
n→ ∞
点收敛。级数只在 x = 0点收敛。
x ( 3) ∑ ; n = 1 n! a n+1 1 ∵ ρ = lim = lim = 0, ∴ R = +∞ , n→ ∞ a n→ ∞ n + 1 n
故收敛域为(0,1]. 故收敛域为
法二：直接利用比值，根值判别法（有缺项）法二：直接利用比值，根值判别法（有缺项）
x 的收敛域. 例 2 求幂级数∑ n 的收敛域 n=1 2
∞
2n−1
x x x 解 ∵ 级数为 + + 3 + ⋯ 缺少偶次幂的项 2 2 2 2 应用达朗贝尔判别法
un+1 ( x ) 1 2 2 n+1 lim = lim 2 n−1 = x , n→ ∞ u ( x ) n→ ∞ x 2 n 2n 1 2 时级数收敛, 当 x < 1, 即 x < 2时, 级数收敛 2
1.代数运算性质: 1.代数运算性质: 代数运算性质
∞ ∞
设∑ a n x 和∑ bn x 的收敛半径各为 R1 和R2 ,
n n n= 0
R = min{R1 , R2 }
n= 0
(1) 加减法
∑a
n=0
∞
n
x ± ∑ bn x = ∑ c n x . x ∈ (− R, R )
n n
n
∞
∞
n= 0
n n=0 n=0 ∞ ∞
( 2 ) 假设当 x = x 0时发散 ,

幂级数与幂函数的收敛半径

幂级数与幂函数的收敛半径幂级数与幂函数是数学中重要的概念，它们在实际问题的建模和分析中具有广泛的应用。

本文将探讨幂级数以及幂函数的收敛半径的概念和计算方法。

一、幂级数的收敛半径幂级数是形如∑(n=0)~∞(a_n(x-a)^n)的无穷级数，其中a_n为系数，a为常数。

幂级数在特定的收敛半径内可以收敛到某个特定的函数。

而收敛半径R则决定了幂级数的收敛性以及收敛的范围。

1. 收敛半径的定义设幂级数为∑(n=0)~∞(a_n(x-a)^n)，如果存在一个正数R，使得当|x-a|<R时，级数绝对收敛；而当|x-a|>R时，级数发散。

则称R为幂级数的收敛半径，并称幂级数在以a为中心、R为半径的区间上绝对收敛。

2. 收敛半径的计算幂级数的收敛半径可以通过求和式的柯西-阿达玛公式来求得。

柯西-阿达玛公式表示为：1/R = lim sup⁡√(|a_n|)其中lim sup⁡表示上极限。

根据该公式，我们可以通过计算幂级数系数的绝对值的上极限来求得收敛半径。

二、幂函数的收敛半径幂函数是形如f(x) = a(x-c)^r的函数，其中a、c、r为常数。

幂函数的收敛半径与幂级数的收敛半径存在一定的联系。

1. 幂函数的收敛性对于幂函数来说，当r为正整数时，在定义域内收敛；当r为负整数时，在除去c的邻域外收敛；当r为0时，只在x=c处收敛。

2. 幂函数的收敛半径与级数的关系对于形如∑(n=0)~∞(a_n(x-a)^n)的幂级数，可以将其视为一个幂函数的泰勒展开形式。

幂级数的收敛半径R与幂函数的收敛半径之间存在以下关系：收敛半径R ≥ 收敛域半径r其中，收敛域半径r是幂函数在定义域内收敛的区间的半径。

三、幂级数与幂函数的应用幂级数与幂函数在实际问题的建模和分析中有广泛的应用。

例如，在物理学中，幂级数可以用于描述电磁场的分布和电路的性质；在工程学中，幂函数可以用于建模复杂的机械运动和能量传输等问题。

总结起来，幂级数与幂函数的收敛半径是决定它们收敛性和收敛范围的重要指标。

幂级数的收敛域

xn x1n
| |

等比级数
an x1n
M|
|
x

n0
x1
|
|n
x |n x1
收敛 ,
M
|
x x1
|n
由比较判别法知, | an xn | 收敛,

n0
因此,级数 an xn (绝对)收敛 ;
10
n0
定理 (阿贝尔Abel定理)

