第二章平面力系(H)

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第二章--平面汇交力系

2a P
B
C
a
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向
有误，则应把受力图中力的指向改正过来
[力三角形见图] P
B
C
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向有误，则应把受力图中力的指向改正过来 [力三角形见图]
力的多边形自行封闭．
必要充分条件
设刚体上作用一平面汇交力系(图)。现按力的多边形法则合成:
F4
F3
F1 F2
若第一个力的起点与最后一个力的终点恰好互相连接而构成一个自行封闭的力多边形，即表示力系的合力 R 等于零，则此力系为平衡力系.
例刚体上作用一平面汇交力系,五个力大小
相等,彼此夹72°角
cos RX
R
4170
0.834
5000
Y RX O
Rα
X
RY
RX = ∑FX = - 4170N
RY = ∑FY = - 2750N
R 5000N
由于RX和RX都是负值，所以合力只应在第三象限 α = 33.5 °
2.2平面汇交力系的平衡条件及应用
1 平衡的几何条件:
要使平面汇交力系成为平衡力系，
②求分力在坐标轴上的代数和:
RX = ∑FX RY = ∑FY
③合力的大小和方向用 R, 角度 α, β 表示 Y
RY β R
α
RX
X
Y
RY β R

工程力学课后习题答案

工程力学练习册学校学院专业学号教师姓名第一章静力学基础1-1 画出下列各图中物体A，构件AB，BC或ABC的受力图，未标重力的物体的重量不计，所有接触处均为光滑接触。

（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）1-2 试画出图示各题中AC杆（带销钉）和BC杆的受力图（a）（b）（c）（a）1-3 画出图中指定物体的受力图。

所有摩擦均不计，各物自重除图中已画出的外均不计。

（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）第二章平面力系2-1 电动机重P=5000N ，放在水平梁AC 的中央，如图所示。

梁的A 端以铰链固定，另一端以撑杆BC 支持，撑杆与水平梁的夹角为30 0。

如忽略撑杆与梁的重量，求绞支座A 、B 处的约束反力。

题2-1图∑∑=︒+︒==︒-︒=PF F FF F F B A yA B x 30sin 30sin ,0030cos 30cos ,0解得: N P F F B A 5000===2-2 物体重P=20kN，用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端接在绞车D上，如图所示。

转动绞车，物体便能升起。

设滑轮的大小及轴承的摩擦略去不计，杆重不计，A 、B 、C 三处均为铰链连接。

当物体处于平衡状态时，求拉杆AB 和支杆BC 所受的力。

题2-2图∑∑=-︒-︒-==︒-︒--=030cos 30sin ,0030sin 30cos ,0P P F FP F F F BC yBC AB x解得: PF P F AB BC 732.2732.3=-=2-3 如图所示，输电线ACB 架在两电线杆之间，形成一下垂线，下垂距离CD =f =1m ，两电线杆间距离AB =40m 。

电线ACB 段重P=400N ，可近视认为沿AB 直线均匀分布，求电线的中点和两端的拉力。

题2-3图以AC 段电线为研究对象，三力汇交NF N F F F FF F F C A GA yC A x 200020110/1tan sin ,0,cos ,0=======∑∑解得：ααα2-4 图示为一拔桩装置。

第二章-平面力系

3 1 6 ( k N ) Q 3 7 5 ( k N )
分析讨论：从Qmin=(Gb+FP)/(x+a) 和 Qmax=G(a+b)/x 可以看出，为了增加起重机的稳定性，可从减小 x 值或增加 a 值这两个方面来考虑。其最终目标是，扩大 [Qmin，Qmax ]的区间范围。
平面任意力系的平衡方程及其应用 14

