青岛二中高一期末数学考试题
2023-2024学年山东省青岛市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省青岛市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f （x ）＝log 2（3﹣x ）的定义域为（ ） A ．（0，3） B ．（﹣∞，2） C ．（﹣∞，3） D ．（﹣∞，3]2．cos210°＝（ ）A ．12B ．−12 C ．√32D ．−√323．已知x ，y 为正实数，则2y x +xy 的最小值为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．2√24．人类已进入大数据时代，数据量已从EB （1EB ＝10242TB ）级别跃升到ZB （1ZB ＝1024EB ）级别，据研究结果表明：某地区的数据量y （单位：EB ）与时间x （单位：年）的关系符合函数y ＝k •a x﹣2021，其中a ＞0，a ≠1．已知2022年该地区产生的数据成为0.5EB ，2023年该地区产生的数据边为1EB ，则2024年该地区产生的数据量为（ ） A ．1.5EBB ．1.75EBC ．2EBD ．2.25EB5．“x ＞4”是“log 3x ＞1”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件6．当x ∈（0，2π）时，函数f （x ）＝sin x 与g （x ）＝|cos x |的图象所有交点横坐标之和为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7．定义在[﹣2，2]上的函数f （x ）＝3|x |﹣1，若f （1﹣x ）＜f （x ），则x 的取值范围为（ ） A ．(−∞，12)B ．(12，+∞)C ．[−1，12)D ．(12，2]8．若“∃x ∈（0，m ），使得x ＞5lg303lg0.5”为假命题，则m 的最大值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合项目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知a ＜0，b ＞0，则（ ） A ．ac ＞bcB ．a ﹣c ＜b ﹣cC ．1a ＞1bD ．a 2＞ab10．已知函数f(x)=sin(3x+π)，则（）3，0)是f（x）图象的一个对称中心A．点(−π9B．直线x=π是f（x）图象的一条对称轴18C．f（x）在[0，π9]上单调递增D．f(x+π)=f(x)311．已知函数f(x)=a(1)|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则（）3A．a+b＝0B．f(x)=(1)|x|−13C．f（x）是偶函数D．f（x）在（﹣∞，0]上单调递增12．已知函数f（x）定义域为R，则（）A．若∀x∈R，f（x﹣1）＜f（x），则f（x）在R上单调递增B．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是偶函数C．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是周期函数D．若∀x1，x2∈（0，π），x1≠x2，|f（x1）﹣f（x2）|＜|cos x1﹣cos x2|，则函数y＝f（x）+cos x在（0，π）上单调递减三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点．14．写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式．①f（x）的定义域为（0，+∞）；②f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）；③当x＞1时，f（x）＞0．15．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝1，在平面内△ABC绕点B逆时针旋转到△A'BC'，使C，B，A'在同一直线上，则图中阴影部分的面积为．16．设函数f(x)=sinx+√3，若f（x1）f（x2）＝2[f（x1）﹣f（x2）﹣1]，则|x1﹣x2|的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}，B ＝{1，2，3}． （1）写出A ∩B 的所有子集；（2）若关于x 的不等式x 2+bx +c ＜0的解集为C ，A ∪C ＝[﹣1，3），A ∩C ＝（1，2]，求b +c 的值． 18．（12分）如图，平面直角坐标系xOy 中，角α的终边OT 与单位圆交于点T(35，t)．（1）求sin α，tan α的值； （2）求sin(π−α)+sin(π2−α)cos(π2+α)的值．19．（12分）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为2，f （x ）的一个零点是16．（1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[0，m ]（m ＞0）时，f （x ）的最小值为−12，求m 的取值范围．20．（12分）如图，正方形ABCD 的边长为a （a ＞1），点W ，E ，F ，M 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，EM ∥AB ，WF ∥BC ，EM 与WF 交于点N ，EF ＝1，记∠FEC =x(0＜x ＜π2)．（1）记四边形ECFN 的面积为x 的函数f （x ），周长为x 的函数g （x ）， （i ）证明：g 2(x)4−1=2f(x)；（ii ）求g （x ）的最大值；（2）求四边形AMNW 面积的最小值．21．（12分）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tmL 药品，从注射时间起血药浓度y （单位：μg /mL ）与药品在体内时间x （单位：小时）的关系如下：y ={(168−x −2)t ，0≤x ≤6，(9−x 2)t ，6＜x ≤18．当血药浓度不低于2μg /mL 时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过2mL ．（1）若注射1mL药品，求药品的有效治疗时间；（2）若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1mL药品，12小时之后又注射amL药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，求a的最小值．22．（12分）已知函数f(x)=alnx−x+1，a＞0．x−1（1）写出f（x）的单调区间，并用单调性的定义证明；（2）若f（e）＝0，解关于x的不等式f（x）＞0；（3）证明：f（x）恰有两个零点m，n（m＜n），且m+n＞2．2023-2024学年山东省青岛市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f（x）＝log2（3﹣x）的定义域为（）A．（0，3）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]解：f（x）＝log2（3﹣x），则3﹣x＞0，解得x＜3，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，3）．故选：C．2．cos210°＝（）A．12B．−12C．√32D．−√32解：cos210°＝cos（180°+30°）＝﹣cos30°=−√32．故选：D．3．已知x，y为正实数，则2yx+xy的最小值为（）A．1B．√2C．2D．2√2解：因为x，y为正实数，所以2yx+xy≥2√2yx⋅xy=2√2，当且仅当2yx=xy，即x=√2y时，2yx+xy的最小值为2√2．故选：D．4．人类已进入大数据时代，数据量已从EB（1EB＝10242TB）级别跃升到ZB（1ZB＝1024EB）级别，据研究结果表明：某地区的数据量y（单位：EB）与时间x（单位：年）的关系符合函数y＝k•a x﹣2021，其中a＞0，a≠1．已知2022年该地区产生的数据成为0.5EB，2023年该地区产生的数据边为1EB，则2024年该地区产生的数据量为（）A．1.5EB B．1.75EB C．2EB D．2.25EB解：由题意可得，{0.5=k⋅a 2022−20211=k⋅a2023−2021，解得{a=2k=14，∴y=14×2x−2021，∴当x＝2024时，y=14×22024−2021=14×23=2，即2024年该地区产生的数据量为2EB．故选：C．5．“x＞4”是“log3x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件解：∵不等式log3x＞1⇔x＞3，∴当x＞4时，有log3x＞1，充分性成立；当“log3x＞1”时，有x＞3，不能推出“x＞4”，必要性不成立，因此，“x＞4”是“log3x＞1”的充分不必要条件．故选：A．6．当x∈（0，2π）时，函数f（x）＝sin x与g（x）＝|cos x|的图象所有交点横坐标之和为（）A．πB．2πC．3πD．4π解：由f（x）＝g（x），可得sin x＝|cos x|，显然π2，π，3π2不是图象的交点的横坐标，当0＜x＜π2时，由题意得sin x＝cos x，则x=π4，当π2＜x＜π时，sin x＞0，cos x＜0，由题意得sin x＝cos x，x=3π4，当π＜x＜3π2时，由题意得sin x＝﹣cos x，x不存在，当3π2＜x＜2π时，由题意得sin x＝cos x，此时x不存在，故π4+3π4=π．故选：A．7．定义在[﹣2，2]上的函数f（x）＝3|x|﹣1，若f（1﹣x）＜f（x），则x的取值范围为（）A．(−∞，12)B．(12，+∞)C．[−1，12)D．(12，2]解：根据题意，函数f（x）＝3|x|﹣1，其定义域为[﹣2，2]，有f（﹣x）＝3|﹣x|﹣1＝3|x|﹣1＝f（x），f（x）为偶函数，在区间[0，2]上，f（x）＝3x﹣1，易得f（x）在[0，2]上为增函数，若f（1﹣x）＜f（x），则有|1﹣x|＜|x|≤2，解可得：12＜x≤2，即x 的取值范围为（12，2]．故选：D ．8．若“∃x ∈（0，m ），使得x ＞5lg303lg0.5”为假命题，则m 的最大值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17解：根据题意，若“∃x ∈（0，m ），使得x ＞5lg303lg0.5”为假命题，则其否定“∀x ∈（0，m ），都有x ≤5lg303lg0.5“”为真命题，则有m ≤5lg303lg0.5，由于m ＞0，且5lg303lg0.5＞0，两边同时取对数可得：lgm ≤lg 5lg303lg0.5=lg 5lg 30﹣lg 3lg 0.5＝lg 30lg 5﹣lg 0.5lg 3＝lg 30lg 5+lg 2lg 3＝（lg 3+1）（1﹣lg 2）+lg 2lg 3＝lg 15，即lgm ≤lg 15，必有m ≤15，即m 的最大值为15． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合项目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知a ＜0，b ＞0，则（ ） A ．ac ＞bcB ．a ﹣c ＜b ﹣cC ．1a ＞1bD ．a 2＞ab解：对于A ，当c ＜0时，ac ＞0，bc ＜0，故A 错误； a ＜b ，﹣c ＝﹣c ，故a ﹣c ＜b ﹣c ，故B 正确； a ＜0，b ＞0，则1a ＜0，1b＞0，故C 错误；a ＜0，b ＞0，则a ﹣b ＜0，a 2﹣ab ＝a （a ﹣b ）＞0，即a 2＞ab ，故D 正确． 故选：BD ．10．已知函数f(x)=sin(3x +π3)，则（ ）A ．点(−π9，0)是f （x ）图象的一个对称中心B ．直线x =π18是f （x ）图象的一条对称轴 C ．f （x ）在[0，π9]上单调递增D ．f(x +π3)=f(x)解：对于函数f(x)=sin(3x +π3)，令x =−π9，求得f （x ）＝0，可得点(−π9，0)是f （x ）图象的一个对称中心，故A正确．令x=π18，求得f（x）＝1，为最大值，可得直线x=π18是f（x）图象的一条对称轴，故B正确．在[0，π9]上，3x+π3∈[π3，2π3]，函数f（x）不单调，故C错误．由于f（x+π3）＝sin（3x+π+π3）＝﹣sin（3x+π3）＝﹣f（x），故D错误．故选：AB．11．已知函数f(x)=a(13)|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则（）A．a+b＝0B．f(x)=(13)|x|−1C．f（x）是偶函数D．f（x）在（﹣∞，0]上单调递增解：因为函数f(x)=a(13)|x|+b的图象过原点，所以a(13)0+b=0⇒a+b=0，A项正确；又因为f（x）图象无限接近直线y＝1，所以b＝1，从而a＝﹣1，所以f(x)=−(13)|x|+1，B项错误；C项，f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，正确；D项，x＞0，f(x)=−(13)x+1在[0，+∞）上单调递增，偶函数的图象关于y轴对称，则在（﹣∞，0]上单调递减，错误．故选：AC．12．已知函数f（x）定义域为R，则（）A．若∀x∈R，f（x﹣1）＜f（x），则f（x）在R上单调递增B．