平面向量与空间向量知识点及理科高考试题
高三向量专题复习(含知识点)有答案
状元堂测试试卷，则把向量AB 按向量a ＝（－1,3的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB )； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）、b 叫做平行向量，记作：a ∥b 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；但两条直线平行不包含两条直线重合；（因为有0)；AB AC 、共线； ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是日期： 2012- 时间：．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量(),a xi y j x y =+=，称的坐标表示。
如果向量的起点在原点是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1、2λ，使a =1λe 1＋2λ(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-c =______1322a b -）；）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213(2,3),(,24e e =-=-（答：B ）；四．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与的方向相反，当λ＝0a λ=，注意：五．平面向量的数量积：两个向量的夹角：对于非零向量，b ，作,OA a OB b ==，AOB ∠称为向量a ，b 的夹角，当0时，a ，b 同向，当θ＝π2．平面向量的数量积，b ，它们的夹角为，我们把数量||||cos a b θ叫做，记作：a •b ，即a cos a b θ。
平面向量和空间向量的知识点对比
平面向量和空间向量的知识点对比知识点平面向量空间向量。
---定义既有大小又有方向的量，在平面内既有大小又有方向的量，在空间中。
表示方法通常用有向线段表示，如→AB，也可以用坐标表示(x,y)通常用有向线段表示，如→AB，坐标表示为(x,y,z)向量的模对于平面向量→a=(x,y)，|→a|=√(x^2)+y^{2}对于空间向量→a=(x,y,z)，|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}相等向量大小相等且方向相同的向量，在平面内大小相等且方向相同的向量，在空间中。
平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，在平面内→a=k→b(k∈ R)表示→a∥→b方向相同或相反的非零向量，在空间中→a=k→b(k∈ R)表示→a∥→b加法运算三角形法则和平行四边形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2)三角形法则和平行四边形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)减法运算三角形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2)三角形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)数乘运算若→a=(x,y)，k∈ R，则k→a=(kx,ky)若→a=(x,y,z)，k∈ R，则k→a=(kx,ky,kz)数量积若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a·→b=x_1x_2+y_1y_2，→a·→b=|→a||→b|cosθ（θ为→a与→b的夹角）若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a·→b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2，→a·→b=|→a||→b|cosθ（θ为→a与→b的夹角）向量的夹角设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，cosθ=frac{→a·→b}{|→a||→b|}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{√(x_1)^2+y_{1^2}·√(x_2)^2+y_{2 ^2}}，θ∈[0,π]设→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，co sθ=frac{→a·→b}{|→a||→b|}=frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{√(x_1)^2+y_{1^2+z_1^2}·√(x_2)^2+y_{2^2+z_2^2}}，θ∈[0,π]向量垂直若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0L eftrightarrow x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0向量的应用在平面几何、物理（如力的合成与分解等）中有广泛应用在立体几何（如证明线面平行、垂直，求异面直线所成角、线面角、二面角等）、物理（如空间力的分析等）中有广泛应用。
高考一轮复习 空间向量运算 知识点+例题+练习
1．空间向量的有关概念及定理(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向________且模________的向量．(3)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是________________________．(4)共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b ，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O 有，OP →＝________________或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOM →，其中x ＋y ＋z ＝____.(5)空间向量基本定理如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝________________________，把{e 1，e 2，e 3}叫做空间的一个基底．2．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝__________________________________________________________________.(2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，若b ≠0，则a ∥b ⇔________⇔__________，________，______________，a ⊥b ⇔__________⇔________________________(a ，b 均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝________________________________，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝______________________________________________________. 若A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则|AB →|＝______________________________.3．