第九章 平面广义四节点等参元 GQ4

18.24 23.00 23.24 23.06 23.43 23.78 23.02 23.04 23.69 23.67 23.82 23.9
0.2113 0.2209 0.2287 0.2221 0.23337 0.2226 0.222 0.2661 0.2261 0.2393 0.2377 0.2360
式中 N e 为单元 e 的插值函数矩阵 值函数对应的广义形函数形式为
De 为单元 e 的广义自由度向量 一阶广义节点插 y , (i = 1,2,3,4) 0 x2 0 y2 0
1 0 x 0 y N ei = ϕ ei 0 1 0 x 0 1 0 x 0 y N =ϕ 0 1 0 x 0
9.3.3
剪切自锁考查
MacNeal 细长梁问题
弹性模量为 E = 106 泊松比为
计算简图见图 9-3
材料参数选为
ν = 0.3 纯
弯和端部受剪两种工况 计算网格及工况如图 9-3 中(a) 格计算结果列于表 9-3 中
(b)和(c)
不同工况下各种网
0.5 50 0.2 1 工况 1 0.5 50 工况 2
( ) (E )(B )
i T e g
(9-10)
j e g
式中 n g 为单元内高斯点个数 取值
t 表示材料的厚度
下标 g 表示该表达式在高斯点处的
W g 为高斯点积分权系数 具体的数值实现步骤如下
(1) 按照所选用的高斯积分阶次 (2) 按单元节点循环 i. 形成该单元的所有高斯点局部坐标 (ξ i ,η i )
vC
网格 a
ε A (max) ε B (min)
vC
网格 b
ε A (max) ε B (min)
0th GQ4 QA[4] QA2[4] QR4a[4] QR4b[4] QA4[4] QM6[4] QE2[4] Q8[4] 1st GQ4 2nd GQ4 最佳解[4]
11.73 20.89 21.70 21.27 22.48 23.29 21.05 21.35 23.02 22.77 23.46 23.9
-0.1525 -0.1944 -0.1974 -0.1945 -0.2003 -0.1888 -0.1854 -0.1859 -0.1863 -0.1927 -0.2050 -0.2010
9.3.2
变
计算精度考查
悬臂梁
但只引起微小的应 计算网格 本算例常用于考查单元的精度
悬臂梁
由于载荷容易引起端部附近单元大幅度的刚体运动 计算结果列于表 9-2
0.1640 0.1798 0.1931 0.1840 0.2074 0.1883 0.1773 0.1956 0.2231 0.2327 0.2358 0.2360
-0.1723 -0.1746 -0.1868 -0.1780 -0.2129 -0.1894 -0.1666 -0.1448 -0.1855 -0.2200 -0.1933 -0.2010
0.0926 0.9029 0.9769 0.9926 0.9713 0.9815 1.0000
0.0278 0.7632 0.8844 0.9149 0.7882 0.9630 1.0000
0.0370 0.8409 0.9195 0.9602 0.8233 0.9722 1.0000
9.3.4
表 9-4
Table 9-3 Comparison of vertical displacements at the free end of MacNeal thin beam 单元 类型 0 (Q4) QA[4] QA2[4] QA4[4] Q8[5] 1stGQ4 2ndGQ4
th
纯弯
规则 梯形 平行四边形 规则
245
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v. vi.