(1) 如果级数 an xn 在 x x1( x1 0) 处收敛, n0
2、幂级数的收敛半径和收敛域
幂级数的收敛域具有如下特点：

（1）任何幂级数 an xn 在 x 0 处收敛；
n0

（2）在不考虑端点的情况下, an xn 的收敛域是一个关
于原点对称的区间.
n0
7
定理 (阿贝尔Abel定理)

(1) 如果级数 an xn 在 x x1( x1 0) 处收敛, n0 则它在满足不等式| x | | x1 | 的一切 x 处绝对收敛；

un (x)的余项,则
n1
lim
n
Rn
(
x)

0,
x 收敛域
3
二、幂级数
1、幂级数的定义
级数 a0 a1( x x0 ) an( x x0 )n

an ( x x0 )n
(1)
n0
称为关于 x x0 的幂级数；其中an称为幂级数的系数.
(3) 如果 , 则对 x 0 ,
lim
n
|
an1 | an
x x
n1

Fourier级数

, 它在点x k ( k Байду номын сангаас 0,1,) 解 f ( x )满足狄氏条件不连续.
y
1

o
1

x
2014-5-26
南京航空航天大学理学院数学系
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函数f(x)图象为 y
1
1 x 0, f ( x) 1 0 x , f ( x 2 ) f ( x )
a0 f ( x ) (ak cos kx bk sin kx ) (1) 2 k 1 用cos nx乘(1)的两边,再从积分：
能
f ( x )cos nxdx a cos nxdx (a 2

0 k 1
a0 (ak cos kx bk sin kx )dx f ( x )dx 2 dx k 1 a 1 0 dx a0 a0 f ( x )dx 2

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4.1 周期函数与三角级数
4.2 三角函数系的正交性与Fourier级数
4.3 周期函数的Fourier展开
4.4 [0, l]上函数的Fourier级数
4.5 Fourier级数的复数形式
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4.1
周期函数与三角级数
简单的周期运动为简谐振动： y=Asin(ωt+φ) 复杂的周期运动常分解成若干不同频率的简谐振动的叠加,即
南京航空航天大学理学院数学系 7
1
1
u
4

北京大学复变函数讲义第四章：无穷级数

幂级数求收敛半径

幂级数求收敛半径幂级数是数学中的一个重要概念，它是由形如$sumlimits_{n=0}^{infty}a_nx^n$的无穷级数组成，其中$a_n$是常数，$x$是变量。

幂级数在数学中的应用非常广泛，如在微积分、数论、物理学等领域中都有着重要的应用。

然而，在实际的计算中，我们经常需要求出幂级数的收敛半径，以确定幂级数的收敛性。

因此，本文将从定义、性质和求解方法三个方面来介绍幂级数的收敛半径。

一、幂级数的定义幂级数是一种无穷级数，它的一般形式为$sumlimits_{n=0}^{infty}a_nx^n$，其中$a_n$是常数，$x$是变量。

当$x=0$时，幂级数的值为$a_0$，如果$x$的取值在某个区间内收敛，则称幂级数在该区间内收敛。

否则，幂级数在该区间内发散。

二、幂级数的性质1. 幂级数的收敛域是一个区间。

2. 幂级数的收敛半径是一个正实数$r$，它满足$limlimits_{nrightarrowinfty}left|dfrac{a_{n+1}}{a_n}right| =r$，当$r=0$时，幂级数在$x=0$处收敛；当$r=+infty$时，幂级数在整个实轴上收敛；当$0<r<+infty$时，幂级数在$xin(-r,r)$内收敛。

3. 幂级数的收敛性与$x$的取值有关，即幂级数在某个点处收敛，并不意味着它在整个区间内都收敛，反之亦然。

三、幂级数的求解方法1. 比值判别法比值判别法是求解幂级数收敛半径的一种常用方法。

具体来说，利用比值判别法可以得到$limlimits_{nrightarrowinfty}left|dfrac{a_{n+1}}{a_n}right| =r$，然后根据$r$的大小来确定幂级数的收敛半径。

