随机过程方兆本条件期望和矩母函数

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两个随机变量相乘矩母函数

两个随机变量相乘矩母函数随机变量的矩母函数在概率论和统计学中经常用于描述随机变量的性质和特征。

本文将介绍两个随机变量相乘时的矩母函数。

首先，我们先回顾一下随机变量的矩母函数。

设X是一个随机变量，其概率质量函数为P(X=x)，则X的矩母函数定义为M(t)=E(e^tX)，其中E(·)表示期望值运算符。

矩母函数可以用来计算各阶矩，包括均值、方差、偏度和峰度等。

同时，矩母函数的性质和变换公式也可以通过矩母函数进行推导和证明。

接下来，假设有两个随机变量X和Y，它们相互独立，并且它们的矩母函数分别为Mx(t)和My(t)。

我们想要计算这两个随机变量相乘的矩母函数。

根据随机变量相乘的定义，我们有Z=X*Y。

要求Z的矩母函数，可以利用随机变量的矩母函数的性质和变换公式。

首先，我们知道对于独立的随机变量X和Y，它们的联合概率密度函数为P(X=x, Y=y)=P(X=x)*P(Y=y)。

这样，我们可以得到Z的概率质量函数为P(Z=z)=∑P(X=x, Y=z/x)，其中∑表示对所有可能的x求和。

根据相互独立的性质，我们可以将联合概率分解为边缘概率的乘积，即P(Z=z)=∑P(X=x)*P(Y=z/x)。

然后，我们可以计算Z的矩母函数。

根据矩母函数的定义，我们有Mz(t)=E(e^tZ)=∑e^tz*P(Z=z)。

将概率质量函数的表达式代入矩母函数的定义中，我们可以得到Mz(t)=∑e^tz*∑P(X=x)*P(Y=z/x)。

接下来，我们可以利用独立性的性质将上式展开。

由于X和Y是独立的，所以P(Y=z/x)=P(Y=z)。

因此，我们可以将P(Y=z/x)提出来，得到Mz(t)=∑P(Y=z)∑e^tz*P(X=x)。

再进一步，我们可以将两个求和符号合并，得到Mz(t)=∑e^tz*∑P(X=x)*P(Y=z)。

由于内层求和是X的概率质量函数的矩母函数Mx(t)，所以我们可以将其代入，得到Mz(t)=∑e^tz*Mx(t)。

随机过程课程第一章基础知识

是（X，Y）取值为 ( xi , y j ) 的概率，即
P( X xi ,Y y j ) pij (i 1,2, j 1,2, )
则称上式为二维离散型随机向量（X，Y）的联合分布律。
它满足
pij 0
pij 1
i1 j 1
首页
2．二维分布密度
连续型
如果存在一个非负的二元函数f（x，y）,使对任意的实数x，y有
如果对于随机变量X的分布函数为F（x），存在非负的函数f（x）,使对任意的实数x 有
x
F (x) f (t)dt
则称X为连续型随机变量，f（x）称为X的概率密度，且满足
f (x) 0
f (x)dx 1
首页
二、随机变量的联合分布
1．联合分布函数
设 X1，X 2，，X n 是样本空间的n个随机
（4） D(X ) 0 的充要条件是 P[X E(X )] 1
3．性质
（5）（柯西—许瓦兹不等式）
| E(XY ) |2 E(X 2 ) E(Y 2 )
等式成立当且仅当 P(Y t0 X ) 1
（6）若X为非负整数值的随机变量，则
E(X ) P(X i) i 1
证
首页
E( X ) kP( X k) k 1
n
n
P( Ai ) 1 1 P( Ai )
i 1
i 1
首页
n
n
P( Ai ) 1 1 P( Ai )
i 1
i 1
证
n
n
P( Ai ) 1 P( Ai )
i 1
i 1
n
1 P( Ai )
i 1
n
1 P( Ai ) i 1
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随机过程知识点汇总3

