1.2-二次函数的图像(2)

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九年级数学上二次函数1.2二次函数的图象3二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象浙教

九年级数学上二次函数1.2二次函数的图象3二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象浙教
0),∴线段AB上整点的个数为3.
②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所 围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合 函数的图象,求m的取值范围.
解:如图,假设点 A 在点 B 的左边.抛物线在点 A, B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内(包括边界) 恰有 6 个整点,∴点 A 的横坐标在-1 与-2 之间(含 -1,不含-2),当抛物线经过点(-1,0)时,m=14, 当抛物线经过点(-2,0)时,m=19, ∴m 的取值范围为19<m≤14.
A.①④ B.②④ C.②③ D.①②③④
9.【中考·湖州】已知a,b是非零实数,|a|>|b|, 在同一平面直角坐标系中,二次函数y1=ax2 +bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能 是( )
【点拨】由yy==aaxx2++bbx,解得xy==0-ba,或xy==a1+,b. 故二次函数 y1=ax2+bx 与一次函数 y2=ax+b(a≠0)在同一 平面直角坐标系中图象的交点为-ba,0,(1,a+b). 在 A 中,由一次函数图象可知 a>0,b>0;由二次函数图 象可知 a>0,b>0,则 a+b>0,不符合题意.
12.【中考·宁波】如图,已知抛物线y=-x2+mx+3 与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐 标为(3,0).
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标; 解:把点B的坐标(3,0)代入y=-x2+ mx+3得0=-32+3m+3,解得m= 2, ∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,当PA+PC的值最小 时,求点P的坐标.
A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
2.【中考·眉山】若抛物线y=x2-2x+3不动,将平

湘教版九年级数学下册:1.2 二次函数的图象与性质课件 (共26张PPT)

湘教版九年级数学下册:1.2 二次函数的图象与性质课件 (共26张PPT)

情境引入
市场调查得出某商品现在的利润y(元)与售 价x(元)满足函数关系式如下:
y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
若我们想直观的了解利润y与售价x之间的变化 情况以及最大利润情况,我们还需对该函数做哪些 研究呢?
二次函数y=ax2的图象和性质
教学目标
1、让学生经历描点法画函数图象的过程; 2、让学生学会观察、思考、概括函数图象的性质; 3、掌握y=ax2型二次函数图像及其性质。
2
当x=0时,最大值为0. 越大a .,开口越小.
抛物线
y=ax2 (a>0)
y= ax2 (a<0)
顶点坐标
(0,0)
(0,0)
对称轴
y轴(直线x=0) y轴(直线x=0)
位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向
向上
向下
增减性 x<0时,y随着x的增大而减小. X<0时,y随着x的增大而增大.
X>0时, y随着x的增大而增大. X>0时, y随着x的增大而减小.
最值
当x=0时,最小值为0.
开口大小
aa 越大,开口越小.
当x=0时,最大值为0.
aa .越大,开口越小.
(答对的也加分哦)
1、函数y=5x2的图象的开口 向上 ,对称轴 是 y轴 ,顶点是(0,0) ;在对称轴的左 侧,y随x的增大而 减小 ,在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 ;
(答对的加3分哦)
71、.若若mm>0>,0,点点(m(m+1+,1,y1y)、1)、(m(m+2+,2,y2y)、2)、
(m+3,y3)在抛物线

第1章 二次函数

第1章  二次函数

州省境内,FAST是目前世界上口径最大,精度最高的望远镜,
用来探测来自太空的无线电波.根据有关资料显示,该望远
(1)
镜的轴截面呈抛物线状,口径AB为500米,最低点C到口径面
AB的距离是100米,若建立如图(2)所示的平面直角坐标系,
则抛物线的表达式就是y=
1 625
x2-100.
(2)
知识点 二次函数y=ax2+k的图象和性质
4
知识点 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
知识点 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
2019年国际泳联世锦赛,跳水赛场依然是中国最稳定的夺金点, 中国跳水队获得全部13枚金牌中的12枚,中国跳水“梦之队” 以如此耀眼的成绩收官,创造了世锦赛参赛历史上的最佳战绩.
知识点 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
知识点 用待定系数法求二次函数表达式
用待定系数法确定表达式的一般步骤: (1)确定函数表达式的形式; (2)把已知图象上的点(自变量与函数的对应值)代入函数表达式,得到关于待 定系数的方程或方程组; (3)解方程或方程组,确定待定系数的值,从而确定表达式.
第1章 二次函数
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
8 后的最大高度为BC=2.5 m,若小亮要在篮球下落过程中接到球,我们就可以 求出小亮离小明的最短距离OB.这样能够提高运动员的训练成绩.
知识点二次函数与一元二次方程的关系
抛物线 y =ax2+bx+c与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0),则抛物线的对称轴为
√ x= x1+x2 2
,且满足x1+x2=-,x1·x2=,两交点间的距离AB=|x1-x2|=