利用空间向量证明空间中的位置关系若直线l ，l 1，l 2的方向向量分别为v ，v 1，v 2，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下： 平行 垂直直线 与直线 l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔v 1＝λv 2(λ为非零实数)l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0 直线 与平面 ①l ∥α⇔v ⊥n 1⇔v ·n 1＝0②l ∥α⇔v ＝x v 1＋y v 2其中v 1，v 2为平面α内不共线向量，x ， y 均为实数l ⊥α⇔v ∥n 1⇔v ＝λn 1(λ为非零实数)平面 与平面 α∥β⇔n 1∥n 2⇔n 1＝λn 2(λ为非零实数)α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0自我检测1．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a ∥b ，则x ＝______________________，y ＝________.2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →用a ，b ，c 表示为________．3．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，已知∠BAD ＝∠A ′AB ＝∠A ′AD ＝60°，AB ＝3，AD ＝4，AA ′＝5，则|AC ′→|＝________.4．下列4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题是________(填序号)．5．A (1,0,1)，B (4,4,6)，C (2,2,3)，D (10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).探究点一 空间基向量的应用例1 已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN .变式迁移1如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．探究点二利用向量法判断平行或垂直例2两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．变式迁移2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.探究点三利用向量法解探索性问题例3如图，平面P AC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为P A，PB，AC的中点，AC＝16，P A＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．探究点三 利用向量法求二面角例3 如图，ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝BC ＝BA ＝1，AD ＝12，求面SCD 与面SBA 所成角的余弦值大小．变式迁移3 如图，在三棱锥S —ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．(1)证明：SO ⊥平面ABC ；(2)求二面角A —SC —B 的余弦值．探究点四综合应用例4如图所示，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD＝3，BD＝CD＝1，另一个侧面ABC是正三角形．(1)求证：AD⊥BC；(2)求二面角B－AC－D的余弦值；(3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．变式迁移4 (2011·山东，19)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A－BF－C的大小．1、如图所示，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.2、如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．3、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．4、如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD.(1)求二面角B－AD－F的大小；(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值．。
直击2024年高考——高三数学空间向量考点精讲(全国版)
空间向量考点精讲1．空间向量的线性运算已知空间向量，a b ，我们可以把它们移到同一个平面α内，以任意点O 为起点，作向量OA AB ==，a b ．类似于平面向量，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算： ① OA AB OB +=+=a b ；② OA OC CA −=−=a b ；③ 当0λ>时，λa 与向量a 方向相同；当0λ<时，λa 与向量a 方向相反；当0λ=时，λ0a =；λa 的长度是a 的长度的λ倍．2．空间向量线性运算的运算律交换律：+=+a b b a ；结合律：()()++=++a b c a b c ，()()λμλμ=a a ；分配律：()λμλμ+=+a a a ，()λλλ+=+a b a b 。
3．空间向量的数量积运算已知两个非零向量，a b ，则cos ，a b a b 叫做，a b 的数量积，记作⋅a b ．即cos ⋅=，a b a b a b ．特别地，零向量与任何向量的数量积为0．由向量的数量积定义，可以得到：=0⊥⇔⋅a b a b ；2cos ⋅==，a a a a a a a ．4．空间向量数量积的运算律()()λλ⋅=⋅a b a b ；⋅=⋅a b b a （交换律）；()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c （分配律）．5．空间向量基本定理如果三个向量，，a b c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组{}x y z ，，，使得x y z =++p a b c ．由此可知，如果三个向量，，a b c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{}x y z x y z =++∈R ，，，p p a b c ．这个集合可看作是由向量，，a b c 生成的，把{}，，a b c 叫做空间的一个基底，，，a b c 都叫做基向量．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．6．空间向量的坐标运算设123123()()a a a b b b ==，，，，，a b ，则 ①112233()a b a b a b +=+++，，a b ．②112233()a b a b a b −=−−−，，a b ．③123()a a a λλλλ=，，a ．④112233a b a b a b ⋅=++a b ．⑤112233()a b a b a b λλλλλ⇔=⇔===∈≠R 0∥，，，a b a b b ． ⑥11223300a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔++=a b a b ．⑦==a ⑧cos ⋅==，a b a b a b ⑨设11112222()()P x y z P x y z ，，，，，是空间中任意两点，则 1212(PP PP x ==.7．空间向量解平行垂直问题设直线l m ，的方向向量分别为，a b ，平面αβ，的法向量分别为，u v ，则（1）l m k k ⇔⇔=∈R ∥∥，a b a b ；（2）0l m ⊥⇔⊥⇔⋅=a b a b ；（3）0l α⇔⊥⇔⋅=∥a u a u ；（4）l k k α⊥⇔⇔=∈R ∥，a u a u ；（5）k k αβ⇔⇔=∈R ∥∥，u v u v ；（6）0αβ⊥⇔⊥⇔⋅=u v u v ．8．空间向量解距离夹角问题（1）点到直线的距离已知直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点，向量AP 在直线l 上的投影向量为AQ . 设AP =a ，则点P 到直线l 的距离为 22PQ AP AQ =−=a （2）点到平面的距离已知平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点. 过点P 作平面α的垂线l ，交平面α于点Q ，则点P 到平面α的距离为 AP AP PQ AP ⋅⋅=⋅==n n n n n n.（3）异面直线所成角若异面直线12l l ，所成的角为θ，其方向向量分别是，u v ，则cos cos θ⋅==，u v u v u v .（1）直线与平面所成角 设直线l 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin cos θ⋅==，u n u n u n ．（4）两平面间的夹角平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角。