累加各高斯点处的广义节点单刚阵 转到 i 直到循环结束
K ij = ∑ K ijg
g
(b) 将 K ij 组装到总体刚度阵中的相应位置 (3) 转到步骤 (2) 直到循环结束 (4) 完成单元刚度阵的形成与组装
9.3
能
数值算例
从不同角度考查 GQ4 的性
选用文献[4]中用于考查四边形单元的一些典型例题
其中分块子阵 K ij (i, j = 1,2,3,4) 为
K 12 K 22 K 32 K 42
K 13 K 23 K 33 K 42
K 14 K 24 K 34 K 44
(9-8)
K ij = ∫ Bei ( E ) Bej tdxdy
A
( ) ( )
(9-9)
K ij 称为广义节点刚度阵 其阶数与所采用的广义节点插值函数的阶次有关 对于一
(a) 规则网格
248
第九章
平面广义四节点等参元 GQ4
45
(b) 不规则网格 1
45
(c) 不规则网格 2 图 9-3 Fig.9-3 MacNeal 问题计算网格
Regular and irregular Meshes for MacNeal thin beam
表 9-3
MacNeal 细长梁自由端竖向位移计算结果比较
i, j 分别遍历单元的四个节点
(a) 按高斯点循环 在局部坐标下即计算面内形成该高斯点处的传统四节点等参元形函 数阵 ϕ e ii. iii. iv. 求高斯点的自然坐标 ( x i , y i ) 在自然坐标系下求广义节点插值函数在高斯点处的取值及导数值 按式(9-5)或(9-6)形成高斯点处的几何矩阵 Bij 高斯点处的广义节点单刚 K ijg 并按式(9-10)形成该
∂ ( y 2ϕ ei ) L ∂x
式
9-6 分别为一阶广义节点与二阶广义节点所对应的几何阵形式 9-5 9-6 可以看出 在广义四节点等参元中 几何阵各分量的求导可 y 的导数 另一 一部分是传统四节点等参元的形函数 ϕ e 对总体坐标 x y 的导数 而且注意到 进行 即计算面内
部分则是广义节点插值函数对总体坐标 x 数对坐标的导数的计算无需在自然坐标系下
∂ ( yϕ ei ) ∂x 0 ∂ ( yϕ ei ) ∂y
∂ ( yϕ ei ) (i = 1,2,3,4) (9-5) ∂y ∂ ( yϕ ei ) ∂x 0 ∂ ( y 2ϕ ei ) (i = 1,2,3,4) ∂y ∂ ( y 2ϕ ei ) ∂x 0
(9-6)
∂ϕ ei ∂x B ei = 0 ∂ϕ ei ∂y
9-5 从式 分为两部分
0 ∂ϕ ei ∂y ∂ϕ ei ∂x
∂ ( xϕ ei ) ∂x 0 ∂ ( xϕ ei ) ∂y
0
∂ ( xϕ ei ) L 0 ∂y ∂ ( xϕ ei ) ∂ ( y 2ϕ ei ) L ∂x ∂y
9.3.1
材料参数
计算精度考查
取弹性模量为 E = 1.0
Cook 变截面斜悬臂梁
计算简图见图 9-1 作用于自由端 泊松比为 ν = 1 / 3 厚度为 t = 1
该问题用于考查单元在实际不规则网格情形下的计算精度 的荷载 P 为单位荷载 计算结果见表 9-1
y
B
16
1
y
B 16
1
A x 48
A x 48
因此是一种特别容易引起误差的结构
如图 9-2 共划分了 5 种不同网格
梁挠度精确解为 4.03
(100,10) P (0,0)
(a)
P
(b)
(75,10) P (25,0)
(c)
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P
(d)
(50,10) (16.67,0) (50,0) (83.33,10) P
(e) 图 9-2 悬臂梁单元划分 Fig. 9-2 FEM Meshes and load cases of cantilever
(a) 2 × 2 网格
(b) 4 × 4 网格
图 9-1 变载面斜悬臂梁弯曲计算网格 Fig. 9 FEM meshes for a beam with variable section
246
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平面广义四节点等参元 GQ4
表 9-1 变截面斜悬臂梁弯曲计算结果比较 Table 9-1 Calculated displacements at point A and stresses at point B and C of the beam 单元
广义节点插值函
直接求导便可
