【大学物理】§3-3 氢原子量子理论简介
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氢原子的量子力学理论讲义
An integral multiple of wavelengths must fit in the length 2pr, otherwise destructive interference would occur.
DeBroglie Waves in Bohr's Model
（1）主量子数 n
En
mee42(4 0 )2 Nhomakorabea2
1 n2
,
n 1,
2,
3,
（2）角量子数 l
对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量 p l(l 1)
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
径向函数 球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积：
nlm (r) Rnl (r)Ylm ( ,)
电子的径向分布
Wnl
(r)
R2 nl
(r)r2
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2
设在空间（r,θ,φ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, ,)dV
m2
0
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
0
1
r 2
d dr
r
2
dR dr
2me
2
E
e2
4 0 r
r2
R
0
式中m, 是常数
在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件
DeBroglie Waves in Bohr's Model
（1）主量子数 n
En
mee42(4 0 )2 Nhomakorabea2
1 n2
,
n 1,
2,
3,
（2）角量子数 l
对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量 p l(l 1)
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
径向函数 球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积：
nlm (r) Rnl (r)Ylm ( ,)
电子的径向分布
Wnl
(r)
R2 nl
(r)r2
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2
设在空间（r,θ,φ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, ,)dV
m2
0
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
0
1
r 2
d dr
r
2
dR dr
2me
2
E
e2
4 0 r
r2
R
0
式中m, 是常数
在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件
大学物理学电子教案 氢原子的量子理论简介
可容纳的电子数为
n1
Nn22l12n2
21
l0
01 sp
2 d
3 f
4 g
5 h
6 i
Nn
1K 2
2
2L 2 6
8
3 M 2 6 10
18
4 N 2 6 10 14
32
5 O 2 6 10 14 18
50
6 P 2 6 10 14 18 22
72
7 Q 2 6 10 14 18 22 26 98
例题：试确定基态氦原子中电子的量子数。
2、角动量量子化及角量子数
求解氢原子波函数的经度方程，可得氢原子中电子的角动量 是量子化的
L ll 1 h ll 1 l 0 ,1 ,2 , ,n 1 2
其中l 叫做轨道角动量量子数或角量子数。
讨论：
•波耳理论的L=nh/2，最小值为h/2；而量子力学得出角
动量的最小值为0。实验证明，量子力学得结论是正确的；
Rnl2r2d r n 2lrdr| n0 |2
径向概率密度为：
pnl
(r)
2 nl
(r)
1s 2s 3s
| n1 |2
2p
| n2 |2
4s r
3p
4p
r
3d 4d
r
15
19-10 多电子原子中的电子分布
一、电子自旋 自旋磁量子数
1、斯特恩－盖拉赫实验
银原子通过狭缝，经 过不均匀磁场后，打
在照相底板上。s 态
23
小结
• 氢原子的量子理论简介 • 氢原子的定态薛定谔方程 • 三个量子数 • 氢原子在基态时的径向波函数和电子的分布概率
• 多电子原子中的电子分布 • 电子自旋 自旋磁量子数 • 四个量子数 • 多电子原子中的电子分布
玻尔的氢原子理论
玻尔的氢原⼦理论§4. 玻尔的氢原⼦理论⼀玻尔(1885-1962)丹麦物理学家尼尔斯·玻尔，⽣于丹麦哥本哈根的⼀个富裕知识分⼦家庭，⽗亲是哥本哈根⼤学⽣理学教授。
1903年进⼊哥本哈根⼤学数学和⾃然科学系，⼤学⼆年级时他热中于研究⽔的表⾯张⼒问题，并在丹麦皇家科学院的有奖征⽂中容获⾦质奖章，1909年获硕⼠学位，1911年以论⽂《⾦属电⼦论的研究》获博⼠学位。
1911年9⽉，他到英国剑桥卡⽂迪什实验室进修，据说他第⼀次与导师J.J.汤姆孙见⾯时，就把他论⽂中批评汤姆孙的段落当⾯指出，使导师很不⾼兴，因⽽给以冷遇。
1912年3⽉转到了曼彻斯特随卢瑟福⼯作，这成了他⼀⽣的重要转折点。
玻尔在卢瑟福实验室⼯作期间（约4个⽉），正值卢瑟福发表有核原⼦理论，并组织对这⼀理论进⾏检验。
玻尔参加了α粒⼦散射实验⼯作，因此清楚这⼀理论所⾯临的困难。
但玻尔坚信卢瑟福有核原⼦模型的正确性，认为“只有量⼦假说是摆脱困难的唯⼀出路”。
1913年提出著名的玻尔原⼦理论。
1916年任哥本哈根⼤学教授，1921年起⼀直领导着该校为他建⽴的理论物理研究所，直到去世。
玻尔于1916年、1927年分别提出对应原理和互补原理，1936年提出原⼦核的液滴核模型，1939年创⽴核裂变理论，预⾔铀的⾃⾝裂变。
曾参加第⼀颗原⼦弹的制造。
1922年因对原⼦结构和原⼦辐射的研究⽽获得诺贝尔物理学奖。
⼆玻尔的氢原⼦理论1．汉森的拜访1912年7⽉回到哥本哈根，1913年初，玻尔的好友、光谱学家汉森(H.M.Hansen)在拜访玻尔时问到原⼦结构和光谱学中的谱线有什么关系？并向玻尔详细介绍了巴尔末的发现，以及谁也⽆法对巴尔末公式作出解释。