高考数学选修2,1知识点：从平面向量到空间向量
高考数学选修2,1知识点：从平面向量到空间向量1500字从平面向量到空间向量，是高中数学的一个重要知识点。
平面向量和空间向量是向量的两种不同形式，它们在数学上有着相似的性质和运算规律，但在几何上有一些区别。
首先，我们来了解一下平面向量。
平面向量是指在平面内有大小和方向的向量。
平面向量用有向线段表示，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
设向量AB的起点为A，终点为B，记作向量AB，表示为→AB。
平面向量有两种表示方法：坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示：假设平面向量AB的起点坐标为A(x1, y1)，终点坐标为B(x2, y2)，则向量AB的坐标表示为(x2 - x1, y2 - y1)。
2. 分量表示：平面向量的分量表示是通过向量的水平分量和竖直分量表示向量。
假设平面向量AB的长度为|r|，与X轴的夹角为θ，则水平分量为|r|cosθ，竖直分量为|r|sinθ。
接下来，我们来了解一下空间向量。
空间向量是指在三维空间中有大小和方向的向量。
空间向量同样用有向线段表示，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
设向量AB的起点为A，终点为B，记作向量AB，表示为→AB。
空间向量也有两种表示方法，即坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示：假设空间向量AB的起点坐标为A(x1, y1, z1)，终点坐标为B(x2, y2, z2)，则向量AB的坐标表示为(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)。
2. 分量表示：空间向量的分量表示同样是通过向量在坐标轴上的投影来表示向量。
假设空间向量AB的长度为|r|，与X轴、Y轴、Z轴的夹角分别为α、β、γ，则向量的X 轴分量为|r|cosα，Y轴分量为|r|cosβ，Z轴分量为|r|cosγ。
在从平面向量到空间向量的过程中，需要注意以下几点：1. 坐标表示的差异：平面向量的坐标表示有两个分量，而空间向量的坐标表示有三个分量。
2. 分量表示的差异：平面向量的分量表示只有水平分量和竖直分量，而空间向量的分量表示有X轴、Y轴、Z轴三个分量。
解密高考数学中的平面向量与空间向量运算
解密高考数学中的平面向量与空间向量运算数学作为高考的一门重要科目，其内容繁多且考察层次较高。
其中，平面向量与空间向量运算作为高考数学中的重要知识点，被广大考生所关注。
本文将针对平面向量与空间向量运算进行详细解密，帮助考生更好地理解和应用这一知识点。
一、平面向量的定义和基本运算在解密平面向量运算之前，我们首先需要了解平面向量的定义和基本运算。
平面向量是指在平面内具有大小和方向的量，通常用箭头来表示。
具体来说，平面向量由起点和终点确定，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
平面向量的基本运算包括加法、减法和数乘。
平面向量的加法用两个向量的始点相连作为新向量的始点，将两个向量的终点相连作为新向量的终点。
平面向量的减法则是将被减向量取相反向量后再进行加法运算。
平面向量的数乘是将向量的大小乘以一个实数。
在解密高考数学中的平面向量运算时，我们需要牢记这些基本运算规则，并能够熟练地应用到具体的题目中去。
二、平面向量的数量积和向量积除了基本的向量运算外，平面向量还涉及到数量积和向量积。
数量积又称点积或内积，用来计算两个向量之间的夹角和相对方向。
向量积又称叉积或外积，用来计算两个向量构成的平行四边形的面积和方向。
平面向量的数量积定义为两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值。
数学上可表示为：A·B = |A||B|cosθ其中，A和B分别为两个向量，|A|和|B|为它们的模长，θ为夹角。
平面向量的向量积定义为两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的正弦值乘以一个法向量，以得到一个新的向量。
数学上可表示为：A ×B = |A||B|sinθn其中，A和B分别为两个向量，|A|和|B|为它们的模长，θ为夹角，n为法向量。
高考数学中的平面向量运算题目往往会考查考生对数量积和向量积的理解和应用能力，因此我们需要通过大量练习题目来掌握这两种运算方法。
三、空间向量的定义和基本运算在解密高考数学中的空间向量运算之前，我们同样需要理解和掌握空间向量的基本概念和基本运算。
高中数学平面向量知识点总结及常见题型
高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。
向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。
③单位向量：模为1个单位长度的向量。
向量a为单位向量｜a｜＝1.④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。
由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。
大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。
1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。
3.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。
零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
高中数学向量与空间复习 题集附答案
高中数学向量与空间复习题集附答案高中数学向量与空间复习题集附答案一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，用箭头表示。
2. 向量的表示方法(1) 用坐标表示：向量AB可以表示为→AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)。
(2) 用定位向量表示：向量a可以表示为→a = OP。
3. 向量的运算(1) 向量的加法：→AB + →BC = →AC。
(2) 向量的数乘：k→AB = →BA。
二、向量的数量积和向量积1. 向量的数量积(1) 定义：两个向量的数量积等于两个向量的模长之积再乘以它们的夹角的余弦。
(2) 公式：→a·→b = |→a||→b|cosθ。
(3) 性质：a. →a·→b = →b·→a。
b. →a·→a = |→a|²。
c. 若θ为直角，则→a·→b = 0，即两向量垂直。
2. 向量的向量积(1) 定义：两个向量的向量积是一个向量，其大小等于两个向量的模长之积再乘以它们的夹角的正弦，方向垂直于它们所在的平面。
(2) 公式：→a × →b = |→a||→b|sinθn。
(3) 性质：a. →a × →b = -→b × →a。
b. →a × →a = →0。
c. 若θ为直角，则|→a × →b| = |→a||→b|。
三、空间平面及其方程1. 三点确定平面(1) 定义：通过三个不共线的点A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)，C(x3, y3, z3)所确定的平面。
(2) 方程：平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中(A, B, C)为平面的法向量。
2. 一般方程与点法向式方程的转换(1) 一般方程转点法向式方程：a. 求平面的法向量(A, B, C)。
b. 选择平面上一点M(x, y, z)代入一般方程得到D。
高中数学平面向量与空间向量专项练习
