【大学物理】§3-3 氢原子量子理论简介

m)! m)!
Pl m
(cos
)eim
5
将 = l(l+1)和球谐函数代入
1
sin
(sin
Y )
1
sin2
Y
Y
0
得
[1
sin
(sin
)
1
sin2
]Ylm (,) l(l
1)Ylm (,)
将角动量平方算符代入上式，得
其本征值为
L2Ylm (,) l(l 1)2Ylm (,)
L2 = l(l+1)
d ) d
(
m2 sin 2
)
0
d2 m2 0 d 2
二、角动量的本征函数和相应的量子数
方位角波函数()是上式的解，即
() Aeim
()是单值的，满足() = ( +2)，即
Ae Ae im
im( 2 ) m只能取整数0, 1, 2, ···
4
根据归一化条件，得 归一化系数为 归一化方位角波函数为
2
() ()d
1
0
1
A
2
() 1 eim
2
为确保极角波函数()的有限性，必须满足
= l(l+1) , l = 0, 1, 2, ···
并且 m l ，即
m = 0, 1, 2, ···, l
将()和()合并，并正交归一化，得
Ylm(,) ()() 球谐函数
(1)m
(2l 4
1)
(l (l
n1
(2l 1) n2
l0
个量子态都对应于相同的能量本征值En，这种情形就称为能级En是简并的，或者 更具体地说，定态能级En的简并度是n2。
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五、类氢离子 势能为
U (r) Ze2 q2 其中 q Z e 4π0r 4π0r
定态波函数仍为
nlm (r,,) Rnl (r)Ylm (,)
2
由此求得动量的本征值为
L l(l 1)
L称为轨道量子数或角量子数，表示电子相对于原子核的角动量的大小。核外 电子相对于核的角动量，称为轨道角动量。
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L 球谐函数Ylm (,)既是算符 的本征函数，2 也是算符
L的2z 本征函数，故有
Lˆ2zYlm ( , ) (i)2 Ylm ( , ) (i)2 (im)2 Ylm ( , ) m 22Ylm ( , )
1
r 2 sin2
1 r2
r
(r 2
) r
1 r2
2
1
其中
2
1
sin
(sin
)
1
sin2
将上式代入前式，得
1 r2
r
(r 2
)
r
1 r2
Ω 2
2me 2
[E
U
(r)]
0
波函数表示为
(r,,) R(r)Y(,)
将上式代入前式，得
1 d (r 2 dR ) 2me r 2 [E U (r)] 1 2Y
径向波函数Rnl (r)中的a应以a = a/Z代替，则有
a
4 02
me q 2
4 02
me Ze2
a Z
能级公式
En
me Z 2e4
22 (4 0 )2 n2
,
n 1, 2,
关于氢原子的其他结论都可依此类推，而用于类氢离子。
§3-3 氢原子量子理论简介
一、有心力场中的薛定谔方程
系统的势能为 哈密顿算符为 定态薛定谔方程为
U (r) e2
4 0r
Hˆ p2 U(r) 2 2 U(r)
2me
2me
2
2me 2
[E
U(r)]
0
将拉普拉斯算符写为球坐标的形式
2
1 r2
r
(r 2
) r
1
r2 sin
(sin
)
d
d
d 2
设常数m2，则上式分成两个方程
1 d (sin d ) ( m2 ) 0
sin d
d
sin2
d 2 d 2
m2
0
3
氢原子中电子波函数(r,,)的三个组成部分R(r)、()和()分别满
足的方程为
1 r2
d dr
(r 2
dR ) dr
[
2me 2
(E
U)
r2
]R
0
1
sin
d
d
(sin
En 的本征函数
nlm (r,,) Rnl (r)Ylm (,)
本征函数nlm (r, , )也就是在一定的主量子数n、角量子数l和磁量子数m时氢原 子(或者说氢原子中的电子)所处的量子态。这个量子态的本征能量En 只决定于主 量子数n，而与角量子数l和磁量子数m无关。
对于任何一个主量子数n，共有
d dr
(r 2
dR dr
)
[
2me 2
(E
U)
l(l 1)]R r2
0
令 于是
R(r) u(r)
r
d2u(r ) dr 2
[
2me 2
(E
U
)
l(l 1)]u(r) r2
0
势能为
e2 U (r)
es2
4π0r r
其中
es2
e2
4 0
因E < 0，将上式代入上上式，得
d 2 u(r ) dr2
me e4
22 (4 0 ) 2 n2
,
n 1, 2,3,
这就是氢原子的能级公式，与玻尔氢原子理论中的能级公式完全一致。
从能级公式可以看到，E=0，这就是电离的情形。
当n = 1，即氢原子处于基态时，能量为
E1
mee 4
22 (4π0 )2
13.597eV
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四、能量的本征函数和能级的简并度
算符的本征值为
Lz m m = 0, 1, 2, ···, l
m称为磁量子数，表示电子轨道角动量的z分量的大小。
轨道角动量在空间不能任意取向，而只能取某些特定方向的性质，称为角动 量的空间量子化。
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三、径向波函数和氢原子的能级
将 = l(l+1)代入径向波函数R (r)所满足的方程,得
1 r2
径向波函数Rnl (r)中 何多项式。
F(l 也1 是 一n,个2l特殊2函, 数2r，)称为(l+1n)阶合流超几 na
a的具体形式为
a 2 4 02
me es2
me e2
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满足束缚态条件时，有 由上式可得氢原子的能量本征值为
me 2E
es2
n,n 1,2,3,
En
me es4 2 2 n 2
R dr dr
2
Y
设这个常量为，于是由上式，得
1 r2
d dr
(r 2
dR dr
)
[
2me 2
(E
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r 2 ]R
0
2Y Y 0 2
上式的具体形式是
1
sin
(sin
Y )
1
sin2
Y
Y
0
将Y(,)表示为两个函数的乘积
Y ( ,) Θ( )Φ()
将上式代入前式，得
sin d (sin d ) sin2 1 d 2
[
2me E 2
2me es2 2r
l(l r2
1) ]u(r)
0
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由上式解得的径向波函数为
Rnl
(r
)
unl (r r
)
N nl er
/
na
(
2r na
)l
F(l
1
n,2l
2,
2r na
)
归一化系数为
N nl
a3
2 2n2 (2l
1)!
(n l)! (n l 1)!
式中 n = 1, 2, 3, , l = 0, 1, 2, , (n-1)