二次函数的图像与性质-完整版课件

二次函数的图像与性质-完整版课件

二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$($a neq 0$)的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时,二次函数与 $x$ 轴有两个交点;当 $Delta = 0$ 时,有 一个交点;当 $Delta < 0$ 时,没有交点。
• 分析:根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$,代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上,所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2:已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点,且这两点关于原点对称,求二次函数的解析式。 • 分析:根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$,由于两点关于原点对称,所以有$x_1 = -x_2$和
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人:XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x),若存在x0∈D, 使得f(x0)=0,则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时,二次函数有两个 不相等的零点;当Δ=0时,二 次函数有两个相等的零点(即 一个重根);当Δ<0时,二次 函数无零点。

【练习】1.2 二次函数的图像 第2课时 二次函数y=a(x+m)2+k(a≠0)的图象及其特征

【练习】1.2 二次函数的图像 第2课时 二次函数y=a(x+m)2+k(a≠0)的图象及其特征
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图像
第2课时 二次函数y=a(x+m)2+k(a≠0)的 图象及其特征
浙教版·九年级上册
1. (3分)一次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可能是( D )
2.(3分)对于抛物线y=- ①抛物线的开口向下; ③顶点坐标为(-1,3); 其中正确的结论有( C ) A.1个
轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(1,0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式;
解:二次函数的表达式为y=(x-2)2-1,一次函数的表达式为y=x-1. (2)根据图象,直接写出满足kx+b≥(x-2)2+m的x的取值范围.
解:1≤,两个二次函数的图象关于y轴对称,我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二
y= (x-4) -1 个二函数的表达式为___ .
2
1 4
9.(9分)下列抛物线可由怎样的抛物线y=ax2(a≠0),经过怎样的平移得到? (1)y=-
(2)y=-(x+ 3)2-5; (3)y=3(x- 1 )2+ 3
2
1 (x-4)2; 3
4
.
1 1 解:(1)y=- (x-4)2 可由抛物线 y=- x2 向右平移 4 个单位得到. 3 3 (2)y=-(x+ 3)2 -5 可由抛物线 y=-x2 先向左平移 3个单位,再向下平移 5 个单位 得到. 1 2 3 1 3 2 (3)y=3(x- ) + 可由抛物线 y=3x 先向右平移 个单位,再向上平移 个单位得到. 2 4 2 4
y=-8(x- )2+3 2
14. (7分)对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G,给出如下定义:在图形G上若存在两点M,N,使 △PMN为正三角形,则称图形G为点P的T型线,点P为图形G的T型点,△PMN为图形G关于点P的T型三角 形.若H(0,-2)是抛物线y=x2+n的T型点,则n的取值范围是