9.2.3
Байду номын сангаас
单元刚度阵
用 E 表示弹性矩阵
T A
考虑线弹性问题
则单元刚度的表达式为 (9-7)
K e = ∫ (B e ) ( E )(B e ) tdxdy
具体地有
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第九章
平面广义四节点等参元 GQ4
K 11 K K e = 21 K 31 K 41
端部受剪
梯形 平行四边形
0.0926 0.9100 0.9837 1.0 0.9641 0.9926 0.9963
0.0222 0.7693 0.8948 0.9222 0.7722 0.9926 0.9963
0.0296 0.8793 0.9556 0.9852 0.8811 0.9926 0.9963
单元的畸形敏度分析
表 9-5 分别为纯弯载荷和梁端部集中力作用下梁端点的挠度值与精确值的比 弹性模量为 E = 1 500 泊松比为
考查图 9-4 所示的悬臂梁在纯弯载荷和端部集中力载荷作用下单元的畸形敏度 值 材料参数选为
ν = 0.25 载荷如图中所示
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e 2 10
表 9-2 悬臂梁端部位移计算结果 Table 9-2 Calculated displacements at the free end of the beam 单元 Q8 QM6[5] Q4PS[5] 1stGQ4 2ndGQ4
[5]
网格 (a) 3.71 3.03 3.03 3.14 4.04 (b) 3.88 3.78 3.78 3.85 4.05 (c) 3.95 3.92 3.92 3.97 4.06 (d) 1.46 0.31 0.49 3.17 4.06 (e) 3.10 1.79 1.94 3.34 4.08
9.2.2
应变矩阵
1 ε = LU e = (Be
Be2
Be3
Be4 De
)
(9-4)
其中
∂ϕ ei ∂x Bei = 0 ∂ϕ ei ∂y
或
0 ∂ϕ ei ∂y ∂ϕ ei ∂x
∂ ( xϕ ei ) ∂x 0 ∂ ( xϕ ei ) ∂y
0 ∂ ( xϕ ei ) ∂y ∂ ( xϕ ei ) ∂x
第九章
平面广义四节点等参元 GQ4
第九章 平面广义四节点等参元 GQ4
9.1
在论文的第七章和第八章中 的三角形单元进行了详细讨论 参单元的广义化 列式
引
言
将进一步讨论传统四节点等 对本章提出的广义四
对广义节点有限元方法的基本原理以及其高阶形式 本章在前两章的基础上 推导了广义四节点等参元的具体数值 最后结合算例
阶广义节点插值函数
K ij 是一个 6 × 6 阶的矩阵 而对于二阶广义节点插值函数 则
是一个 12 × 12 阶的矩阵
9.2.4
单元刚度阵的形成与求解
改式(9-9)为如下形式
ng g
用高斯数值积分方法形成单元刚度阵
K ij = t ⋅ ∑ K ijg K ijg = t ⋅ ∑ W g B
g ng
i e i e
(9-2)
二阶广义山节点插值函数对应的广义形函数形式为
0 y
xy 0
0 xy
0 x2
0 , (i = 1,2,3,4) (9-3) y2
广义节
式中 ϕ e 为传统四节点等参数的形函数
由于有传统有限元形函数 ϕ e 的作用
点有限元的位移协调性得到了自然满足[1]
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提出广义四节点等参元 GQ4
探讨了这种广义等参元的数值实现方法
节点等参元的精度及性能进行了测试
9.2
9.2.1
广义四节点等参元
广义形函数及单元位移函数
广义节点有限元的单元位移函数可表达为[1] (9-1)
令 e 表示广义四节点等参单元
U e ( x, y ) = N e De , ( x,y ) ∈ e
1 000 1 000
150 150
图 9-4 单元畸形敏度分析 Fig.9-4 Sensitivity of element deformity
表 9-4 梁端部受纯弯矩作用下的梁端点的挠度 (与理论值 100.0 之比值) Table 9-4 Calculated deflections at the free end of the cantilever under pure bending 单元 Q8 QM6[5] 1stGQ4 2ndGQ4