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是偶函数C．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是周期函数D．若∀x1，x2∈（0，π），x1≠x2，|f（x1）﹣f（x2）|＜|cos x1﹣cos x2|，则函数y＝f（x）+cos x在（0，π）上单调递减解：根据题意，依次分析选项：对于A，设f（x）＝sin（2πx）+x，满足f（x﹣1）＜f（x），但f（x）在R上不是增函数，A错误；对于B，当x1＝﹣x2＝m时，有|f（m）﹣f（﹣m）|≤|cos m﹣cos（﹣m）|＝0，必有f（m）＝f（﹣m），故f（x）为偶函数，B正确；对于C，当x1＝x2+2π时，有|f（x2+2π）﹣f（x2）|＝|cos（x2+2π）﹣cos x2|＝0，必有f（x2+2π）＝f（x2），故f（x）是周期为2π的周期函数；对于D，∀x1，x2∈（0，π），x1≠x2，设x1＜x2，则cos x1＞cos x2，则有|f（x1）﹣f（x2）|＜cos x1﹣cos x2，即cos x2﹣cos x1＜f（x1）﹣f（x2）＜cos x1﹣cos x2，对于cos x2﹣cos x1＜f（x1）﹣f（x2），变形可得f（x1）+cos x1＞f（x2）+cos x2，故函数y＝f（x）+cos x在（0，π）上单调递减，D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，2）．解：因为y＝a x恒过定点（0，1），而y＝a x+1是由y＝a x沿y轴向上平移1个单位得到的，所以其图象过定点（0，2）．故答案为（0，2）14．写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式f（x）＝lgx；（答案不唯一）．①f（x）的定义域为（0，+∞）；②f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）；③当x＞1时，f（x）＞0．解：当f（x）＝lgx时，对于①：因为x＞0，所以f（x）的定义域为（0，+∞），满足①；对于②：对∀x1，x2∈（0，+∞），有f（x1x2）＝lgx1x2＝lgx1+lgx2＝f（x1）+f（x2），满足②；对于③：当x∈（1，+∞）时，由函数f（x）＝lgx在x∈（0，+∞）上单调递增，可得lgx＞lg1＝0，即f（x）＞0成立．满足③．故答案为：lgx（答案不唯一）．15．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝1，在平面内△ABC绕点B逆时针旋转到△A'BC'，使C，B，A'在同一直线上，则图中阴影部分的面积为3π8．解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=π2，AC＝1，∴∠ABC＝∠C'BA'=π4，AB=√2，∴∠ABC'=π2，∴∠CBC′=π4+π2=3π4，∠A'BA=π4+π2=3π4，∴图中阴影部分的面积S＝S△ABC+S扇形BAA'﹣S扇形BCC'﹣S△A'BC'＝S扇形BAA'﹣S扇形BCC'=12×3π4×AB2−1 2×3π4×BC2=3π8×2−3π8=3π8．故答案为：3π8．16．设函数f(x)=sinx+√3，若f（x1）f（x2）＝2[f（x1）﹣f（x2）﹣1]，则|x1﹣x2|的最小值为π．解：因为f（x1）f（x2）＝2[f（x1）﹣f（x2）﹣1]，所以[f（x1）+2][f（x2）﹣2]＝﹣6，又因为f(x)=sinx+√3且﹣1≤sin x≤1，所以√3−1≤f（x）≤√3+1，所以√3+1≤f（x1）+2≤√3+3，√3−3≤f（x2）﹣2≤√3−1，显然f（x1）+2＞0，f（x2）﹣2＜0，所以[f（x1）+2][f（x2）﹣2]∈[（√3−3）（√3+3），（√3−1）（√3+1）]，即f（x1）f（x2）∈[﹣6，2]，当且仅当f（x1）+2=√3+3，f（x2）﹣2=√3−3时，[f（x1）+2][f（x2）﹣2]＝﹣6成立，所以sin x1＝1，sin x2＝﹣1，所以x1＝2k1π+π2，k1∈Z，x2＝2k2π−π2，k2∈Z，所以|x1﹣x2|＝|2（k1﹣k2）π+π|，k1∈Z，k2∈Z，当且仅当k1﹣k2＝1或k1＝k2时（k1∈Z，k2∈Z），|x1﹣x2|有最小值，且|x1﹣x2|min＝π，故答案为：π．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{1，2，3}．（1）写出A∩B的所有子集；（2）若关于x的不等式x2+bx+c＜0的解集为C，A∪C＝[﹣1，3），A∩C＝（1，2]，求b+c的值．解：（1）因为x2﹣x﹣2≤0，所以（x+1）（x﹣2）≤0，解得﹣1≤x≤2，所以A＝[﹣1，2]，所以A∩B＝{1，2}．所以A ∩B 的所有子集为：∅，{1}，{2}，{1，2}； （2）因为A ∪C ＝（﹣1，3），A ∩C ＝（1，2]， 所以C ＝（1，3），由题意得1和3是方程x 2+bx +c ＝0的两根， 所以1+3＝﹣b ，1×3＝c ， 所以b +c ＝﹣1．18．（12分）如图，平面直角坐标系xOy 中，角α的终边OT 与单位圆交于点T(35，t)．（1）求sin α，tan α的值； （2）求sin(π−α)+sin(π2−α)cos(π2+α)的值．解：（1）角α的终边OT 与单位圆交于点T(35，t)，且由图象可得t =45，则由三角函数的定义知：cosα=35，sinα=45，tanα=43．（2）∵sin(π−α)=sinα=45，sin(π2−α)=cosα=35，cos(π2+α)=−sinα=−45，∴sin(π−α)+sin(π2−α)cos(π2+α)=45+35−45=−74．19．（12分）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为2，f （x ）的一个零点是16．（1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[0，m ]（m ＞0）时，f （x ）的最小值为−12，求m 的取值范围．解：（1）由题知T =2πω=2，所以ω＝π． 又因为f(16)=sin(π6+φ)=0，所以{φ=kπ−π6，k ∈Z −π2＜φ＜π2，解得φ=−π6，所以f(x)=sin(πx −π6)．（2）因为f(x)=sin(πx −π6)，x ∈[0，m ]，令t =πx −π6∈[−π6，πm −π6]，因为y ＝sin t 在[−π6，πm −π6]上的最小值为−12，所以πm −π6≤7π6，解得m ≤43， 所以m 的取值范围是(0，43]．20．（12分）如图，正方形ABCD 的边长为a （a ＞1），点W ，E ，F ，M 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，EM ∥AB ，WF ∥BC ，EM 与WF 交于点N ，EF ＝1，记∠FEC =x(0＜x ＜π2)．（1）记四边形ECFN 的面积为x 的函数f （x ），周长为x 的函数g （x ）， （i ）证明：g 2(x)4−1=2f(x)；（ii ）求g （x ）的最大值；（2）求四边形AMNW 面积的最小值．解：（1）（i ）由题知：f （x ）＝sin x cos x ，g （x ）＝2（sin x +cos x ）， 所以g 2(x)4−1=(sinx +cosx)2−1=sin 2x +cos 2x +2sinxcosx −1=2sin x cos x ＝2f （x ）．（ii ）由（sin x +cos x ）2﹣1＝2sin x cos x ≤sin 2x +cos 2x ＝1，当且仅当sin x ＝cos x 时，即x =π4时取等号，所以sin x +cos x ≤√2，即g （x ）的最大值为2√2；（2）因为S AMNW ＝BE •DF ＝（a ﹣cos x ）（a ﹣sin x ）＝a 2﹣a （sin x +cos x ）+sin x cos x ， 令t ＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），因为0＜x ＜π4，所以π4＜x +π4＜π2，所以√22＜sin(x +π4)＜1，所以t =sinx +cosx ∈(1，√2]， 所以sinxcosx =(sinx+cosx)2−12=t 2−12，令S AMNW=ℎ(t)=a 2−at +t 2−12=t 22−at +a 2−12，若1＜a ＜√2，则h （t ）在（1，a ）上单调递减，在(a ，√2)上单调递增， 所以ℎ(t)≥ℎ(a)=a 2−12． 若a ≥√2，则h （t ）在(1，√2]上单调递减，所以ℎ(t)≥ℎ(√2)=a 2−√2a +12，综上，当1＜a ＜√2时，四边形AMNW 面积最小值为a 2−12；当a ≥√2时，四边形AMNW 面积最小值为a 2−√2a +12．21．（12分）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tmL 药品，从注射时间起血药浓度y （单位：μg /mL ）与药品在体内时间x （单位：小时）的关系如下：y ={(168−x −2)t ，0≤x ≤6，(9−x 2)t ，6＜x ≤18．当血药浓度不低于2μg /mL 时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过2mL ． （1）若注射1mL 药品，求药品的有效治疗时间；（2）若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1mL 药品，12小时之后又注射amL 药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，求a 的最小值．解：（1）注射1ml 该药品，其浓度为y ={168−x −2，0≤x ≤69−x2，6＜x ≤18， 当0≤x ≤6时，由2≤168−x−2可得，4≤x ≤6， 当6＜x ≤18时，由2≤9−x2可得，6＜x ≤14，所以一次注射1ml 该药品，则药物有效时间可达14﹣4＝10小时； （2）设从第一次注射起，经x （12≤x ≤18）小时后，其浓度g(x)=9−x 2+a[168−(x−12)−2]=20−x 2+16a20−x−2a −1，因为20﹣x ∈[2，8]，a ＞0， 当a ∈[18，2]时，因为20−x 2+16a 20−x−2a −1≥2√(20−x)2⋅16a (20−x)−2a −1=4√2a −2a −1，当20−x 2=16a 20−x时，即x =20−4√2a ∈[12，18]时，等号成立，所以{4√2a−2a−1≥218≤a≤2，解得0.5≤a≤2，当a=18时，g(x)=20−x2+220−x−54，g(18)=34＜2，所以a∈(0，18)不能保证持续有效，综上所述，a的取值范围为[0.5，2]，即要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，a的最小值为0.5．22．（12分）已知函数f(x)=alnx−x+1x−1，a＞0．（1）写出f（x）的单调区间，并用单调性的定义证明；（2）若f（e）＝0，解关于x的不等式f（x）＞0；（3）证明：f（x）恰有两个零点m，n（m＜n），且m+n＞2．解：（1）由f(x)=alnx−x+1x−1可知，f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．∵f(x)=alnx−x+1x−1=alnx−x−1+2x−1=alnx−2x−1−1，∴f（x）在（0，1）上和（1，+∞）上单调递增．对∀x1，x2∈（0，1），x1＜x2，∵f(x1)−f(x2)=a(lnx1−lnx2)+(2x2−1−2x1−1)=a(lnx1−lnx2)+2(x1−x2)(x2−1)(x1−1)．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在（0，1）上单调递增，同理对∀x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增．（2）由（1）知，f（x）在（0，1）上和（1，+∞）上单调递增，又∵f(1e)=aln1e−1e+11e−1=−alne−e+1e1−ee=−(alne−e+1e−1)=−f(e)=0．∴不等式的解集为(1e，1)∪(e，+∞)．（3）由（1）知，f（x）在（0，1）上和（1，+∞）上单调递增，又∵f(e 1a)=−2e1a−1＜0，且e1a∈(1，+∞)，取p满足{p＞e2ap＞3，则f(p)=alnp−1−2p−1＞aln(e2a)−1−23−1=0，∴f（x）在（1，+∞）上有唯一零点n，又∵f(e−1a)=21−e−1a−2＞0，且e−1a∈(0，1)，取q满足{q＜e−2aq＜13，则f(q)=alnq−1+21−q＜aln(e−2a)−1+21−13=0，∴f（x）在（0，1）上有唯一零点m．∵f（m）＝0，又f(1m)=aln1m−1m+11m−1=−(alnm−m+1m−1)=−f(m)=0，f（x）在（1，+∞）上单调递增，且1m，n∈（1，+∞）．∴1m=n，∴mn＝1，∴m+n＞2√mn=2．。
2022-2023学年山东省青岛第二中学数学高一上期末联考试题含解析
15．若函数 ，则 ________
16．已知 ，则 的值为__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．
（1）求a值以及函数 的定义域；
（2）求函数 在区间 上的最小值；
（3）求函数 的单调递增区间
【详解】由题意可知 4－(－4)＝8.