第1讲 二次函数的图像及性质

第1讲 二次函数的图像及性质

第1讲二次函数的图形及性质题型1:二次函数的概念1.下列函数表达式中,一定为二次函数的是()A.y=5x−1B.y=ax2+bx+c C.y=3x2+1D.y=x2+1x题型2:利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数,则m的值为()A.−1B.3C.−1或3D.0题型3:二次函数的一般形式3.二次函数y=2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是()A.2、0、﹣3B.2、﹣3、0C.2、3、0D.2、0、3A.2B.﹣2C.﹣1D.﹣4题型4:根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm,设一边长为xcm,面积为y cm2,那么y与x的关系式是【变式4-1】如图,用长为20米的篱笆(AB+BC+CD=20),一边利用墙(墙足够长),围成一个长方形花圃.设花圃的宽AB为x米,围成的花圃面积为y米2,则y关于x的函数关系式是.【变式4-2】某商品的进价为每件20元,现在的售价为每件40元,每星期可卖出200件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出5件.则每星期售出商品的利润y (单位:元)与每件涨价x(单位:元)之间的函数关系式是()A.y=(200﹣5x)(40﹣20+x)B.y=(200+5x)(40﹣20﹣x)C.y=200(40﹣20﹣x)D.y=200﹣5x题型5:自变量的取值范围5..若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数,则a的取值范围是()A.a≠2B.a>0C.a>2D.a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是()x−1A.x≥−2B.−2≤x<1C.x>1D.x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数,则m=,其中自变量x的取值范围是.22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0)的图象,如图,它是一条关于y轴对称的曲线,这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象时,应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值,然后计算出对应的y 值,这样的对应值选取越密集,描出的图象越准确.注意:用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象,该图象是轴对称图形,对称轴是y 轴.画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.题型1:利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中,画出函数y =2x 2的图象(取值、描点、连线、画图).【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中,画出函数y =2x 2,y =x 2,y =﹣2x 2与y =﹣x 2的图象.x y =2x 2 y =x 2 y =﹣2x 2 y =﹣x 2x ya>0a<0题型2:二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1=2x2,y2=﹣2x2,y3=x2的图象,正确的是()A.B.C.D.【变式2-1】下列图象中,是二次函数y=x2的图象的是()A.B.C.D.【变式2-2】如图,在同一平面直角坐标系中,作出函数①y=3x2;②y=;③y=x2的图象,则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是()A.①②③B.①③②C.②③①D.③②①题型3:二次函数y=ax2的性质3.抛物线y=﹣3x2的顶点坐标为()A.(0,0)B.(0,﹣3)C.(﹣3,0)D.(﹣3,﹣3)【变式3-1】抛物线,y=x2,y=﹣x2的共同性质是:①都开口向上;②都以点(0,0)为顶点;③都以y轴为对称轴.其中正确的个数有()A.0个B.1个C.2个D.3个【变式3-2】.对于函数y=4x2,下列说法正确的是()A.当x>0时,y随x的增大而减小B.当x>0时,y随x的增大而增大C.y随x的增大而减小D.y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y=﹣3x2的图象一定经过()A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限题型4:函数图像位置的识别4.已知a≠0,b<0,一次函数是y=ax+b,二次函数是y=ax2,则下面图中,可以成立的是()A.B.C.D.【变式4-1】函数y=ax2与y=ax+a,在第一象限内y随x的减小而减小,则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是()A.B.C.D.【变式4-2】在图中,函数y=﹣ax2与y=ax+b的图象可能是()A.B.C.D.题型5:函数值的大小比较5.二次函数y1=﹣3x2,y2=﹣x2,y3=5x2,它们的图象开口大小由小到大的顺序是()A.y3<y1<y2B.y3<y2<y1C.y1<y2<y3D.y2<y1<y3题型6:简单综合-三角形面积6.求直线y=3x+4与抛物线y=x2的交点坐标,并求出两交点与原点所围成的三角形面积.22.1.3二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象(1)(2)0 a>0 a<题型1:二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系,画出二次函数y=﹣x2及y=﹣x2+3的图象.向上向下题型2:二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是()A.向下B.向上C.向左D.向右【变式2-2】抛物线y=2x2+1的对称轴是()A.直线x=B.直线x=﹣C.直线x=2D.y轴题型3:二次函数y=a(x-h)²的图象3.画出二次函数(1)y=(x﹣2)2(2)y=(x+2)2的图象.课堂总结:题型4:二次函数y=a(x-h)²的性质4.对于二次函数y=﹣(x﹣1)2的图象,下列说法不正确的是()A.开口向下B.对称轴是直线x=1C.顶点坐标为(1,0)D.当x<1时,y随x的增大而减小题型5:二次函数y=a(x-h )²+k 的图象和性质5.对于二次函数y =﹣5(x +4)2﹣1的图象,下列说法正确的是( ) A .图象与y 轴交点的坐标是(0,﹣1) B .对称轴是直线x =4C .顶点坐标为(﹣4,1)D .当x <﹣4时,y 随x 的增大而增大 【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象 (1)y =(x ﹣2)2+3 (2)y =(x +2)2﹣3【变式5-2】画函数y =(x ﹣2)2﹣1的图象,并根据图象回答: (1)当x 为何值时,y 随x 的增大而减小.(2)当x 为何值时,y >0.【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1)y =5(x +2)2﹣3;(2)y =﹣(x ﹣2)2+3;(3)y =(x +3)2+6.二次函数的平移 1.平移步骤:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标; ⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下: ()2y a x h k =-+()h k ,2y ax =()h k ,2.