研究生应用数理统计参数估计
数理统计中的参数估计与置信区间估计
数理统计中的参数估计与置信区间估计数理统计是概率论、数学统计和实证研究的基础，它研究的是通过观测和实验来获取数据，从而对总体的特征进行推断和估计的方法和理论。
在数理统计中，参数估计和置信区间估计是两个重要的概念和方法，用于对总体参数进行推断和估计。
一、参数估计参数估计是指通过样本数据对总体参数进行估计的方法。
总体参数是指总体的某个特征或指标，如均值、方差等。
参数估计可以分为点估计和区间估计两种方法。
1. 点估计点估计是指使用样本数据来估计总体参数的一个具体值，这个估计值被称为点估计量。
常用的点估计量有样本均值、样本方差等。
点估计的目标是使得估计值尽量接近真实的总体参数，即具有无偏性和有效性。
无偏性是指估计值的期望等于真实参数，有效性是指估计值的方差最小。
无偏性是一个重要的性质，它保证了估计值在大样本下趋近于真实值。
有效性则是在无偏估计的前提下，使估计值的方差最小，从而提高估计的准确性。
2. 区间估计区间估计是指通过样本数据得到总体参数的一个范围，这个范围被称为置信区间。
置信区间表示了总体参数的估计精度和可信程度。
在构造置信区间时，需要指定置信水平，常用的置信水平有95%和99%等。
置信水平为95%表示在大量重复抽样中，有95%的置信区间会包含真实的总体参数。
构造置信区间的方法有很多，如正态分布的置信区间、t分布的置信区间等。
不同的方法适用于不同的总体分布和样本信息。
在实际应用中，要根据具体的问题和数据的特点选择合适的置信区间方法。
二、数理统计中的应用参数估计和置信区间估计在数理统计中有广泛的应用，可以用于推断和估计各种领域的问题。
1. 总体均值的估计当我们要估计总体的均值时，可以使用点估计和区间估计的方法。
点估计是通过样本均值来估计总体均值，区间估计则是给出总体均值的一个范围。
2. 总体比例的估计当我们要估计总体的比例时，例如某种特征在总体中出现的比例，也可以使用点估计和区间估计的方法。
点估计是通过样本比例来估计总体比例，区间估计则是给出总体比例的一个范围。
应用数理统计—参数估计
0
2
由矩法, 令
X 1 2
从中解得 ˆ 2X 1, 即为 的矩估计.
1 X
例2 设X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本，
求总体均值 与方差 2的矩估计
解： 令
X
2
1 n
n
(Xi
i 1
X )2
得 与方差 2的矩估计为
ˆ X
ˆ 2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
如果要估计的是标准差，则由
称其为基于样本(x1*,,xn*)的似然函数
这名称的意义，可根据上述分析得到理解：似
然函数对不同的(1,...,k)的取值，反映了在观察结 果(x1,...,xn)已知的条件下，(1,...,k)的各种值的“似
然程度”．
注意这里把：把观察值x1,...,xn看成结果而参数
值(1,...,k)看成是导致这结果的原因．现已有了结
固定样本观测值(x1,,xn)，将上式作为1 ,,k的函
数，得到似然函数
n
L(1, ,k ; x1, , xn ) f (xi;1, ,k ) i 1
(2) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化为求ln L( )的最大值点) ;
----- 的最大值点为 ln L( )的驻点, 不可导点, 边
数为P(X=x)=f(x; ) , x, { 可以是向量}，
则 X 的 m 阶原点矩为
m xm f (x; ) x
X的 m 阶中心矩为
vm (x 1)m f (x; ) x
总体矩的计算方法
设总体X为连续型随机变量，其概率密
度为f(x; ) { 可以是向量}，则X的m阶原点
矩为
m
xm f (x; )dx
研究生应用数理统计参数估计
为来自总体的样本，
n
试求：(1)的极大似然估计；
（2）P{X 2}的极大似然估计。
极大似然估计的优点： 利用了总体的分布函数所提供的信息； 不要求总体原点矩的存在（柯西分布） 极大似然估计的缺点： 求解似然方程困难
四、用顺序统计量估计参数
无论X服从何种分布，都可以样本中位数X作为总体均值 E(X)的估计量，以样本极差R作为总体标准差 DX的估计量。 这种估计比较粗超。
研究生应用数理统 计参数估计
一、参数估计的概念
定义：已知母体的分布，估计某个或几个未 知数字特征（参数）的问题，称为参数估 计。
二、参数估计的分类
分为点估计和区间估计；
点估计就是根据样本，估计参数为某个数 值；
区间估计就是根据样本，估计参数在一定 范围内，即一个区间；
总体分布类型已知的统计问题，称为参数 型统计问题；
定理 设X1, X 2, , X n是来自总体X ~ N (, 2 )的样本，X 是
样本中位数，则对任意x,有
lim
n
P
2n（2 X
）
x
1
2
x t2
e 2 dt
§2点估计的优良性
一、无偏性
定义1 设 ( X1, , X n )是参数的估计量。 若E ,则称是的无偏估计量；
若E ,则称(E )是估计量的偏差；
例2.1.1 设总体服从泊松分布P()，
试求的矩估计量.