故选：D.
9、A
【解析】根据三角函数定义求解即可.
【详解】角 的终边经过点 ，即 ，则 .
故选：A.
10、C
【解析】设 ，求出 ，再由 求出 .
【详解】设 ，因为
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、16
（2）由（1）可知 ，则 ，
① 由 得，
函数 增区间为 .
② 因为 ，所以 .
当 ，即 时，函数 取得最大值，最大值为 .
【点睛】本题考查正弦型函数性质单调性，函数的平移变换，函数的值域的应用．属中档题.
20、（1） ；（2） .
【解析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求出 ,即可求得 的值；
【详解】令 ，得 ，画出 和 的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有 个交点，也即 有 个零点.
故选C.
【点睛】本小题主要考查函数零点个数的判断，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
2、A
【解析】由两点坐标求出直线的斜率,再由斜率等于倾斜角的正切值列出方程求得 的值.
【详解】因为经过两点 ， 的直线的倾斜角为45°，∴ ，解得 ，故选A
山东省青岛市青岛第二中学2022-2023学年高一上数学期末综合测试试题含解析
（2）利用样本估计总体的思想，估计 餐厅满意指数和 餐厅满意指数的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
参考公式： ，其中 为 的平均数， 分别为 对应的频率.
（3）如果一名新来同学打算从 两家餐厅中选择一个用餐，你建议选择哪个餐厅？说明理由.
C.若 ，则 D.若 ，则
6．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用 ， 分别表示乌龟和兔子所行的路程( 为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（）
A. B.
C. D.
7．已知集合A={1，2，3}，B={x∈N|x≤2}，则A∪B=（）
（2）设 关于 轴对称点 设过 的直线 ，利用点到直线的距离公式化简求解即可
【详解】设 ，
则代入
轨迹 的方程为
（2）设 关于 轴对称点
设过 的直线 ，即
∵ ， ，
∴ 或
∴反射光线所在 即
即
19、（1）答案见解析；
（2） .
【解析】(1)根据对数的真数为正即可求解；
(2)对任意 恒有 对 恒成立，参变分离即可求解a的范围.
(2)函数 的值域为 而 的值域为 ，所以值域不同，故(2)错误.
(3)函数 在定义R上的偶函数且在 为减函数,则函数 在在 为增函数，又 为锐角，则 ，所以 ，故(3)正确.
(4)函数 且 ，则 ，即 ，
得 ，故(4)错误.
故答案为：(1)(3).
【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数与幂函数的定义域与值域的求解，函数的奇偶性和单调性的判定，对数的运算，属于函数知识的综合应用，是中档题.
山东省青岛市第二高级中学高一数学理期末试卷含解析
山东省青岛市第二高级中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. sin2cos3tan4的值 ()(A) 小于0 (B) 大于0 (C) 等于0 (D) 不存在参考答案：A2. 设全集U=R，集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|2≤x＜5}，则A∩（?U B）=( )A．{x|1≤x＜2} B．{x|x＜2} C．{x|x≥5}D．{x|1＜x＜2}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵B={x|2≤x＜5}，∴C U B={x|x＜2或x≥5}，则A∩（?U B）={x|1＜x＜2}，故选D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3. 凸边形各内角成等差数列，公差10°，最小内角为100°，则（）A．5或6 B．9 C．8 D．8或9参考答案：C略4. 平面内已知向量，若向量与方向相反，且，则向量=（）A．（2，﹣4）B．（﹣4，2）C．（4，﹣2）D．（﹣2，4）参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量共线且方向相反设=x，x＜0，结合长度关系进行求解即可．【解答】解：∵向量与方向相反，∴=x，x＜0，∵，∴=|x|||=|x|，则|x|=2，x=﹣2，即=x=﹣2=﹣2（2，﹣1）=（﹣4，2），故选：B5. 是定义在上的奇函数,若则下列各式中一定成立的是（）A．B．C．D．参考答案：B略6. 函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是( )A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）?f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．7. 函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣，0）B．（﹣，0] C．（﹣，+∞）D．（0，+∞）参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【分析】函数f（x）=有意义，可得2x+1＞0，且log（2x+1）≥0，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：函数f（x）=有意义，可得2x+1＞0，且log（2x+1）≥0，即为0＜2x+1≤1，解得﹣＜x≤0，则定义域为（﹣，0]．故选：B．8. 已知，则的值为( )A． B． C． D．参考答案：D9. 定义两种运算：，那么定义在区间上的函数的奇偶性为（）(A)奇函数 (B)偶函数(C)既是奇函数又是偶函数 (D)既非奇函数也非偶函数参考答案：A略10. 从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法,则所选5名学生的学号可能是( )A. 1,2,3,4,5B. 5,16,27,38,49C. 2,4,6,8,10D. 4,13,22,31,40参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列{a n}中，a1=2，a n=a n﹣1﹣（n≥2），则数列{a n}的前12项和为．参考答案：﹣9【考点】8E：数列的求和．【分析】由题意可得数列{a n}为首项2，公差d为﹣的等差数列，再由等差数列的前n项和的公式，计算即可得到所求和．【解答】解：a1=2，a n=a n﹣1﹣（n≥2），即有a n﹣a n﹣1=﹣（n≥2），可得数列{a n}为首项2，公差d为﹣的等差数列，则数列{a n}的前12项和为12×2+×12×11×（﹣）=﹣9．故答案为：﹣9．12. 若，，则．参考答案：13. 已知无穷等比数列的首项为，公比为q ，且，则首项的取值范围是________．参考答案：【分析】 根据极限存在得出，对分、和三种情况讨论得出与之间的关系，可得出的取值范围.【详解】由于，则.①当时，则，；②当时，则，；③当时，，解得.综上所述：首项的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查极限的应用，要结合极限的定义得出公比的取值范围，同时要对公比的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.14. 方程的实数解的个数为 ． 参考答案：2【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】将方程变为2﹣x=，方程的根即相关的两个函数的交点的横坐标，故判断方程实数解的个数的问题可以转化求两个函数y=2﹣x 与y=的两个函数的交点个数的问题，至此解题方法已明．【解答】解：方程变为2﹣x=，令y=2﹣x 与y=，作出两函数的图象如图，两个函数在（0，+∞）有两个交点，故方程有两个根． 故应填 2．15. 已知，，则．参考答案：16. 若=2，则tan （α﹣）= ．参考答案：2【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由两角差的正切函数公式，特殊角的三角函数值化简所求即可计算得解．【解答】解：∵=2，∴tan （α﹣）====2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了两角差的正切函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．17. 某校高一年级的学生，参加科技兴趣小组的有65人，参加演讲兴趣小组的有35人，两个兴趣小组都参加的有20人，则两个兴趣小组至少参加一个的人数为____.参考答案： 80 略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
青岛二中2019-2020学年第一学期期末考试高一数学试题一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合ln1cos ,2A e π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,{}2|20B x Z x x =∈+≤,则A B =U （ ） A. {}0,1 B. {}1,0- C. {}1,0,1- D. {}2,1,0,1--【答案】D 【解析】 【分析】先求出B 集合，注意x 属于整数集合，而集合A 等价于{}0,1A =，求并集运算即可。
【详解】因为cos02π=，0ln11e e ==，所以{}0,1A =；{}2|20B x Z x x =∈+≤解得{}2,1,0B =--所以{}2,1,0,1A B ⋃=-- 故选：D【点睛】此题考查集合的并集运算，解出每个集合的取值即可，属于简单题目。
2.下列哪个函数的定义域与函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同（ ）A. 2xy = B. 1y x x=+C. 12y x =D. ln y x x =-【答案】D 【解析】 【分析】指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞，依次看选项的定义域是否在(0,)+∞即可。
【详解】指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞ A 选项定义域是R ； B 选项定义域是{}|0x x ≠； C 选项定义域是{}|0x x ≥；D 选项定义域是{}|0x x >，满足题意。
故选：D【点睛】此题考查函数的值域和定义域，掌握基本初等函数的图像和性质，属于简单题目。
3.已知幂函数()y f x =的图象经过点(,则()31log 3f 的值是（ ）A. 13- B. -1 C.13D. 3【答案】A 【解析】 【分析】设幂函数是a y x =，代入点(求得 a ，再代入求()31log 3f 即可。
【详解】设幂函数是a y x =，代入点(，即1333a ==所以13a =，13y x=所以()1333f =()1111333333l log 3log og 31313log 3f ==-= 故选：A【点睛】此题考查幂函数和对数函数，注意对数函数换底公式的使用，属于较易题目。
2025届山东省青岛市数学高一上期末联考试题含解析
15．已知函数
f
x
x a2 , x 0,
x
1 x
a,
x
0,
若
f
0 是函数
f
x 的最小值，则实数
a
的取值范围为______
16．已知 tan 2 ， tan 2 ，则 tan _________.