平移规律:在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.概括成八个字“左h k加右减,上加下减”.题型6:二次函数几种形式之间的关系(平移)6.将抛物线y=(x﹣3)2﹣4先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到的抛物线的函数表达式为()A.y=(x﹣4)2﹣6B.y=(x﹣1)2﹣3C.y=(x﹣2)2﹣2D.y=(x﹣4)2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,能得到抛物线y =2(x﹣2)2+3的是()A.y=2(x﹣1)2+1B.y=2(x﹣3)2+1C.y=﹣2(x﹣1)2+1D.y=﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y=x2﹣3的图象向右平移3个单位,再向上平移5个单位后,所得抛物线的表达式是.题型7:利用增减性求字母取值范围7.抛物线y=(k﹣7)x2﹣5的开口向下,那么k的取值范围是()A.k<7B.k>7C.k<0D.k>0【变式7-1】已知点(x1,y1)、(x2,y2)是函数y=(m﹣3)x2的图象上的两点,且当0<x1<x2时,有y1>y2,则m的取值范围是()A.m>3B.m≥3C.m≤3D.m<3【变式7-2】二次函数y=(x﹣h)2+k(h、k均为常数)的图象经过P1(﹣3,y1)、P2(﹣1,y2)、P3(1,y3)三点.若y2<y1<y3,则h的取值范围是.题型8:识别图象位置8.如果二次函数y=ax2+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax+c的图象大致是()A.B.C.D.【变式8-1】在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+bx与y=ax+b的图象不可能是()A.B.C.D.【变式8-2】已知m是不为0的常数,函数y=mx和函数y=mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是()A.B.C.D.题型9:比较函数值的大小9.已知二次函数y=(x﹣1)2+h的图象上有三点,A(0,y1),B(2,y2),C(3,y3),则y1,y2,y3的大小关系为()A.y1=y2<y3B.y1<y2<y3C.y1<y2=y3D.y3<y1=y2题型10:简单综合问题10.已知抛物线y=(x﹣5)2的顶点为A,抛物线与y轴交于点B,过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C.(1)求A,B,C三点的坐标;(2)求△ABC的面积;(3)试判断△ABC 的形状并说明理由.【变式10-1】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+3与y 轴交于点A ,过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y =x 2于点B 、C ,求BC 的长度.【变式10-2】在同一坐标系内,抛物线y =ax 2与直线y =x +b 相交于A ,B 两点,若点A 的坐标是(2,3).(1)求B 点的坐标;(2)连接OA ,OB ,AB ,求△AOB 的面积.22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ,k),所以我们称为顶点式,将顶点式去括号,合并同类项就可化成一般式. 2.一般式化成顶点式. 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法,这三种方法都有各自的优缺点,应根据实际灵活选择和运用.题型1:一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式,结果为()A.y=(x−4)2+1B.y=(x−4)2−1C.y=(x−2)2−1D.y=(x−2)2+1题型2:一般式化成顶点式-应用2.已知:二次函数y=x2﹣2x﹣3.将y=x2﹣2x﹣3用配方法化成y=a(x﹣h)2+k的形式,并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标.题型3:公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ,当 x >1 时,y 随x 的增大而减小,则b 的取值范围是( ) A .b ≥−1B .b ≤−1C .b ≥1D .b ≤10a >0a <题型4:二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法不正确的是()A.当1<x<3时,y>0B.当x=2时,y有最大值C.图像经过点(4,−3)D.当y<−3时,x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,当x>0时,函数值y的取值范围是()A.y⩽9B.y⩽2C.y<2D.y⩽3 4题型5:利用二次函数的性质比较函数值5.函数y=﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A(1,y1),B(2,y2),则()A.y1<y2B.y1>y2几种常考的关系式的解题方法题型6:二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数),如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是()A.B.C.D.【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4.若x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两个根,且x1<x2,1<x2<2,则下列说法正确的是A.x1x2>0B.−10<x1<−9C.b2−4ac<0D.abc>0【变式6-2】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(2,0),,有下列结论:①b<0;②a+b>0;③4a+2b+3c<0;④无且对称轴为直线x=12,0).其中正确结论有()论a,b,c取何值,抛物线一定经过(c2aA.1个B.2个C.3个D.4个【变式6-3】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C;对称轴为直线x=−1,点B的坐标为(1,0),则下列结论:①AB=4;②b2−4ac>0;③b>0;④a−b+c<0,其中正确的结论有()个.A.1个B.2个C.3个D.4个7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x,y的部分对应值如下表:x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为()A.y轴B.直线x=12C.直线x=1D.直线x=32题型8:利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y=x2+bx+1当0<x<12的范围内,都有y≥0,则b的取值范围是A.b≥0B.b≥﹣2C.b≥﹣52D.b≥﹣32a题型9:利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10:给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象(0≤x≤4)如图,则该函数在所给自变量的取值范围内,最大值为,最小值为.。