第一章随机过程的基本概念与基本类型一. 随机变量及其分布1随机变量X，分布函数F(x)二P(X < x)X连续型随机变量X的概率分布用概率密度 f (x) 分布函数F(x)二f (t)dt2. n维随机变量X =(X i,X2，…，X n)其联合分布函数F(x) H F a’X?，…，X n) =P(X1空X-X2乞x2,…，X n乞x n,)离散型联合分布列连续型联合概率密度3 .随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X EX =二x k p k连续型随机变量X EX二"xf (x)dx匚方差：DX = E(X -EX)2二EX2-(EX)2反映随机变量取值的离散程度协方差(两个随机变量X,Y )：B XY =E[(X — EX)(Y —EY)] =E(XY) — EX .EY独立=不相关：=:-=0予oO 予离散g(t)二' e iX k P k 连续g(t) e iX f (x)dx'J重要性质：g(0)=1 , g(t) <1 , g(—t)=g(t) , g k(0)=i k EX k5 •常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差0 —1分布P(X =1) =p,P(X =0) =q EX二p DX = p q二项分布k k n -kP(X = k) = C n p q EX=np DX=n pq泊松分布-kP(X =k) =e EXk!DX=扎均匀分布略离散型随机变量X的概率分布用分布列P k 二P(X 二X k)分布函数F(x) = 7 P k相关系数(两个随机变量X,Y )：B XYDX DY若'=0，则称X,Y不相关。

4 .特征函数g(t)二E(e itX)6.N 维正态随机变量 X =(X ,,X 2^ ,X n )的联合概率密度II T A.f(X i ,X 2, ,X n )二 ---------- n-exo{(x-a) B (x-a)} 2 (2 二)2|B|2a =(a .,a 2,…，aj , x =(x i , X 2，…，X n ), B = (b ij )nn 正定协方差阵二•随机过程的基本概念 1•随机过程的一般定义设r 1, P)是概率空间，T 是给定的参数集，若对每个r T ,都有一个随机变量 X 与之对应, 则称随机变量族fx (t,e),t ・T /是 (JP)上的随机过程。

矩母函数

因而
Y |Xx x 1 y f fY Y||X X y y||x xd y 1/1 1- 1 -x x x 1 y d y1 2 x
Y|X 1 X/2
fY|X y|x 1/ 1-x
注意： Y|X 1 X/2是随机变量，当X x 时，其值为
Y|X x 1 x/2
思考题：当X与Y独立时， X |Y y 的值？
定义：X的矩母函数（MGF），或Laplace变换定义为
Xt
etX
其中t在实数上变化。
etxdF Xx
若MGF是有定义的，可以证明可以交换微分操作和求期望操作，所以有：
0 de tX
d t
t0
d e tX d t t0
X e tX t0
X
取k阶导数，可以得到 k 0
Xk 方便计算分布的矩
.
.
6
X ～ U n ifo r m 0 ,1 ， Y |X ～ U n ifo r m x ,1
怎样计算 Y ？一种方法是计算联合密度 f x , y ，然后计算
Y yf x,ydxdy
另一种更简单的方法是分两步计算
计算 Y| X =1 X
计算 Y =
2 Y|X =
1
X
1+ X
2
2
= 1+
Y |X Y Y |X Y |X Y|X Y 0 0
所以
Y Y |X Y |X
.
10
二、混合分布
在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定，如 f x，| 这些参数通常又是一个随机变量（贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量），则最终的分布称为混合分布(mixture distribution)

