1.2-二次函数的图像(2)

y 1 x 22
2
y 1 x 22
2
x
… -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y 1 x2 …
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
…
2
y 1 x 22 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
…
2
y 1 x 22
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?
1.若抛物线y=2(x-m)m2 4m 3的顶点在x轴正
半轴上,则m的值为( A )
A.m=5
B.m=-1
C.m=5或m=-1
D.m=-5
2、二次函数 y 3(x 2)2 图像的对称轴是（ A ）
移 1 个单位得到的，平称后的抛物线对称轴
是 直线x=1 ，顶点坐标是 (1,0) ，当x= 1 时，
y有最 大 值，其值是 0 。
灵活变通
若二次函数 y 1 x2 经过平移变换后顶点坐标为
(-2,3)
2
,则平移后的函数解析式为
y
1 (x 2)2 2
. 3
在平面直角坐标系中，如果抛物线 y 2x2 不动,
y 1 x 2 y 1 (x 2)2
2
2
观察三条抛物线的相
互关系,并分别指出
y 1 (x 2)2
2y
y 1x22 2
6
y 1x22
5
2
4
y 1x2
2
3
2
1
-8
-6
-4
-2 B
-1
-2
-3
-4
2
4
6
它们的开口方向,对
称轴及顶点.
y 1 (x 2)2 向左平移
2
2个单位
x y 1 x 2 -2向右平移2y 1 (x 2)2
2
注意观察取值
用描点法，在同一直角坐标系中作出下列二次函数的图象
x
… -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y 1 x2
…
2
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
…
y 1 x 22 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
…
2
y 1 x 22
2
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
新浙教版数学九年级（上）
1.2 二次函数的图像(2)
1. 二次函数的图像都是抛物线.
2. 抛物线y=ax2的图像性质:
(1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.(0,0)
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点 是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是
y
a>0
抛物线的最高点;
(3)顶点是(m,0).
-5-4-3-2-1-1o1 2 3 4 5 x
-2 -3
y 1 (x 1)2 2
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
抛物线y=a(x－m)2可以由抛物线y=ax2向左或向
右平移|m|得到. (m>0,向右平移;m<0向左平移.)
二次函数y=a(x-m)2的性质
y＝a(x-m)2
. . . . . . y 1 x2
y 1 x 22
2
2
. . . . . y 1 x 22 2 .. ... ..
开口方向、抛物线形状不变
对称轴和顶点改变
y 1 x2
y 1 x 22
2
y 1 x 22
2
2
. . . .y . .
.. .. . .. ... ..
在同一坐标系中作出下列二次函数:
2 2个单位 2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)向2个右单平位移
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移 对称轴:y轴 2个单位 即直线:x=0
向右平移 2个单位
直线x=2
一般地,抛物线y=a(x－m)2有如下性质:
(1)当a>0时, 开口向上;
1y
当a<0时,开口向下; (2)对称轴是直线x=m;
A. (m，n)
B. (m，-n)
C. (m，n)
D. (m，-n)
3. 抛物线 y 5(x m n)2 n m 的对称
轴 直线x=n-m.
7.要修建一个圆形喷水池,在池中心
竖直安装一根水管.在水管的顶端安
装一个喷水头,使喷出的抛物线形水
柱在与池中心的水平距离为1m处达
到最高,高度为3m,水柱落地处离池
而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在
新坐标系下抛物线的解析式是 y 2(x 2)2 .2
1.对称轴是直线x=-2的抛物线是( C ) 牛刀小试
A. y 2x2 2 B. y 2x2 2
C.
y
1 (x 2)2 2
2
D. y 5(x 2)2 6
2.抛物线 y 2(x m)2 n 的顶点坐标是( C )
中心3m,水管应多长?