解1 因为E(X)=,所以的矩估计量为X .
解2 因为D(X)=,所以的矩估计量也为
1 n
X
i
2
X .
例2.1.1 设总体服从泊松分布P()，
试求的矩估计量.
解1 因为E(X)=,所以的矩估计量为X .
应用数理统计——参数估计
这就是矩法估计的理论依据。
三、正态总体参数的区间估计 前面讨论了未知参数的点估计问题，它是用估计
量 θ 的值作为未知参数θ的估计。然而不管θ 是一 个怎样优良的估计量，它也只是一定程度的精确， 至于如何反映精确度，参数的点估计并没有回答。 由于θ 是一随机变量，需说明用θ 去估计θ的精度， 也就是要说明在一定概率意义下， 与θ的误差有 θ 多大。即确定具有特定概率意义的区间，使它以 相当大的概率包含未知参数的真值，以表明总体 参数真值所处的范围。
α
α
α
2
− uα
σ
n } = 1−α ) = 1−α
2
2
2
uα
2
σ
n
< µ < X + uα 2 < µ < x − uα 2
于是P{x − uα 2
σ
n
σ
n
例6：见教材82页例1。
(2)总体方差σ 2未知时，正态总体均值µ的区间估计
X −µ 因为若X服从N ( µ , σ )，则T = 服从t (n − 1) S n
2 2
小结：学习了
1、点估计法——矩法 2、评价估计量优劣的标准——无偏性、有效性 和一致性 3、正态总体的区间估计——均数和方差的区间估计 作业：教材98页第4题。 教材99页第10、13题。 教材100页第17、18题。
3、正态总体方差σ 的区间估计
2
因为若X服从N ( µ , σ 2 )，则χ 2 = 由附表4知P{χ12−α 2 < (n − 1) S 2
(n − 1) S 2
σ2
服从χ 2 (n − 1)
σ2
2 < χα 2 } = 1 − α
数理统计——参数估计
ˆ θ j = θ j (a1,⋯, ak ),
其中
1 n xj aj = ∑ i n i=1
j = 1,⋯, k ,
第2章 参数估计
第22页 22页
例2.1.5 设总体服从指数分布，由于EX=1/λ， 即λ =1/ EX，故λ 的矩法估计为 另外，由于Var(X)=1/λ ，其反函数为 λ = 1/ Var( X ) 因此，从替换原理来看，λ的矩法估计也可取为 s 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的， 这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采 用低阶矩给出未知参数的估计。
第2章 参数估计
2
第10页 10页
将 lnL(µ,σ ) 分别关于两个分量求偏导并令 其为0, 即得到似然方程组
∂ ln L(µ,σ 2 ) 1 n = 2 ∑ ( xi − µ ) = 0 ∂µ σ i =1 ∂ln L(µ,σ 2 ) 1 n n 2 = 4 ∑(xi − µ) − 2 = 0 2 ∂σ 2σ i=1 2σ
第2章 参数估计
第1页
第2章 参数估计
2.1 2.2 2.3 2.4 参数估计的几种方法 估计的评价标准 最小方差无偏估计 区间估计
第2章 参数估计
第2页
• 一般常用θ 表示参数，参数θ 所有可能取值
组成的集合称为参数空间，常用Θ表示。参 数估计问题就是根据样本对上述各种未知参 数作出估计。
• 参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。
第2章 参数估计
第17页 17页
矩估计法
它是基于一种简单的“替换” 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 是英国统计学家 皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
考研数学(三)考试大纲解析(概率论与数理统计 第7章 参数估计)【圣才出品】
L(x1, x2,, xn; ) maxL(x1, x2,xn; )
这样得到的