随机过程-方兆本-第三版-课后习题答案

习题4以下如果没有指明变量t 的取值范围，一般视为R t ∈，平稳过程指宽平稳过程。

1. 设Ut t X sin )(=，这里U 为)2,0(π上的均匀分布.（a ）若 ,2,1=t ，证明},2,1),({ =t t X 是宽平稳但不是严平稳，（b ）设),0[∞∈t ，证明}0),({≥t t X 既不是严平稳也不是宽平稳过程. 证明：（a ）验证宽平稳的性质,2,1,0)cos (2121)sin()sin()(2020==-=•==⎰t Ut tdU Ut Ut E t EX ππππ))cos()(cos(21)sin (sin ))(),((U s t U s t E Us Ut E s X t X COV ---=•=t U s t s t U s t s t πππ21}])[cos(1])[cos(1{212020•+++--= s t ≠=,021Ut Esin ))(),((2==t X t X COV (b) ,)),2cos(1(21)(有关与t t t t EX ππ-=.)2sin(8121DX(t)有关，不平稳，与t t tππ-=2. 设},2,1,{ =n X n 是平稳序列，定义 ,2,1},,2,1,{)(==i n X i n 为,,)1(1)1()2(1)1(---=-=n n n n n n X X X X X X ，证明：这些序列仍是平稳的. 证明：已知，)(),(,,2t X X COV DX m EX t t n n n γσ===+2121)1(1)1()1(2)(,0σγσ≡+=-==-=--n n n n n n X X D DX EX EX EX)1()1()(2),(),(),(),(),(),(111111)1()1(++--=+--=--=--+-+-++--+++t t t X X COV X X COV X X COV X X COV X X X X COV X X COV n t n n t n n t n n t n n n t n t n n t n γγγ显然，)1(n X 为平稳过程.同理可证， ,,)3()2(n n X X 亦为平稳过程.3.设1)nn k k k k Z a n u σ==-∑这里k σ和k a 为正常数，k=1，....n; 1,...n u u 是（0,2π）上独立均匀分布随机变量。

随机过程

矩描述

概率分布函数
(cdf: cumulative distribution function)
注：概率分布函数probability distribution function
随机变量的分类
每一个随机变量都有分布函数。它是取值在[0，1]的单调、右连续实函数。反过来，数学家证明这种函数可以分解为
n
随机变量
把概率论的关注对象从“事件”变成 “随机变量” 不仅符合人们的习惯思维，而且也是概率论发展史上的一次突破。引进“随机变量”后更容易对随机现象做数学处理，更容易结合其他数学分支的知识，更容易看出概率的本质。
数学定义(超)
[定义] 设 ( , B , P ) 是一概率空间，X ( ) 是定义在上的实函数，如果对 a R ，有 | X ( ) a B ，则称 X ( ) 为随机变量 ( random var iable ).
x x
lim FX ( x ) FX ( ) 1， lim FX ( x ) FX ( ) 0
lim f ( xk ) f ( x0)
k
x x0
函数极限存在的 Heine 定理 : lim f ( x) f ( x0) 对趋向于x0的任意序列 xk } { ，
直观理解
简单地说，“随机变量”就是用一个数（变量）来表示试验后的结果（样本点）。因为每次试验结果的不确定，随机变量既有取值问题，又有取此值的可能性的问题，所以叫“随机变量”。引进它，就是为了把具体问题数学化。在“掷色子”中，我们很容易把六个样本点对应到{1，2，3，4，5，6}上。而即使象“抛硬币”这样的问题，我们也可以把“正面朝上”和“反面朝上”对应于“X=0”和 “X=1”。一般情况下，随机变量往往是有实际意义的，例如上面的“掷出的点数”，还有“进球数”、“赢的奖金”、“明年人口数”、“身高、体重”等。

概率统计：矩母函数

矩母函数(1)
矩母函数与特征函数在计算随机变量的数字特征和概率分布起很大的作用,它们使许多繁难的问题得到简化和解决,是证明概率论中的许多理论问题的有力的工具.
定义 5.1 设 X 为随机变量,I 是一个包含0的(有限或无限的)
开区间,对任意t I ,期望EetX 存在,则称函数
M X (t) E(etX )
5
矩母函数(5)
3) 设U ,V 独立，U ~ B(m, p),V ~ B(n, p),W U V .则 MU (t) ( pet q)m , MV (t) ( pet q)n,
MW (t) MU (t)MV (t) ( pet q)m ( pet q)n ( pet q)mn. 故W ~ B(m n, p).
6
例 5.2 设 X ~ ( , ),则
矩母函数(6)
1) M X (t)
etx x 1e xdx 0 ( )
x 1e( t)xdx. 0 ( )
xu /( t)
(
t) ( )
0
u
1eu
du
t
a
.
2)
M
X
(t)
t
a1,
M
X
(t
)
(
2
1)
t
a2
2
2) M X (t) tet2 / 2, M X (t) t 2et2 / 2 et2 / 2 ,
EX M X (0) 0, EX 2 M X (0) 1, DX EX 2 (EX )2 1.
9
矩母函数(9)
3) M X (t) et2 / 2
(t2 / 2)k k0 k !
MY (t) et M X (t). 证 MY (t) EetY Eet( X ) et Ee(t ) X et M X (t).