2．斯塔克的启⽰1913年2⽉玻尔注意到德国物理学家斯塔克(J.Stark)在《原⼦动⼒学原理》⼀书中的⼀段话：“⼀个光谱的全部谱线是由单独⼀个电⼦造成的，是在这个电⼦从⼀个（⼏乎）完全分离的状态逐次向势能最⼩的状态跃迁过程中辐射出来的。
氢原子的量子力学理论
主量子数决定了电子的能级，是描述电子能量状态的量子数 之一。
角量子数
角量子数（l）：描述电子在核周围的角动量，取值范围为0 到n-1的正整数。
角量子数决定了电子的角动量，进而影响电子云的形状和 方向。
磁量子数
磁量子数（m）：描述电子在磁场中的取向，取值范围为-l到l的正整数。
磁量子数决定了电子在磁场中的自旋方向和状态，是描述电子自旋状态的量子数 之一。
波函数具有全同性，即对于任意实数a和b，若将波函数中的x替换为ax+b， 其概率幅不变。
波函数具有连续性，即它在整个空间中是连续的，没有跳跃或间断点。
波函数具有周期性，即对于某些特定的能级，波函数可能呈现出周期性振 动的模式。
03
氢原子的波函数
径向波函数
定义
径向波函数描述了电子在核周 围不同半径的分布概率。
氢原子光谱在实验室和天文观测中都有广泛应用。在实验室中，可以通过控制氢原子所处的环境，如 温度、压力等，来研究其光谱特性，进而了解物质的基本性质。在天文学领域，通过对氢原子光谱的 观测和分析，可以研究宇宙中氢气分布、星系演化等重要问题。
原子钟
原子钟是一种利用原子能级跃迁频率 作为计时基准的精密计时仪器。其中， 氢原子钟是其中一种较为精准的原子 钟。
自旋量子数
自旋量子数（s）：描述电子的自旋状 态，取值范围为±1/2。
自旋量子数决定了电子的自旋方向， 是描述电子自旋状态的唯一量子数。
能级与能级间距
能级
由主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数共同决定，不同能级对应不同的能量状 态。
能级间距
相邻能级之间的能量差值，与主量子数和角量子数有关，随着主量子数的增加而减小。
量子力学是描述微观粒子运动规律的 物理学分支。
角量子数
角量子数（l）：描述电子在核周围的角动量，取值范围为0 到n-1的正整数。
角量子数决定了电子的角动量，进而影响电子云的形状和 方向。
磁量子数
磁量子数（m）：描述电子在磁场中的取向，取值范围为-l到l的正整数。
磁量子数决定了电子在磁场中的自旋方向和状态，是描述电子自旋状态的量子数 之一。
波函数具有全同性，即对于任意实数a和b，若将波函数中的x替换为ax+b， 其概率幅不变。
波函数具有连续性，即它在整个空间中是连续的，没有跳跃或间断点。
波函数具有周期性，即对于某些特定的能级，波函数可能呈现出周期性振 动的模式。
03
氢原子的波函数
径向波函数
定义
径向波函数描述了电子在核周 围不同半径的分布概率。
氢原子光谱在实验室和天文观测中都有广泛应用。在实验室中，可以通过控制氢原子所处的环境，如 温度、压力等，来研究其光谱特性，进而了解物质的基本性质。在天文学领域，通过对氢原子光谱的 观测和分析，可以研究宇宙中氢气分布、星系演化等重要问题。
原子钟
原子钟是一种利用原子能级跃迁频率 作为计时基准的精密计时仪器。其中， 氢原子钟是其中一种较为精准的原子 钟。
自旋量子数
自旋量子数（s）：描述电子的自旋状 态，取值范围为±1/2。
自旋量子数决定了电子的自旋方向， 是描述电子自旋状态的唯一量子数。
能级与能级间距
能级
由主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数共同决定，不同能级对应不同的能量状 态。
能级间距
相邻能级之间的能量差值，与主量子数和角量子数有关，随着主量子数的增加而减小。
量子力学是描述微观粒子运动规律的 物理学分支。
氢原子的量子理论
磁量子数 l 可取2l 1个值 中的取向 Ls ml
自 旋 ms
磁量子数
1 2
决定电子“自旋”角动量在
外场中的取向 Lsz ms
原子壳层结构 ---- 多电子原子的电子分布 1.决定原子中电子状态的四个量子数(n, l, ml, ms)
2. 电子分布遵循的两个基本原理 1) 1925年春，美籍奥地利科学家 泡利在汉堡大学提出泡利不相容 原理。 1945年获诺贝尔物理学 奖。
1 2
2s+1=2
s1 2
ms
1 2
B
2
2
原子中电子状态的四个量子数(n, l, ml, ms)
名称 符号 取 值
物理意义
主量子数 n 1,2,
0,1,…,n-1
角量子数 l 可取n个值
决定电子能量
E
E1 n2
13.6
1 n2
eV
决定电子 角动量 | L | l(l 1)
m 0,1, l 决定“轨道”角动量在外场
S
原子炉
N
准直屏 磁铁
与实验结果不符，无法用上述三个量子数解释。 2. 电子自旋 1926年荷兰物理学家埃伦斯非特的学生乌伦贝克、高
斯米特提出的电子自旋模型得到承认。狄拉克建立相对论 量子力学，自然得出电子具有内禀角动量的结论。
由史特恩–盖拉赫实验 自旋角动量
Ls
s(s 1) 3 2
Lsz
电子轨道角动量
的特殊方向，使
L
L
在空间取向只能沿一些不连续
在z方向分量 Lz 取值量子化
Lz ml (ml 0,1,2,,l)
例： 2p态 n 2 1 ml 0, 1
L l(l 1) 2 Lz 0,
自 旋 ms
磁量子数
1 2
决定电子“自旋”角动量在
外场中的取向 Lsz ms
原子壳层结构 ---- 多电子原子的电子分布 1.决定原子中电子状态的四个量子数(n, l, ml, ms)
2. 电子分布遵循的两个基本原理 1) 1925年春，美籍奥地利科学家 泡利在汉堡大学提出泡利不相容 原理。 1945年获诺贝尔物理学 奖。
1 2
2s+1=2
s1 2
ms
1 2
B
2
2
原子中电子状态的四个量子数(n, l, ml, ms)
名称 符号 取 值
物理意义
主量子数 n 1,2,
0,1,…,n-1
角量子数 l 可取n个值
决定电子能量
E
E1 n2
13.6
1 n2
eV
决定电子 角动量 | L | l(l 1)
m 0,1, l 决定“轨道”角动量在外场
S
原子炉
N
准直屏 磁铁
与实验结果不符，无法用上述三个量子数解释。 2. 电子自旋 1926年荷兰物理学家埃伦斯非特的学生乌伦贝克、高
斯米特提出的电子自旋模型得到承认。狄拉克建立相对论 量子力学，自然得出电子具有内禀角动量的结论。
由史特恩–盖拉赫实验 自旋角动量
Ls
s(s 1) 3 2
Lsz
电子轨道角动量
的特殊方向，使
L
L
在空间取向只能沿一些不连续
在z方向分量 Lz 取值量子化
Lz ml (ml 0,1,2,,l)
例： 2p态 n 2 1 ml 0, 1
L l(l 1) 2 Lz 0,
氢原子的量子理论简介
粒子在 x方向上的位置完全不确定.