箕斗对轨道的压力大小分别等于FNA与FNB，方向与之相反。
平面任意力系的平衡方程及其应用 8
• 平面特殊力系的平衡方程

平面汇交力系的平衡方程力系中所有各力在任意互成垂直的两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
平面任意力系的平衡方程及其应用 9
例2-4 重G=20kN的物体被绞车吊起，绞车的绳子绕过光滑的定滑轮B，如图所示。若滑轮由不计重量的杆 AB、BC支持，A、B、C三点都是光滑铰链联接，滑轮 B的大小可忽略不计，试求杆AB和杆BC所受的力。
平面任意力系的主矢(主向量，主矢量)
F F F R i i
i 1 i 1nLeabharlann n平面任意力系的简化
3
主矢与简化中心位置无关。在直角坐标系下的投影 n n 式为 F F , F F Rx ix Ry iy
i 1 i 1
主矢的大小为
2 2 2 2 F ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) R Rx Ry ix iy
主矢与x轴所夹之锐角为
tan | F / F | iy iy
M M M ( F O i O i)
i 1 i 1 n n
附加的平面力偶系可以合成为一个合力偶，其矩为
平面任意力系的简化

理论力学平面力系的简化和平衡

原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果：主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0

第二章平面力系

第二章
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系）空间力系
二.工程实例在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式主矢
必有主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心

3-平面力系-汇交力系

解：(1) 取铰A为研究对象，画受力图。
B
两杆为二力杆。AB杆的约束力FAB（设为拉力）
及AC杆的约束力FAC（设为拉力）.
y
A 600
（2）列出平衡方程： ∑Fx= 0
。FAB 30
A
450
－FAB cos30o －FACcos45o =0
。
x
45
∑Fy= 0
FAC
－G+FAB sin30o －FACsin45o =0
2 70.7N 2
F3x = 0
F4x F4 100N
14
§2-1 平面汇交力系 2.力的解析表达式 F Fx Fy Fx 和 Fy：力 F 的两个正交分力 Fx Fxi Fy Fy j Fx 和 Fy：力 F 在 x 和 y 轴上的投影力的解析表达式： F Fxi Fy j
例题2-1. 三个力作用在铁环上，其力的作用线均过铁环圆心点O，
已知三力的大小分别为F1=130N， F2=100N， F3=80N 。试确定这三个力的合力FR。
方法一，图解法:
按一定比例，沿各自的方向将F1、 F2、 F3首尾相接
在∆abc中由余弦定理可得： FR1 F12 F22 2F1F2 cos120 199.75N
试求支座 A 和 D 处的约束力。 F
B
C
解：方法一
（1）取钢架为研究对象，作受力图。
a
arctan a 26.6
D
2a
A
（2）建立坐标系（3）列出平衡方程：
2a
y
∑Fx= 0, F+FA cos26.6o =0
F
B
C
∑Fy= 0, FD +FAsin26.6o =0

平面力系

平面力系——各力作用线都在同一平面内的力系。

空间力系——各力作用线不在同一平面内的力系。

汇交力系——作用线交于一点的力系。

平行力系——作用线相互平行的力系。

一般力系——作用线既不完全交于一点又不完全平行的力系。

2.1 平面汇交力系平面汇交力系的工程实例：2.1.1 力的分解按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。

2.1.2 力在坐标轴上的投影注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。

2.1.3合力投影定理合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。

2.1.4 平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。

显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。

即即力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。

这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。

例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。

已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。

（仅是求合力大小）例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。

试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。

解因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。

因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。

由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有解静力学平衡问题的一般方法和步骤：1.选择研究对象所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；2.画受力图根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。

第二章1平面汇交力系与平面力偶系

2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力 F 至少多大？ F 3.力 F 沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力多大？
解:取碾子画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
R h θ arccos 30 R
F B sin θ F F A F B cosθ P
F 1 1 .4 k N A
由合力投影定理可得：
F F 2 0 0 0 4 3 3 0 0 N 6 3 3 0 N x x
F F 0 2500 3000 N 550 N y y
则合力的大小为：
2 x 2 y 2 2
FF F 6 3 3 0 5 5 0 0 N 8 3 8 6 N
F , X 0 F , Y 0 8 0 4 5 4 R R 0 D A 4 5 PR A
各力的汇交点
(4) 解得
R A 5 P 22 . 4 kN 2
R R D A
1 10 kN 5
力的值为负值,表示假设的指向与实际指向相反.
例4. 简易压榨机如图所示。已知P试求当连杆AB、AC与铅垂线成角时，托板给被压物体的力。
O
tg
F Ry F Rx
F F
RY
RX
平面汇交力系平衡的必要和充分条 y 件是该力系的合力为零: F R 0
F F 0 Rx X
O
F F 0 Ry X