随机过程方兆本1.2条件期望和矩母函数

对于一般的连续型随机变量Y.由于P{Y=y}往往为0,则给定Y=y时X的条件概率定义为:
①若对任何包含y的小区间y总有P(Yy)=0,则
定义为
P(XA|Y=y)=0; ②若P(Yy)>0,则定义为
P{X A | Y y} lim P{X A | Y y} y0
这里y0的意思是使包含y的小区间的长度缩小
Poisson分布
Π()
正态分布
N(,2)
指数分布
P()
均匀分布 U[a,b]
概率分布或密度
P(X
k)
C
k n
p
k
q
n
k
,
k 0,1,, n
P( X k) k e , k 0,1,2,
k!
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
ex , x 0
f (x) 0, x 0
f
(x)
b
所以 P(T k | S 1) P{S 1,T k} 1
P(S 1) n
命题1.1 ① 若X与Y独立,则 E(X|Y=y)=E(X);
② 条件期望的平滑性
E[E(X | Y )] E(X | Y y)dFY ( y) E(X )
③ 对随机变量X, Y的函数(X,Y), 有
E[(X ,Y ) | Y y] E[(X , y) | Y y]
则f(x|y)称为在给定Y=y时X的条件密度.
显然有
x
F (x | y) f (s | y)ds
E(X | Y y) x f (x | y)dx
条件期望通常统一记为
E(X | Y y) x dF(x | y)
注: E(X|Y=y) 表示一个数值; E(X|Y) 表示随机变量.

随机过程讲义

随机过程讲义
随机过程是一种抽象概念，它表示一个连续的或离散的时间点上发生的一系列事件或值的集合。

它主要用于表示不确定性和不确定性，在工程领域中有着广泛的应用。

本文将从定义和性质出发，论述随机过程的基本概念。

随机过程可以分为离散和连续两类。

离散随机过程是指在一定时间间隔内，其值只能在有限的取值集合中取值的变量。

例如，随机游戏的获胜概率可以用离散随机过程来表示。

连续随机过程是指在一定时间间隔内，其值可以取任何实数值的变量。

例如，温度变化可以用连续随机过程来表示。

随机过程有几个基本性质，如期望值、方差、协方差、自相关系数、相关系数和谱密度等。

期望值是指在一定时间间隔内，一个随机变量的预期值；方差表示变量的变化范围；协方差表示两个变量的关联性；自相关系数表示一个变量的变化，对另一个变量的影响；相关系数表示两个变量之间的相关性；谱密度表示变量的频率分布。

随机过程的应用非常广泛，它可以用于统计学、信号处理、系统建模和控制等领域。

它可以用于模拟不确定性或不确定性的系统，并分析系统的性质，以及系统响应的变化。

它还可以用于分析信号传输系统中的信号噪声，以及与环境变量相关的随机变量。

总之，随机过程是一种抽象概念，它表示一个连续的或离散的时间点上发生的一系列事件或值的集合。

它有几个基本性质，可以用于模拟不确定性或不确定性的系统，它在工程领域有着广泛的应用，可以用于控制、分析、模拟等众多方面。

随机过程知识点汇总

第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布1．随机变量X ，分布函数)()(x X P x F ≤=离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=kpx F )(连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰∞-=xdt t f x F )()(2．n 维随机变量),,,(21n X X X X =其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X ⎰∞∞-=dx x xf EX )(方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DYDX B XY XY ⋅=ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。