与样本值
x1,
x2
,
,
xn
有关，常记为
( x1 ,
x2
,
,
xn
)
，称为参数
的最大似然
估计值，而相应的统计量 ( X1, X 2,, X n ) 称为参数 的最大似然估计量．
3．最大似然估计值的求法
（1）在很多情形下， p(x; ) 和
(
)
三、最大似然估计法
1．似然函数
（1）离散型
若总体 X 属离散型，其分布律 P{X x} p(x; ), 的形式为已知， 为待估参数， 是 可能取值的范围，设 X1, X2,, Xn 是来自 X 的样本，则 X1, X2,, Xn 的联合分布律为
n
p(xi; )
i 1
又设 x1, x2,, xn 是相应于样本 X1, X2,, Xn 的一个样本值，易知样本 X1, X2,, Xn 取到 观察值 x1, x2,, xn 的概率，亦即事件{X1 x1, X2 x2,, Xn xn} 发生的概率为
为
n
f (xi; )dxi
i 1
n
n
其值随 的取值而变化，取 的估计值 使概率
i 1
f (xi ; )dxi.
取到最大值，但因子
dxi
i 1
n
L( ) L(x1, x2,, xn; ) f (xi; )
不随 而变，故只需考虑函数
i1
的最大
值，这里 L( )称为样本的似然函数．若
L(x1, x2,, xn; ) maxL(x1, x2,, xn; )
xl
数理统计与参数估计的研究与应用
数理统计与参数估计的研究与应用数理统计是数学和统计学的交叉学科，通过收集、整理和分析数据，研究各种随机现象的规律性。
参数估计是数理统计中的一项重要内容，它用来估计总体参数的数值。
本文将探讨数理统计与参数估计的研究与应用。
一、数理统计的基本概念数理统计是对数据进行收集、整理、处理和分析，以便进行推断、预测和决策的学科。
它包括描述统计和推断统计两个方面。
描述统计是通过统计指标对数据进行概括和描述，如均值、方差、标准差等。
推断统计是通过从样本中推断总体的特征和规律。
二、参数估计的基本原理参数估计是研究总体参数的估计方法。
总体参数是描述总体特征的数值，如总体均值、总体标准差等。
由于总体参数通常无法直接观测，需要通过样本对其进行估计。
参数估计分为点估计和区间估计两种。
1. 点估计点估计是通过样本数据得到总体参数的估计值，常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是寻找最有可能产生观测到的样本数据的参数值，使其在给定总体分布下的出现概率最大。
矩估计是通过样本矩加权平均值等方法得到总体参数的估计值。
2. 区间估计区间估计是通过样本数据得到总体参数的估计区间，常用的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是指在给定置信水平下，总体参数落在一个区间内的概率较高。
预测区间是指给定一个新的观测值，在一定置信水平下，总体参数落在一个区间内的概率较高。
三、参数估计的应用领域参数估计广泛应用于各个领域，如自然科学、社会科学、工程技术等。
以下是一些常见应用领域：1. 医学研究在医学研究中，参数估计可以用于估计疾病的发病率、死亡率、治疗效果等。
通过对大量病例进行抽样和统计分析，可以得到对整个总体的参数估计结果，为医学决策提供依据。
2. 金融领域在金融领域，参数估计可以用于估计股票的收益率、波动率、相关性等。
通过对历史数据进行分析，可以对未来的金融市场进行预测和决策，帮助投资者做出合理的投资策略。
3. 生态学研究在生态学研究中，参数估计可以用于估计物种的多样性、种群的增长率、生态系统的稳定性等。
应用数理统计与随机过程 第3章 参数估计
ˆ1 X 3U2 ,ˆ2 X 3U2 .
3.1 参数的点估计 矩估计的优点
直接，简便。 对总体的方差和均值进行估计时，并不需要知道 总体的分布。 矩估计的缺点
（1）对原点矩不存在的总体不适用。 （2）未充分利用分布信息。
的最大似然估计值.
解 概率函数
p( x ; ) x e , x 0 ,1 , 2 , .
x!