例2.如图所示吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N， F2=5000N，F3=3000N。试求合力。
FR F23 F1 F12 F2
F4
FR
F4
F2 F4
FR
F3

理论力学第二章平面汇交力系与平面力偶系

FR FRx 2 FRy 2
合力作用点：为该力系的汇交点
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
(2)平面汇交力系平衡的充要条件：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 ——平面汇交力系的平衡方程
X0,
Y
i 1
n
i
0
只可求解两个未知量
[ 例1 ] 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，已知： P=20kN；求：系统平衡时，杆AB、BC受力。
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0

Fiy 0
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
F1 F2 P
解得： FBC
27.32kN
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l F y l ctg

m o (Q ) Q l
[例P28 2-4，习题P38 2-10]

[例2]水平梁AB受按三角型分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大值为q，梁长l ,试求合力作用线的位置。
解：在距A端x 的微段dx上，作用力的大小为q’dx,其中 q’ 为该处的载荷强度。由图可知，q’=xq/l。，因此分布载荷合力的大小为： l
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
二、平面汇交力系合成的解析法：
各分力在x轴和在y轴投影的代数和等于合力在对应轴上的投影。
FR x X 1 X 2 X 4
X
FR y Y1 Y2 Y3 Y4

Y

i
i

第二章平面力系

FR F1 F2 Fn Fi
i 1
n
力FR对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。所以称此力为汇交力系的合力。
如力系中各力作用线均沿同一直线，则此力系为共线力系，它是平面汇交力系的特殊情况。显然力系的合力大小和方向取决于各分力的代数和，即 n
FR Fi
i 1
24
静力学
例题 1-5
平面力系
合力的大小：
2 Rx 2 Ry
FR F F 171.3 N
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
FRx cos( FR , i ) 0.754 FR
F2
y
F1
60
O
45
30
cos( FR , j )
FRy FR
45
x
F4
0.656
F3
平面力系
Fx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi i 1 n Fy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi i 1
n
合力矢FR的大小和方向余弦为
FR Fx2 Fy2 ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2
B
D
钢丝绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A，C 与墙连接。如两杆与滑轮的自重
4 .由力三角形图c可得：
I
F
q
FD

J
K
FB
(c)
sin 180 q FB F 750 N sin
11
静力学
例题 1-2
平面力系
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于2 kN，方向与梁
的轴线成60º 角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束源自。梁的自重不计。3，

第二章第一节力在轴上的投影与力的分解

Fx=Fcosa Fy=Fcosb =Fsina
bF a
Fx Fx
B
Fy
j O i
Fy A
F Fx2 F y2
x cos(F, i )= Fx /F cos(F, j )= Fy /F Fx= Fx i Fy = Fy j 力的解析表达式
二、力沿坐标轴分解
F=Fx+Fy = Fx i+y j
第二章平面力系
平面力系：各力的作用线都在同一平面内的力系。
方法：
(1)几何法——用平行四边形法则对各力两两合成。
(2) 解析法——力系向一点简化 (理论根据：力的平移定理)。本章介绍平面力系的简化和平衡问题，包括有摩擦的平衡问题。
第一节力在轴上的投影与力的分解一、力在直角坐标轴上的投影
y 力在某轴上的投影，等于该力的大小乘以力与投影轴正向间夹角的余弦(代数量) 。
注意:力的投影与分力的区别(图示)
三、合力投影定理
y
Fn
y
FR x F2 O
合力
FR= SF
Fi F3
向x、y轴投影 FRx= SFx FRy= SFy x
2 2 F FR x FR y
F1
O
平面汇交力系
cos(FR, i )= FRx /FR cos(FR, j )= FRy /FR
平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，合力矢等于各分力的矢量和。合力投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。