DCAB高中数学平面向量与空间向量专项练习一、高考真题展示1、设)3,4(=→a，→a在→b上的投影为225，→b在x 轴上的投影为2，且14≤→b ，则→b为（ ）A ．()14,2B ．⎪⎭⎫⎝⎛-72,2C ．⎪⎭⎫⎝⎛-72,2D ．()8,22、设→a、→b 是非零向量，若函数)()()(→→→→-⋅+=b x a b a x x f 的图象是一条直线，则必有（）A ．→→⊥ba B ．→a∥→bC ．→→=baD ．→→≠ba3、如图，在四边形ABCD 中，→AB +→BD +→DC=4，→AB →BD +→BD →DC =4,0=⋅=⋅→→→→DC BD BD AB ，则→→→⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+AC DC AB 的值为（ ）Ａ．2 Ｂ．22Ｃ．4Ｄ．244、直角坐标系xOy 中，→→ji ,分别是与x,y 轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若jk i j i+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 5、在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若=+==→→→→→λλ则,31,2CB CA CD DB AD （ ）A ．32B ．31C ．31-D ．32-6、在四面体O-ABC 中，,→→=a OA ,→→=b OB ,→→=c OC D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则=→OE （用→a、→b →c表示）．7、如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，OA 与OC的夹角为30°,且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝32，若OC ＝λOA +μOB（λ，μ∈R ）,则λ+μ的值为 . 8、已知⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈+==→→R m m a aP ),1,0()0,1(⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈-+==→→R n n b b Q ),1,1()1,1(是两个向量集合，则Q P ⋂=A ．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝ 9、已知O 、N 、P 在ABC ∆所在平面内，且满足||＝||＝||，++=0，且N ODMBPA →→→→→→⋅=⋅=⋅PA PC PC PB PB PA ，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的A 、重心 外心 垂心B 、重心 外心 内心C 、外心 重心 垂心D 、外心 重心 内心 10、在△OAB 中,→OA =→a,→OB =→b ,→OP =→p ,若→p =)(→→→→+bb aat ，t ∈R ，则点P 在( )A 、∠AOB 平分线所在直线上 B 、线段AB 中垂线上C 、AB 边所在直线上D 、AB 边的中线上 11、在直三棱柱111C B A ABC -中，平面111ABB A BC A 侧面⊥. (1) 求证：BC AB ⊥；(2) 若直线BC A AC 1与平面所成的角为θ，二面角A BC A --1的大小为ϕ，试判断θ与ϕ的大小关系，并予以证明。
高中 空间向量的应用 知识点+例题 分类全面
[例1] 若直线1l 与2l 的方向向量分别为)4,4,2(-=a 与)6,9,6(-=b ，则两条直线的位置关系是_________.垂直[巩固1] 已知直线l 的一个方向向量为)2,1,1(--=a ，平面α的一个法向量为)4,2,2(--=b ，则直线l 与平面α的位置关系是____________.垂直[巩固2]两个不重合平面的法向量分别为)1,0,1(1-=v 与)2,0,2(2-=v ，则这两个平面的位置关系是___________.平行[巩固3]已知直线l 的方向向量是e ，平面α，β的法向量分别是1n 与2n ，若a =βα ，且1n e ⊥，2n e ⊥，则l 与a 的关系是_______.平行或重合[例2] 已知平面α，β的法向量分别是（-2，3，m ），（4，λ，0），若α∥β，则λ+m 的值_________.-6[巩固1] 已知平面α的法向量是（2，3，-1），平面β的法向量是（4，λ，-2），若α//β，则λ的值为_______.6[巩固2] 若平面α，β的法向量分别是（-1，2，4），（x ，-1，-2）并且α⊥β，则x 的值为_________.-10[例3] 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： （1）FC 1∥平面ADE ； （2）平面ADE ∥平面B 1C 1F ．精典例题透析[巩固]在边长是2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，A 1C 的中点．应用空间向量方法求解下列问题． （1）求EF 的长（2）证明：EF ∥平面AA 1D 1D ； （3）证明：EF ⊥平面A 1CD.1．求异面直线所成角设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝><21,cos m m .（]2,0(πθ∈）[例]已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝CC 1，D 为B 1C 1的中点，求异面直线BD 和A 1C 所成角的余弦值．如图所示，以C 为原点，直线CA 、CB 、CC 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 设CA ＝CB ＝CC 1＝2，则A 1(2,0,2)，C (0,0,0)，B (0,2,0)，D (0,1,2)， ∴BD →＝(0，－1,2)，A 1C →＝(－2,0，－2)，知识模块3空间向量的应用∴cos 〈BD →，A 1C →〉＝BD →·A 1C →|BD →||A 1C →|＝－105.∴异面直线BD 与A 1C 所成角的余弦值为105.[巩固]如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求异面直线BA 1和AC 所成的角．解 ∵BA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝AB →＋BC →，∴BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(AB →＋BC →) ＝BA →·AB →＋BA →·BC →＋BB 1→·AB →＋BB 1→·BC →. ∵AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴BA →·BC →＝0，BB 1→·AB →＝0， BB 1→·BC →＝0，BA →·AB →＝－a 2， ∴BA 1→·AC →＝－a 2. 又BA 1→·AC →＝|BA 1→|·|AC →|·cos 〈BA 1→，AC →〉，∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ×2a＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.∴异面直线BA 1与AC 所成的角为60°.2．求线面所成角设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝><n m ,cos .（]2,0[πθ∈）[例]如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点．若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值．设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ，DA 为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图．则M (1,0,2)，N (0,1,0)，可得MN →＝(－1,1，－2)． 又DA →＝(0,0,2)为平面DCEF 的法向量，可得cos 〈MN →，DA →〉＝MN →·DA →|MN →||DA →|＝－63.所以MN 与平面DCEF 所成角的正弦值为|cos 〈MN →，DA →〉|＝63.