构造似然函数为
n
L( )
n
xi
(
e )
i1 xi !
xi
i1
n
en .
( xi !)
i 1
3.1 参数的点估计
取对数，得
n
L( )
xi
e i1
n
n
( xi !).
i 1
n
n
ln L( ) ( xi )ln ln( xi !) n .
i 1
i 1
由极值条件
d ln L( ) 1 n
d i1 xi n 0 .
由此解得 的最大似然估计值为
ˆ
1 n
n i 1
xi
x.
3.1 参数的点估计
例3.4 设总体 X ~ N (, 2 ), , 2为未知参数 , x1 , x2 , , xn 是来自X 的一个样本值 , 求 和 2 的最
3.1 参数的点估计
(2) 总体 X属连续型
设概率密度为 f ( x; ), 为待估参数 , , 是 可能的取值范围 .
设 x1 , x2 , , xn 为相应于样本 X1 , X 2 , , X n 的一个样本值 .
应用统计硕士《432统计学》专用教材(参数估计)【圣才出品】
圣才电子书
成立，则称
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
j j (x1, , xn )( j 1, 2, , k)
为 θj 最大似然估计量。
三、评价估计量的标准
1．无偏性
∧
∧
若估计量θ抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。即：E（θ）＝θ。
要求有：
P(ˆ1 ˆ2 ) 1
∧
∧
式中 α（0＜α＜1）是区间估计的显著性水平，1－α 称为置信度，[θ1，θ2]是置信水平
为 1－α 的置信区间。
对置信区间的理解，需要注意：
（1）如果用某种方法构造的所有区间中有 95%的区间包含总体参数的真值，5%的区
间不包含总体参数的真值，那么，用该方法构造的区间称为置信水平为 95%的置信区间。
（2）总体参数的真值是固定的、未知的，置信区间是一个随机区间，它会因样本的不
5 / 13
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
同而不同，而且不是所有的区间都包含总体参数的真值。 （3）在实际问题中，进行估计时往往只抽取一个样本，此时所构造的是与该样本相联
总体 X 的概率密度函数为
f
x
x 2
ex
x0
0 其它
0＜θ＜∞，求参数 θ 的最大似然估计量和估计值。
解：构造似然函数：
n
L( ) f
i 1
xi
n
xi
2
e
xi
i 1
1
1
n i1
xi
n
e x 2n
i
i 1
对数似然函数：
研究生应用数理统计简述题及答案
研究生应用数理统计简述题及答案1.参数的点估计的类型、方法、评价方法。
（1）点估计（2）区间估计点估计法：a ，矩估计法。
基本思想：由于样品来源于总体，样品矩在一定程度上反映了总体矩，而且由于大数定律可知，样品矩依概率收敛于总体矩。
因此，只要总体x 的k 阶原点矩存在，就可以用样本矩作为相应总体矩的估计量，用样本矩的函数作为总体矩的函数的估计量。
b ，极大似然估计法。
基本思想：设总体分布的函数形式已知，但有未知参数θ,θ可以取很多值，有θ的一切可能取值中选一个使样品观测值出现概率最大的值作为θ的估计量，记作θ，并称为θ的极大似然估计值，这叫极大似然估计法。
2.方差分析的目的及思想（结合单因素）。
目的：通过分析，判定某一因子是否显著，当因子显著时，我们可以绘出每一水平下指标均值的估计，以便找出最好的水平。
方差分析是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验。
思想：检验1μ=2μ=… …γμ是通过方差的比较来确定的，即要考虑均值之间的差异，差异产生来自两个方面，一是由因数中不同水平造成的，称为系统性差异；二是由随机性产生的差异。
两方面的差异用两个方差来计量，一个称水平之间的方差（既包括系统因数，又包括随机性因数）；一个称为水平内部方差（仅包括随机因数）。
如果不同的水平对结果没有影响，两个方差的比值会接近于1；反之，则两个方差的比值会显著地大于1很多，认为HO 不真，可作出判断，说明不同水平之间存在着显著性差异。
如果方差分析只对一个因数进行单因数方差分析,单因数方差分析所讨论的是在一个总体标准差皆相等的条件下，解决一个总体平均数是否相等的问题。