第十五章 量子物理
33
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
自由粒子平面波函数
Ψ
( x,t
)
i
0e
2π h
( Et
px )
2 波函数的统计意义
概率密度 表示在某处单位体积内粒子 出现的概率
Ψ 2 *
正实数
第十五章 量子物理
34
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
例1 一束电子中，电子的动能 200eV， 求此电子的德布罗意波长 .
解
v c,
Ek
1 2
m0v2
v 2Ek m0
第十五章 量子物理
6
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
v
2
2001.6 1019 9.11031
m
s1
8.4 106
m
s-1
v c
第十五章 量子物理
2
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
德布罗意（1892 — 1987）
法国物理学家 1924年他在博士论文《关于 量子理论的研究》中提出把粒子 性和波动性统一起来. 5年后为此 获得诺贝尔物理学奖.爱因斯坦誉 之为“揭开一幅大幕的一角”. 它为量子力学的建立提供
了物理基础.
h m0v
6.631034 9.11031 8.4106
nm
8.67102 nm
此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当.
第十五章 量子物理
玻尔的氢原子理论
玻尔的氢原子理论
为此,J.汤姆孙在1904年提出了原子结构的枣糕式模型.该模型认 为，原子可以看作一个球体，原子的正电荷和质量均匀分布在球内， 电子则一颗一颗地镶嵌其中.1909年，J.汤姆孙的学生卢瑟福为了验证 原子结构的枣糕式模型，完成了著名的α粒子散射实验.实验发现α粒 子在轰击金箔时，绝大多数α粒子都穿透金箔，方向也几乎不变，但 是大约有1/8 000的α粒子会发生大角度偏转，即被反弹回来.这样的 实验结果是枣糕式模型根本无法解释的，因为如果说金箔中的金原子 都是枣糕式的结构，那么整个金箔上各点的性质应该近乎均匀，α粒 子轰击上去，要么全部透射过去，要么全部反弹回来，而不可能是一 些穿透过去，一些反弹回来.
玻尔的氢原子理论
二、 原子结构模型
1897年，J.汤姆孙发现了电子.在此之前，原 子被认为是物质结构的最小单元，是不可分的，可 是电子的发现却表明原子中包含带负电的电子.那 么，原子中必然还有带正电的部分，这就说明原子 是可分的，是有内部结构的.执着的科学家就会继 续追问：原子的内部结构是什么样的？简洁的里德 伯光谱公式是不是氢原子内部结构的外在表现？
玻尔的氢原子理论
三、 玻尔的三点基本假设
为了解决原子结构有核模型的稳定性和氢原子光谱的分 立性问题，玻尔提出以下三个假设：
（1）定态假设.原子中的电子绕着原子核做圆周运动， 但是只能沿着一系列特定的轨道运动，而不能够任意转动， 当电子在这些轨道运动时，不向外辐射电磁波，原子系统处 于稳定状态，具有一定的能量.不同的轨道，具有不同的能 量，按照从小到大的顺序记为E1、E2、E3等.