九年级数学下二次函数1.2二次函数的图像与性质第2课时二次函数y=ax2(a<0)的图象与性质

九年级数学下二次函数1.2二次函数的图像与性质第2课时二次函数y=ax2(a<0)的图象与性质
当x<0时,y随x的增大而增大. 解:由题意得a-2<0,解得a<2.
(2)函数y=(3a-2)x2有最大值.
解:由题意得 3a-2<0,解得 a<23. (3)抛物线 y=(a+2)x2 与抛物线 y=-12x2 的形状相同.
由题意得|a+2|=-12,解得 a1=-52,a2=-32.
(4)函数y=axa2+a的图象是开口向上的抛物线. 解:由题意得a2+a=2,解得a1=-2,a2=1. 又由题意知a>0,∴a=1.
x 的增大而增大,则 m 的值为( B )
A. 5
B.- 5
C.± 5
D.-2
12.已知点 A(-1,y1),B(- 2,y2),C(-2,y3)在二次函
数 y=-x2 的图象上,则 y1,y2,y3 的大小关系是( A )
A.y1>y2>y3
B.y1>y3>y2
C.y3>y2>y1
D.y2>y1>y3
14.函数y=-x2(-2≤x≤1)的最大值为____0____,最小值 为___-__4___.
【易错总结】本题易忽略在取值范围中当x=0时取得 最大值,最大值为0,而不是当x=1时取得最大值.
15.已知函数y=(m+3)xm2+3m-2是关于x的二次函数.
(1)求m的值. 解:根据题意,得mm2++33≠m0,-2=2, 解得mm=≠--34. 或m=1, ∴m=-4 或 m=1.
17 见习题
18 见习题
答案显示
1.二次函数 y=2πx2 的图象沿 x 轴翻折后的图象的表达式为
( C) A.y=21πx2
B.y=2xπ2
C.y=-2πx2
D.y=πx2
2.已知二次函数y=-2x2,当x>0时,其图象位于( D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

湘教版九年级数学下册 1.2:二次函数的图像和性质 课件(考场对接)(30张PPT)

湘教版九年级数学下册 1.2:二次函数的图像和性质 课件(考场对接)(30张PPT)

题型六 二次函数图像与a, b, c之间的关系
例题6 [衡阳中考]图1-2-6为二次函数y=ax2 +bx+c的图像, 则下列
说法:①a>0;②2a+b>0;③a+b+c>0;④当-1<x<3时, y>0.
其中正确的个数为( B ).
A.1
B.2
C.3
D.4
1.2 二次函数的图像与性质
分析 ∵二次函数图像的开口向下, ∴a<0,①错误;
1.2 二次函数的图像与性质
题型三 利用二次函数的性质比较函数值的大小
例题3 [河南中考]已知点A(4, y1 ), B( , y2 ),C(-2, y3 )都在二次 函数y=(x-2)2 -1的图像上, 则y1 ,y2 , y3 的大小关系是 __y_2 _<__y_1_<__y_3_ (用“<”连接).
1.2 二次函数的图像与性质
解: (1)∵二次函数y=-x2 +2x+m的图像与x轴的一个交点为A(3, 0), ∴-9+2×3+m=0, 解得m=3. (2)由(1), 得二次函数的表达式为y=-x2 +2x+3.当y=0时, -x2 +2x+3=0, 解得x=3或x=-1, ∴点B的坐标为(-1, 0).
1.2 二次函数的图像与性质
解: ∵y=x2 +2x-1=x2 +2x+1-2=(x+1)2 -2, ∴函数图像的顶点坐标为(-1, -2), 对称轴为直线x=-1, 当x=-1时, y最小值 =-2.
1.2 二次函数的图像与性质
锦囊妙计
求二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像的顶点坐标、对称轴 及函数的最值时, 将表达式化成y=a(x-h)2 +k(a≠0)的形式, 可快 速求解.

初中数学人教版九年级上册《22.1.2二次函数的图象和性质》课件

初中数学人教版九年级上册《22.1.2二次函数的图象和性质》课件
22.1.2
二次函数y=ax2的 图象和性质
人教版 九年级数学上
知识要点
1.二次函数y=ax2的图象 2.二次函数y=ax2的性质
看一看:观察下列运动,试着发现它们的规律。
二次函数y=ax2的图象
问题1.1:根据所学知识,试着画出二次函数y=x2的图像。
在y = x2 中自变量x可以是任意实数,列表表示几组 对应值:
x … -3 -2 -1
0
1
2
3…
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
二次函数y=ax2的性质 y
顶点
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-3
对称轴
-6
根据表中x,y的数值在坐 标平面中描点(x,y)
用平滑曲线顺次连接 各点,就得到y = -x2 的图象 图象开口向下,有最高点
A.-9<y≤-1 B.-9≤y<-1 C.-9≤y≤0 D.-9<y≤0
4.如图,在同一坐标系中,作出①y=3x2,②y= 1 x2, 2
③y=x2的图象,则图象中从里到外的三条抛物线对应的
函数依次是___①__③_②______.(填序号)
5.二次函数y=ax2的图象如图所示. (1)求这个二次函数解析式; (2)若另一函数图象与该函数图象关于x轴对称,试求另一个 函数的解析式.
-9
y
y
9
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
6
y = x2
-3 y =- x2
-6 3
-9 -3 -2 -1 O1 2 3 x
二次函数y=ax2的图象
练一练:如图,函数y=2x2的图象大致为( C )