6-平面力系-任意力系平衡

用线通过塔架轴线。最大起重量W1 = 200 kN,最
大吊臂长为12 m,平衡块重W2 ,它到塔架轴线的距离为6 m。为保证起重机在满载和空载时都
W2
6 m
不翻倒,试求平衡块的重量应为多大。
解: （1）作起重机的受力图
12 m W
W1
4m
满载时 W1=200N 起重机易绕 B 顺时针翻倒！ FA
FB
12
§2-5 平面任意力系的平衡
二、平面平行力系的平衡
平面平行力系：力系中各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系.
思考：1. 平面任意力系都有哪些特殊情况？
2. 平面平行力系的平衡方程？
建立坐标系，使所有的力都与x轴垂直，则各力在 x 轴上的投影都为零，即
Fx 0 -----无效方程
平面平行力系只有2个独立（有效）平衡方程
4
知识回顾4 -----分布荷载的合力与作用点
1. 均布线荷载 q 为均布荷载集度，单位：N／m
合力大小: FR = q xi = q xi= ql 合力作用线通过中心线AB的中点C
FR qxi
a
q
b
A
C
B
l/2
xi
l
q
a
A
=荷载图面积
b FR
B
C
5
知识回顾4 -----分布荷载的合力与作用点
2. 按照线性规律变化的线荷载
FR
b
qxi
合力大小:
q
l
lq
1
FR
dF
0
0l
xdx ql 2
A x
C xi
B
合力作用点 C 的位置

第二章理论力学平面力系

特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，
力系分为：平面力系、空间力系 ①平面汇交力系平面力系 ②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 ) ③平面一般力系(平面任意力系) 平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
2.1 平面汇交力系的合成与平衡
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 1、几何法
Y X
87.46 8.852, 83.55O 9.88

由于FRx为负，FRY为正，故在第二象限，合力 FR的作用线通过汇交点O，如图2.12
【例2.5】
如图2.1 3所示为建筑工地使用的井架把杆装置，杆AB的一端铰接在井架上，另一端用钢索BC与井架连接。重物通过卷扬机由绕过滑轮BC的钢索起吊。已知重物 Fw=2kN，把杆重量、滑轮的重量及滑轮的大小不计，滑轮的轴承是光滑的。试求钢索BC 的拉力和把杆AB所受的力。
由图2.14(b)可知 DB CB cot l cot 30 0 tan 0.866 AB 2l 2l 40.90 将 40.90 代入方程并求解得 FA 13.2 KN FB 8.66 KN
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
2、主矢和主矩
主矢：力系各力的矢量和，即主矩：力系中各力对于任选简化中心O之矩的矢量和，即

化工原理第二章平面力系

如图所示，平面上作用一力 F ，在同平面内任取一点O，点O称为矩心，点O到力的作用线的垂直距离h称为力臂。
力对点的矩：
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值恒等于力的大小与力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转向转动时为正，反之为负。力 F 对于点O的矩
由右图容易看出，力F对点O的矩的大小也可用三角形OAB面积的两倍表示，即
(2)画受力图。
滑轮受到钢丝绳的拉力
＝
＝P；
由于滑轮的大小可忽略不计，故这些力可看作是汇交力系。
(3)列平衡方程为使每个未知力只在一个轴上有投影，在另一轴上的投影为零，坐标轴应尽量取在与未知力作用线相垂直的方向。这样在一个平衡方程中只有一个未知数，不必解联立方程，故选取坐标轴如图所示。 (a)
和
当Ox、Oy两轴不相垂直时，力沿两轴的分力值上也不等于力在两轴上的投影X、Y。
、
在数
2．平面汇交力系合成的解析法
设由n个力组成的平面汇交力系作用于一个刚体上。以汇交点O作为坐标原点，建立直角坐标系Oxy 。
此汇交力系的合力
合矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴上投影的代数和。由此可得
例2—3 如图所示，重物P＝20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 B上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。
解：(1)取滑轮B为研究对象。 AB、BC两杆都是二力杆，假设杆AB受拉力、杆BC受压力；
平面汇交力系可简化为一合力．其合力的大小与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。设平面汇交力系包含n个力，以表示它们的合力矢，则有