玻尔的氢原子理论
可是这个模型却遭到很多物理学家的质疑.因为按照当时的物 理理论（包括经典力学、经典电磁理论及热力学统计物理），这 样一个模型是根本不可能的，原因有以下两个：
大学物理氢原子的玻尔理论
§4.氢原子的玻尔理论 / 四、氢原子的玻尔理论
L mvr nh / 2
n 1,2,3,4
n 为主量子数，上式叫量子化条件。 假设3 当原子从定态 Ei 跃迁到定态 Ef 要发 射或吸收频率为 的光子，
|Ei - E f | h |Ei - Ef |， h 当 Ei>Ef 原子发射光子。 当 Ei<Ef 原子吸收光子。
1.055 10
-34
J s
§4.氢原子的玻尔理论 / 四、氢原子的玻尔理论
L1 v1 mer1
1.055 10 -31 -10 9.11 10 0.529 10
-34
2.19 10 m/s
6
例2：用 12.6eV 的电子轰击基态原子，这 些原子所能达到最高态。 解：如果氢原子吸收电子全部能量它所具 有能量
-13.6eV
4
②.激发态 n >1 的为激发态。
§4.氢原子的玻尔理论 / 四、氢原子的玻尔理论
E1 E2 2 -3.4eV 2 E1 E3 2 -1.51eV 3 E1 E4 2 -0.85eV 4
n
n4
n3
n2
E 0
布拉开系 帕邢系 巴尔末系
- 0.85eV - 1.51eV
四、氢原子的玻尔理论
§4.氢原子的玻尔理论 / 四、氢原子的玻尔理论
玻尔（Niels Henrik David Bohr ，1885--1962丹 麦理论物理学家，现代物理学的创始人之一。1911年， 他来到卡文迪什实验室，在J.J.汤姆逊的指导下学习 和研究，当得知卢瑟福从 粒子散射实验提出了原子 的有核模型后，他深感亲佩，同时也非常理解该模型 所遇到的困难。于是他又转赴卢瑟福实验室求学，并 参加 粒子散射的实验工作，他坚信卢瑟福的有核模 型，认为要解决原子的稳定性问题，必须用量子概念 对经典物理来一番改造。终于在1913年发表了《论原 子构造与分子构造》等三篇论文，正式提出了在卢瑟 福原子有核模型基础上的关于原子稳定性和量子跃迁 理论的三条假设，从而完满地解释了氢原子光谱的规 律。玻尔的成功，使量子理论取得重大进展，推动了 量子物理学的形成，具有划时代的意义。
L mvr nh / 2
n 1,2,3,4
n 为主量子数，上式叫量子化条件。 假设3 当原子从定态 Ei 跃迁到定态 Ef 要发 射或吸收频率为 的光子，
|Ei - E f | h |Ei - Ef |， h 当 Ei>Ef 原子发射光子。 当 Ei<Ef 原子吸收光子。
1.055 10
-34
J s
§4.氢原子的玻尔理论 / 四、氢原子的玻尔理论
L1 v1 mer1
1.055 10 -31 -10 9.11 10 0.529 10
-34
2.19 10 m/s
6
例2：用 12.6eV 的电子轰击基态原子，这 些原子所能达到最高态。 解：如果氢原子吸收电子全部能量它所具 有能量
-13.6eV
4
②.激发态 n >1 的为激发态。
§4.氢原子的玻尔理论 / 四、氢原子的玻尔理论
E1 E2 2 -3.4eV 2 E1 E3 2 -1.51eV 3 E1 E4 2 -0.85eV 4
n
n4
n3
n2
E 0
布拉开系 帕邢系 巴尔末系
- 0.85eV - 1.51eV
四、氢原子的玻尔理论
§4.氢原子的玻尔理论 / 四、氢原子的玻尔理论
玻尔（Niels Henrik David Bohr ，1885--1962丹 麦理论物理学家，现代物理学的创始人之一。1911年， 他来到卡文迪什实验室，在J.J.汤姆逊的指导下学习 和研究，当得知卢瑟福从 粒子散射实验提出了原子 的有核模型后，他深感亲佩，同时也非常理解该模型 所遇到的困难。于是他又转赴卢瑟福实验室求学，并 参加 粒子散射的实验工作，他坚信卢瑟福的有核模 型，认为要解决原子的稳定性问题，必须用量子概念 对经典物理来一番改造。终于在1913年发表了《论原 子构造与分子构造》等三篇论文，正式提出了在卢瑟 福原子有核模型基础上的关于原子稳定性和量子跃迁 理论的三条假设，从而完满地解释了氢原子光谱的规 律。玻尔的成功，使量子理论取得重大进展，推动了 量子物理学的形成，具有划时代的意义。
氢原子的量子理论
1)
R
0
(1) (2)
(3)
其中 m 和 l 是引入的常数。
解此三个方程，并考虑到波函数应满足的
标准化条件，即可得到波函数 (r, , )
并且可得到： 能量量子化 角动量量子化 角动量空间量子化
三个量子数
1.能量量子化和主量子数
求解方程(3) ，并使 R ( r ) 满足标准化条件，求得 E必等于
32 2022
1 n2
L l(l 1)
Lz m
对于给定的 n ，l 可以有n 个值
对于给定的 l ，m 可以有 2l+1 个值
对于给定的 n ，可能的波函数(状态)数量
n1
N (2l 1) n2 简并度
l 0
n 1, 2 , 3 ,
K, L, M, N, …… 壳层
l 0,1, 2 , , n 1
26.5.2.原子的壳层结构
原子中的电子 n , l , m , ms
壳层 n 1, 2,3, K, L, M, N, …… 壳层
次壳层 l 0, 1, 2 , , n 1 s, p, d, f, g, …… 次壳层
如：n = 3, l = 0, 1, 2 分别称为3s态,3p态,3d态
电子在原子内的分布 多电子原子系统中，核外电子在不同的壳层上