[巩固]如图所示，在几何体ABCDE 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，BE 和CD 都垂直于平面ABC ，且nmαlnmαlBE ＝AB ＝2，CD ＝1，点F 是AE 的中点．求AB 与平面BDF 所成角的正弦值． 解 以点B 为原点，BA 、BC 、BE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，D (0,2,1)，E (0,0,2)，F (1,0,1)． ∴BD →＝(0,2,1)，DF →＝(1，－2,0)． 设平面BDF 的一个法向量为 n ＝(2，a ，b )，∵n ⊥DF →，n ⊥BD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0，n ·BD →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧(2，a ，b )·(1，－2，0)＝0，(2，a ，b )·(0，2，1)＝0. 解得a ＝1，b ＝－2.∴n ＝(2,1，－2)． 设AB 与平面BDF 所成的角为θ，则法向量n 与BA →的夹角为π2－θ，∴cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝BA →·n |BA →||n |＝(2，0，0)·(2，1，－2)2×3＝23，即sin θ＝23，故AB 与平面BDF 所成角的正弦值为23.3．求二面角（],0[πθ∈）如图①，AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝><CD AB ,．如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝><21,cos n n 或><-21,cos n n ．[例]如图，ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝BC ＝BA ＝1，AD ＝12，求面SCD 与面SBA 所成角的余弦值大小．建系如图，则A (0,0,0)， D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C (1,1,0)， B (0，1,0)，S (0,0,1)， ∴AS →＝(0,0,1)，SC →＝(1,1，－1)，SD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，－1，AB →＝(0,1,0)，AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0. ∴AD →·AS →＝0，AD →·AB →＝0. ∴AD →是面SAB 的法向量，设平面SCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有n ·SC →＝0且n ·SD →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，12x －z ＝0.令z ＝1，则x ＝2，y ＝－1.∴n ＝(2，－1,1)．∴cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n ||AD →|＝2×126×12＝63.故面SCD 与面SBA 所成的二面角的余弦值为63.[巩固]如图，在三棱锥S —ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．（1）证明：SO ⊥平面ABC ；（2）求二面角A —SC —B 的余弦值．(1)证明 由题设AB ＝AC ＝SB ＝SC ＝SA .连接OA ，△ABC 为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OC ＝22SA ，且AO ⊥BC .又△SBC 为等腰三角形，故SO ⊥BC ，且SO ＝22SA .从而OA 2＋SO 2＝SA 2，所以△SOA 为直角三角形，SO ⊥AO . 又AO ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC .(2)解 以O 为坐标原点，射线OB 、OA 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系Oxyz ，如右图． 设B (1,0,0)，则C (－1,0,0)， A (0,1,0)，S (0,0,1)．SC 的中点M ⎝⎛⎭⎫－12，0，12， MO →＝⎝⎛⎭⎫12，0，－12，MA →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－12， SC →＝(－1,0，－1)， ∴MO →·SC →＝0，MA →·SC →＝0.故MO ⊥SC ，MA ⊥SC ，〈MO →，MA →〉等于二面角A —SC —B 的平面角．cos 〈MO →，MA →〉＝MO →·MA →|MO →||MA →|＝33，所以二面角A —SC —B 的余弦值为33.4．异面直线间距离的求法与两条异面直线均垂直、相交的直线叫两条异面直线的公垂线，两条异面直线的公垂线有且只有一条. 两条异面直线的公垂线段的长度，叫两条异面直线的距离.设l 1，l 2是两条异面直线，n 是l 1，l 2的公垂线段AB 的方向向量，又C 、D 分别是l 1，l 2上的任意两点，则nn DC AB ⋅=[例]正四面体ABCD ，棱长均为a 求异面直线AD 、BC 的距离。
高中数学平面向量与空间向量知识点总结
高中数学平面向量与空间向量知识点总结为了帮助高中数学学习者更好地掌握平面向量与空间向量的知识，以下是对于这两个概念的详细总结。
通过阅读本文，你将对平面向量与空间向量的定义、表示、运算以及相关性质有一个全面的了解。
平面向量1. 定义与表示平面向量是由起点和终点确定的有向线段，通常用→AB 或 AB 来表示，其中 A 为起点，B 为终点。
向量可以用坐标、分量、或单位向量的形式进行表示。
2. 向量的运算a) 向量的加法：平面向量的加法满足平行四边形法则，即将一个向量的起点放在另一个向量的终点，以第一个向量的终点为新向量的终点，新向量即为原向量的和。
b) 向量的数乘：将向量的每个分量乘以一个标量，得到的新向量即为原向量的数乘。
c) 两个向量的数量积：平面向量的数量积满足平行四边形的面积公式，即对于向量→A 和→B，其数量积为A·B = |A||B|cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量的模长，θ 表示两个向量之间的夹角。
3. 向量的性质平面向量具有以下性质：a) 两个向量相等，当且仅当它们有相同的模长和方向。
b) 两个向量平行，当且仅当它们的夹角为 0°或 180°。
c) 三角形的三条边可以看作是由两个向量的和构成。
d) 对于任意向量 A，A+(-A) = 0，其中 0 表示零向量。
e) 若向量 A·B = 0，则称向量 A 和 B 互相垂直。
空间向量1. 定义与表示空间向量与平面向量相似，但是在三维空间中存在。
空间向量通常用→AB 或 AB 来表示，其中 A 为起点，B 为终点。
2. 向量的运算空间向量的运算与平面向量类似，但是需要注意三个维度的变化。
向量的加法、数乘等运算仍然适用。
3. 向量的性质空间向量的性质与平面向量类似，但在三维空间中，还需要考虑向量与平面的相交等问题。
总结通过对平面向量与空间向量的知识点的总结，我们可以得出以下结论：- 平面向量和空间向量的定义和表示方式类似，都是由起点和终点确定的有向线段。
高中数学(理)空间向量知识点归纳总结及综合练习
空间向量知识点归纳总结知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。
3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。
6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：（2）空间向量的直角坐标运算律：①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。
平面向量与空间向量知识点及理科高考试题
平面向量与空间向量知识点及理科高考试题一、考试内容要求：(一)、平面向量：（1）平面向量的实际背景及基本概念：①了解向量的实际背景。
②理解平面向量的概念，理解两个向量的相等含义。