独立⇒不相关⇔0=ρ４．特征函数)()(itXeE t g = 离散 ∑=k itx p et g k)( 连续 ⎰∞∞-=dx x f e t g itx )()(重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，kk k EX i g =)0( ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX = 二项分布 kn k k n q p C k X P -==)( np EX = n p qDX = 泊松分布 !)(k ek X P kλλ-== λ=EX λ=DX 均匀分布略正态分布),(2σa N 22)(21)(σσπa x ex f --=a EX = 2σ=DX指数分布 ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ λ1=EX 21λ=DX６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N X)}()(21exp{||)2(1),,,(121221a x B a x B x x x f T nn ---=-π),,,(21n a a a a =，),,,(21n x x x x =，n n ij b B ⨯=)(正定协方差阵二．随机过程的基本概念１．随机过程的一般定义设),(P Ω是概率空间，T 是给定的参数集，若对每个T t ∈，都有一个随机变量X 与之对应，则称随机变量族{}T t e t X ∈),,(是),(P Ω上的随机过程。

随机过程——精选推荐

随机过程《随机过程》论⽂平稳的随机过程学号：11404111姓名：郭冬冬班级：11级1班指导教师：王颖俐专业：数学与应⽤数学系别：数学系完成时间：2015年1⽉摘要：本⽂主要通过⾃⼰的调研，结合本学期所学的课程《随机过程》总结出⼀些随机过程在通信中的具体应⽤。

随着科学的发展，随机过程与通信系统的关系越来越紧密，并且应⽤场合越来越多，如何在通信系统中正确应⽤随机过程的知识也越来越重要，随机过程中的⼀些概念在通信系统中应⽤中都具有⼀定的物理意义，掌握其物理意义对于更好地理解随机过程有很⼤的帮助作⽤。

接着结合⾃⼰的研究⽅向，进⼀步列举了⼀些随机过程在通信系统中的具体应⽤。

有许在随机过程的分类有许多的体现。

按照随机过程的参数集和状态空间是连续还是离散可以分为四类：⼀是参数离散、状态离散的随机过程，或叫做离散随机过程。

如贝努⼒过程等；⼆是参数离散、状态连续的随机过程，或（连续）随机序列。

如DAC（数模变换）过程中对随机信号进⾏采样；三是参数连续、状态离散的随机过程。

如程控设备转接语⾳电话的次数，跳频设备在通信过程中改变频率的次数等；四是参数连续、状态连续的随机过程。

如扫频仪的扫频信号进⾏扫频，各类信号中的纹波电压等。

多随机过程的数字特征的应⽤，⽐如随机过程的数学期望、⽅差、⾃协⽅差与⾃相关函数、互协⽅差与互相关函数等，如测量两条光纤信道的质量⾼低，我们可以通过OTDR多次发送光信号，在接收端来检测其损耗值，通过求损耗值的数学期望来选择质量好的光纤信道；如测试两种稳压芯⽚的性能，我们会多次记录对同⼀电压的采样值，通过求其采样值的⽅差，我们就可以简单的做出判断，因为⽅差函数描述了采样电压在各个时刻对其均值的偏离程度。

关键词：随机过程，平稳过程1.平稳过程平稳随机过程是⼀类应⽤⾮常⼴泛的随机过程，它在研究中有着极其重要的意义。

定义：若⼀个随机过程X(t)发热任意有限维分布函数与时间的起点⽆关,即对于任意的正整数n和所有的实数△，有fn(x1,x2, …,xn;t1,t2,…,tn) =fn(x1,x2,…,xn;t1+△,t2+△,…,tn+△)则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。

随机过程知识点

随机过程知识点第一章：预备知识§?1概率空间随机试验，样本空间记为Ω。

定义1.1 设Ω是一个集合，F是Ω的某些子集组成的集合族。

如果(1) F ；(2)若A F，则A-I A F ；OO(3)若A n EF，n = 1,2,…，则U A n E F;n 二则称F为?.…代数(Borel域)。