r 2 r r r 2 sin
r 2 (sin )2 2
同乘 r 2/RY,并且移项
1 R
d dr
(r 2
dR ) dr
K 2r2
Y
1 sin
(sin
Y
)
Y
1 (sin
)2
2Y
2
1 R
d dr
(r 2
《氢原子的量子理论》课件
2 自旋标度符号
解释自旋标度符号和自旋 的相对性质，以及它们在 波函数描述中的作用。
3 自旋磁量子数
探索氢原子自旋磁量子数 和简并度，及其对态的能 量和性质的影响。
结论
1 氢原子量子理论的应用
总结氢原子量子理论在原子物理和量子力学研究中的重要应用和意义。
2 未来研究方向
探讨氢原子量子理论未来可能的发展方向和研究领域。
讨论氢原子能级的计算方法和能量本征值的物理意义。
2
能级简并
解释氢原子能级简并现象的原因和如何计算简并度。
3
能量本征函数
介绍氢原子的能量本征函数及其在波函数中的应用。
氢原子的辐射
发射光谱
吸收光谱
探索氢原子的发射光谱现象，解 释辐射能级跃迁和光谱线的产生。
讲解氢原子的吸收光谱，如何分 析和应用能级的吸收特性。
3 社会意义
思考氢原子量子理论对社会和技术的影响，以及潜在的实际应用。
氢原子的波函数
讨论氢原子的波函数表达和 意义，以及如何计算和解释 波函数。
氢原子的波函数
1 主量子数
介绍氢原子主量子数及其在波函数中的作用和意义。
2 角量子数
解释氢原子角量子数的概念和用途，以及与轨道形状的关系。
3 磁量子数
探讨氢原子磁量子数的含义和作用，以及在磁场中的行为。
氢原子的能级
1
能量本征值
等相球面模型
介绍氢原子的等相球面模型，解 释电子在不同能级之间的跃迁规 律。
氢原子的旋磁量子数
1定则和跃迁的概率。
2 符号约定
解释氢原子量子数的符号约定，如何表示和计算旋磁量子数。
3 柯塞特定理
介绍柯塞特定理和它在解析解中的应用，以及旋转对称性的影响。
大学课件 量子力学 氢原子
c[ d 1 * Fˆ 2 d (Fˆ 1 ) * 2 ] c * [ d (Fˆ 2 ) * 1 d 2 * Fˆ 1 ]
令c = 1，得：
d 1 * Fˆ 2 d (Fˆ 1 ) * 2 d (Fˆ 2 ) * 1 d 2 * Fˆ 1
令c = i，得：
[ d 1 * Fˆ 1 ]* | c |2 [ d 2 * Fˆ 2 ]* c * d (Fˆ 2 ) * 1 c d (Fˆ 1 ) * 2
左式=右式 d 1 * Fˆ 1 | c |2 d 2 * Fˆ 2 c * d 2 * Fˆ 1 c d 1 * Fˆ 2
2
2
r 2
(r )
V
(
r
)
(r )
E
(r )
问题的求解上一节已经
解决，只要令： Z = 1, 是折合质量即可。于 是氢原子能级和相应的本 征函数是：
e4
En 22n2
n 1,2,3,
nlm
(r )
Rnl
(r )Ylm
(
,
)
V(r) e2 r
r x2 y2 z2
（I）能级
1. 基态及电离能
[ r] re 3/ 2 2
1
1
1 3 a0
r
27 3 81 3a0 a0
R31(r)
2 a0
( r ) e 3/ 2 1 1 81 15 a0
2
3
1 a0
r
W10 (r ) R102 (r )r 2 r e 4 2 2r / a0
a03
的归一化
求最可几半径极值
dW10(r ) dr
4 a03
（1）二体问题的处理
（I）基本考虑 二体运动动, 二粒子作为一个整体的质心运动。
近代物理量子5-氢原子的量子理论,电子自旋
L l(l 1)
l = 0, 1, 2, 3, …, n-1 称为角量子数(副量子数)。
对同一个 n , 角动量有n个不同的值
定义L为角动量是因为 h 具有角动量的量纲， 并不需要有轨道的概念。
当n 1时，l 0，L 0，即电子处于 基态时角动量为零。 玻尔理论：
L n h n
2
n 1,2,3...
5.求出概率密度分布及其他力学量
一、氢原子的量子力学处理
1.氢原子的定态薛定谔方程
[
22Βιβλιοθήκη U (r )]( r )
E (r )
2m
氢原子中电子的电势能 U e2
4π 0 r
U和方向无关 为中心力场U( r )
z
球坐标 x r sin cos
y r sin sin
z r cos
y
x
在球坐标中的薛定谔方程
而且计算得到的两条沉积线之间的距离 也与实验符合得很好。
讨论 四个量子数 • 电子的状态用量子数 n , l , ml 描述
考虑自旋后 还有2种可能 相当于还需一个自由度来表征
• 所以 电子的状态应用n，l，ml ，ms描述
（1）主量子数 n：n =1，2，3……，可以大体上决
定原子中电子的能量。
1900-1958 1945年诺贝尔物理
学奖获得者
半年后，荷兰物理学家埃斯费斯特的两个学生乌仑贝克和 高斯密特在不知上述情形下，也提出了同样的想法，并写了 一篇论文，请埃斯费斯特推荐给“自然”杂志。接着又去找 洛仑兹，一周后，洛仑兹交给他们一叠稿纸。并告诉他们， 如果电子自旋，其表面速度将超过光速，但论文已寄出，他 们后悔不已。
1921年史特恩---盖拉赫进行的实验是证明角动量空间量 子化的首例实验，是原子物理学最重要的实验之一 。
l = 0, 1, 2, 3, …, n-1 称为角量子数(副量子数)。
对同一个 n , 角动量有n个不同的值
定义L为角动量是因为 h 具有角动量的量纲， 并不需要有轨道的概念。
当n 1时，l 0，L 0，即电子处于 基态时角动量为零。 玻尔理论：
L n h n
2
n 1,2,3...