5.简述正交实验设计中的数据分析方法方法：极差分析法和方差分析法。
极差分析法步骤：（1）定指标，确定因数，选水平（2）选用适当的正交表，表头设计，确定实验方案；（3）严格按要求做实验，并记录实验结果；（4）计算i 个因数的每个水平的实验结果和极差（同一因数不同水平的差异），其反映了该因数对实验结果的影响大小；（5）按级差大小排列因数主次；（6）选取较优生产条件（7）进行实验性试验，做进一步分析。
应用数理统计第二章参数估计(3)区间估计
例1 有一大批月饼，现从中随机地取16袋，称得重量（以克 计）如下：506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 ，设袋装月饼的重量近似地服从正态 分布，试求总体均值的置信度为0.95的置信区间。 解： 2未知, 1-=0.95, /2=0.025,n-1=15, t0.975 (15) 2.1315 由已知的数据算得 x 503.75, S* 6.2022
n1 (n2 1) S12 12 n1 (n2 1) S12 P F (n 1, n1 1) 2 F (n 1, n1 1) 1 2 /2 2 2 1 / 2 2 2 n2 (n1 1) S2 n2 (n1 1) S2
10
得所求的标准差的置信区间为 (4.58, 9.60)
2.4.3 两个正态总体参数的区间估计
在实际中常遇到下面的问题：已知产品的某一质量指标 服从正态分布，但由于原料、设备条件、操作人员不同，或 工艺过程的改变等因素，引起总体均值、总体方差有所改变, 我们需要知道这些变化有多大，这就需要考虑两个正态总体 均值差或方差比的估计问题。
ˆ a ˆ b} {g(a) T ( X , X ,..., X ; ) g(b)} { 1 2 n
其中g ( x )为可逆的已知函数， T ( X 1 , X 2 ,..., X n ; 况
设总体X~N(,2),X1, X2, …,Xn是总体X的样本，求,2 /2 /2 的置信水平为(1)的置信区间.
求得 的置信水平为(1)的置信区间: ( 2未知)
S S* t1 2 (n 1) or X t1 2 (n 1) X n1 n
[理学]研究生应用数理统计pdf课件第1章
![[理学]研究生应用数理统计pdf课件第1章](https://img.taocdn.com/s3/m/603deedb0408763231126edb6f1aff00bed570ce.png)
19 24 27 32
60
(3). 茎叶图 (Stemplot)
60 5+ 6 5 4+ 6 4 04 3+ 7 3 00011334 2+ 5 5 5 5 6 6 7 7 7 9 9 9 9 2 223333444 1+ 9
1. 分类变量的图表示
分类变量(Categorical Variable) 主要指 这种变量的各个取值没有大小、顺序的区别， 不能做数学运算。
如：性别变量、属性变量等
主要有饼图、条形图两种表示方法
例1.1.1 马萨诸塞州犯罪情况(1993年)
马萨诸塞州地方犯罪情况
33%
无新罪 新罪
67%
马萨诸塞州地方犯罪情况
参数估计 数理统计学最重要的内容之一 利用样本观察值去估计出总体的未知参数
直观上可以利用调查到的 n 个学生的月支出
x1 ,x2 ,…,xn 的算术平均 ：
∑ x
=
1 n
n k =1
xk
去估计这所学校学生的平均月支出费用 µ 。
它的合理性在哪？ 还有没有其它的办法？ 这些不同的方法各有什么样的优缺点？
统计学的目的就是从样本去得出总体的信息。
总体
……..
样本
被研究的对象全体
具有代表性的 部分个体
定义1.1.1 X 是具有分布函数 F 的一个随机变量， 如果 X1，X2 ，…，Xn 是有同一分布函数 F 的 相互独立的随机变量，则称：
X1，X2 ，…，Xn 是从总体 F ( 总体 X ) 中得到 的容量为 n 的简单随机样本，简称为 样本。
Fn (x) =
0，
—k ， n 1，
应用数理统计(武汉理工大)2-参数估计
1
D(S 2 )nI (
2)
n 1 n
1,
n
故S 2是渐进有效的。
第二章 参数估计
例： 设总体X （）, X1, X 2 , , X n是X的一个样本， 讨论的无偏估计X的有效性。
解：lnp( X
,)
ln
X e
X!
X
ln
ln( X
!)
