第4章无穷级数3-8(函数项级数 幂级数收敛半径)

4.3.2 幂级数及其收敛性
5. 一般幂级数收敛域的求法
对于 an ( x x0 )n有两种方法求其收敛域.
n0

方法 1.
(1)令x x0 y, 得 an y n ;
n 0

(2)由标准幂级数收敛域的求法可得：
y R,同时讨论y R的情况; ( 3)再由y x x0 , 求得x满足的不等式,即为x的区域.
a n1 设 lim n a n
1 则 (1) 当 0 时, R ; (2) 当 0 时, R ;
(3) 当 时, R 0 .
4.3.2 幂级数及其收敛性 an1 (1)若 lim ( 0) 证 n an un1 an1 则 lim lim x x n un n an 则比值审敛法得：
4.3.2 幂级数及其收敛性
方法 2. (用比值法讨论)
an1 ( x x0 ) n1 (1)计算 lim x x0 , n n a ( x x ) n 0
( 2)当 x x0 1即 x x0 当 x x0 1即 x x0 1

1

则称 x0 为级数 un ( x ) 的收敛点,
n 1

n 1
函数项级数 un ( x ) 的所有收敛点的全体称为收敛域,
n1

所有发散点的全体称为发散域.
4.3.1 函数项级数
3.和函数
x 的函数s( x ) , 在收敛域上,函数项级数的和是 称 s( x ) 为函数项级数的和函数.
1
时, an ( x x0 ) n绝对收敛;
n 0


时, an ( x x0 ) n发散;
n 0
再讨论x x0 时, an ( x x0 ) n的敛散性可得所求 .

n 0
一般幂级数收敛域的求法---例题
( x 1) n 的收敛域. 例 3 求 n n 1 2 n

解 lim n an lim n , R =0,
n
n
级数只在 x 0处收敛。 n x (4) n 1 n !
1 a n 1 lim 0, R , 解 lim n n 1 n a n
收敛域( , ).
高等数学A
第4章 无 穷 级 数
4.3 幂级数
4.3.1 函数项级数 4.3.2 幂级数及其收敛半径
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
4.3 幂级数
4.3.1函数项级数 1.函数项级数的定义 2.收敛点与收敛域 收敛域 3. 和函数
1. 幂级数的定义
幂 级 数
2. 阿贝尔(Abel)定理
4.3.2 幂级数及其收敛性
(x在收敛域上) 注意: (1) 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数 项级数的收敛问题.

( 2)
n 1
函数项级数的收敛域. un ( x )的和函数的定义域是该
函数项级数 收敛域 例如, 等比级数
它的收敛域是
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ） , 或写作 x 1 .
当 x R 时,幂级数发散;
当 x R与x R 时,幂级数可能收敛也可能发散.
4.3.2 幂级数及其收敛性
3. 收敛半径与收敛域、收敛区间
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
幂级数的收敛区间 是开区间 ( R, R ), 幂级数的收敛域包括幂级数的收敛区间及端点情况.
( R, R ), [ R, R ), ( R, R],
标准幂级数收敛半径、收敛域的求法--举例
例 2 求下列幂级数的收敛半径和收敛域
x （） 1 2 n 1 n
n （ 3） ( nx ) n 1

n
(1)n 6n n （ 2） x n 2 n 1

xn (4) n 1 n !

标准幂级数收敛半径、收敛域的求法--举例
1 R . 3
1 1 n 当x 时, 原幂级数成为 [( ) 1], 发散. 3 6 n 1 1 1 当x 时, 原幂级数成为 [( ) n ( 1) n ], 发散. 3 n1 6 1 1 收敛域为( , ).
n （ 3） ( nx ) n 1
s( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) (定义域是?)
函数项级数的部分和 s n ( x ), lim sn ( x ) s( x )
余项 rn ( x ) s( x ) sn ( x )
lim rn ( x ) 0
n
n
又如, 级数
级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为
4.3.2 幂级数及其收敛性
1.定义
形如
n 0 n n a ( x x ) a a ( x x ) a ( x x ) n 0 0 1 0 n 0
的函数项级数称为幂级 数的一般形式 .
形如
n 0 n n a x a a x a x n 0 1 n
当 x 1时, lim sn ( x )不存在.
n
讨论 x n的敛散性.
n 0

n
( x 1)
1 , 当 x 1时 n 收敛于 x . 1 x n 0 当 x 1时 发散,

4.3.2 幂级数及其收敛性
2. 阿贝尔(Abel)定理

(1) 如果级数 a n x n 在 x x 0 ( x 0 0) 处收敛,则
x （） 1 2 n 1 n
解
an1 n2 lim lim 1, 2 n an n ( n 1)
收敛半径R 1.


n
1 当x 1时, 原幂级数成为 2 , 收敛. n 1 n
( 1) 当x 1时, 原幂级数成为 2 , 绝对收敛. n1 n 收敛域为[1,1].