初中数学九年级上册《1.2 二次函数的图象》PPT课件 (6)

初中数学九年级上册《1.2 二次函数的图象》PPT课件 (6)
一条经过原点的直线。 二、一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的图象又是什么。
是一条直线。 三、反比例函数 y kx(k ≠ 0)的图象又是什么。
是双曲线
那么二次函数y=ax²+ bx+c(a ≠ 0) 的图象又是什么呢?。
画出下列函数的图象。
(1) y x2 (2) y -x2
x
... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
-8=a(-2)2,解出a= -2, 所求函数解析式为 y= -2x2. (2)因为 4 2(1)2 ,所以点B(-1 ,-4) 不在此抛物线上。 (3)由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3 所它以们纵分坐别标是为-6的( 点3,有6两)与个(,3,6)
3
y=-2x2
1 1.5
2
...
y=x2
... 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4
...
y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0 -0.25 -1 -2.25 -4
...
函数图象画法
描点法
注意:列表时自变量 取值要均匀和对称。
y x2
列表
描点 连线
y x2
用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结
( 3,6)
3 ( 3 ,6)
课堂小结
1. 二次函数:
形如 y = ax2 +bx + c(a、b、c是常数,a≠0) 的函数叫做 x 的二次函数,a叫做二次函数的系数,
b2叫、做抛一物次线项:的系数,c叫作常数项。
二次函数的图象都是抛物线。
3、抛物线 y=ax2 的图象 :
一般地,抛物线 y=ax2 的对称轴是__y__轴,顶 点是___原__点__. 当a最> 低0时点,抛物线的开口向__上,顶 点是小抛物线的________,a 越大,抛下物线的开口越 ___;当a < 0时高,抛物线的开口向____,顶点是抛大

湘教版九年级数学下册1.2.1:二次函数的图象和性质课件(19张ppt)

湘教版九年级数学下册1.2.1:二次函数的图象和性质课件(19张ppt)

0
0.5
2
4.5 ...
在平面直角坐标系 内,以x取的值为横坐标,相 应的函数值为纵坐标,描出 相应的点,如右图
连线:根据上述分析,我们
可以用一条光滑曲线把原点和 y轴右边各点顺次连接起来; 然后利用对称性,画出图象在 y轴左边的部分(把y轴左边的 对应点和原点用一条光滑曲线 顺次连接起来),这样就得到 了 y 1 x2 的图象.如图
对称轴与图象的交点是__O_(_0_,_0_)_;
图象的开口向____上____; 图象在对称轴左边的部分, 函数值随自变量取值的增 大而___减__小____,简称为 “左降”; 当 x =___0_时,函数值最__小__.
类似地,当a>0时,y=ax2的图象也具有上述性质, 于是我们在画y=ax2(a>0)的图象时,可以先画 出图象在y轴右边的部分,然后利用对称性,画 出图象在y轴左边的部分,在画右边部分时,只 要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了(因 为我们知道了图象的性质).
的图象.并比较它们的共同点和不同点。
4
列表
x
0
0.5
1
2
y 2x2
0
0.5
2
8
描点 连线
y 2x2
思考:
列表
x
y 1 x2 4
a的绝对值越大 图像的开口度越小
0
1
2
3
4
1
9
0
4
1
4
4
描点 连线
y 2x2
y 1 x2 4
结论:
二次函数
(a>0)的性质:
1.图象的对称轴是___y_轴__,对称轴与图象的交点是_O_(__0_,__0_)___; 图象的开口向____上____;

1.2二次函数的图象与性质(第2课时)课件

1.2二次函数的图象与性质(第2课时)课件

小结 二次函数 ya(xh)2的图象及性质: (1)形状、对称轴、顶点坐标; (2)开口方向、极值、开口大小; (3)对称轴两侧增减性。
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 •2、科学的灵感,决不是坐等可以等来的。如果说,科学上的发现有什么偶然的机遇的话,那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人,给那些善于独 立思考的人,给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐,提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
-2
-3
y
1(x1)2---456y
2
-7
1 x2 y 21(x1)2
2
-8
探究
三、观察三条抛物线: y
(5)增减性怎么样?
2 1
-3 -2 -1 0-1 1 2 3 x
-2
-3
y
1(x1)2---456y
2
-7
1 x2 y 21(x1)2
2
-8
归纳
二次函数 ya(xh)2的图象及性质:
复习
二次函数 yax2 c的图象及性质:
2.当a>0时,开口向上; 在对称轴的左侧,y随x的增大而减小, 在对称轴的右侧,y随x的增大而增大; 当x=0时,y取最小值为c。
复习
二次函数 yax2 c的图象及性质:
3.当a<0时,开口向下; 在对称轴的左侧,y随x的增大而增大, 在对称轴的右侧,y随x的增大而减小; 当x=0时,y取最大值为c。