区间估计的关键: 用合适的方法确定两个统计量
1(X1, X2 , , Xn)， 2(X1, X2 , , Xn)
第二章 参数估计
1.区间估计的定义及计算步骤
3) 区间估计的例子
例1 设总体X~N(μ , σ2), σ2已知，μ未知，设X1,…,Xn是X的样本， 求μ的置信度为1-α的置信区间。
)
2
n
,
D(ˆ2 )
D(nZ )
n2D(Z )
n2
n
2
2
当n 1时，显然D(ˆ1) D(ˆ2 ),故ˆ1比ˆ2有效。
第二章 参数估计
最小方差无偏估计问题 设 若 及T对 任(g意X(1, ， X)的2都,任有一 , XD无n()T是 偏) g估(D计()T的量')一， T '个 ( X无1, X偏2估 , 计, X量n )， 则 无称 偏T估(计X1，, X或2 ,者,称X为n )是最g优(无)的偏一估致计最。小方差
其它类型的估计,如 贝叶斯估计…
第二章 参数估计
2.1参数的点估计
1. 矩估计 2. 极大似然估计 3. 点估计量的评价
考研数理统计公式
考研数理统计公式数理统计是一个应用广泛的数学分支，运用概率论和数理统计的理论和方法，对各种现实问题进行分析和解决。
在考研数理统计中，常见的数理统计公式包括概率论中的基本概念和公式、随机变量的概率分布、参数估计、假设检验等内容。
下面将从这几个方面介绍常见的考研数理统计公式。
1.概率论的基本概念和公式（1）事件的概率公式：对于事件A，它的概率可以表示为：P(A)=N(A)/N，其中N(A)表示事件A的样本空间中的元素个数，N表示样本空间中元素的总个数。
（2）互斥事件的概率公式：对于互斥事件A和B，它们的并集概率可以表示为：P(A∪B)=P(A)+P(B)。
（3）条件概率公式：对于事件A和B，它们的条件概率可以表示为：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
（4）全概率公式：设B1，B2，...，Bn是样本空间的一个划分，即B1∪B2∪...∪Bn=S，其中B1，B2，...，Bn两两互斥，且P(Bi)>0。
对于任意事件A，有：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)。
2.随机变量的概率分布（1）离散型随机变量的概率质量函数：设随机变量 X 取值为 x1，x2，...，xn，相应的概率为 P(X=xi)，则称 P(X=xi) 为 X 的概率质量函数。
（2）连续型随机变量的概率密度函数：设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，则对于任意实数 x，有P(a≤X≤b) = ∫[a,b]f(x)dx。
（3）随机变量的数学期望：对于离散型随机变量 X，其数学期望可以表示为E(X) = ∑xiP(X=xi)；对于连续型随机变量 X，其数学期望可以表示为E(X) = ∫xf(x)dx。
（4）随机变量的方差：随机变量 X 的方差可以表示为 Var(X) =E(X^2) - [E(X)]^23.参数估计（1）点估计：点估计是利用样本数据得出参数的一个估计值，常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
应用数理统计第二章参数估计(1)点估计
（1）方法基于n趋于无穷大时的情形； （2）只用到了总体的数字特征的信息，而分布形
0, lim P{| n
Xn
X
|
} 1
还有依分布F收敛 Xn W X , （弱收敛） 以概率1收敛一定依概率收敛，但反之不一定成
立。
6
若 E( X k ) ak（X的k阶矩存在），也有
1
n
n i1
X
k i
a.e.