比值判别法的具体步骤如下：（1）计算$limlimits_{nrightarrowinfty}left|dfrac{a_{n+1}}{a_n}right| $。

第章无穷级数-(函数项级数幂级数收敛半径)

当y 2时, 可得n1n1发散,
当y

2时,
可得

(
n1
1)n收敛. n
2 y 2, 从而 2 x 1 2 1 x 3
收敛域为[1,3).
方由比值法得，
法
二
lim un1 n un

lim
n
( x 1)n1 2n1(n 1)

(
2n x
n 1)
n

x 1 ,
2
当 x 1 1即 1 x 3时,原幂级数绝对收敛; 2
当 x 1 1即x 1或x 3时,原幂级数发散;
当x
2
3时,

原幂级数成为
1,
发散,
n1n
当x

1时, 原幂级数成为
(
收敛域为[1,3).
n1
1)n n
(1)计算 lim an1 ;
n an
(2)由的值得R 1 ;

(3)由数项级数判定x R时 an xn的敛散性得收
n0
敛域[R, R]或[R, R)或(R, R]或(R, R).
标准幂级数收敛域的求法习例
例 2 求下列幂级数的收敛半径和收敛域

（1）
形如

an xn a0 a1x an xn
n0
的函数项级数称为幂级数的标准形式.

an xn a0 a1 x an xn
(1)
n0

an ( x x0 )n a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n
n0

幂级数及其收敛性PPT课件

11
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幂级数
(3) (n!)2 xn
n1 (2n)!
(n 1)!2
R 1
解
பைடு நூலகம்
l i m| an1 | n an
lim n
2(n 1) ( n! )2
! lim (n 1)2 n (2n 1)(2n 2)
1
(2n)!
4
收敛半径R 4.
12
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幂级数
|x| |x0|
|an xn|
|an x0n
xn x0n
|
|an x0n| |
x x0
|n
M
|
x x0
|n
当|
x
| 1 时, 等比级数
M|
x
|n 收敛,
x0
n0
x0
|an xn| 收敛, 即级数 an xn(|x| |x0|) 绝对收敛;
n0
n0
(2) 假设当x x0 时发散, 但有一点 x1 适合 |x1| |x0|
(3)当时, R 0.
证对级数 |an xn|, 由正项级数的比值判别法,
n0
l i m|an1 n |an
x x
n1| n|
l i m|an1| n |an|
|x|
7
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幂级数
l i m|an1 n |an
x x
n1| n|
l
i
| m
an1|
|
x|
n |an|
(1) 如果lim| an1 | ( 0) 存在, 则
当 x = 4 时, 级数为正项级数 (n!)2 4n n1 (2n)!

无穷级数知识点汇总

无穷级数知识点汇总一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么（i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么（i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域（1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和（1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立）若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分：（1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；；（4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22；（5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。

第4章无穷级数3-7(函数项级数幂级数收敛半径)

对一切x , an x n绝对收敛. R .
n 0
an1 ( 3)若 lim , n an un1 an1 则 lim lim x ( x 0) n un n an
则 lim un 0, 故 an x n发散. R 0. 定理证毕.
(2) 幂级数对一切x 都收敛,R ,
收敛域( , ).
问题
如何求幂级数的收敛半径?
4. 标准幂级数收敛半径、收敛域的求法
n a x 如果幂级数定理2 n 的所有系数a n 0 , n 0
a n1 设 lim n a n
1 则 (1) 当 0 时, R ; (2) 当 0 时, R ;
当 x 1时, lim sn ( x )不存在.
n
1 , 当 x 1时 n 收敛于 x . 1 x n 0 当 x 1时发散,

2. 阿贝尔(Abel)定理
(1) 如果级数 a n x n 在 x x 0 ( x 0 0) 处收敛,则
n 0
函数项级数的部分和 s n ( x ), lim sn ( x ) s( x ) 余项 rn ( x ) s( x ) sn ( x )
lim rn ( x ) 0
n
n
(x在收敛域上)
注意: (1) 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.
( 2)
n 1

n
1 a n 1 lim 0, 解 lim n n 1 n a n
R ,
收敛域( , ).
5. 一般幂级数收敛域的求法
对于 an ( x x0 )n有两种方法求其收敛域.