解:如图建立直角坐标系, 点(1,3) y 是图中这段抛物线的顶点.因此可 3
B(1，3)
设这段抛物线对应的函数是
A
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) 2
∵这段抛物线经过点(3,0)
∴
0=a(3－1)2＋3
解得:
a=－
3 4
1
因此抛物线的解析式为:
y=－43 (x－1)2＋3 (0≤x≤3) O 1 2
3
就能得到函数 y 1 (x 4)2 的图象。
3
2)说出函数 y 1 (x 4)2 的图象的顶点坐标 和对
3
称轴。
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y = 2(x+3)2 y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2
向上 向下 向下
直线x=-3 直线x=1
直线x=3
( -3 , 0 ) (1,0) ( 3, 0)
（m，k）
直线x=m
y=a(x-m)2+k(a<0)
（m，k） 直线x=mBiblioteka Baidu
位置
由m和k的符号确定
由m和k的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=m时,最小值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
用描点法在同一直角坐标系中画出函数 y 1 x2
2
y 1 (x 2) 2 ，
2
y 1 (x 2)2 3 2
的图象 .
(1)抛物线
的开口方向、对称轴、
顶点? (2)抛物线
有什么关系?
一般地,抛物线y=a(x－m)2＋k与y=ax2形状
相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)
顶点坐标是 __(m __,_k__)___。
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2
向上 直线x=－3 (－3, 5) 向下 直线x=1 ( 1 , －2)
y = 4(x－3)2＋7 向上 直线x=3 ( 3 , 7)
y=－5(2－x)2－6 向下 直线x=2 ( 2 , －6 )
（A）直线x=2 （B）直线x=-2
（C）y轴
（D）x轴
3、将抛物线 y 3x 2 向左平移3个单位所得的抛
物线的函数关系式为（ D ）
A、 y 3x 2 3 B、 y 3(x 3)2
C、y 3x 2 3 D、y 3(x 3)2
4、抛物线 y (x 1)2 是由抛物线 y=-X2 向 右 平
a>0
最值
当x=m时, 最小值为0.
开口方向 开口向上
a<0
当x=m时, 最大值为0.
开口向下
对称轴 顶点坐标
直线x=m
（m，0)
顶点是最低点
顶点是最高点
增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
例2 对于二次函数请 y 1 (x 4)2 回答下列问题：
3
1)把函数 y 1 x2 的图象作怎样的平移变换，
在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为
（1，-4）。且过点B（3，0）。 （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使 平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移 后所得图象与x轴的另一个交点的坐标。
平移,可以得到抛物线y=a(x －m)2＋k.平移的方
向、距离要根据m、k的值来决定.
平移方法:
y=ax2移向|左m(|右个)平单y=a(x－m)移2向|上k|(个下单)平位y=a(x－m)2+k
位
y=ax2向上(下)平 y=ax2+k 移|k|个单位
向左(右)平 移|m|个单
y=a(x－m)2+k
当x=m时,最大值为k.
左加右减 上加下减
y ax 2 当m>0时,向右平移 当m<0时,向左平移
y a(x m)2
当k< ０时 向下 平移
当k> ０时 向上 平移
y a(x m)2 k
顶点坐标： （０，０）
（m,0)
(m,k)
y a(x m)2 k的图象：
对称轴是 _直__线__x_=_m ______，
|a|越大,抛物线的开口越小; |a|越小,抛物线的开口越大;
o
x
(3) a>0时, 在对称轴左侧,y随x的增大
而减小,在对称轴右侧,y随x增大而增大;
a<0
a<0时, 在对称轴左侧,y随x的增大而增
大,在对称轴右侧,y随x增大而减少;
用描点法，在同一直角坐标系中作出下列二次函数 的图象
y 1 x2 2
当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
C(3,0)
3x
拓展提高
1、将抛物线 y ax2向左平移后，所得
新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物 线经过点(1，3)，求a的值。
2、将抛物线 y 2 x2 左右平移，使得
它与x轴相交于点A，与y轴相交于点B。 若△ABO的面积为8，求平移后的抛物 线的解析式。
位 抛物线y=a(x－m)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是直线x=m;
(3)顶点是(m,k).
二次函数y=a(x-m)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴
y=a(x-m)2+k(a>0)