2
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
C. (1, 0) (1, )
D. (1, 0) (0,1)
9．函数 f (x) sin x ln x2 的部分图象大致是图中的（ ）
A.
.
B.
C.
D.
10．如图， ABC 水平放置的直观图为 A' B 'C ' ， A' B ' ， B 'C ' 分别与 y ' 轴、 x '轴平行， D' 是 B 'C ' 边中点，则 关于 ABC 中的三条线段 AB, AD, AC 命题是真命题的是
3
（2）若 cos( ) 5 ，求 cos 的值. 35
19．在三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧棱 AA1 底面 ABC AC 3, BC 4, AB 5, AA1 4 ,点 D 是 AB 的中点. （1）求证： AC1 / /平面CDB1 ；
（2）求证： AC BC1 ；
D. y x1
7．函数
f
(x)
1 2
sin
1 4
x
9
的最小正周期为（
）
A. 2 C. 8
B. 4
D.16
8．已知 f (x) 是偶函数，且在 (, 0) 上是减函数，又 f (1) 0 ，则 x f (x) 0 的解集为（）
山东省青岛二中2024届高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析
山东省青岛二中2024届高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若直线1:2l y x a =-+与直线22:(2)2l y a x =--平行,则a =A ．1B ．1-C ．3±D ．±12．定义运算,:,a a ba b b a b≤⎧⊗⊗=⎨>⎩，设()()()F x f x g x =⊗，若()sin f x x =，()cos g x x =，R x ∈，则()F x 的值域为（ ）A ．[]1,1-B ．2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．21,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．21,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦3．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0>ω,π2ϕ<)的部分图像如图所示，则,ωϕ的值分别是( )A ．π2,6 B ．π2,3 C ．π1,6D ．π1,34．已知数列{}n a 满足*11()1,2,nn n n a a a n N S +=⋅=∈是数列{}n a 的前n 项和，则（ ） A ．201920192a =B ．101020192a =C ．1010201923S =-D ．1011201923S =-5．下列不等式正确的是（ ） A ．若a b >，则a c b c ⋅>⋅ B ．若22a c b c ⋅>⋅，则a b > C ．若a b >，则11a b< D ．若a b >，则22a c b c ⋅>⋅6．已知角α的终边经过点()1,1-，则=sin α（ ）A ．22-B ．12-C ．22D ．327．我国魏晋时期的数学家刘徽，创立了用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的方法，称为“割圆术”，为圆周率的研究提供了科学的方法.在半径为1的圆内任取一点，则该点取自圆内接正十二边形外的概率为 A ．3πB ．31π-C ．3πD ．31π-8．若sin 2cos21θθ=+，则cos2θ=( ) A ．0B ．-1C ．1或0D ．0或-19．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A ．向右平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位10．已知向量(2,3),(,4)a b x ==，若()a a b ⊥-，则x =（ ） A ．1B ．12C ．2D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023届山东省青岛市青岛二中高一数学第一学期期末复习检测试题含解析
12．已知 是偶函数，且方程 有五个解，则这五个解之和为______
13．设函数 和函数 ，若对任意 都有 使得 ，则实数a的取值范围为______
14．将一个高为 的圆锥沿其侧面一条母线展开，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面半径为______
故选：B
【点睛】本题考查函数图像与直线有交点问题，先分别求出各段函数的解析式，再利用数形结合的方法得到参数的取值范围。
5、A
【解析】由题意可得：
本题选择A选项.
6、D
【解析】函数 ，满足 .
由零点存在定理可知函数 的一个零点所在的区间为 .
故选D.
点睛：函数的零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的根．由此可判断根所在区间.
四边形APBQ的面积
，当直线 ， 斜率均存在时，设直线 的斜率为
则其方程为 ，圆心到直线 的距离为 ，
于是 ，
又 的方程为
同理 ，
所以四边形APBQ的面积
，
当且仅当 即 时，等号成立
因为
综上所述，四边形APBQ面积的最大值为7
19、（1） ．,
（2）
【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果
14、1
【解析】设该圆锥的底面半径为r，推导出母线长为2r，再由圆锥的高为 ，能求出该圆锥的底面半径
【详解】
设该圆锥的底面半径为r，
将一个高为 的圆锥沿其侧面一条母线展开，其侧面展开图是半圆，
山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题
（1）羽毛球社团人数： ；
乒乓球社人数： ；
篮球社人数： .
（2）①
②两名学生至少有一人被抽到包括一人抽到一人没抽到和两人都抽到两种情况
设 为事件“一人抽到一人没抽到”，则
设 为事件“两人都抽到”，则
则事件 发生的概率 .
【点睛】
此题考查统计概率，注意掌握分层抽样的抽法和列举法，属于较易题目。
①用所给的编号列出所有可能的结果;
②设事件 是“编号为 , 的两名学生至少有一人被抽到”,求事件 发生的概率.
20．已知 ,且 .
(1)求 的值;
(2)求 的值.
21．已知奇函数 的定义域为 .
(1)求实数 , 的值;
(2)若 ,方程 有解,求 的取值范围.
22．知函数 , .
(1)求方程 的解集;
得分
四、解答题
17．已知 , ,若 是 的必要不充分条件,求实数 的取值范围.
18．己知 , ,求 , 的值.
19．青岛二中有羽毛球社､乒乓球社和篮球社,三个社团的人数分别为27,9,18,现采用分层抽样的方法从这三个社团中抽取6人参加活动.
(1)求应从这三个社团中分别抽取的学生人数;
(2)将抽取的6名学生进行编号,编号分别为 , , , , , ,从这6名学生中随机抽出2名参加体育测试.
绝密★启用前
山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
2022-2023学年山东省青岛二中高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省青岛二中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝1+i （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．（0，1）B ．（0，﹣1）C ．（﹣1，0）D ．（1，0）2．已知平面向量a →=(√3，−1)，|b →|=4，且(a →−2b →)⊥a →，则|a →−b →|=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥αC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β4．如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为15cm 和10cm ，高为15cm ．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装（1000cm 3＝1L ）（ ）A ．1.9LB ．2.2LC ．2.4LD ．4.6L5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ＝a 2+b 2﹣c 2，则tan C 的值为（ ） A ．14B ．12C ．2D ．46．△ABC 中，点M 为AC 上的点，且AM →=3MC →，若BM →=λBA →+μBC →(λ，μ∈R)，则μ﹣λ＝（ ） A ．−13B ．−12C ．13D ．127．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，设直线l 与BD ，B 1C 分别交于点P ，Q ，且l ⊥BD ，l ⊥B 1C ，则线段PQ 的长为（ ）A ．√23B ．√33C ．√63D ．√668．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A ．0.96B ．0.94C ．0.79D ．0.75二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知平面向量a →=(1，1)，b →=(−3，4)，则下列说法正确的是（ ） A ．cos〈a →，b →〉=√210B ．b →在a →方向上的投影向量为(√22，√22)C ．与b →垂直的单位向量的坐标为(45，35)或(−45，−35) D ．若向量a →+λb →与非零向量a →−λb →共线，则λ＝010．有一组从小到大排列的样本数据x 1，x 2，…，x n ﹣1，x n （n ≥4），若将第1个数据减1，最后一个数据加2，其余数据不变，得到新的一组数据x 1﹣1，x 2，…，x n ﹣1，x n +2，则下列统计量中，相比原来的数据变大的有（ ） A ．极差B ．中位数C ．平均数D ．方差11．一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M 为“第一次向下的数字为1或2”，事件N 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A ．事件M 与事件N 互斥B ．事件M 发生的概率为12C ．事件M 与事件N 相互独立D ．事件M +N 发生的概率为112．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是棱BC ，CC 1的中点，点M 满足BM →=tBA →，t ∈[0，1]，下列结论正确的是（ ） A ．若t ＝1，则A 1B 1∥平面MPQB ．若t ＝1，则过点M ，P ，Q 的截面面积是92C ．若t =12，则点A 1到平面MPQ 的距离是√36D ．若t =12，则AB 与平面MPQ 所成角的正切值为√22三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm ）数据如下：163 165 161 157 162 165 158 155 164 162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是 ．14．在△ABC 中，AB ＝2，∠BAC =60°，BC =√6，D 为BC 上一点，AD 为∠BAC 的平分线，则AD ＝ ．15．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi ēn ào ）．已知四面体A ﹣BCD 为鳖臑，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB =12BC =13CD ，若此四面体的体积为1，则其外接球的表面积为 ．16．已知正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，动点M 在线段AD 上，点M 关于点O 的对称点为点N ，则AM →⋅AN →的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C +√3a sin C ﹣b ﹣c ＝0． （1）求角A ；（2）若a ＝2，△ABC 的面积为√3，求b ，c ．18．（12分）某海域的东西方向上分别有A ，B 两个观测点（如图），它们相距25√6海里．现有一艘轮船在D 点发出求救信号，经探测得知D 点位于A 点北偏东45°，B 点北偏西75°，这时位于B 点南偏西45°且与B 相距80海里的C 点有一救援船，其航行速度为35海里/小时． （1）求B 点到D 点的距离BD ；（2）若命令C 处的救援船立即前往D 点营救，求该救援船到达D 点需要的时间．19．（12分）青岛二中高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中b ＝3a ．（1）估计测试成绩的上四分位数和平均分；（2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[80，100]内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在[80，90）内的概率．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥CD ，AD ＝1，CD ＝4．（1）证明：AD ⊥平面PCD ；（2）若PD ＝3，求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值．21．（12分）甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．22．（12分）已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是梯形，P A ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，AB =√2，CD ＝1，AD ＝2BC ＝2，P A ＝1．