③理解向量的几何表示.（2）向量的线性运算：①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. ②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示：①了解平面向量的基本定理及其意义。
②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.（4）平面向量的数量积：①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（5）向量的应用：①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.(二)、(1)空间向量及其运算：①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用：①理解直线的方向向量与平面的法向量。
②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。
③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。
④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。
二、知识要点归纳：(一)、平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、b a +≤b a +.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下： ⑴a a λλ=,⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.§2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x j y i x a ,=+=.§2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+， ⑵()2121,y y x x b a --=-，⑶()11,y x a λλλ=，⑷1221//y x y x b a =⇔.2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=.§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为()222121,yy x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++. §2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θcos b a b a =⋅.2、 a 在b 方向上的投影为：θcos a .3、 22a a =. 4、 2a a =. 5、 0=⋅⇔⊥b a b a . §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= ⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-= 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x AB -+-=. 3、两向量的夹角公式121222221122cos x x y y a b a bx y x y θ+⋅==+⋅+4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=， 则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=- §2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例 知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.高考试题(2010―2014) 一、选择题（共 39 题）1、（2010全国2）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =uu r ，CA b =uu r，1a =，2b =，则CD =uu u r（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 答案：B 2．（2011全国）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c最大值等于A ．2B ．3C ．2D ．1 答案：A3．（2011全国新课标）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是A ．14,P PB ．13,P PC ．23,P PD ．24,P P 答案：A4、（2012全国）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ⋅=，||1a =，||2b =，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b - 答案：D5．（2012全国新课标）已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+，若()()m n m n +⊥-，则=λ （A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）-1 答案：B ． 6.（2014全国）若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）A ．2B ．2C ．1D ．22答案：B ． 7、（2014全国新课标2）设向量a,b 满足|a+b |=10，|a-b |=6，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 答案：A8、（2010安徽）设向量)21,21(),0,1(==b a ，则下列结论中正确的是 （A ）||||b a = （B ）22=⋅b a （C ）b b a 与-垂直 （D ）b a // 答案： C 9、（2012安徽）在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转34π后，得向量OQ 则点Q 的坐标是（ ）()A (72,2)-- ()B (72,2)- ()C (46,2)-- ()D (46,2)- 答案：A 10、（2013安徽）在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集,1,,|P OP OA OB R λμλμλμ==++≤∈所表示的区域的面积是（A ）22 （B ）23 （C ） 42 （D ）43 答案：D11.（2010福建）若点O 和点F （-2，0）分别为双曲线2221x y a-=（a>0）的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则op fp 的取值范围为A. [3- 23, +∞）B. [3+ 23, +∞）C. [74-, +∞） D. [74, +∞）答案：B ．12．（2011福建）已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是( )A ．[－1，0]B ．[0，1]C ．[0，2]D ．[－1，2] 答案： C 13．（2010湖北）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+.若存在实数m 使得AB AC AM m --→--→--→+=成立，则m=A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：B ． 14．（2011湖北）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式1x y +≤，则z 的取值范围为A ．[-2，2]B ．[-2，3]C ．[-3，2]D ．[-3，3] 答案：D 15、（2013湖北）已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A.322 B.3152 C. 322- D.3152- 答案：A 16．（2010湖南在Rt ABC ∆中，90C ∠=，4AC =，则AB AC 等于A ．16-B ．8-C ．8D ．16 答案：D17.