5.求出概率密度分布及其他力学量
一、氢原子的量子力学处理
1.氢原子的定态薛定谔方程
[
22Βιβλιοθήκη U (r )]( r )
E (r )
2m
氢原子中电子的电势能 U e2
4π 0 r
U和方向无关 为中心力场U( r )
z
球坐标 x r sin cos
y r sin sin
z r cos
y
x
在球坐标中的薛定谔方程
而且计算得到的两条沉积线之间的距离 也与实验符合得很好。
讨论 四个量子数 • 电子的状态用量子数 n , l , ml 描述
考虑自旋后 还有2种可能 相当于还需一个自由度来表征
• 所以 电子的状态应用n，l，ml ，ms描述
（1）主量子数 n：n =1，2，3……，可以大体上决
定原子中电子的能量。
1900-1958 1945年诺贝尔物理
学奖获得者
半年后，荷兰物理学家埃斯费斯特的两个学生乌仑贝克和 高斯密特在不知上述情形下，也提出了同样的想法，并写了 一篇论文，请埃斯费斯特推荐给“自然”杂志。接着又去找 洛仑兹，一周后，洛仑兹交给他们一叠稿纸。并告诉他们， 如果电子自旋，其表面速度将超过光速，但论文已寄出，他 们后悔不已。
1921年史特恩---盖拉赫进行的实验是证明角动量空间量 子化的首例实验，是原子物理学最重要的实验之一 。
2.3 玻尔的氢原子理论
谢谢
大学物理——量子物理
玻尔的氢原子理论
卢瑟福的“核式模型”
原子核
电子
σ
1 λ
R
1 m2
1 n2
Tm பைடு நூலகம்n
里兹组合
无法解释原子稳定性、以及原子线状光谱！
1913年，玻尔在卢瑟福的核结构模型的基础上， 把量子化概念应用到原子系统，结合里兹组合，提 出氢原子理论。
一、玻尔的氢原子理论
解释原子稳定性
—— 定态假设
解释原子的分立光谱 —— 跃迁假设
定量分析原子光谱 —— 角动量量子化假设
1. 定态假设
原子系统只能处在一系列不连续的能量状态，在这些状 态中，虽然电子绕核运动作加速运动，但不辐射也不吸收电 磁波，这些状态称为原子系统的稳定状态，简称定态。
相应的不连续能量分别为 E1，E2 能量确定,定态能级 原子结构稳定 能量稳定，运动轨迹稳定
一、玻尔的氢原子理论
解释原子的分立光谱 —— 跃迁假设
2. 跃迁条件（频率条件）
原子能量的任何变化，包括发射或吸收电磁辐射，
都只能以在两个定态之间以跃迁的方式进行。
原子在两定态之间跃迁：En< Em 时
辐射电磁波：
hν En Em
Em
●
En
吸收电磁波：
Em
En hν Em
●
En
定态能级不连续，能级差值不连续，辐射（吸收）
电磁波频率不连续——线性分立光谱
一、玻尔的氢原子理论
定量分析原子光谱 —— 角动量量子化假设
3. 轨道角动量量子化假设
定态与电子绕核运动的一系列分立圆周轨道相对应，
电子轨道角动量只能是（h/2） 的整数倍，即
量子物理基础_03_氢原子光谱与玻尔理论
氢原子光谱巴尔末线系有一条光谱 434 nm ，计算 1) 与这一谱线相应的光子能量为多少电子伏特？ 2) 该谱线是氢原子由能级En跃迁到能级Ek产生的， n和k各为多少？ 3) 大量氢原子处于能级E5的状态上，最多可发射几个谱系? 共几条谱线？在氢原子的能级图中表示出来。 并说明波长最短的是哪一条谱线
第三讲 量子物理基础 —— 氢原子光谱与玻尔理论
2 卢瑟福原子模型 1909年 汉斯·盖革和恩斯特·马斯登 —— 粒子金箔散射
粒子散射 —— 出现大角度散射
第三讲 量子物理基础 —— 氢原子光谱与玻尔理论
1911年卢瑟福 —— 原子行星模型 —— 有核原子模型 电子加速运动发射电磁波
导致电子能量减小
玻尔的频率公式
nk
En Ek h
—— E n E k
4
c
c 波数表示
me 1 1 En Ek nk 2 3 ( 2 2) hc 8 0 h c k n
RHTheo me 4 2 3 1.0973731 107 m 1 8 0 h c
1 1 RH ( 2 2 ) —— 氢原子光谱系 k n
k 1
k 2
n 2, 3, 4
n 3, 4, 5
赖曼线系(1914年) — 紫外区 巴尔末系(1885年) — 可见光 帕邢线系(1908年) — 红外区 布拉开系(1922年) — 红外区 普丰德系(1924年) — 红外区 哈弗莱系(1953年) — 红外区
k 3
k 4
n 4, 5, 6
n 5, 6, 7
k 5
n 6, 7, 8
k 6
n 7, 8, 9
第三讲 量子物理基础 —— 氢原子光谱与玻尔理论
第三讲 量子物理基础 —— 氢原子光谱与玻尔理论
2 卢瑟福原子模型 1909年 汉斯·盖革和恩斯特·马斯登 —— 粒子金箔散射
粒子散射 —— 出现大角度散射
第三讲 量子物理基础 —— 氢原子光谱与玻尔理论
1911年卢瑟福 —— 原子行星模型 —— 有核原子模型 电子加速运动发射电磁波
导致电子能量减小
玻尔的频率公式
nk
En Ek h
—— E n E k
4
c
c 波数表示
me 1 1 En Ek nk 2 3 ( 2 2) hc 8 0 h c k n
RHTheo me 4 2 3 1.0973731 107 m 1 8 0 h c
1 1 RH ( 2 2 ) —— 氢原子光谱系 k n
k 1
k 2
n 2, 3, 4
n 3, 4, 5
赖曼线系(1914年) — 紫外区 巴尔末系(1885年) — 可见光 帕邢线系(1908年) — 红外区 布拉开系(1922年) — 红外区 普丰德系(1924年) — 红外区 哈弗莱系(1953年) — 红外区
k 3
k 4
n 4, 5, 6
n 5, 6, 7
k 5
n 6, 7, 8
k 6
n 7, 8, 9
第三讲 量子物理基础 —— 氢原子光谱与玻尔理论
大学物理课件 氢原子
答案C
2.具有下列哪一能量的光子，能被处在n = 2的能 级的氢原子吸收？ (A) 1.51 eV． (B) 1.89 eV．
(C) 2.16 eV．
(D) 2.40 eV．
答案B
例题1. 实验发现基态氢原子可吸收能量为 12.75 eV的 光子． (1) 试问氢原子吸收该光子后将被激发到哪个能级？ (2) 受激发的氢原子向低能级跃迁时，可能发出哪几 条谱线？请画出能级图(定性)，并将这些跃迁画在能 级图上． （3）巴耳末线系有几条？ 莱曼系有几条？
定态薛定谔方程变为
1 2 1 1 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 r r r r sin r sin 2