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n 0
x 处绝对收敛; 它在满足不等式 x x 0 的一切
(2) 如果级数 a n x n 在 x x 0 处发散,则它在满
n 0
足不等式 x x 0 的一切x 处发散.
证
an x0 0, (1) an x0 收敛, lim n
n
n

n 0
M , 使得 an x0 M
1
时, an ( x x0 ) n绝对收敛;
n 0

时, an ( x x0 ) n发散;
n 0
再讨论x x0 时, an ( x x0 ) n的敛散性可得所求 .

n 0
一般幂级数收敛域的求法---例题
( x 1) n 的收敛域. 例 3 求 n n 1 2 n
3. 收敛半径与收敛域 4. 标准幂级数收敛半径的求法 5. 一般幂级数收敛域的求法
注解
演练例题
例题
内容小结与思考
4.3.1 函数项级数
1.定义
设 u1 ( x ), u2 ( x ), , un ( x ), 是定义在I R 上的函数,则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
当 x 1时, lim sn ( x )不存在.
n
讨论 x n的敛散性.
n 0

n
( x 1)
1 , 当 x 1时 n 收敛于 x . 1 x n 0 当 x 1时发散,

4.3.2 幂级数及其收敛性
2. 阿贝尔(Abel)定理

(1) 如果级数 a n x n 在 x x 0 ( x 0 0) 处收敛,则
n n a ( x x ) a X n n 0 n 0 n 0
注1 因经变换后, 幂级数(1)与(2)可相互转化, 故下
面主要讨论形式(1)的幂级数. 类似地，有幂级数的收敛域，和函数的定义。
4.3.2 幂级数及其收敛性例1
解 sn ( x ) 1 x x 2 x n1 1 x 1 x 1 当 x 1时, lim sn ( x ) , n 1 x

解 lim n an lim n , R =0,
n
n
级数只在 x 0处收敛。 n x (4) n 1 n !
1 a n 1 lim 0, R , 解 lim n n 1 n a n
收敛域( , ).
(x在收敛域上) 注意: (1) 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.

( 2)
n 1
函数项级数的收敛域. un ( x )的和函数的定义域是该
函数项级数收敛域例如, 等比级数
它的收敛域是
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1，） , 或写作 x 1 .
n 0

几何说明收敛区域发散区域

R

o

R

发散区域
x
4.3.2 幂级数及其收敛性
推论
如果幂级数

n a x n 不是仅在 x 0 一点收敛,也 n 0
不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R 时,幂级数绝对收敛;
4.3.2 幂级数及其收敛性
5. 一般幂级数收敛域的求法
对于 an ( x x0 )n有两种方法求其收敛域.
n0

方法 1.
(1)令x x0 y, 得 an y n ;
n 0

(2)由标准幂级数收敛域的求法可得：
y R,同时讨论y R的情况; ( 3)再由y x x0 , 求得x满足的不等式,即为x的区域.
1 R . 3
1 1 n 当x 时, 原幂级数成为 [( ) 1], 发散. 3 6 n 1 1 1 当x 时, 原幂级数成为 [( ) n ( 1) n ], 发散. 3 n1 6 1 1 收敛域为( , ).
n （ 3） ( nx ) n 1
n 1
I 上的(函数项)无穷级数. 称为定义在区间
例如级数
n
n 2 x 1 x x , n 0

sn ( x ) ui ( x )为前n项的部分和 .
i 1
4.3.1 函数项级数 2.收敛点与收敛域
如果 x 0 I ,数项级数 un ( x0 ) 收敛,
a n1 设 lim n a n
1 则 (1) 当 0 时, R ; (2) 当 0 时, R ;
(3) 当时, R 0 .
4.3.2 幂级数及其收敛性 an1 (1)若 lim ( 0) 证 n an un1 an1 则 lim lim x x n un n an 则比值审敛法得：
标准幂级数收敛半径、收敛域的求法--举例
例 2 求下列幂级数的收敛半径和收敛域
x （） 1 2 n 1 n
n （ 3） ( nx ) n 1

n
(1)n 6n n （ 2） x n 2 n 1

xn (4) n 1 n !