（2012湖南） 在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC = 1则___BC =. A.3 B.7 C.22 D.23 答案：A 18. （2013湖南）已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦，B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦，C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦， 答案：A19．（2011辽宁）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则||c b a -+的最大值为 A ．12-B ．1C ．2D ．2 答案：B ．20、（2013辽宁）已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 答案：A21、（2014辽宁）设,,a b c 是非零向量，学科 网已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝ 答案： C22、（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的)(),,(q p b v m a ⋅==。
高考数学复习空间向量及其运算理专题训练(含答案)
高考数学复习空间向量及其运算理专题训练（含答案）空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。
向量的大小叫做向量的长度或模。
以下是查字典数学网整理的空间向量及其运算理专题训练，请考生练习。
一、填空题1.已知A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，则这四个点________(填共面或不共面).[解析] =(3,4,5)，=(1,2,2)，=(9,14,16)，设=x+y，即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y)，得x=2，y=3. [答案] 共面2.(2019济南调研)在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行;若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面;若三个向量a，b，c，两两共面，则向量a，b，c共面;已知空间的三个向量a，b，c.则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x，y，z得p=xa+yb+zc.其中不正确的命题是________(填序号).[解析] a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确.根据平移向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误.三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确.只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc，故不正确.[答案]3.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，设=a，OB=b，=c，则=________.(用a，b，c表示)[解析] =-=(+)-=b+c-a.[答案] b+c-a4.(2019上海高考)若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是________.(填序号)(a+b)c=ac+b(a+b)+c=a+(b+c);m(a+b)=ma+nb;(ab)c=a(bc).[解析] (ab)c=|a||b|cos c，a(bc)=|b||c|cos a，a与c的模不一定相等且不一定同向，故错.[答案] (4)5.已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有=2++，则=________.[解析] 根据共面向量知P，A，B，C四点共面，则=x+y+z，且x+y+z=1，所以2++=1，=-.[答案] -6.若向量a=(1，，2)，b=(2，-1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则等于________.[解析] 由已知得==，解得=-2或=.[答案] -2或7.(2019徐州模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量=(1,2,3)，=(2,1,2)，=(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当取得最小值时，的坐标是________.[解析] 点Q在直线OP上，设点Q(，，2)，则=(1-，2-，3-2)，=(2-，1-，2-2)，=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=62-.当=时，取得最小值-.此时=.[答案]图768.如图76所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，则cos〈，〉的值为________.[解析] 设=a，=b，=c，由已知条件〈a，b〉=〈a，c〉=，且|b|=|c|，=a(c-b)=ac-ab=|a||c|-|a||b|=0，即〈〉=，所以cos〈，〉=0.[答案] 0二、解答题9.已知空间三点A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1，-1,5)，(1)求以，为边的平行四边形的面积;(2)若|a|=，且a分别与，垂直，求a的坐标.[解] (1)由题意可得：=(-2，-1,3)，=(1，-3,2)，cos〈，〉===，sin〈，〉=，以，为边的平行四边形的面积为S=2||||sin〈，〉=14=7.(2)设a=(x，y，z)，由题意得解得或向量a的坐标为(1,1,1)或(-1，-1，-1).图7710.(2019张家港调研)如图77，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心，(1)试证：A1，G，C三点共线;(2)试证：A1C平面BC1D.[证明] (1)=++=++，可以证明：=(++)=，∥，即A1，G，C三点共线.(2)设=a，CD=b，=c，则|a|=|b|=|c|=a，且ab=bc=ca=0，=a+b+c，=c-a，=(a+b+c)(c-a)=c2-a2=0，因此，即CA1BC1，同理CA1BD，又BDBC1=B，A1C平面BC1D.要练说，得练看。
新高考 高中数学 选修一 课件+类型题1.2.2-空间中的平面与空间向量
内,也可能与平面平行.
小练：
设直线l的一个方向向量d=(6,2,3),平面α的一个法向量n=(-1,3,0),
则直线l与平面α的位置关系是(
)
A.垂直
B.平行
C.直线l在平面α内
D.直线l在平面α内或平行
答案:D
小练：
(1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线
· = 0,
√3- = 0,
= 0,
所以
令 y=1,则 z=√3.
= √3,
由
所以平面 PCD 的一个法向量为(0,1,√3).
练：
已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0),B(0,2,3),C(1,1,3),试
求出平面ABC的一个法向量.
解:设平面ABC的法向量为n=(x,y,z).
欧啦 ·数学
临渊羡鱼，不如退而结网！
新高考·人教B版 ·选修1
选修一
第一章
空间向量与立体几何
1.2
空间向量在立体集合中的应用
1.2.2 空间中的平面与空间向量
一、平面的法向量
1、定义
如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示
n的有向线段所在的直线与平面α 垂直 则称n为平面α的一个法向量.
一个法向量.
解:如图所示,建立空间直角坐标系,则 P(0,0,1),C(1,√3,0),所以
=(1,√3,-1),即直线 PC 的一个方向向量.
设平面 PCD 的法向量为 n=(x,y,z).
因为 D(0,√3,0),所以=(0,√3,-1).