1.2二次函数的图象(2)课件

1.2二次函数的图象(2)课件
____向__右_(_当_m__<_0_)或__向__左_(_当__m_>_0_)平__移__|m_|_个_单__位_______得到.
特征:函数y=a(x+m)2的图象的顶点坐标是_(-___m_,__0),对 称轴是直线__x_=__-_m_____.图象的开口方向与函数y=ax2的图
象__相__同_____.
解:(1)顶点(-1,-4),开口向上,对称轴为直 线x=-1; (2)y=(x-1)2; (3)y=(x+1)2- 4向右平移1个单位,再向上平移4个单位.
课堂总结
1.二次函数y=a(x+m)2(a≠0)型的图象及其特征 平移:(1)一般地,函数y=a(x+m)2(a≠0)的图象与函数 y=ax2的图象只是位置不同,它可由y=ax2的图象
对称轴是 __直__线__x_=_-_m____,
顶点坐标是 _(_-_m_,__k_)___。
函数y=a(x+m)2+k的图象的性质: 一般地函数y=a(x+m)2+k的图象,函数y=ax2的图象只是位置不同,
(1)可以由y=ax2的图象先向右(当m<0)或向左(当m>0)平移 ∣m∣个单位,再向上(当k>0)或向下(当k<0)平移∣k∣个单位 得到,
(2)顶点坐标是(-m,k),对称轴是直线x=-m, (3)图象在x轴的上方还是下方,开口方向向上还是向下等性质由 y=ax2来决定的。
记忆方法:
1. 左加右减 2.根据顶点坐标的变化(0,0)
(-m.0)
课堂练习
1.将抛物线y=2x2向上平移3个单位,再向右平移2个单
位,所得到的抛物线为( B )
【点悟】 解此类题可以将不同形式的解析式
统一为y=a(x+m)2+k的形式,便于解答.
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顶点坐标是 __(m __,_k__)___。
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y=-3(x-1)2-2
向上 直线x=-3 (-3, 5) 向下 直线x=1 ( 1 , -2)
y = 4(x-3)2+7 向上 直线x=3 ( 3 , 7)
y=-5(2-x)2-6 向下 直线x=2 ( 2 , -6 )
在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为
(1,-4)。且过点B(3,0)。 (1)求该二次函数的解析式; (2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使 平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移 后所得图象与x轴的另一个交点的坐标。
位 抛物线y=a(x-m)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是直线x=m;
(3)顶点是(m,k).
二次函数y=a(x-m)2+k的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴 2.位置与开口方向 3.增减性与最值 根据图形填表:
抛物线 顶点坐标
对称轴
y=a(x-m)2+k(a>0)
A. (m,n)
B. (m,-n)
C. (m,n)
D. (m,-n)
3. 抛物线 y 5(x m n)2 n m 的对称
轴 直线x=n-m.
7.要修建一个圆形喷水池,在池中心
竖直安装一根水管.在水管的顶端安
装一个喷水头,使喷出的抛物线形水
柱在与池中心的水平距离为1m处达
到最高,高度为3m,水柱落地处离池
移 1 个单位得到的,平称后的抛物线对称轴
是 直线x=1 ,顶点坐标是 (1,0) ,当x= 1 时,
y有最 大 值,其值是 0 。
灵活变通
若二次函数 y 1 x2 经过平移变换后顶点坐标为
(-2,3)
2
,则平移后的函数解析式为
y
1 (x 2)2 2
. 3
在平面直角坐标系中,如果抛物线 y 2x2 不动,
|a|越大,抛物线的开口越小; |a|越小,抛物线的开口越大;
o
x
(3) a>0时, 在对称轴左侧,y随x的增大
而减小,在对称轴右侧,y随x增大而增大;
a<0
a<0时, 在对称轴左侧,y随x的增大而增
大,在对称轴右侧,y随x增大而减少;
用描点法,在同一直角坐标系中作出下列二次函数 的图象
y 1 x2 2
a>0
最值
当x=m时, 最小值为0.
开口方向 开口向上
a<0
当x=m时, 最大值为0.
开口向下
对称轴 顶点坐标
直线x=m
(m,0)
顶点是最低点
顶点是最高点
增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
例2 对于二次函数请 y 1 (x 4)2 回答下列问题:
3
1)把函数 y 1 x2 的图象作怎样的平移变换,
(3)顶点是(m,0).
-5-4-3-2-1-1o1 2 3 4 5 x
-2 -3
y 1 (x 1)2 2
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
抛物线y=a(x-m)2可以由抛物线y=ax2向左或向
右平移|m|得到. (m>0,向右平移;m<0向左平移.)
二次函数y=a(x-m)2的性质
y=a(x-m)2
2 2个单位 2
顶点(-2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)向2个右单平位移
顶点(2,0)
直线x=-2
向左平移 对称轴:y轴 2个单位 即直线:x=0
向右平移 2个单位
直线x=2
一般地,抛物线y=a(x-m)2有如下性质:
(1)当a>0时, 开口向上;
1y
当a<0时,开口向下; (2)对称轴是直线x=m;
当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
C(3,0)
3x
拓展提高
1、将抛物线 y ax2向左平移后,所得
新抛物线的顶点横坐标为-2,且新抛物 线经过点(1,3),求a的值。
2、将抛物线 y 2 x2 左右平移,使得
它与x轴相交于点A,与y轴相交于点B。 若△ABO的面积为8,求平移后的抛物 线的解析式。
而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位,那么在
新坐标系下抛物线的解析式是 y 2(x 2)2 .2
1.对称轴是直线x=-2的抛物线是( C ) 牛刀小试
A. y 2x2 2 B. y 2x2 2
C.
y
1 (x 2)2 2
2
D. y 5(x 2)2 6
2.抛物线 y 2(x m)2 n 的顶点坐标是( C )
y 1 x 2 y 1 (x 2)2
2
2
观察三条抛物线的相
互关系,并分别指出
y 1 (x 2)2
2y
y 1x22 2
6
y 1x22
5
2
4
y 1x2
2
3
2
1
-8
-6
-4
-2 B
-1
-2
-3
-4
2
4
6
它们的开口方向,对
称轴及顶点.
y 1 (x 2)2 向左平移
2
2个单位
x y 1 x 2 -2向右平移2y 1 (x 2)2
2.请回答抛物线y = 4(x-3)2+7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =-4(x-3)2+7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?
1.若抛物线y=2(x-m)m2 4m 3的顶点在x轴正
半轴上,则m的值为( A )
A.m=5
B.m=-1
C.m=5或m=-1
D.m=-5
2、二次函数 y 3(x 2)2 图像的对称轴是( A )
. . . . . . y 1 x2
y 1 x 22
2
2
. . . . . y 1 x 22 2 .. ... ..
开口方向、抛物线形状不变
对称轴和顶点改变
y 1 x2
y 1 x 22
2
y 1 x 22
2
2
. . . .y . .
.. .. . .. ... ..
在同一坐标系中作出下列二次函数:
用描点法在同一直角坐标系中画出函数 y 1 x2
2
y 1 (x 2) 2 ,
2
y 1 (x 2)2 3 2
的图象 .
(1)抛物线
的开口方向、对称轴、
顶点? (2)抛物线
有什么关系?
一般地,抛物线y=a(x-m)2+k与y=ax2形状
相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)
2
注意观察取值
用描点法,在同一直角坐标系中作出下列二次函数的图象
x
… -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y 1 x2

