平行四边形典型例题

平行四边形典型例题

1．已知如图12-1-19，所示□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE上AD于E，OF⊥BC于F．

求证：四边形AECF是平行四边形

错证：在△AOE和△COF中

∵OE⊥AD，OF⊥BC ∴∠AEO=∠CFO=90°

∵四边形ABCD为平行四边形

∴OA＝OC，AD∥BC ∴∠EAC＝∠ACF

）

∴△AOE≌△COF（AAS）∴OF=OE

∴四边形AECF是平行四边形

错误分析：上面证明由OF＝OE，OA=OC不能说明EF与AC互相平分，因为原题设中没有说明E、O、F三点共线，因此先证E、O、F三点共线．

正确证明：在△AOE和△COF中

∵OE⊥AD OF⊥BC ∴∠AEO＝∠CFO＝90°

∵四边形ABCD为平行四边形

∴OA＝OC，AD∥BC ∴∠EAC=∠ACF

∴△AOE≌△COF（AAS）∴OF＝OE

又∵AD∥BC，OE⊥AD，OF⊥BC

∴E、O、F三点共线

(

∴四边形AECF是平行四边形

2．如图12-1-22所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45°角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形．

分析：运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时不要忽略证明F，E，D共线．

解：取AC、BC的中点E、D连结ED，则沿ED切割下来，如图使点E不变，点C与点A重合，再焊接上去最简单．

证明：在Rt△ABC中∵AC＝BC ∴∠B=45°

又∵E、D分别为AC、BC的中点

∴EC＝DC ∴∠CED＝∠CDE＝45°

∴∠AEF＝∠CED＝45°∴∠AEF+∠AED=∠CED+∠AED＝180°

∴F、E、D在一条直线上∵∠EAF＝∠C＝90°∴AF∥CD

—

又∵AF＝CD＝DB ∴四边形AFDB是平行四边形，且∠B＝45°

3．如图12-1-23，在□ABCD的对角线上取两点E、F，且BF＝DE，请至少用两种不同的方法证明四边形AECF 是平行四边形，并指出哪种方法最简便．

分析：可证两组对边分别相等，也可证对角线互相平分．

证明方法（一）

在△ABF和△CDE中，AB＝CD，BF＝DE，∠ABF＝∠CDE．

∴△ABF≌△CDE ∴AF＝CE

同理可证AE＝CF，故四边形AECF是平行四边形

方法（二）

连AC交BD于O

%

在□ABCD中，OA＝OC，OB＝OD

∵BF＝DE ∴OE=OF ∴四边形AECF为平行四边形

4．如果一块木板两边是线段，把两把曲尺的一边紧靠木板边缘，再看木板另一边缘对曲尺另一边上的刻度是否相等，就可以判断木板的两个边缘是否平行，这是为什么

分析：这是一道生活实践题，运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题，此题就是运用平行四边形的识别方法来判断两边是否平行．

解：如果曲尺的刻度相等，则木板的两个边缘就平行，因为，两把曲尺与木板的两个边缘构成一个四边形，当曲尺的刻度相等，则四边形中就有一组对边平行且相等，所以四边形为平行四边形，则木板的两边缘平行．

如果曲尺的刻度不相等，则木板的两个边缘就不平行，因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平行四边形．

5．已知如图12-1-4所示，□ABCD中，AB的延长线上取一点E，使BE＝AB，在CE上取一点M使CM＝CD，连结DM并延长交AE的延长线于点F

求证：BD＝BF

,

分析：由于BD，BF是△BDF的两边，所以要证BD＝BF，可由证△BDF中∠BDF＝∠F入手，易知∠F＝∠CDM=∠CMD＝∠EMF，故只要证BD∥CE，由此由证法一又注意到BF＝BE+EF，易知BE＝AB＝CD＝CM，EF＝EM，故BF＝CE，从而只要证BD＝CE，由此有证法二．

证法（一）：∵四边形ABCD为平行四边形∴AB CD

又∵E点在AB延长线上，且BE＝AB ∴AB CD

∴四边形BECD是平行四形∴BD∥CE ∴∠BDF＝∠EMF

∵∠EMF＝∠CMD ∴∠BDF＝∠CMD

又∵CM＝CD ∴∠CMD=∠CDM ∴∠BDF＝∠CDM

∵AF∥CD ∴∠CDM＝∠F ∴BDF＝∠F

即BD＝BF

证法（二）：∵四边形ABCD为平行四边形∴AB CD

又∵E点在AB延长线上且BE＝AB ∴BE CD

】

∴四边形BECD是平行四边形∴BD＝CE，BE＝CD

又∵∠EMF=∠CMD，CD＝CM ∴∠CMD=∠CDM

∴∠EMF=∠CDM ∵BE∥CD ∴∠F＝∠EMF ∴EF＝EM

∴BF＝BE+EF＝CD+EM=CM+EM＝CE＝BD

即BF＝BD

习题精选

一、填空题

1．过□ABCD的顶点A、C分别作对角线BD的垂直线，垂足为E、F，则四边形AECF是.

2．延长△ABC的中线AD到E，使DE＝AD 则四边形ABEC是四边形．

（

3．在四边形ABCD中∠A＝50°欲使四边形为平行四边形，则∠B= ，∠C＝，∠D＝.

4．在四边形中，任意相邻两个内角互补，则这个四边形是四边形．

5．如图12-1-29，在□ABCD中，E、F为AB、CD的中点，连结DE、EF、BF则图中共有

个平行四边形．

6．在□ABCD中连结BD作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，连结CE、AF，点P、Q 在线段BD上，且BP＝DQ，连结AP、CP、AQ、CQ，MN分别交AB、CD于M、N连结AM、CM、NA、NC，那么图中平行四边形（除□ABCD外）有个，它们是.

二、判断题

1．平行四边形的对边分别相等（）