1 , F)称为可测空间，F中的元素称为事件。

由定义易知：(4)?- F；(5)若A)B F,则A B F；n n 八门(6)若 Ai E F，i=1,2,…则U A i，AP A = F.i 4 i -1 i 4定义1.2 设1 , F)是可测空间，一P( ?)是定义在F上的实值函数。

如果⑴任意A ：=F,0乞PA <1;(2)Pl：i： 1；(3)对两两互不相容事件A1, A?,…(当^j时，ACA j=0 ,有Λ□0、QOP A i 八 PA ii ≡T则称P是11,F上的概率，(门，F , P )称为概率空间，P(A)为事件A的概率。

定义1.3 设(J F，P)是概率空间，G F ,如果对任意A1,A2/ ,A n? G，n =1,2,有：PA i ■「P A ,1i=1则称G为独立事件族。

§?2随机变量及其分布随机变量X，分布函数F(X)，n维随机变量或n维随机向量，联合分布函数，Cχt,t T ［是独立的。

§ 1?3随机变量的数字特征定义1.7设随机变量X的分布函数为F(X),若JXIdF(X^ ::,则称QQE(X) = JxdF(X)为X的数学期望或均值。

上式右边的积分称为LebeSgUe-StieItjeS 积分。

方差，B X^E l^-EX 丫 - EY 1为X、Y的协方差，而P _ BXY XY V DX JDY为X、Y的相关系数。

若?XY=0,则称X、Y不相关。

(SChWarZ 不等式)若EX^ ::, EY^ -,则EXY 2空EX2EY2.§1.4特征函数、母函数和拉氏变换定义1. 10设随机变量的分布函数为 F (X),称g(t) E(e jtX) = .；e jtX dF x , -― t Z为X的特征函数随机变量的特征函数具有下列性质:⑴ g(0) =1,g(t)胡,g(-t) =g(t)1(2 ) g (t)在一：：，：：上一致连续。

第二章随机过程的概念与基本类型

2
2 sin( t ) sin( cos[( s s ) ] t ) DZ 2 cos( s ) cos( t ) sin( s ) sin( t )
2

2
cos[( s t ) ]
例2.2.2 设X(t)=Y+Zt, t>0，Y, Z~N(0, 1)，求{X(t), t>0}的一、二维概率密度族。
ft ( x) x 2 exp 2 2 2 1 1 2 1 t

2

2 x exp 2 2 1 t

B X s , t E X s X t m X s m X t E Y Zs Y Zt E Y
举例
例2.2.1 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t>0，Y, Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2。求{X(t), t>0} 的均值函数和协方差函数。解：m ( t ) EX ( t ) E [Y cos( t ) Z sin( t )] X
cos( t ) EY sin( t ) EZ 0
1
1 t 2 B 1 st
1 st 2 1 s
2
x 2
T
1
1 s 1 t 1
2 2

x2 1 2 2 1 s
1 s 1 t
2 2
x1 x 2
2 1 t x2
B X ( s , t ) E [( X ( s ) EX ( s ))( X ( t ) EX ( t ))] E [ X ( s ) X ( t )] EX ( s ) EX ( t ) E [ X ( s ) X ( t )]