（1）求点A 到平面PBC 的距离；（2）求平面PBA 于平面PBC 的夹角的大小．2022-2023学年山东省青岛二中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝1+i （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．（0，1） B ．（0，﹣1） C ．（﹣1，0） D ．（1，0）解：（1﹣i ）z ＝1+i ，则z =1+i 1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i ，则z =−i ，故z 在复平面内对应的点的坐标是（0，﹣1）． 故选：B ．2．已知平面向量a →=(√3，−1)，|b →|=4，且(a →−2b →)⊥a →，则|a →−b →|=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5解：由平面向量a →=(√3，−1)，可得|a →|=√3+1=2， 由(a →−2b →)⊥a →，可得a →•（a →−2b →）＝0， 即a →2＝2a →•b →=4， 则a →•b →=2，|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√4−2×2+16=4， 故选：C ．3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥αC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β解：m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．对于A ，若m ⊥α，n ⊥α，则由线面垂直的性质定理得m ∥n ，故A 正确；对于B ，若α⊥β，m ⊥β，则由面面垂直、线面垂直的性质得m ⊂α或m ∥α，故B 错误； 对于C ，若α⊥β，m ⊂α，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故C 错误； 对于D ，若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α与β相交或平行，故D 错误． 故选：A ．4．如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为15cm 和10cm ，高为15cm ．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装（1000cm 3＝1L ）（ ）A ．1.9LB ．2.2LC ．2.4LD ．4.6L解：由台体的体积公式可知，V =13×15×(102+152+√102×152)=2375(cm 3)，2375cm 3≈2.4L ， 故选：C ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ＝a 2+b 2﹣c 2，则tan C 的值为（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：因为△ABC 的面积为S ＝a 2+b 2﹣c 2， 所以12absinC =a 2+b 2−c 2，又∵cosC =a 2+b 2−c 22ab， ∴2abcosC =12absinC ，则tan C ＝4． 故选：D ．6．△ABC 中，点M 为AC 上的点，且AM →=3MC →，若BM →=λBA →+μBC →(λ，μ∈R)，则μ﹣λ＝（ ） A ．−13B ．−12C ．13D ．12解：因为AM →=3MC →，所以AM →=34AC →=34（BC →−BA →），所以BM →=BA →+AM →=BA →+34（BC →−BA →）=14BA →+34BC →，因为BM →=λBA →+μBC →(λ，μ∈R)， 所以λ=14，μ=34， 故μ−λ=12． 故选：D ．7．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，设直线l 与BD ，B 1C 分别交于点P ，Q ，且l ⊥BD ，l ⊥B 1C ，则线段PQ 的长为（ ）A ．√23B ．√33C ．√63D ．√66解：由题意可得PQ 为异面直线BD ，B 1C 的距离， 连接B 1D 1，D 1C ，由BD ∥B 1D 1，BD ⊄平面D 1B 1C ，B 1D 1⊂平面D 1B 1C ， 所以BD ∥平面D 1B 1C ，则PQ 即为直线BD 和平面D 1B 1C 的距离，即B 到平面D 1B 1C 的距离，设为h ， 由V B−B 1D 1C =V D 1−BB 1C ，可得13h •√34×（√2）2=13×1×12×1×1， 解得h =√33．故选：B ．8．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A ．0.96B ．0.94C ．0.79D ．0.75解：该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：8001200+800×9+12001200+800×8=8.4（小时），该地区中学生每天睡眠时间的方差为：8001200+800×[1+(9−8.4)2]+12001200+800×[0.5+(8−8.4)2]=0.94． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知平面向量a →=(1，1)，b →=(−3，4)，则下列说法正确的是（ ） A ．cos〈a →，b →〉=√210B ．b →在a →方向上的投影向量为(√22，√22)C ．与b →垂直的单位向量的坐标为(45，35)或(−45，−35) D ．若向量a →+λb →与非零向量a →−λb →共线，则λ＝0 解：对于选项A ，因为a →=(1，1)，b →=(−3，4)， 所以|a →|=√12+12=√2，|b →|=√(−3)2+42=5，a →⋅b →=1×(−3)+1×4=1，则cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →||b →|=1√2×5=√210，故A 正确； 对于选项B ，b →在a →方向上的投影向量为|b →|cos〈a →，b →〉⋅a →|a →|=5×√210⋅a →2=12a →=（12，12），故B 错误；对于选项C ，设与b →垂直的单位向量的坐标（x 0，y 0），则有{−3x 0+4y 0=0x 02+y 02=1，解得{x 0=45y 0=35或{x 0=−45y 0=−35，所以与b →垂直的单位向量的坐标为(45，35)或(−45，−35)，故C 正确； 对于选项D ，显然a →与b →不共线，因为a →+λb →=（1﹣3λ，1+4λ），a →−λb →=（1+3λ，1﹣4λ）， 且向量a →+λb →与向量a →−λb →共线，所以（1﹣3λ）（1﹣4λ）﹣（1+3λ）（1+4λ）＝0， 解得λ＝0，故D 正确． 故选：ACD ．10．有一组从小到大排列的样本数据x 1，x 2，…，x n ﹣1，x n （n ≥4），若将第1个数据减1，最后一个数据加2，其余数据不变，得到新的一组数据x 1﹣1，x 2，…，x n ﹣1，x n +2，则下列统计量中，相比原来的数据变大的有（ ） A ．极差B ．中位数C ．平均数D ．方差解：极差比原数据大3，故A 正确； 中位数不变，故B 不正确； x =x 1+x 2+x 3+⋯+x n n ，x 1=x 1−1+x 2+x 3+⋯+x n +2n =x 1+x 2+x 3+⋯+x n +1n， 所以平均数变大，故C 正确；因为最小的数据变小，最大的数据变大，其余数据不变，显然新数据较原数据相对于各自的平均值波动变大，由方差的意义易知方差也变大了，故D 正确． 故选：ACD ．11．一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M 为“第一次向下的数字为1或2”，事件N 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A ．事件M 与事件N 互斥B ．事件M 发生的概率为12C ．事件M 与事件N 相互独立D ．事件M +N 发生的概率为1解：当两次抛掷的点数为（1，4）时，事件M 与事件N 同时发生，所以事件M 与事件N 不互斥，故A 错误；由题意可得P(M)=24=12，故B 正确； 事件M 与事件N 同时发生的情况有（1，2），（1，4），（2，1），（2，3）共4种， 所以P(MN)=416=14， 又P(N)=816=12， 所以P （MN ）＝P （M ）•P （N ），故事件M 与事件N 相互独立，故C 正确； P(M +N)=P(M)+P(N)−P(MN)=12+12−14=34，故D 错误． 故选：BC ．12．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是棱BC ，CC 1的中点，点M 满足BM →=tBA →，t ∈[0，1]，下列结论正确的是（ ） A ．若t ＝1，则A 1B 1∥平面MPQB ．若t ＝1，则过点M ，P ，Q 的截面面积是92C ．若t =12，则点A 1到平面MPQ 的距离是√36D ．若t =12，则AB 与平面MPQ 所成角的正切值为√22解：对A ，B 选项，若t ＝1，则M 与A 重合，如图所示：延长B 1B 与QP 交于点E ，易知A 1B 1不平行AE ， ∴A 1B 1不平行平面MPQ ，∴A 选项错误； 连接MD 1，QD 1，则根据题意易知MD 1∥PQ ， ∴过点M ，P ，Q 的截面为等腰梯形PQD 1M ，又根据题意易得PM ＝QD 1=√5，PQ =√2，D 1M =2√2，∴易得等腰梯形PQD 1M 的高为√5−12=32，∴等腰梯形PQD 1M 的面积为12×(√2+2√2)×√2=92，∴B 选项正确；对C ，D 选项，若t =12，则M 为AB 的中点，连接A 1C 1，如图所示：易知A 1C 1∥MP ，∴A 1到平面MPQ 的距离等于C 1到平面MPQ 的距离d ， 则根据等体积法思想可得：V C 1−MPQ =V M−PQC 1，又PM ＝PQ =√2，MQ =√5+1=√6，∴S △MPQ =12×√6×√(√2)2−(62)2=√32， ∴13×S △MPQ ×d =13×S △PQC 1×MB ，∴13×√32×d =13×12×1×1×1，∴d =√33，∴C 选项错误； 又易知BC 1∥PQ ，∴B 到平面MPQ 的距离等于C 1到平面MPQ 的距离d =√33， 又MB ＝1，设AB 与平面MPQ 所成角为θ，则sin θ=d MB =√33，∴cos θ=√63，∴tan θ=sinθcosθ=√22，∴D 选项正确． 故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm ）数据如下：163 165 161 157 162 165 158 155 164 162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是 158 ． 解：10×25%＝2.5，第25百分位数是从小到大第3个数为158． 故答案为：158．14．在△ABC 中，AB ＝2，∠BAC =60°，BC =√6，D 为BC 上一点，AD 为∠BAC 的平分线，则AD ＝ 2 ．解：由余弦定理可得cos ∠BAC =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC，而AB ＝2，∠BAC =60°，BC =√6，所以12=4+AC 2−62×2AC，整理可得：AC 2﹣2AC ﹣2＝0，解得AC =√3+1或AC ＝1−√3（舍），AD 为∠BAC 的平分线，所以∠BAD ＝∠CAD ＝30°， 因为S △ABC =12AB •AC sin ∠BAC =12×2×（√3+1）×√32=14×2×（3+√3）， 而S △ABC ＝S △BAD +S △CAD =12AB •AD •sin ∠BAD +12AC •AD •sin ∠CAD =12AD ×12×（AB +AC ）=14（3+√3）•AD ，所以14×2×（3+√3）=14×（3+√3）AD ，解得AD ＝2． 故答案为：2．15．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi ēn ào ）．已知四面体A ﹣BCD 为鳖臑，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB =12BC =13CD ，若此四面体的体积为1，则其外接球的表面积为 14π ．解：由已知，因为AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，可令AB =12BC =13CD =x ， 所以V ABCD =13AB ⋅S △BCD =13AB ⋅12⋅CD ⋅BC =16x ⋅6x 2=1，所以x ＝1， 所以AB ＝1，BC ＝2，CD ＝3，由已知，鳖臑的外接球可还原在以AB ，CD ，BC 为长宽高的长方体中，设其外接球半径为R ， 所以其外接球的半径R =√12+(2)2+(3)22=√142，所以其外接球的表面积S =4πR 2=4π⋅(√142)2=14π．故答案为：14π．16．已知正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，动点M 在线段AD 上，点M 关于点O 的对称点为点N ，则AM →⋅AN →的最大值为 1 ． 解：建立如图的平面坐标系， 则A （﹣1，1），设M （﹣1，b ），（﹣1≤b ≤1），则N （1，﹣b ），则AM →⋅AN →=（0，b ﹣1）•（2，﹣b ﹣1）＝（b ﹣1）（﹣b ﹣1）＝﹣（b ﹣1）（b +1）＝﹣b 2+1， 则当b ＝0时，y ＝﹣b 2+1取得最大值1，即，AM →⋅AN →的最大值为1． 故答案为：1．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C +√3a sin C ﹣b ﹣c ＝0． （1）求角A ；（2）若a ＝2，△ABC 的面积为√3，求b ，c ． 解：（1）△ABC 中，∵a cos C +√3a sin C ﹣b ﹣c ＝0，利用正弦定理可得sin A cos C +√3sin A sin C ＝sin B +sin C ＝sin （A +C ）+sin C ， 化简可得√3sin A ﹣cos A ＝1，∴sin （A ﹣30°）=12， ∴A ﹣30°＝30°，∴A ＝60°． （2）若a ＝2，△ABC 的面积为12bc •sin A =√34bc =√3，∴bc ＝4 ①．