2
2m e2 2 (E ) 0 4π 0 r
设波函数
(r , , ) R(r )Θ( )Φ( )
解（1） 激发态能量 (n 1) E1 13.6 En 2 - 2 eV n n
1 E n - E1 13.6(1 2 ) 12.75e V n
n =4
第三激发态
43 42 32 41 31 21
n =4 3 2 1
42 21 六条谱线． 41 43 31 32 (2) 可以发出 （3）巴耳末线系有 42 32 2条 莱曼线系有 41 31 21 3条
h Em En
第一激发态
第二激发态
基态 n 1
13.6
氢 原 子与 能光 级谱 跃系 迁
n4 n3 n2
n
帕邢系 巴耳末系
莱曼系
E 0
n 1
E
氢原子光谱
1.由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激 发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光． (C) 三种波长的光． (B) 两种波长的光． (D) 连续光谱．
氢原子的量子力学描述
氢原子的量子力学描述氢原子是最简单的原子，也是量子力学的经典案例之一。
在量子力学的描述中，氢原子的性质可以通过薛定谔方程来研究。
本文将从波函数、能级、角动量等方面对氢原子的量子力学描述进行详细介绍。
我们来介绍氢原子的波函数。
波函数是描述粒子在空间中的概率幅的函数。
对于氢原子而言，其波函数可以通过求解薛定谔方程得到。
波函数的模的平方表示了粒子存在于某一位置的概率密度。
对于氢原子而言，其波函数有一些特殊的解，分别对应不同的能级。
这些能级由主量子数n来标记，其中n=1,2,3...。
每个能级对应的波函数都具有特定的空间分布，这些分布在球坐标系中可以用球谐函数来描述。
接下来，我们来介绍氢原子的能级。
根据量子力学的理论，氢原子的能级可以通过求解薛定谔方程得到。
能级的大小由主量子数n来决定，能级越高，主量子数n的值越大。
每个能级都具有固定的能量，能量越高，能级越远离原子核。
而能级之间的能量差是不连续的，这就是量子力学的离散性质。
除了能级外，氢原子还具有角动量。
角动量是描述粒子旋转运动的物理量，对于氢原子而言，其角动量由轨道角动量和自旋角动量两部分组成。
轨道角动量是由电子围绕原子核运动而产生的，而自旋角动量是电子自身的固有性质。
氢原子的轨道角动量由量子数l来标记，其取值范围为0到n-1，其中n为主量子数。
自旋角动量由量子数s来标记，其取值为1/2。
这些角动量的取值对应着不同的能级和波函数，它们在氢原子的能级结构中起到重要的作用。
总的来说，氢原子的量子力学描述涉及到波函数、能级和角动量等方面。
波函数可以描述粒子在空间中的分布情况，能级则决定了粒子的能量和空间分布，而角动量则描述了粒子的旋转运动。
这些描述对于理解氢原子的性质和行为具有重要的意义，也为量子力学的发展提供了重要的范例。
通过对氢原子的量子力学描述的研究，我们可以更好地理解量子世界的奥秘。
原子量子理论 氢原子光谱-PPT精选文档
四. 用玻尔理论解释H光谱规律
1. H原子的轨道半径
2 2 e v m（ 向 心 力 为 库 仑 力 ） 2 4 r r 0
2 r n ( n
h 2 0 ) n r 1 2 me
1 e2 1 v v m v rn （ 角 动 量 量 子 在可见光范围内看到： 一红(656.3nm)、一蓝(486.1nm) 、二紫(434.1nm,410.2nm) 2. 巴耳末总结出符合实验的经验公式（可见区）：
1 1 1 R ( 22 ) 2 n ( n 取 正 整 数 )
71 R 1 . 0 9 7 1 0 m 里 德 伯 常 数
n 3 , 4 , 5 , 6 对 应 上 述 四 条 谱 线
3
3. 在红外区、紫外区分别观察到光谱系也符合上述公式：
1 1 1 R ( 22 ) (, k n 取 正 整 数 ) k n k 取 定 值 ， n k 的 正 整 数 ， 对 应 的 谱 线 构 成 谱 线 系
1 1 1 k 12 n , 3 , 4 R ( )紫 外 区 莱 曼 系 2 2 1 n
4 1 m e 1 E 2 ( 2 2) 2 E n 1 能量是量子化的 n 8 h n 0
4 m e E ( 22 ) 1 3 . 6 e V 基 态 能 量 1 8 h 0
n 1 基 态 能 量 也 是 最 低 能 量 ， 对 应 最 稳 定 状 态 ， 电 子 处 在 最 内 层 轨 道 n 1 各 不 同 定 态 ， 称 为 受 激 态
轨道是量子化的（因为L的量子化）
1 0 2 1 0
h nr 1 0 . 5 2 9 1 0 m 玻 尔 半 径 （ 第 一 轨 道 半 径 ） m e
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1
r 2 sin2
1 r2
r
(r 2
) r
1 r2
2
1
其中
2
1
sin
(sin
)
1
sin2
将上式代入前式，得
1 r2
r
(r 2
)
r
1 r2
Ω 2
2me 2
[E
U
(r)]
0
波函数表示为
(r,,) R(r)Y(,)
将上式代入前式，得
1 d (r 2 dR ) 2me r 2 [E U (r)] 1 2Y
2
() ()d
1
0
1
A
2
() 1 eim
2
为确保极角波函数()的有限性，必须满足
= l(l+1) , l = 0, 1, 2, ···
并且 m l ，即
m = 0, 1, 2, ···, l
将()和()合并，并正交归一化，得
Ylm(,) ()() 球谐函数
(1)m
(2l 4
1)
(l (l
En 的本征函数
nlm (r,,) Rnl (r)Ylm (,)
本征函数nlm (r, , )也就是在一定的主量子数n、角量子数l和磁量子数m时氢原 子(或者说氢原子中的电子)所处的量子态。这个量子态的本征能量En 只决定于主 量子数n，而与角量子数l和磁量子数m无关。
对于任何一个主量子数n，共有
径向波函数Rnl (r)中的a应以a = a/Z代替，则有
a
4 02
me q 2
4 02
me Ze2
a Z
能级公式
En
me Z 2e4
22 (4 0 )2 n2
,
n 1, 2,
关于氢原子的其他结论都可依此类推，而用于类氢离子。
m)! m)!
