线代期末考试题

河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷A

一、选择题：（共20分，每小题2分）

(一)、设A 为3阶方阵，且行列式0A a =≠，则2A *=（ ）

A ．2

a B ．1

a - C ．82

a D ．3

a

（二）、已知,A B 均为n 阶矩阵，且0,0A AB ≠=，下列结论必然成立的是（ ） A. 0B = B. ()2

22A B A B +=+ C. ()2

22A B A BA B -=-+ D. ()()22A B A B A B -+=- （三）、A 为m n ⨯矩阵，n m A r <=)(，下列结论正确的是（ ）

A.齐次线性方程组0=Ax 只有零解

B. 非齐次线性方程组b Ax =有无穷多解

C. A 中任一个m 阶子式均不等于零

D. A 中任意m 个列向量必线性无关。 （四）、设4阶方阵A 的行列式A ＝0，则A 中（

）

A ．必有一列元素为零

B ．必有一列向量是其余向量的线性组合

C ．必有两列元素对应成比例

D ．任一列向量是其余列向量的线性组合 （五）、已知,A B 都是可逆的对称矩阵，则不一定对称的矩阵是 （ ）

A .1()A

B - B .AB BA +

C . A B +

D . 11A B --+

（六）、若向量组γβα,,线性无关；δβα,,线性相关，则（ ） A. α必可由δγβ,,线性表示 B.β必不可由线性表示δγα,, C. δ必可由γβα,,线性表示 D. δ必不可由γβα,,线性表示

（七）、设123,,ααα都是非齐次线性方程组b Ax =的解向量,若123k ααα+-是导出

组0=Ax 的解， 则k =( )

A . 0

B . 1

C . 2

D . 3

（八）、设向量组123,,σσσ是齐次线性方程组0AZ =的一个基础解系，则向量组( )也是0AZ =的一个基础解系。

A. 122331,,σσσσσσ++-

B. 1223123,,2σσσσσσσ++++

C. 112122,,σσσσσ+-

D. 12123,,σσσσσ+-

（九）、设A 是n m ⨯矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵B AC =的秩为1r ，则( )

A. 1r r >

B. 1r r <

C. 1r r =

D. r 与1r 的关系由C 而定 (十)、A 是正定矩阵的充要条件是（ ）

A. B. 负惯性指数为零

C. 存在n 阶矩阵C ，使

D. 各阶顺序主子式均为正数

二、填空题：（共20分，每小题2分）

（一）、已知四元非齐次线性方程组3)(,==A r b Ax ，321,,ηηη是它的三个解向量，

其中T T )3,1,0,1(,)2,0,2,1(3221=+=+ηηηη，则对应齐次线性方程组的通解为_______。

（二）、设向量组321,,ααα线性无关，则常数l m ,满足____ _ 时，向量组

312312,,αααααα---m l 线性无关。

（三）、设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，已知b B a A ==,，则行列式

A

B = 。

（四）、已知A 为3阶方阵，A 的两个特征值为3，6，并且A 的迹为5，则=A 。 （五）、b Ax =有唯一解的充要条件是 。

0A >T A C C =

（六）、设()()1,2,1,2,1,2T T

αβ=-=-，则向量α与β的内积为 。

（七）、当m 满足 时，二次型32212322213212445),,(x mx x x x x x x x x f -+++=是正

定的。

（八）、已知三维向量空间的基底为)1,1,0(),1,0,1(),0,1,1(321===ααα，则向量

)0,0,2(=β在此基底下的坐标是 。

（九）、设44⨯矩阵),,,,(),,,,(432432γγγβγγγα==B A 其中432,,,,γγγβα均为四维

列向量，已知行列式1,4==B A ，则行列式=+B A 。

（十）、已知向量组)2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(321--==-=αααt 的秩为2，则

t= 。

三、计算题：（共45分） （一）、计算n 阶行列式

121

2121

2

n n n n n

x a a a a x a a D a a a a a x a ++=

+

。（7分）

（二）、已知,B AX =其中

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=132231,

113122214B A

求矩阵X 。（8分）

（三）、当b a ,为何值时，方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧-=+++=--+-=++=+++1

232)3(122043214324

324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解？无解？有无穷多解？并求出其通解。（10分）

（四）、求向量组 )1,4,2,3(),2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(4321-+-=--==-=t t αααα 的秩及其极大无关组。（10分）

（五）、设实对称矩阵,310130004⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=A 求正交矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵。（10分）

五、证明题：（共15分）

（一）、设A 为n m ⨯矩阵，证明:若任一个n 维向量都是0=Ax 的解，则O A =。（8分）

（二）、已知A ，B 均为n 阶方阵，并且)()(1A E A E B -+=-，试证B E +可逆，并求其逆矩阵。（7分）

河北大学课程考核参考答案及评分标准

A

一、选择题（共20分，每小题2分） 考察基础概念和理论

(一) – (五)、C C B B A （六） - (十)、C C D C D 二、填空题：（共20分，每小题2分） 考察基础概念和理论

(一)、T k )1,1,2,0(--(k 为任意常数)，(二)、1ml ≠，（三）、ab mn )1(-，（四）、72-，