再利用余弦定理可得a 2＝4＝b 2+c 2﹣2bc •cos A ＝（b +c ）2﹣2bc ﹣bc ＝（b +c ）2﹣3•4， ∴b +c ＝4 ②．结合①②求得b ＝c ＝2．18．（12分）某海域的东西方向上分别有A ，B 两个观测点（如图），它们相距25√6海里．现有一艘轮船在D 点发出求救信号，经探测得知D 点位于A 点北偏东45°，B 点北偏西75°，这时位于B 点南偏西45°且与B 相距80海里的C 点有一救援船，其航行速度为35海里/小时． （1）求B 点到D 点的距离BD ；（2）若命令C 处的救援船立即前往D 点营救，求该救援船到达D 点需要的时间．解：（1）由题可知，AB ＝25√6，∠DBA ＝90°﹣75°＝15°，∠DAB ＝90°﹣45°＝45°， 所以∠ADB ＝180°﹣45°﹣15°＝120°， 在△ABD 中，由正弦定理可得BD sin∠DAB=AB sin∠ADB，即BD sin45°=25√6sin120°，所以BD =25√6sin45°sin120°=25√6×√22√32=50海里； （2）在△BCD 中，∠CBD ＝180°﹣75°﹣45°＝60°，BC ＝80，BD ＝50， 由余弦定理可得，CD 2＝BC 2+BD 2﹣2BC •BD cos ∠CBD ＝6400+2500﹣2×80×50×12=4900， 所以CD ＝70海里， 所以所需时间为7035=2小时，所以B 点到D 点的距离BD ＝50海里，救援船到达D 点需要的时间为2小时．19．（12分）青岛二中高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中b ＝3a ．（1）估计测试成绩的上四分位数和平均分；（2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[80，100]内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在[80，90）内的概率．解：（1）由频率分布直方图可知（a +0.015+0.035+b +a ）×10＝1，可得b +2a ＝0.05， 由题可得{b +2a =0.05b =3a⇒{a =0.01b =0.03，前三组的频率之和为0.1+0.15+0.35＝0.6＜0.75，前四组的频率之和为0.6+0.3＝0.9＞0.75， 则75%分位数m ∈[80，90），且m ＝80+0.75−0.60.9−0.6=85，平均数为：55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1＝76.5； （2）成绩在[80，90）和[90，100]内的人数之比为3：1，故抽取的4人中成绩在[80，90）内的有3人，设为a ，b ，c ，成绩在[90，100]内的有1人，设为D ， 再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为（a ，b ），（a ，c ），（a ，D ），（b ，c ），（b ，D ），（c ，D ），共6种，这2人成绩均在[80，90）内的情况有（a ，b ），（a ，c ），（b ，c ），共3种， 故这2人成绩都在[80，90）内的概率为P =36=12． 20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥CD ，AD ＝1，CD ＝4．（1）证明：AD ⊥平面PCD ；（2）若PD ＝3，求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值．解：（1）∵PD ⊥平面ABCD ，AD 、DC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥AD ，PD ⊥DC ．又P A ⊥CD ，P A 、PD ⊂平面P AD ，P A ∩PD ＝P ， ∴CD ⊥平面P AD ． 而AD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AD ．而DC 、PD ⊂平面PCD ，且DC ∩PD ＝D ， ∴AD ⊥平面PCD ．（2）由（1）知PD 、DA 、DC 两两垂直，如图所示以D 为中心建立空间直角坐标系，则A （1，0，0）、B （1，4，0）、C （0，4，0），P （0，0，3），PA →=(1，0，−3)、PB →=(1，4，−3)、PC →=(0，4，−3)，设面PBC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则有{PB →⋅n →=0PC →⋅n →=0，即{x +4y −3z =04y −3z =0， 令y ＝3，则z ＝4，x ＝0，即n →=(0，3，4)设直线P A 与平面PBC 所成角为θ，则sinθ=|cos〈n →，PA →〉|=|n →⋅PA→|n →|⋅|PA →||=12510=6√1025．21．（12分）甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率． 解：（1）因为甲每轮猜对的概率为23，所以甲两轮至少猜对一个数学名词的概率P ＝1﹣（1−23）2=89；（2）“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词，包括两轮比赛中甲猜对2个，乙猜对一个，和甲猜对1个，乙猜对2个，所以所求概率为P =(23)2×2×34×(1−34)+2×23×(1−23)×(34)2=512．22．（12分）已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是梯形，P A ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，AB =√2，CD ＝1，AD ＝2BC ＝2，P A ＝1．（1）求点A到平面PBC的距离；（2）求平面PBA于平面PBC的夹角的大小．解：取AD的中点F，连接CF，∵AB=√2，CD＝1，AD＝2BC＝2，∴AF＝FD＝1，∵BC∥AD，∴四边形ABCF是平行四边形，则CF＝AB=√2，则DF2+CD2＝1+1＝2＝CF2，即△CDF是直角三角形，∴CD⊥AD，过A作直线AE∥CD，交CB的延长线于E，则AE⊥AD，连接PE，∵P A⊥平面ABCD，P A⊂平面P AE，∴平面P AE⊥平面ABCD，过A作AM⊥PE与M，则AM⊥平面PCE，即AM是A到平面PBC的距离，则Rt△P AE中，P A＝1，AE＝CD＝1，则PE=√2，则PE•AM＝P A•AE，得√2AM＝1，得AM=√22，即A到平面PBC的距离是√22．建立以A为坐标原点的空间直角坐标系如图：则P （0，0，1），A （0，0，0），B （1，1，0），C （1，2，0），则AP →=（0，0，1），AB →=（1，1，0），BC →=（0，1，0），PB →=（1，1，﹣1）， 设平面P AB 的法向量为m →=（x ，y ，z ），平面PBC 的法向量为n →=（a ，b ，c ），由{m →⋅AP →=0m →⋅AB →=0，即{z =0x +y =0，设x ＝1，则y ＝﹣1，即m →=（1，﹣1，0）， 由{n →⋅BC →=0n →⋅PB →=0，即{b =0a +b −c =0，即{b =0a =c ，设a ＝1，则c ＝1，即n →=（1，0，1）， 则cos ＜n →，m →＞=m →⋅n →|m →||n →|=12×2=12，则＜n →，m →＞=60°，∴平面PBA 于平面PBC 的夹角是60°．。
2023届青岛第二中学高一上数学期末达标检测试题含解析
C.至少找到一个实数，其平方是正数
D.至少找到一个实数，其平方不是正数
2．已知 ，则a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
3．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan ＝－ 则实数a的值是（）
A.2B.
C.－2D.－
4．角 的终边经过点 ，且 ，则 （）
A. B.
A. B.
C. D.
11．函数
A.是奇函数且在区间 上单调递增
B.是奇函数且在区间 上单调递减
C.是偶函数且在区间 上单调递增
D.是偶函数且在区间 上单调递减
12． 的值是
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知函数 则 ___________.
（Ⅰ）树叶沙沙声的强度为 （ ），耳语的强度为 （ ），无线电广播的强度为 （ ），试分别求出它们的强度水平；
（Ⅱ）某小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在 分贝以下（不含 分贝），试求声音强度 的取值范围
21．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本 万元.
解析：
（1）由题意知，圆M的半径r=4，圆心M(0，6)，设
PA是圆的一条切线，
(2)设 ， 经过A,P,M三点的圆N以MP为直径，
圆心 ，半径为
得圆N的方程为
即 ，有
由 ，解得 或 圆过定点
(3)圆N的方程 ，即 ①
圆 即 ②
②-①得：圆M与圆N相交弦AB所在直线方程为：
圆心M(0,6)到直线AB的距离
2019-2020学年山东省青岛二中高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年山东省青岛二中高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合A ={cos π2,e ln 1}，B ＝{x ∈Z|x 2+2x ≤0}，则A ∪B ＝（ ）A.{0, 1}B.{−1, 0}C.{−1, 0, 1}D.{−2, −1, 0, 1}2. 下列哪个函数的定义域与函数y =(12)x 的值域相同（ ）A.y ＝2xB.y =x +1xC.y =x 12D.y ＝ln x −x3. 已知幂函数y ＝f(x)的图象经过点(3,√33)，则log 13f(3)的值是（ ）A.−13B.1C.13D.−14. 样本中共有五个个体，其值分别是a ，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的极差和标准差分别是（ ） A.5和2 B.5和√2 C.4和2 D.4和√25. 从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则2个球中恰有1个红球的概率是（ ） A.56B.12C.23D.166. 函数f(x)＝2−|x|−1的图象大致为（ ）A. B.C. D.7. [x]表示不超过x的最大整数，例如[3.5]＝3，[−0.5]＝−1．已知x0是方程ln x+3x−15＝0的根，则[x0]＝（）A.2B.3C.4D.58. 已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过(1, 1)点，对任意x1<x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>−1则不等式f[log2(2x−1)]<2−log2(2x−1)的解集为（）A.(0, +∞)B.(−∞, log23)C.(−∞, 0)∪(0, log23)D.(0, log23)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.在△ABC中，下列关系恒成立的是（）A.tan(A+B)＝tan CB.cos(2A+2B)＝cos2CC.sin(A+B2)=sin C2D.sin(A+B2)=cos C2某市12月17日至21日期间空气质量呈现重度及以上污染水平，经市政府批准，该市启动了空气重污染红色预警，期间实行机动车“单双号”限行等措施．某报社会调查中心联合问卷网，对2400人进行问卷调查，并根据调查结果得到如下饼图，则下列结论正确的是（）A.“不支持”部分所占的比例大约是整体的112B.“一般”部分所占的人数估计是800人C.饼图中如果圆的半径为2，则“非常支持”部分扇形的面积是76πD.“支持”部分所占的人数估计是1100人《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为（）A.a+b2≥√ab(a>0, b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0, b>0)C.√ab≥21a +1b(a>0, b>0) D.a2+b22≥a+b2(a≥0, b>0)下列命题为真命题的是（）A.设命题p:∃n∈N，n2>2n，则￢p:∀n∈N，n2≤2nB.若a>b>0，c<d<0，则ad <bcC.若f(x)是定义在R上的减函数，则“a+b≤0”是“f(a)+f(b)≥f(−a)+f(−b)”的充要条件D.若a i，b i，c i(i＝1, 2)是全不为0的实数，则“a1a2=b1b2=c1c2”是“不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0解集相等”的充分不必要条件三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.已知x 12+x−12=2，则x+x−1＝________．若正数x，y满足x+2y＝xy，则x+2y的最小值为________．方程lg(√3sin x)＝lg(cos x)的解集为________．已知函数f(x)={x2−4,x≤a3x−2−1,x>a，当a＝2，不等式f(x)<2的解集是________；若函数f(x)恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知A ＝{x|x 2−3ax +2a 2>0, a >0}，B ＝{x|x 2−x −6≥0}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．己知A =√3−√2)0+810.25−√(−3)2×823+(log 53)⋅log 325，B ＝log 2(4B +2A)，求A ，B 的值．