随机过程1-2

一、随机过程的数学期望和方差
m X ( t ) = EX ( t ) = ∫ xdF ( x , t ), t ∈ T
−∞ ∞
第1章随机过程基本概念随机过程的均值函数
第2页
m X ( t ) 表示 X ( t ) 的
所有样本函数在时刻 t 的理论平均值，如的理论平均值，图1－8（a）。－（）。需要指出 m X ( t )是一条固定的曲线。固定的曲线。而样本曲线绕 m X ( t ) 曲线上下波动。
第1章随机过程基本概念
第5页
C X ( t1 , t 2 ) = cov( X ( t1 ), X ( t 2 )) = E[ X ( t1 ) − m X ( t1 )][ X ( t 2 ) − m X ( t 2 )], t1 , t 2 ∈ T
如果两个随机过程的方差相同，如果两个随机过程的方差相同，可以用协方差函数绝对值状态的线性联系密切程度。的大小比较两个过程在时刻 t1 , t2 状态的线性联系密切程度。如图1-9(a)、(b)为具有相同数学期望和方差的两个随机过程。、为具有相同数学期望和方差的两个随机过程。为具有相同数学期望和方差的两个随机过程如图
对连续概率分布情形，对连续概率分布情形，有
CX (t1 , t2 ) = ∫
∞
−∞ −∞
∫
∞
( x1 − mX (t1 )( x2 − mX (t2 )) f ( x1 , x2 , t1 , t2 )dx1dx2
(2.1)
第1章随机过程基本概念和
第8页
∞
RX ( t1 , t 2 ) = ∫
∞
−∞ −∞
∫
x1 x2 f ( x1 , x2 , t1 , t 2 )dx1dx2

随机过程西财讲义

（1）若 X 与 Y 相互独立，则 E (X | Y ) = E (X )，E (Y | X ) = E (Y )；
（2）设 g( y) 是一个函数，则 E [ g(Y ) | Y ] = g(Y )，E [ g(Y ) X | Y ] = g(Y ) E (X | Y )．
与条件随机变量独立时，条件期望等于无条件的期望；而条件随机变量的函数，相当于常数．
解：设该矿工需要 X 小时到达安全区，X 的分布很复杂，
又设 Y 表示矿工选择的门的编号，Y 的分布很简单，
Y 123 P111
333
因 E (X | Y = 1) = 3，E (X | Y = 2) = 5 + E (X )，E (X | Y = 3) = 7 + E (X )，
∑ 则 E( X ) P{Y = i} = 3× 1 + [5 + E( X )]× 1 + [7 + E( X )]× 1 = 5 + 2 E( X ) ，
计算复杂随机变量的数学期望转化为计算简单随机变量函数的数学期望．
例一矿工被困在有三个门的矿井里．第一个门通一坑道，沿此坑道走 3 小时可到达安全区；第二个门通
一坑道，沿此坑道走 5 小时又回到原处；第三个门通一坑道，沿此坑道走 7 小时又回到原处．假定此矿工
总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达安全区．
y
y
当 0 < y < 1 时，pY ( y) > 0，有
p X |Y (x |
y) =
p(x, y) pY ( y)
=
8xy 4( y − y 3 )
= 2x 1− y2
，y < x < 1，

随机过程第一章

则（1）对任意事件A，有
n
i 1 2， , n ，
P( A) P（Bi）P（A | Bi )
i 1
（2）对任意事件A ，若P（A） 0
，有
P( Bi | A)
P（Bi）P（A | Bi )

i 1
n
P（Bi）P（A | Bi )
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四、独立性 1．定义两个如果事件A，B满足
x 注指数分布常用作各种“寿命”分布的近似.
(3) 正态分布
定义若随机变量X的概率密度函数为
( x )2 2 2
f ( x)
1 2
e
, xR
f(x)
称随机变量 X服从参数为 μ,σ2的正态分布, σ>0， μ是任意实数，记为
0
μ
x
X ~N(μ,σ2) 注 (1) 概率密度曲线是以x=μ为对称轴,以y=0为渐近线的R上的连续函数; (2)在x=μ点f(x)取得最大值:
F ( x，y)
x

y
f (u, v)dudv
则称（X，Y）为二维连续型随机变量，f（x，y）称为（X，Y）的概率密度，满足：
f ( x, y ) 0

f ( x, y)dxdy 1
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3．边缘分布及独立性边缘分布设（X，Y）的分布函数为 F ( x，y)，则X，Y
F（x）是右连续的，即
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3．分布密度最常见的随机变量是离散型和连续型两种。离散型随机变量随机变量X的可能取值仅有有限个或可列无穷多个。
设 x k ( k 1,2, ) 是离散型随机变量X的所有可能的取值， p k 是 x k 的概率， X的概率分布：