第2章平面一般力系

11
主矢作用在简化中心O点，与简化中心位置无关（为什么？）。 (3)将平面力偶系合成：
F'1 m1
R'
F' 2
=
m2
=
MO
mn
得到作用于力系平面内的一力偶，其力偶矩为: MO =m1+m2+…+mn
F' n
mO (F1 ) mO (F 2 ) ... mO (F n ) mO ( F i )
F'1 m1
R'
F' 2
=
m2
mn
F' n
（1）将各力平移至点O ，得一平面汇交力系和一平面力偶系。（2）将平面汇交力系合成： R' F'1 F'2 ... F'n F 1 F 2 ... F n Fi 原力系中各力的矢量和称为力系的主矢量，简称主矢（它是不是原力系的合力？），用 R' 表示，即 R' F i
1
第二章
系。
平面一般力系
平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力
平面一般力系包含以下几种特殊力系：（1）平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。
（2）平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平行的力系。
（3）平面力偶系：各力偶作用面共面。
2
第二章
平面一般力系
原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩（它是不是合力偶？）主矩一般与简化中心的位置有关（why？）。
12
过O点建立直角坐标系，由矢量和投影定理，得主矢在x、y轴
上的投影为：
R'x X 1 X 2 X n X i ' Ry Y1 Y2 Yn Yi 则主矢的大小：

平面力系

平衡方程其他形式：
证明：
F
F
F
F
Od A = O d A
=
mO A
F
F F F
m Fd m0F
§3–2
§2–7 力线平移定理
二、几个性质：
1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附
加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位
置的不同而不同。
2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。
中心。
F1
F2
A1 O
A2
A3
F1
=
F2
m1
m2
O
m3
=
F3
F3
R
O
LO
§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩
共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在点O 的力R。这个力矢R 称为原平面任意力系的主矢。
R F1 F2 F3
F1 F2 F3
1 2 3 3 1 0.768
y
F2
60°
A
22
B
F3
2m
R Rx2 Ry2 0.794
cosR、x Rx 0.614
R
R , x 526'
cosR、y Ry 0.789
R
R , y 3754'
F1
A
B F2
C
F3
D
R
F4
E
§2–2 共点力系合成与平衡的几何法
F1
A
B F2
R
C
F3
D
F4

第二章平面力系

第二章平面力系第1节平面汇交力系合成与平衡的几何法若作用在物体上的力，其作用线均分布在同一平面内，则该力系称为平面力系。

若作用在同一平面内的各力作用线均汇交于一点，则该力系称为平面汇交力系。

一、合成的几何法应用力多边形法则，合力矢即是力多边形的封闭边，合力作用线通过力系的汇交点。

如图2-1-1-1所示。

图2-1-1-1若有n个力，则合力矢可以表示为F R = F 1 + F 2 +⋯+ F n = ∑ i=1 n F i二、平衡的几何法平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭。

如图2-1-1-2所示。

若矢量表示即为F R =0图2-1-1-2第2节平面汇交力系合成与平衡的解析法一、力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，如图2-2-1-1所示，它是一标量，即F x =Fcos⁡θ; F y =Fcos⁡β力沿坐标轴的分力是一矢量，其合力与分力之间应满足力的平行四边形法则。

如图2-2-1-2所示。

当坐标轴为直角坐标轴时，力沿坐标轴分解的分力可以表示为F x = F x i; F y = F y i合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，即F x = ∑ i=1 n F xi ; F y = ∑ i=1 n F yi当投影轴x与y垂直时，其合力的大小与方向为F R = F x 2 + F y 2 , cos⁡( F R ,i)= F x F R ; cos⁡( F R ,j)= F y F R二、合成的解析法当为直角坐标轴时，可按以下方法来合成F R = F x 2 + F y 2 = ( ∑ F xi ) 2 + ( ∑ F yi ) 2cos⁡( F R ,i)= F x F R = ∑ F xi F R ; cos⁡( F R ,j)= F y F R = ∑ F yi F R三、平衡的解析法力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即∑ F x =0; ∑ F y =0上式称为平面汇交力系的平衡方程。