青岛二中有羽毛球社、乒乓球社和篮球社，三个社团的人数分别为27，9，18，现采用分层抽样的方法从这三个社团中抽取6人参加活动． （1）求应从这三个社团中分别抽取的学生人数；（2）将抽取的6名学生进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，从这6名学生中随机抽出2名参加体育测试．①用所给的编号列出所有可能的结果；②设事件A 是“编号为A 1，A 2的两名学生至少有一人被抽到”，求事件A 发生的概率．已知α∈(π2,34π)，且sin α−cos α=2√105． （1）求tan α+1tan α的值；（2）求cos (π2−α)−2cos (α+π)−sin (−α)+cos (2π−α)的值．已知奇函数f(x)=a⋅2x −12x +1的定义域为[−a −2, 3b]．（1）求实数a ，b 的值；（2）若x ∈[−a −2, 3b]，方程[f(x)]2+f(x)−m ＝0有解，求m 的取值范围．知函数f(x)＝log 2x +1，g(x)＝f(x 2)+[f(x)]2． （1）求方程g(x)＝2的解集；（2）若f(x)的定义域是[1, 16]，求函数g(x)的最值；（3）若不等式[f(x)]2+log2x+4>m⋅f(x)对于∀x∈[1, 16]恒成立，求m的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年山东省青岛二中高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.【答案】B,D【答案】A,C,D【答案】A,C【答案】A,B,C三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【答案】2【答案】8【答案】{x|x＝2kπ+π6, k∈z}【答案】(−√6, 3),[−2, +∞)四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】A＝{x|x2−3ax+2a2>0, a>0}＝(−∞, a)∪(2a, +∞)，B＝{x|x2−x−6≥0}＝(−∞, −2]∪[3, +∞)，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴2a≥3．解得a≥32．【答案】A＝1+3−3×23×23+log53⋅log525log53=4−12+2＝−6．B=log2(4B−12)，∴2B＝(2B)2−12，化为：(2B−4)(2B+3)＝0，∴2B−4＝0，解得B＝2．【答案】青岛二中有羽毛球社、乒乓球社和篮球社，三个社团的人数分别为27，9，18，现采用分层抽样的方法从这三个社团中抽取6人参加活动．应从这三个社团中分别抽取的学生人数为：羽毛球社应该抽取：6×2727+9+18=3人，乒乓球社应抽取：6×927+9+18=1人，篮球社应抽取：6×1827+9+18=2人．①将抽取的6名学生进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6名学生中随机抽出2名参加体育测试．用所给的编号列出所有可能的结果有15个，分别为：{A1, A2}，{A1, A3}，{A1, A4}，{A1, A5}，{A1, A6}，{A2, A3}，{A2, A4}，{A2, A5}，{A2, A6}，{A3, A4}，{A3, A5}，{A3, A6}，{A4, A5}，{A4, A6}，{A5, A6}．②设事件A是“编号为A1，A2的两名学生至少有一人被抽到”，事件A包含的基本事件有9个，分别为：{A1, A2}，{A1, A3}，{A1, A4}，{A1, A5}，{A1, A6}，{A2, A3}，{A2, A4}，{A2, A5}，{A2, A6}，∴事件A发生的概率为P=915=35．【答案】∵sinα−cosα=2√105．两边平方可得1−2sinαcosα=85，∴sinαcosα=−310，∴sinαcosαsin2α+cos2α=tanα1+tan2α=−310，可得3tan2α+tanα+3＝0，解得tanα＝−3，或−13，∵α∈(π2,34π)，可得tanα<−1，可得tanα＝−3，∴ tan α+1tan α=−3−13=−103，cos (π2−α)−2cos (α+π)−sin (−α)+cos (2π−α)=sin α+2cos αsin α+cos α=tan α+2tan α+1=−3+2−3+1=12．【答案】由函数为奇函数可得：，即定义域关于原点对称，即−a −2+3b ＝0，可得：a ＝3b −2，①，由x ＝0在定义域内，又是奇函数，所以f(0)＝0， 所以可得：a ⋅20−1＝0，解得a ＝1， 将a ＝1代入①可得：b ＝1， 所以a ＝b ＝1；由（1）得：f(x)=2x −12x +1，若x ∈[−a −2, 3b]，即x ∈[−3, 3]， f(x)=2x −12x +1=2x +1−22x +1=1−22x +1在[−3, 3]单调递增，所以f(x)∈[−79, 79]， 设t ＝f(x)∈[−79, 79]所以方程[f(x)]2+f(x)−m ＝0有解可得m ＝t 2+t ＝(t +12)2−14，t ∈[−79,79]有解，令g(t)＝(t +12)2−14，t ∈[−79,79]，开口向上的抛物线，对称轴t =−12∈[−79,79]，函数g(t)先减后增，且79离对称轴较远，所以t =−12，g(t)最小且为：−14，t =79时，g(t)最大，且为(79)2+79=11281，综上所述m 的取值范围为：[−14, 11281]．【答案】∵ f(x)＝log 2x +1，∴ g(x)＝f(x 2)+[f(x)]2＝2log 2x +1+log 22x +2log 2x +1=log 22x +4log 2x +2， 由g(x)＝2得：log 22x +4log 2x ＝0， 解得：log 2x ＝0或log 2x ＝−4， ∴ x ＝1或x =116，∴ 方程g(x)＝2的解集为{116, 1}；∵ f(x)的定义域是[1, 16]，∴ 1≤x 2≤16，∴ 1≤x ≤4， ∴ 0≤log 2x ≤2，∴ f(x)＝log 2x +1∈[1, 3]，令t ＝f(x)＝log 2x +1，则t ∈[1, 3]，则ℎ(t)＝g(x)=log 22x +4log 2x +2＝(t −1)2+4(t −1)+2＝(t +1)2−2，t ∈[1, 3]． ∵ ℎ(t)＝(t +1)2−2的对称轴方程为t ＝−1， ∴ y ＝(t +1)2−2在区间[1, 3]上单调递增，∴ℎ(t)min＝ℎ(1)＝2，ℎ(t)max＝ℎ(3)＝7．即g(x)min＝2，g(x)max＝7．若不等式[f(x)]2+log2x+4>m⋅f(x)对于∀x∈[1, 16]恒成立，令t＝f(x)＝log2x+1，则t∈[1, 5]，则上式等价于t2+t+3>mt对于∀t∈[1, 5]恒成立⇔m<t+3t+1(1≤t≤5)恒成立，∵t+3t +1≥2√3+1，当且仅当t=3t，即t=√3时取“＝”，∴m<2√3+1．。
山东省青岛市城阳第二中学高一数学文期末试卷含解析
山东省青岛市城阳第二中学高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是A． B．C．D．参考答案：B2. 有关函数单调性的叙述中，正确的是（）A.y= 在定义域上为增函数B.y=在[0,＋∞）上为增函数；C.y=的减区间为[―1，＋∞）D.y=ax＋3在（―∞，＋∞）上必为增函数参考答案：C略3. 设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（] B．（）C．（] D．（）参考答案：D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】先作出函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，得到x2+x3=6，且﹣＜x1＜0；最后结合求得x1+x2+x3的取值范围即可．【解答】解：函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且x1满足﹣＜x1＜0；则x1+x2+x3的取值范围是：﹣ +6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈（，6）．故选D4. 已知集合A={x|x﹣1＞0}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．?参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集，确定出A，求出集合B中函数的值域确定出B，求出A与B的交集即可．【解答】解：由A中的不等式解得：x＞1，即A={x|x＞1}；由集合B中的函数y=2x＞0，得到B={y|y＞0}，则A∩B={x|x＞1}．故选A5. 已知则线段的垂直平分线的方程是（）参考答案：B6. 已知空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,1,3)关于z轴的对称点为A′，则A′点的坐标为（）A．(－1, －1, －3) B．(1, －1, －3) C.(－1,－1,3) D．(－1,1,3)参考答案：C∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为：（﹣x，﹣y，z），∴点A(1,1,3)关于z轴的对称点的坐标为：(－1,－1,3)故选：C7. 某校检查学生作业时,抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查,运用的抽样方法是( )A、分层抽样B、抽签抽样C、随机抽样D、系统抽样参考答案：D8. 已知，，，，那么A. B.C. D.参考答案：D9. 412°角的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：A【考点】象限角、轴线角．【分析】412°=360°+52°，写出结果即可．【解答】解：412°=360°+52°，∴412°与52°终边相同．故选：A 10. 已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a参考答案：C【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；综合题．【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量a=(2m+1, 3), b=(－1, 5), 若a与b的夹角为锐角, 则m的取值范围为.参考答案：a-n=1+(－2)略12. 计算=；参考答案：13. 若tanα，tanβ是方程x2﹣3x+4=0的两个根，则tan（α+β）= ．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求出tan α+tan β=，tan αtan β=4，代入两角和的正切得答案．【解答】解：∵tanα，tan β是方程x 2﹣3x+4=0的两个根，∴tanα+tanβ=，tanαtanβ=4，∴tan（α+β）=．故答案为：．【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系的应用，考查了两角和与差的正切，是基础题．14. 已知数列是等差数列，且，，则该数列的通项公式_________.参考答案：15. （5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，P （cos2，﹣sin2）为圆上一点，则劣弧的弧长为 ．参考答案：2考点： 弧长公式． 专题： 三角函数的求值． 分析： 利用弧长公式即可得出．解答： A （1，0），P （cos2，﹣sin2）为圆上一点．∴劣弧所对的圆心角为2．∴劣弧的弧长=2×1=2．故答案为：2．点评： 本题考查了弧长公式，属于基础题． 16. 如图，在三角形中，、分别是线段、上的点，四边形中，，，则线段的取值范围是___________．参考答案：∵，∴，,．在中，，，，∴，∴．设，，．在中，，即，∴．∵代入，解得．∵，解得．17. 已知函数，设，，则= .参考答案：，所以，所以，因为，所以，所以，故答案是.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山东省青岛市胶州第二中学高一数学理下学期期末试卷含解析
山东省青岛市胶州第二中学高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若log2 a＜0，＞1，则( ).A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0参考答案：D略2. =（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】根据诱导公式可知cos=cos（π+），进而求得答案．【解答】解：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣故选D．3. （5分）设x＞y＞1，0＜a＜1，则下列关系正确的是（）A．x﹣a＞y﹣a B．ax＜ay C．a x＜a y D．log a x＞log a y参考答案：C考点：指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点．专题：转化思想．分析：由y=a x（0＜a＜1）减函数，结合x＞y＞1，根据减函数的定义可得结论．解答：∵y=a x（0＜a＜1）减函数又∵x＞y＞1∴a x＜a y故选C点评：本题主要考查指数函数，幂函数和对数函数的图象和性质，主涉及了利用其单调性来比较数的大小，还考查了转化思想．4. 下列四组中的f(x)，g(x)，表示同一个函数的是( )．A．f(x)＝1，g(x)＝x0B．f(x)＝x－1，g(x)＝－1C．f(x)＝x2，g(x)＝()4D．f(x)＝x3，g(x)＝参考答案：D5. （5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=，AA1=，则异面直线BD1与CC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：B考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由CC1∥BB1，得∠D1BB1是异面直线BD1与CC1所成的角，由此能求出异面直线BD1与CC1所成的角的大小．解答：解：∵CC1∥BB1，∴∠D1BB1是异面直线BD1与CC1所成的角，∵AB=BC=，AA1=，∴B1D1==，∵BB1⊥B1D1，∴tan∠D1BB1===1，∴∠D1BB1=45°．