随机过程教学大纲

《随机过程》课程教学大纲一课程说明1.课程基本情况课程名称：应用随机过程英文名称：Applications Random Process课程编号：2411223开课专业：数学与应用数学专业开课学期：第6学期学分/周学时：3/3课程类型：专业方向选修课2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）《应用随机过程》是面向数学与应用数学专业（应用数学方向）三年级学生开设的一门任选课，随机过程通常被视为概率论的动态部分，即研究的是随机现象的动态特征。

着重对随时间和空间变化的随机现象提出各种不同的模型并研究其内在的性质与相互联系，具有较强的理论性。

该学科在社会科学、自然科学、经济和管理等各个领域中都有广泛的应用。

3．本课程的教学目的和任务通过本课程的学习，使学生能较深刻地理解随机过程的基本理论、思想和方法，并能应用其解决实践中遇到的随机问题，从而提高学生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。

提高学生在建立随机数学模型、分析和解决问题方面的水平和能力，为进一步自学有关专业应用理论课程作好准备。

4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求先修课程：微积分、概率论。

掌握随机过程及其有限维分布、数字特征、几种重要的随机过程等基本概念；掌握马尔可夫过程的定义及性质、马氏链的状态分类、平稳性和遍历性及连续时间马氏链的基本理论；理解平稳过程的概念、相关函数的性质，掌握遍历性定理、相关函数的谱分解、平稳过程的预报.了解维纳过程、了解均方微分、积分等概念和方法；Ito公式；初步领会随机微分方程在金融中的应用.5．教学时数及课时分配二教材及主要参考书1、张波，商豪. 应用随机过程（第二版）. 中国人民大学出版社，20092、张波编著. 应用随机过程. 中国人民大学出版社, 20013、钱敏平、龚光鲁著. 应用随机过程. 北京大学出版社, 19984、方兆本、缪柏其著. 随机过程. 中国科技大学出版社, 19935、王寿仁编著. 概率论基础和随机过程. 北京科学出版社, 1997三教学方法和教学手段说明本课程虽然归属理论课，但具有很强的应用性，在教学过程中应注意引导学生从传统的确定性思维模式进入随机性思维模式，注意理论联系实际，从实际问题出发，通过抽象、概括，引出新概念、新方法。

随机过程第1章引论

12
1.1 概率
于是，我们有
因此，三人中没有人选到他自己的帽子的概率是
13
1.1 概率
独立事件
如果
那么两个事件E和F称为独立的(independent). 这蕴含了如果P(E|F)=P(E)，那么E和F是独立的(它也蕴含了P(F|E)=P(F)). 这就是，如果F已经发生这个事实并不影响E发生的概率，那么E和F就是独立的. 也就是E的发生独立于F是否发生.
我们则称为事件的概率.
例1.1 在掷硬币的例子中，如果我们假定硬币出现正面与出现反面是等可能的，那么我们有：P({正面})=P({反面})=1/2. 如果我们有一枚不均匀的硬币，它出现正面的可能是出现反面的两倍，那么 P({正面})=2/3， P({反面})=1/3.
7
1.1 概率
例1.2 在掷骰子的例子中，如果我们假定6个数的出现是等可能的，那么我
M.）著，龚光鲁译，人民邮电出版社，2011.5
2
第1章引论
1.1 概率 1.2 随机变量、分布函数及数字特征 1.3 条件期望和矩母函数 1.4 随机过程的概念及分类
3
1.1 概率
随机试验、样本空间与事件
概率论的一个基本概念是随机试验. 一个试验(或观察)，若它的结果预先无
法确定，则称之为随机试验，简称试验(experiment). 所有试验的可能结果组成的集合，称为样本空间，记作 . 中的元素则称为样本点，用表示.
P( FE ) P( F ) P( E | F )
7 6 42 . 12 11 132
例1.8 假定参加聚会的三个人都将帽子扔到房间的中央. 这些帽子先被弄混了,
随后每个人在其中随机地选取一个. 问三人中没有人选到他自己的帽子的概率是多少？