第二章平面力系

④解平衡方程
cos 450 = 3.16 kN 19 cos α
[例3]
已知F1＝200N，F2＝300N，F3＝100N，F4＝250N。求图示
平面汇交力系的合力。解根据公式可得
o o o o
Fx = Fx1 + Fx 2 + Fx 3 + Fx 4 = F1 cos30 - F2 cos60 - F3 cos45 + F4 cos45 = 129.3 N o o o o Fy = Fy1 + Fy 2 + Fy3 + Fy 4 = F1 sin 30 + F2 sin 60 - F3 sin 45 - F4 sin 45 = 112.3 N
n R =∑i F i =1
平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的
作用线通过各力的汇交点。
8
3.平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的充要条件是合力为零，即：
n R =∑i F i =1
在上面几何法求力系的合力中，
合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：力多边形自行封闭。或：力系中各力的矢量和等于零。
R = 0, R 2 + R 2 = 0 X Y
为平衡的充要条件，也叫平衡方程
18
[例] 已知 P=2kN 解：①研究AB杆 ②画出受力图 ③列平衡方程
求SCD , RA
∑X=0
RA·cosα-SCD· cos45°=0
∑Y=0
-P-RA·Sinα+SCD· Sin45°=0
α
由EB=BC=0.4m， EB 0.4 1 t gα = = = 解得： AB 1.2 3 P SCD = = 4.24 kN ； A = SCD R 0 cos 45 (1 - tgαα)

第二章平面力系

F1 + F2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Fn
Rx = ∑ X k
k =1 n
n
R y = ∑ Yk
k =1
— 合力投影定理
则：
2 R = Rx2 + R y
Ry Rx cos(R , i ) = ,cos(R , j ) = R R
4、平面汇交力系的平衡方程 RX= ∑X=0 RY =∑Y =0 ∑X=0 ∑Y =0 解析条件的应用平面汇交力系的平衡方程
X 2 = − F2 cos θ 2 Y2 = − F2 sin θ 2
cos(F , i ) =
(2) 平面汇交力系合成的解析法求合力 R（R=Rxi+Ryj )可先求Rx，Ry。已知： R = 则：
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ Rx ⋅ i + R y ⋅ j = ⎜ ∑ X k ⎟ ⋅ i + ⎜ ∑ Yk ⎟ ⋅ j ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠
第二章平面力系
平面力系：各力作用线位于同一平面。平面汇交力系平面力偶系平面平行力系平面任意力系
§2-1、平面汇交力系
平面汇交力系：各力作用线位于同一平面且汇交于一点。
问题举例：
FAy
Q
FA
O B
Q
A
FAx
FC
C
1、平面汇交力系合成的几何法
R123
F2
F3
R12 F2
R
F3
A3
A2 A1
r
h
A
2、合力矩定理与力矩的解析表达式合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于力系中各分力对同一点的矩的代数和。即：若F1+F2+……+Fn=R，则： MO（R）=

第二章 平面力系(H)

第二章--平面汇交力系

工程力学课后习题答案

第二章-平面力系

理论力学平面力系的简化和平衡

第二章 平面力系

3-平面力系-汇交力系

平面力系

第二章1平面汇交力系与平面力偶系

理论力学第二章平面汇交力系与平面力偶系

第二章 平面力系

第二章 第一节 力在轴上的投影与力的分解

6-平面力系-任意力系平衡

第二章 理论力学平面力系

化工原理第二章平面力系

第2章平面一般力系

平面力系

第二章 平面力系

第二章 平面力系

第二章 平面力系

第二章平面力系(H)

第二章平面力系

第二章平面力系

第二章第一节力在轴上的投影与力的分解

第二章理论力学平面力系

第二章平面力系

第二章平面力系

第二章平面力系