ak
亦即，当n较大时，样本原点矩与总体矩非常接
近。据此可得：
矩估计法：若总体X中含有m个参数
解
a1 E( X ) 1
a2 E(X 2)
2
2
D( X
, )
[E(
X
)]2
( 2
1
12
)2
(1
2 )2
4
由矩估计法,得
ˆ1 A1 3( A2 A12 )
ˆ2 A1 3( A2 A12 )
ˆ1 X 3S , ˆ2 X 3S
10
➢【例2.4】 贝努利试验
(1)若总体X~b(1, p), 则未知参数 p 的矩估计量为
22
§2．2 估计量的评价准则
由例2.3和例2.10的结果看出，对均匀分布 总体参数的估计不一样，哪个好？
aˆ X bˆ X
3 n ( X X )2 ,
n
i 1
3 n ( X X )2
应用数理统计吴翊李永乐第二章-参数估计课后习题参考答案
《应用数理统计》吴翊李永乐第二章-参数估计课后习题参考答案(总19页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二章 参数估计课后习题参考答案设总体X 服从二项分布()n X X X p p N B ,,,,11,,21 <<为其子样，求N 及p 的矩法估计。
解：()()()p Np X D Np X E -==1,令()⎪⎩⎪⎨⎧-==p Np S Np X 12 解上述关于N 、p 的方程得：对容量为n 的子样，对密度函数22(),0(;)0,0x x f x x x ααααα⎧-⎪=⎨⎪≤≥⎩其中参数α的矩法估计。
解：122()()a E x xx dx ααα==-⎰2222()x x dx ααα=-⎰2321221333ααααααα=-=-= 所以 133a x α∧== 其中121,21(),,,n n x x x x x x x n=+++为n 个样本的观察值。
使用一测量仪器对同一值进行了12次独立测量，其结果为(单位：mm) ，，，，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-==X S p S X X p X N 2221ˆˆˆ，，，，，试用矩法估计测量的真值和方差(设仪器无系统差)。
解：()()()∑∑====-====ni ini i S XX nX D X X n X E 12210255.014025.2321设子样，，，，，是来自具有密度函数()10,1,<<=βββx f 的总体，试用矩法估计总体均值、总体方差及参数β。
解：()()()()4.22ˆ2,1,407.012.1101221========-===⎰⎰∑∑==X Xdx xdx x xf X E x f XX n S X n X ni i ni i ββββββββ参数：总体方差：总体均值：设n X X X ,,,21 为()1N ，μ的一个字样，求参数μ的MLE ；又若总体为()21N σ，的MLE 。
研究生医学统计学-参数估计
统计推断 如：总体均数 总体标准差 总体率 如：样本均数
x
样本标准差 S 样本率 P
统计推断：抽样研究中用样本统 计量来推论总体参数的过程。
– 参数估计: 用样本统计量来估计总体参数 （总体均数和总体概率）的大小。
– 假设检验：又称显著性检验，方法：均数z 检验 、t 检验、方差分析，2检验、秩和检 验等.
31.0~
34.0~ 40.0~ 合计
5
3 2 100
5.0
3.0 2.0 100.0
• 频率的抽样误差：样本频率与样本频率之间 或样本频率与总体概率之间的差异。
• 频率的标准误：即样本频率的标准差，表示 频率的抽样误差的指标
若X服从二项分布B(n,)
样本频率为 样本频率p的总体均数为 p=π， (1 ) 2 样本频率p的总体方差为 p n 样本频率p的标准差（率的标准误）
x
图d（n=30)
n=50 PERCENT 30
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 mm MIDPOINT
15 36 57 77 98 19
哈尔滨工业大学本科考研应用统计学848-5参数估计
哈尔滨工业大学管理学院
38-1
§5.1 参数估计原理
一 总体参数的估计类型 □ 点估计
□ 区间估计
哈尔滨工业大学管理学院
38-2
二 估计量优劣的评价标准
□ 无偏性
如果估计量θ存在，且
，则称 是 θ的无偏估计量。
□ 有效性
若 与 都是θ的无偏估计，且
则称 比 有效。
□ 一致性
设 是θ的估计量，若当n→∞ 时， 依概 率收敛于θ，则称 为θ的一致估计量。
估计两条航线平均正点起飞时间之差的95％的置信区间。
哈尔滨工业大学管理学院
38-23
已知：
因为两个样本都是大样本，可以选择的统计量：
则μ1-μ2置信区间：
两条航线平均正点起飞时间之差的95％的置信区间为-0.9至2.3分钟。
哈尔滨工业大学管理学院
38-24
三、总体成数的区间估计
（一）单一总体成数的区间估计——只限于大样本情况 严格地说样本成数的分布属于 B(n,p) ，但这时计算起来非常复杂。
如：在n次试验中成功r次的概率等于 ，计算量较大。所以当样本容量较大时，可以把二项分布近似地看作正态分 布。
＜条件＞ n≥30; np与1-p)≥5
哈尔滨工业大学管理学院
38-25
置信区间为： 这里P未知，只能以样本估计值 代替。有：
哈尔滨工业大学管理学院
38-26
例5：
某公司欲出台一项政策，想预先听一下群众反映，该公司随机抽取75人，有40 ％的人表示支持。问在99％的置信度下，该公司职工支持这项政策的置信区
哈尔滨工业大学管理学院
38-34
解：因未知,需根据经验估计。1000户居民收入约占 95.45%，即4 σ。则
数理统计参数估计
数理统计参数估计数理统计是一门研究如何通过样本数据对总体特征进行推断的学科，它重点研究如何用样本数据估计总体参数。
参数估计是统计推断中的一个重要问题，通过寻找一个适当的函数来估计总体参数，以使得估计值尽可能地接近总体参数的真值。
在参数估计中，常用的方法有矩估计法、最大似然估计法和贝叶斯估计法等。
矩估计法是一种重要的参数估计方法。
它首先通过以一定的形式来给出样本矩与总体矩之间的关系，然后利用样本矩与样本矩的代数方程得到参数的估计值。