∴异面直线BD1与CC1所成的角为45°．故选：B．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．6. 已知x3＜x，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣∞，0）参考答案：C【考点】指、对数不等式的解法．【分析】在同一坐标系中画出函数y=x3和y=的图象，结合图象即可得出不等式x3＜x的解集．【解答】解：在同一坐标系中画出函数y=x3和y=的图象，如图所示；根据函数的图象知，函数y=的图象在函数y=x3图象的上边部分对应x的取值范围是{x|x＜﹣1或0＜x＜1}；故不等式x3＜x的解集是{x|x＜﹣1或0＜x＜1}．故选：C．7. 两平行线3x﹣4y﹣2=0与3x﹣4y+8=0之间的距离为（）A．2 B．C．1 D．2参考答案：A【考点】两条平行直线间的距离．【专题】转化思想；直线与圆．【分析】利用两条平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：两平行线3x﹣4y﹣2=0与3x﹣4y+8=0之间的距离==2．【点评】本题考查了两条平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. （5分）已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是（）A． 2 B．C． 3 D．参考答案：A考点：棱台的结构特征．专题：计算题．分析：利用棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，通过构造直角三角形，利用勾股定理求出正四棱台的高．解答：设正四棱台的高为h，斜高为x，由题意可得 4??（3+6）x=32+62，∴x=．再由棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形、可得 h==2，故选A．点评：本题主要考查正四棱台的结构特征，利用了棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，通过构造直角三角形，利用勾股定理求出正四棱台的高，属于基础题．9. 已知f(x)=，则f(f(1))=（）A.1B.2C.3D.4参考答案：C10. 下列函数与有相同图象的一个函数是（）A BC D参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数y=f（x）的图象如图（含曲线端点），记f（x）的定义域为A，值域为B，则A∩B=．参考答案：[﹣2，3]【考点】交集及其运算．【专题】数形结合；函数的性质及应用；集合．【分析】根据y=f（x）图象，确定出定义域与值域，即为A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：由题意得：A=[﹣2，4]∪[5，8]，B=[﹣4，3]，则A∩B=[﹣2，3]，故答案为：[﹣2，3]【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．12. 某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是____，中9环的概率是________．参考答案：0.9 0.3打靶10次，9次中靶，故中靶的概率为＝0.9，其中3次中9环，故中9环的频率是＝0.3. 13. 已知幂函数y=f(x)的图象过点，则f(9)=。
山东青岛市青岛二中2023届高一上数学期末检测模拟试题含解析
11．已知角 终边上A点的坐标为 ，则 （）
A.330 B.300
C.120 D.60
12．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建 个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾 束，中等稻禾 束，下等稻禾 束，各等稻禾总数都不足 斗．如果将 束上等稻禾加上 束中等稻禾，或者将 束中等稻禾加上 束下等稻禾，或者将 束下等稻禾加上 束上等稻禾，则刚好都满 斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的 束上等稻禾是多少斗？（）
7．在平面直角坐标系 中,以 为圆心的圆与 轴和 轴分别相切于 两点,点 分别在线段 上,若, 与圆 相切,则 的最小值为
A. B.
C. D.
8．设 ，且 ，下列选项中一定正确的是（）
A. B.
C. D.
9．已知 的定义域为 ，则函数 的定义域为
A. B.
C. D.
10．已知角 的终边经过点 ，则
A. B.
考点：1、圆的几何性质；2、数形结合思想及三角函数求最值
【方法点睛】本题主要考查圆的几何性质、数形结合思想及三角函数求最值，属于难题．求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②三角函数法：将问题转化为三角函数，利用三角函数的有界性求最值；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图像法：画出函数图像，根据图像的最高和最低点求最值，本题主要应用方法②求 的最小值的
2023届山东省青岛市城阳第二高级中学高一上数学期末复习检测模拟试题含解析
行讨论，当方程 t2 at 1 0 有两个相等的实数根 t0 时，a 2 再检验，当方程 t2 at 1 0 有两个不同的实数根 t1 、
t2 时， t1 2，t2 2,0 或 t1 0, 2，t2 2 ，再由二次方程实数根的分布进行讨论求解即可. 【详解】作出函数 f x 的简图如图，
A.
B.
6
3
2 C.
3
5 D.
6
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13．制造一种零件，甲机床的正品率为 0.9 ，乙机床的正品率为 0.8 ．从它们制造的产品中各任抽 1 件，则两件都是正
品的概率是__________
14．已知 cos 1 ，则 cos3 的值为______.
数 y g x, y h x 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化
为 y a, y g x 的交点个数的图象的交点个数问题 .
3、C
【解析】当
x
1 2
时，
4x
3
为增函数，最小值为
f
1 2
1 ，故当
x
1 2
时，
x2
2x
a
1，分离参数得
a
x2
f
1 2
1 .由于这一段函数值域已经包括了最小值，
故当 x 1 时，值域应该不小于 1，分离常数后利用二次函数图象与性质可求得参数的取值范围. 2
4、C
【解析】 x 轴垂直的直线倾斜角为 . 2
【详解】直线 x 1 0 垂直于 x 轴,倾斜角为 . 2
故选:C
【点睛】本题考查直线 倾斜角,属于基础题.
【解析】根据题意列出指数式方程，利用指数与对数运算公式求出 k 的值.
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青岛二中2010-2011年度第一学段
高一数学期中考试试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）
1.若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A.3个 B.5个 C.7个 D.8个
2.若集合(){}0|,=+=y x y x M ，(){}
R y R,,0|,22∈∈=+=x y x y x N ，则有（ ） A.M
N M = B.M
N N = C.M
N M = D.M
N =∅
3.集合}
{R ,02|2∈=++=a a x ax x A 有且只有一个元素，则a 的取值集合是（ ） A.}{1 B.}{1,1- C.}{10， D.}{1,0,1- 4.下列表示图形中的阴影部分的是（ ） A .()()C B C A B .()()C A B A C .()()C B B A D .()C B A 5.函数x
x
x y -+
+=132的定义域是（ ） A .⎩⎨⎧⎭⎬⎫≤<-123|x x B .⎩⎨⎧⎭⎬⎫≤≤-123|x x
C .⎩⎨⎧⎭⎬⎫≠≤≤-0123|x x x 且
D .⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
≠<≤-0123|x x x 且
6.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A .)2()1()23(f f f <-<-
B .)2()2
3
()1(f f f <-<-
C .)23()1()2(-<-<f f f
D .)1()2
3
()2(-<-<f f f
7.已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于（ ） A .2- B .4- C .6- D .10-
8.设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)
10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）
A .10
B .11
C .12
D .13
9.函数2311y x x =---的图象与x 轴不同的交点的个数共有（ ）
A .4个
B .3个
C .2个
D .1个
10.函数)R )((∈x x f 为奇函数，2
1
)1(=f ，)2()()2(f x f x f +=+，则)5(f 等于（ ）
A .0
B .1
C .5
D .25
11.若()1+x f 为偶函数，则)1(x f y -=的图象关于直线（ ）对称 A .1=x B .1-=x C .0=x D .2=x
12.下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是
增函数；(2)若函数2
()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3)
223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+
和y = 其中正确命题的个数是( )
A .0
B .1
C .2
D .3
二、填空题（共4题，每小题4分，共16分）
13.设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()-2的定义域为__________. 14.若()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时1)(2-+=x x x f ，则()f x = .
15.设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 .
16.已知⎩⎨⎧<-≥=0,10
,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集是 .
班级：
学校：
学号：
姓名：
密 封 线
A
B
C
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答题应写出文字说明或证明过程） 17.求函数x x y 21-+=的值域.
18.已知函数()222++=ax x x f .
①求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数;
②求实数a 的取值范围，使()a x f ≥对任意的x 恒成立.
19.已知)0()(≠+=a b ax x f 且89)(+=+x b x af ，解不等式()1≥x
x f .
20.设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中R ∈x ,如果A B B =，求实数a 的取值范围.
21.设二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且x x f 2)(->的解集为(),31 ①若06)(=+a x f 有两个相等的实根，求)(x f ； ②若a x f =)(在[]1,0有解，且4≤a ，求整数a 的值.
22.已知函数()f x 的定义域是),0(+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1
()12
f =,如果对
于1>x ，都有()0<x f . ①求()1f ；
②求证()x f 在()+∞,0单调递减； ③解不等式()()23-≥-+-x f x f .
附加题：（10分）阅读短文，并回答问题
In World Expo 2010 Shanghai China, 100 translators are needed in the Pavilions(展馆) of Germany, Spain and France. Each translator has to master(精通) one of the three foreign languages at least.
If 45 people are fluent in German, 51 people are fluent in Spanish, and 58 people are fluent in French; meanwhile, 18 people are fluent in both German and Spanish, 18 people are fluent in both German and French, and 22 people are fluent in both Spanish and French, then comes a question: How many people are fluent in all the THREE foreign languages?
班级：
学校： 学号：
姓名：
密 封 线
高一数学第一学段模块考试答题纸
二、填空题（共4题，每小题4分，共16分）
13. 14.
15. 16.
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答题应写出文字说明或证明过程）17
班
级
：
学
校
：
学
号
：
姓
名
：
密
封
线
班级： 学校： 学号：
姓名： 密 封 线
班级： 学校： 学号：
姓名： 密 封 线
附加题：。