2
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5

y 1 x 22 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5

2
y 1 x 22
2
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
(m,k)
直线x=m
y=a(x-m)2+k(a<0)
(m,k) 直线x=m
位置
由m和k的符号确定
由m和k的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=m时,最小值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
(A)直线x=2 (B)直线x=-2(C)y轴Fra bibliotek(D)x轴
3、将抛物线 y 3x 2 向左平移3个单位所得的抛
物线的函数关系式为( D )
A、 y 3x 2 3 B、 y 3(x 3)2
C、y 3x 2 3 D、y 3(x 3)2
4、抛物线 y (x 1)2 是由抛物线 y=-X2 向 右 平
y 1 x 22
2
y 1 x 22
2
x
… -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y 1 x2 …
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5

2
y 1 x 22 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5

2
y 1 x 22
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
新浙教版数学九年级(上)
1.2 二次函数的图像(2)
1. 二次函数的图像都是抛物线.
2. 抛物线y=ax2的图像性质:
(1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.(0,0)
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点 是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是
y
a>0
抛物线的最高点;
平移,可以得到抛物线y=a(x -m)2+k.平移的方
向、距离要根据m、k的值来决定.
平移方法:
y=ax2移向|左m(|右个)平单y=a(x-m)移2向|上k|(个下单)平位y=a(x-m)2+k

y=ax2向上(下)平 y=ax2+k 移|k|个单位
向左(右)平 移|m|个单
y=a(x-m)2+k
中心3m,水管应多长?
解:如图建立直角坐标系, 点(1,3) y 是图中这段抛物线的顶点.因此可 3
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