+ √3- = 0,
空间向量知识点总结及典型题
空间向量知识点总结及典型题一、空间向量知识点总结。
（一）空间向量的概念。
1. 定义。
- 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。
2. 表示方法。
- 用有向线段表示，如→AB，其中A为起点，B为终点；也可以用字母→a,→b,→c·s表示。
3. 向量的模。
- 向量的大小叫做向量的模，对于向量→AB，其模记为|→AB|；对于向量→a，其模记为|→a|。
（二）空间向量的运算。
1. 加法。
- 三角形法则：→AB+→BC=→AC；平行四边形法则：对于不共线的向量→a 和→b，以→a和→b为邻边作平行四边形，则这两个向量之和为平行四边形的对角线所对应的向量。
- 运算律：→a+→b=→b+→a（交换律）；(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)（结合律）。
2. 减法。
- →a-→b=→a+(-→b)，其中-→b是→b的相反向量。
3. 数乘向量。
- 实数λ与向量→a的乘积λ→a仍是一个向量。
- 当λ> 0时，λ→a与→a方向相同；当λ<0时，λ→a与→a方向相反；当λ = 0时，λ→a=→0。
- 运算律：λ(μ→a)=(λμ)→a；(λ+μ)→a=λ→a+μ→a；λ(→a+→b)=λ→a+λ→b。
（三）空间向量的坐标表示。
1. 坐标定义。
- 在空间直角坐标系O - xyz中，设→i,→j,→k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量。
对于空间向量→a，若→a=x→i+y→j+z→k，则(x,y,z)叫做向量→a的坐标，记为→a=(x,y,z)。
2. 坐标运算。
- 设→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)；→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)；λ→a=(λx_1,λ y_1,λ z_1)。
- 向量的模|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}。
- 设A(x_1,y_1,z_1)，B(x_2,y_2,z_2)，则→AB=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面向量与空间向量知识点及理科高考试题一、考试内容要求：(一)、平面向量：（1）平面向量的实际背景及基本概念：①了解向量的实际背景。
②理解平面向量的概念，理解两个向量的相等含义。
③理解向量的几何表示.（2）向量的线性运算：①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. ②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示：①了解平面向量的基本定理及其意义。
②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.（4）平面向量的数量积：①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（5）向量的应用：①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.(二)、(1)空间向量及其运算：①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用：①理解直线的方向向量与平面的法向量。
②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。
③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。
④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。
二、知识要点归纳： (一)、平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB u u u r ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、b a +≤b a +.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下： ⑴a a λλ=,⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.§2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x j y i x a ,=+=.§2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+， ⑵()2121,y y x x b a --=-，⑶()11,y x a λλλ=，⑷1221//y x y x b a =⇔.2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=.§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为()222121,yy x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++. §2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θcos b a b a =⋅.2、 a 在b 方向上的投影为：θcos a .3、 22a a =. 4、 2a a =. 5、 0=⋅⇔⊥b a b a . §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r r r ⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=r r r r2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x AB -+-=.3、两向量的夹角公式121222221122cos x x y y a ba bx y x y θ+⋅==+⋅+r r r r4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=u u u r， 则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =r平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例 知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.高考试题(2010―2014) 一、选择题（共 39 题）1、（2010全国2）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =uu r ，CA b =uu r，1a =，2b =，则CD =uu u r（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 答案：B 2．（2011全国）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12-，,a c b c --=060，则c 最大值等于A ．2B ．3C ．2D ．1 答案：A3．（2011全国新课标）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是A ．14,P PB ．13,P PC ．23,P PD ．24,P P 答案：A4、（2012全国）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，0a b ⋅=r r ，||1a =r，||2b =r，则AD =u u u r（A ）1133a b -r r （B ）2233a b -r r （C ）3355a b -r r （D ）4455a b -r r答案：D5．（2012全国新课标）已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+u r r，若()()m n m n +⊥-u r r u r r ，则=λ（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）-1 答案：B ．6.（2014全国）若向量,a b r r 满足：||1a =r ，()a b a +⊥r r r ，(2)a b b +⊥r r r ，则||b =r（ ）A ．2B ．2C ．1D ．22答案：B ． 7、（2014全国新课标2）设向量a,b 满足|a+b |=10，|a-b |=6，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 答案：A8、（2010安徽）设向量)21,21(),0,1(==b a ，则下列结论中正确的是（A ）||||b a = （B ）22=⋅b a （C ）b b a 与-垂直 （D ）b a // 答案： C 9、（2012安徽）在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP uuu r 按逆时针旋转34π后，得向量OQ uuu r则点Q 的坐标是（ ）()A (72,2)-- ()B (72,2)- ()C (46,2)-- ()D (46,2)- 答案：A 10、（2013安徽）在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===u u u r u u u r u u u r u u u r g 则点集,1,,|P OP OA OB R λμλμλμ==++≤∈u u u r u u u r u u u r 所表示的区域的面积是（A ）22 （B ）23 （C ） 42 （D ）43 答案：D11.（2010福建）若点O 和点F （-2，0）分别为双曲线2221x y a-=（a>0）的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则op fp u u r u u rg 的取值范围为A. [3- 23, +∞）B. [3+ 23, +∞）C. [74-, +∞）D. [74, +∞）答案：B ．12．（2011福建）已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅u u u r u u u u r的取值范围是( )A ．[－1，0]B ．[0，1]C ．[0，2]D ．[－1，2] 答案： C 13．（2010湖北）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+.若存在实数m 使得AB AC AM m --→--→--→+=成立，则m=A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：B ． 14．（2011湖北）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式1x y +≤，则z 的取值范围为A ．[-2，2]B ．[-2，3]C ．[-3，2]D ．[-3，3] 答案：D15、（2013湖北）已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ，则向量AB u u u r 在CD u u u r 方向上的投影为（ ） A.322 B.3152 C. 322- D.3152- 答案：A16．（2010湖南在Rt ABC ∆中，90C ∠=o，4AC =，则AB AC u u u r u u u rg 等于A ．16-B ．8-C ．8D ．16 答案：D17.（2012湖南） 在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC u u u r u u u rg = 1则___BC =.A.3B.7C.22D.23 答案：A 18. （2013湖南）已知,a b 是单位向量，0a b =g .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦，B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦，C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦， 答案：A19．（2011辽宁）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则||c b a -+的最大值为 A ．12-B ．1C ．2D ．2 答案：B ．20、（2013辽宁）已知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 答案：A21、（2014辽宁）设,,a b c r r r是非零向量，学科 网已知命题P ：若0a b •=r r ，0b c •=r r ，则0a c •=r r ；命题q ：若//,//a b b c r r r r，则//a c r r ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝ 答案： C22、（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的)(),,(q p b v m a ⋅==。