具体而言，设总体的概率密度函数为$f(x;\theta_1,\theta_2,...,\theta_k)$，其中$\theta_1,\theta_2,...,\theta_k$为待估参数，样本$x_1,x_2,...,x_n$满足总体分布，其期望为$$\mu_k = E(x_k) = \int x_kf(x;\theta_1,\theta_2,...,\theta_k)dx, \quad k = 1,2,...,k.$$由于总体的概率密度函数未知，因此用样本的矩，即原点矩来近似总体的矩。
样本原点矩的估计值为$$\overline{\mu_k} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{ik}, \quad k = 1,2,...,k.$$于是我们可以列出一组关于待估参数$\theta_1,\theta_2,...,\theta_k$的方程$$\begin{cases}\overline{\mu_1} = \mu_1(\theta_1,\theta_2,...,\theta_k)\\ \overline{\mu_2} = \mu_2(\theta_1,\theta_2,...,\theta_k)\\ ...\\\overline{\mu_k} = \mu_k(\theta_1,\theta_2,...,\theta_k)\end{cases}$$解此方程组即可得到待估参数的估计值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
•3.有效估计
•注：有效估计一定是UMVUE,而UMVUE不一定是有
效估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
§4 Bayes估计
研究生应用数理统计参数估计
研究生应用数理统计参 数估计
PPT文档演模板
2020/11/30
研究生应用数理统计参数估计
一、参数估计的概念
定义：已知母体的分布，估计某个或几个未 知数字特征（参数）的问题，称为参数估 计。
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
二、参数估计的分类
n 分为点估计和区间估计；
n 点估计就是根据样本，估计参数为某个数 值；
n 只利用总体信息和样本信息的统计学称为 经典统计学
n 除了利用总体信息和样本信息外，还利用 先验信息的统计学称为Bayes统计学
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
一、先验分布与后验分布
n Bayes公式
•全概率公式
•Bayes公式
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
红
黄
蓝
白
金盒
研究生应用数理统计参数估计
三、极大似然法
•“概率最大事件，最可能出现” •参数的哪个值使观察结果出现的概率最大，就应取这个值 作为参数的估计值。
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
X
0
1
2
3
P
2
2(1-) 2
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
§2点估计的优良性
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
一、无偏性
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
二、有效性
•1.有效性
•注：方差越小越好。那么是否有下界？
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
二、矩估计法
•
设 r.v.序列
•相
•互独立具有相同的分布，且
•则
•有Βιβλιοθήκη PPT文档演模板研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
求估计量的步骤： 1.求出母体的前k阶矩
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
1-2
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
•四、用顺序统计量估计参数
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
•2.一致最小方差无偏估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
定理 2.2.1(Rao-Cramer不等式)
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
二、 Bayes估计
1.最大后验估计----取使得后验密度函数达到最大值
的 值为待估参数的估计值，称为贝叶斯最大后验估计。
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
2.期望型估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
3.先验分布的选取
• 客观性 • 主观性 • 等同无知性原则 • 共轭先验分布
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
3rew
演讲完毕，谢谢听讲!
再见，see you again
PPT文档演模板
2020/11/30
研究生应用数理统计参数估计
n 区间估计就是根据样本，估计参数在一定 范围内，即一个区间；
n 总体分布类型已知的统计问题，称为参数 型统计问题；
n 总体分布类型未知的统计问题，称为非参 数型统计问题；
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
§1点估计
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
70
20
8
2
银盒
10
75
3
12
铜盒
5
12
80
3
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计
PPT文档演模板
研究生应用数理统计参数估计