标准幂级数收敛半径、收敛域的求法--举例
x （） 1 2 n 1 n
解
an1 n2 lim lim 1, 2 n an n ( n 1)
收敛半径R 1.

n
1 当x 1时, 原幂级数成为 2 , 收敛. n 1 n
( 1) 当x 1时, 原幂级数成为 2 , 绝对收敛. n1 n 收敛域为[1,1].
又如, 级数
级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为
4.3.2 幂级数及其收敛性
1.定义
形如
n 0 n n a ( x x ) a a ( x x ) a ( x x ) n 0 0 1 0 n 0
的函数项级数称为幂级数的一般形式 .
形如
n 0 n n a x a a x a x n 0 1 n
对一切x , an x n绝对收敛. R .
n 0
an1 ( 3)若 lim , n an un1 an1 则 lim lim x ( x 0) n un n an
则 lim un 0, 故 an x n发散. R 0. 定理证毕.
当 x 1即 x 当 x 1即 x
1

1
时, an x n绝对收敛; 时, an x n发散;
n 0 n 0 an x n可能收敛可能发散 . n 0 1 R .

4.3.2 幂级数及其收敛性
an1 ( 2)若 lim 0, n an un1 an1 则 lim lim x x 0 <1 n un n an
则称 x0 为级数 un ( x ) 的收敛点,
n 1

n 1
函数项级数 un ( x ) 的所有收敛点的全体称为收敛域,
n1

所有发散点的全体称为发散域.
4.3.1 函数项级数
3.和函数
x 的函数s( x ) , 在收敛域上,函数项级数的和是称 s( x ) 为函数项级数的和函数.
规定
[ R, R].
收敛域为{0};
(1) 幂级数只在x 0 处收敛, R 0,
(2) 幂级数对一切x 都收敛,R ,
收敛域( , ).
问题
如何求幂级数的收敛半径?
4.3.2 幂级数及其收敛性
4. 标准幂级数收敛半径、收敛域的求法
n a x 如果幂级数定理2 n 的所有系数a n 0 , n 0

n
标准幂级数收敛半径、收敛域的求法--举例
(1)n 6n n （ 2） x n 2 n 1

解
an1 ( 1) n1 6 n1 2n lim lim n 1 n an n 2 ( 1) n 6 n
1 ( ) n1 1 1 lim 6 3, 1 1 1 n 2 ( )n 6 6 6
s( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) (定义域是?)
函数项级数的部分和 s n ( x ), lim sn ( x ) s( x )
余项 rn ( x ) s( x ) sn ( x )
lim rn ( x ) 0
n
n
n n 0

n 0
(2) 反设有一点x1 适合 x1 x0 使级数收敛,
由结论(1), 则级数当 x x 0 时应收敛,
与已知" x x0时发散"相矛盾.
4.3.2 幂级数及其收敛性
注意: Abel定理对标准幂级数给出.
问 : 在 an ( x 2) n处x 1收敛, 在x 4处 ?
4.3.2 幂级数及其收敛性
方法 2. (用比值法讨论)
an1 ( x x0 ) n1 (1)计算 lim x x0 , n n a ( x x ) n 0
( 2)当 x x0 1即 x x0 当 x x0 1即 x x0 1

1

的函数项级数称为幂级数的标准形式 .
n n a x a a x a x n 0 1 n n 0

(1) (2)
a (x x )
n 0 n 0
n
a0 a1 ( x x0 ) an ( x x0 )n