Pl m
(cos
)eim
5
将 = l(l+1)和球谐函数代入
1
sin
(sin
Y )
1
sin2
Y
Y
0
得
[1
sin
(sin
)
1
sin2
]Ylm (,) l(l
1)Ylm (,)
将角动量平方算符代入上式，得
其本征值为
L2Ylm (,) l(l 1)2Ylm (,)
L2 = l(l+1)
d dr
(r 2
dR dr
)
[
2me 2
(E
U)
l(l 1)]R r2
0
令 于是
R(r) u(r)
r
d2u(r ) dr 2
[
2me 2
(E
U
)
l(l 1)]u(r) r2
0
势能为
e2 U (r)
es2
4π0r r
其中
es2
e2
4 0
因E < 0，将上式代入上上式，得
d 2 u(r ) dr2
n1
(2l 1) n2
l0
个量子态都对应于相同的能量本征值En，这种情形就称为能级En是简并的，或者 更具体地说，定态能级En的简并度是n2。
11
五、类氢离子 势能为
U (r) Ze2 q2 其中 q Z e 4π0r 4π0r
定态波函数仍为
nlm (r,,) Rnl (r)Ylm (,)
径向波函数Rnl (r)中 何多项式。
F(l 也1 是 一n,个2l特殊2函, 数2r，)称为(l+1n)阶合流超几 na
a的具体形式为
a 2 4 02
me es2
me e2
9
满足束缚态条件时，有 由上式可得氢原子的能量本征值为
me 2E
es2
n,n 1,2,3,
En
me es4 2 2 n 2
me e4
22 (4 0 ) 2 n2
,
n 1, 2,3,
这就是氢原子的能级公式，与玻尔氢原子理论中的能级公式完全一致。
从能级公式可以看到，E=0，这就是电离的情形。
当n = 1，即氢原子处于基态时，能量为
E1
mee 4
22 (4π0 )2
13.597eV
10
四、能量的本征函数和能级的简并度
算符的本征值为
Lz m m = 0, 1, 2, ···, l
m称为磁量子数，表示电子轨道角动量的z分量的大小。
轨道角动量在空间不能任意取向，而只能取某些特定方向的性质，称为角动 量的空间量子化。
7
三、径向波函数和氢原子的能级
将 = l(l+1)代入径向波函数R (r)所满足的方程,得
1 r2
d
d
d 2
设常数m2，则上式分成两个方程
1 d (sin d ) ( m2 ) 0
sin d
d
sin2
d 2 d 2
m2
0
3
氢原子中电子波函数(r,,)的三个组成部分R(r)、()和()分别满
足的方程为
1 r2
d dr
(r 2
dR ) dr
[
2me 2
(E
U)
r2
]R
0
1
sin
d
d
(sin
d ) d
(
m2 sin 2
)
0
d2 m2 0 d 2
二、角动量的本征函数和相应的量子数
方位角波函数()是上式的解，即
() Aeim
()是单值的，满足() = ( +2)，即
Ae Ae im
im( 2 ) m只能取整数0, 1, 2, ···
4
根据归一化条件，得 归一化系数为 归一化方位角波函数为
R dr dr
2
Y
设这个常量为，于是由上式，得
1 r2
d dr
(r 2
dR dr
)
[
2me 2
(E
U)
r 2 ]R
0
2Y Y 0 2
上式的具体形式是
1
sin
(sin
Y )
1
sin2
Y
Y
0
将Y(,)表示为两个函数的乘积
Y ( ,) Θ( )Φ()
将上式代入前式，得
sin d (sin d ) sin2 1 d 2
§3-3 氢原子量子理论简介
一、有心力场中的薛定谔方程
系统的势能为 哈密顿算符为 定态薛定谔方程为
U (r) e2
4 0r
Hˆ p2 U(r) 2 2 U(r)
2me
2me
2
2me 2
[E
U(r)]
0
将拉普拉斯算符写为球坐标的形式
2
1 r2
r
(r 2
) r
1
r2 sin
(sin
)
[
2me E 2
2me es2 2r
l(l r2
1) ]u(r)
0
8
由上式解得的径向波函数为
Rnl(r)来自unl (r r)
N nl er
/
na
(
2r na
)l
F(l
1
n,2l
2,
2r na
)
归一化系数为
N nl
a3
2 2n2 (2l
1)!
(n l)! (n l 1)!
式中 n = 1, 2, 3, , l = 0, 1, 2, , (n-1)
2
由此求得动量的本征值为
L l(l 1)
L称为轨道量子数或角量子数，表示电子相对于原子核的角动量的大小。核外 电子相对于核的角动量，称为轨道角动量。
6
L 球谐函数Ylm (,)既是算符 的本征函数，2 也是算符
L的2z 本征函数，故有
Lˆ2zYlm ( , ) (i)2 Ylm ( , ) (i)2 (im)2 Ylm ( , ) m 22Ylm ( , )