n
标准幂级数收敛半径、收敛域的求法--举例
(1)n 6n n （ 2） x n 2 n 1

解
an1 ( 1) n1 6 n1 2n lim lim n 1 n an n 2 ( 1) n 6 n
1 ( ) n1 1 1 lim 6 3, 1 1 1 n 2 ( )n 6 6 6
n
( n 0,1,2,)
4.3.2 幂级数及其收敛性
x x x n a n x a n x0 n a n x0 M x0 x0 x0 n x 当 1时, 等比级数 M x 收敛, x0 x0 n 0
n n
n
n
n
an x 收敛, 即级数 an x n绝对收敛;
n

n 0
4.3.2 幂级数及其收敛性
求 an x n的收敛半径与收敛域的步骤 :
n0

an1 (1)计算 lim ; n an
( 2)由的值得R
1

;

( 3)由数项级数判定 x R时 an x n的敛散性得收
n0
敛域[ R, R]或[ R, R )或( R, R]或( R, R ).
n 0

几何说明 收敛区域 发散区域

R

o


R

发散区域
x
4.3.2 幂级数及其收敛性
推论
如果幂级数

n a x n 不是仅在 x 0 一点收敛,也 n 0
不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定 的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R 时,幂级数绝对收敛;
n 1
I 上的(函数项)无穷级数. 称为定义在区间
例如级数
n
n 2 x 1 x x , n 0

sn ( x ) ui ( x )为前n项的部分和 .
i 1
4.3.1 函数项级数 2.收敛点与收敛域
如果 x 0 I ,数项级数 un ( x0 ) 收敛,
3. 收敛半径与收敛域 4. 标准幂级数收敛半径的求法 5. 一般幂级数收敛域的求法
注解
演练例题
例题
内容小结与思考
4.3.1 函数项级数
1.定义
设 u1 ( x ), u2 ( x ), , un ( x ), 是定义在I R 上的 函数,则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
n 0
x 处绝对收敛; 它在满足不等式 x x 0 的一切
(2) 如果级数 a n x n 在 x x 0 处发散,则它在满
n 0
足不等式 x x 0 的一切x 处发散.
证
Байду номын сангаас
an x0 0, (1) an x0 收敛, lim n
n
n

n 0
M , 使得 an x0 M
n n 0


n 0
(2) 反设有一点x1 适合 x1 x0 使级数收敛,
由结论(1), 则级数当 x x 0 时应收敛,
与已知" x x0时发散"相矛盾.
4.3.2 幂级数及其收敛性
注意: Abel定理对标准幂级数给出.
问 : 在 an ( x 2) n处x 1收敛, 在x 4处 ?

x 2 n 1 例 4 求幂级数 n 的收敛域 . n 1 2

例3
解
方 法 一
一般幂级数收敛域的求法---例题解答 ( x 1) n 求 n 的收敛域. n 1 2 n yn 令x 1 y, 得 n , n 0 2 n an1 2n n 1 lim lim n1 , R 2. n an n 2 ( n 1) 2 1 当y 2时, 可得 发散, n 1 n ( 1) n 当y 2时, 可得 收敛. n1 n 2 y 2, 从而 2 x 1 2 1 x 3
n n a ( x x ) a X n n 0 n 0 n 0
注1 因经变换后, 幂级数(1)与(2)可相互转化, 故下
面主要讨论形式(1)的幂级数. 类似地，有幂级数的收敛域，和函数的定义。
4.3.2 幂级数及其收敛性 例1
解 sn ( x ) 1 x x 2 x n1 1 x 1 x 1 当 x 1时, lim sn ( x ) , n 1 x
当 x 1即 x 当 x 1即 x
1

1
时, an x n绝对收敛; 时, an x n发散;
n 0 n 0


1
当 x 1即 x 时, an x n可能收敛可能发散 . n 0 1 R .

4.3.2 幂级数及其收敛性
an1 ( 2)若 lim 0, n an un1 an1 则 lim lim x x 0 <1 n un n an
规定
[ R, R].
收敛域为{0};
(1) 幂级数只在x 0 处收敛, R 0,
(2) 幂级数对一切x 都收敛,R ,
收敛域( , ).
问题
如何求幂级数的收敛半径?
4.3.2 幂级数及其收敛性
4. 标准幂级数收敛半径、收敛域的求法
n a x 如果幂级数 定理2 n 的所有系数a n 0 , n 0
对一切x , an x n绝对收敛. R .
n 0
an1 ( 3)若 lim , n an un1 an1 则 lim lim x ( x 0) n un n an
则 lim un 0, 故 an x n发散. R 0. 定理证毕.
的函数项级数称为幂级 数的标准形式 .
n n a x a a x a x n 0 1 n n 0

(1) (2)
a (x x )
n 0 n 0
n
a0 a1 ( x x0 ) an ( x x0 )n
令 X x x0 , 则可将(2)化为(1)的标准形式